一致收敛性

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定理3 (一致收敛的柯西准则)
函数项级数un(x)在数集D上一致收敛的充要条件为
对任给的正数,总存在某自然数N,使得当n>N时,对一切 xD和一切自然数p,都有
| Sn p ( x) Sn ( x) | ,
或
| un1( x) un p ( x) | .
lim sup | Rn ( x ) | lim sup | S ( x ) Sn ( x ) | 0.
n xD n xD
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三、函数项级数的一致收敛性判别法 定理5(维尔斯特拉斯判别法)设函数项级数un(x)定义 在数集D上, Mn为收敛的正项级数,若对一切xD,有
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定理1(函数列一致收敛的柯西准则)
函数列{fn(x)}在数集D上一致收敛的充要条件是:任给 正数总存在正整数N,使得当n,m>N时,对一切xD,都有
| fn ( x) fm ( x) | . 或当n,>N时,对任意正整数p,对一切xD,都有
| fn p ( x) fn ( x) | .
应用此方法判断函数列{fn(x)}在数集D上非一致收
敛于f(x)时,常作辅助函数Fn(x)=fn(x)-f(x),取xn为Fn(x)在
数集D上的最值点.
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函数项级数的一致收敛性:
设{Sn(x)}是函数项级数un(x)的部分和函数列,若
{Sn}在数集D上一致收敛于S(x),则称函数项级数un(x) 在D上一致收敛于S(x),或称un(x )在D上一致收敛.
lim f n ( x ) f ( x ) 0.
n
所以
1 (ln n) 1 sup | f n ( x ) f ( x ) | sup | f n ( x ) | f n ( ) ln n e x[ 0 , ) x[ 0 , )
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故
(ln n) 1 lim sup | f n ( x ) f ( x ) | lim n x[ 0 , ) n e , 1 , e 0,
1 1 1
故当<1时, {fn(x)}在[0,+)一致收敛.
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| un ( x ) | M n , n 1,2,,
(7)
则函数项级数un(x)在D上一致收敛.
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定理6(阿贝耳判别法)设
(1) un(x)在区间I上一致收敛;
(2)对于任意xI, {vn(x)}是单调的;
(3){vn(x)}在区间I上一致有界,即对任意xI,和自然数
n 1
由f(x)的连续性,
1 1 k lim f n( x) lim f( x ) f( x t) dt. 0 n n n k 0 n n 1
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n 1
| fn ( x)
1
0
1 1 k f ( x t )dt || f ( x ) f ( x t )dt | 0 n k 0 n
0
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例2 设
x(ln n) fn ( x) ( n 2, 3,) x n
试问当为何值时, {fn(x)}在[0,+)一致收敛.
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解: 由于
x(ln n) 1 1 f n( x ) ( x ), x n ln n
当x<1/lnn时, f(x)单调递增, x>1/lnn时, f(x)单调递减,因 此, fn(x) 在x=1/lnn时取最大值,又
例3 证明
n(1)n n2 x 2 n 1

在(-,+ )上一致收敛.
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证: 作函数 则
y f ( y) 2 , 2 x y
x2 y2 f ( y ) 2 , 2 2 (x y )
因此y充分大时,f(y)<0,即y充分大时f(y)单调递减,因此当
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狄利克雷判别法
若 (1)对任意 N > c,含参量正常积分

N
c
f ( x, y )dy 对参
数 x 在[a, b]上一致有界,即存在 M > 0,对一切 N >c 及
一切 x [a, b]有
| f ( x, y )dy | M .
c N
(2)对任意 x[a, b],函数 g(x, y)关于 y 单调递减且当
(3)在I上{vn(x)}一致收敛于0.
则级数un(x)vn(x)在I上一致收敛.
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2. 含参量反常积分的一致收敛性
对于含参量反常积分


c
f ( x , y )dy 和函数I (x),若对
任意 >0,存在N >0,对任意M >N,对一切 x [a, b],都有

则称含参量反常积分
|
n 1
k 1 n k k 0 n n1 k 1 n k n
k f ( x )dt n
k 1 n k k 0 n n1
f ( x t )dt |
|
k 0
k [ f ( x ) f ( x t )]dt | n

k 0
n 1
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推论 函数项级数un(x)在数集D上一致收敛的必要 条件是函数列{un(x)}在一致收敛于零. 设函数项级数un(x)在数集D上的和函数为S(x),称
Rn ( x ) S ( x ) S n ( x )
为函数项级数un(x)的余项.
定理4 函数项级数un(x)在数集D上一致收敛于S(x) 的充要条件是
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函数列的一致收敛性： 一. 函数列的一致收敛性 设函数列{fn(x)}与函数f定义在同一数集D上,若对任 给的正数,总存在某一自然数N,使得当n>N时,对一切xD 都有
| f n ( x) f ( x) | ,
则称函数列{fn(x)}在D上一致收敛于f ,记作
fn ( x) f ( x)(n ), x D.
在[0,a]上一致收敛,在[0,+)非一致收敛.
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证明 由于
x x lim f n ( x ) lim n ln(1 ) lim n x . n n n n n
令 则
x Fn ( x ) f n ( x ) x n ln(1 ) x n x Fn( x ) 0, n x
M
f ( x , y )dy ,


c
f ( x , y )dy
在 [a,b]上一致收敛于I(x),或称(1)在[a,b]上一致收敛.
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含参量反常积分一致收敛的判别法 一致收敛的柯西准则 含参量反常积分(1)在 [a, b]上一致收敛的充要条件是对 任意 >0,存在M >c, 对任意A1, A2>M,对一切x [a, b], 都有

A2 A1
f ( x , y )dy
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与级数一致收敛的关系 含参量反常积分 c f ( x , y )dy 在[a, b]上一致收敛的充要
条件是：对任一趋于+的递增数列{An} (其中A1=c),函数

项级数

n 1

An1 An
f ( x , y )dy un ( x )
n 1

在[a, b]上一致收敛.
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魏尔斯特拉斯M判别法: 定理 设有函数 g (y),使得
f ( x , y ) g( y ), a x b, c y .
若

收敛,则

c
g( y )dy

在[a, b]上一致收敛.

c
f ( x , y )dy
k 1 n k nBiblioteka Baidu
k | f ( x ) f ( x t ) | dt | n
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由于
k k 1 t [ , ] n n
所以
k k 1 | x ( x t ) || t | , n n n
故取n 充分大,使1/ n <,则
k | f ( x ) f ( x t ) | . n
n n充分大时, x 2 n 2 单调递减收敛于0.故原级数为莱布
尼兹级数.且
n 1 1 | rn ( x ) || 2 , 2 x ( n 1) n 1
故原级数一致收敛.
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例4 证明函数列
x f n ( x ) n ln(1 )( n 1, 2,) n
x lim sup | Fn ( x ) | lim sup | n ln(1 ) x | n x[ 0 , ) n x[ 0 , ) n
n lim | n ln(1 ) n | lim(1 ln 2)n . n n n
定理2 函数列{fn(x)}在D上一致收敛于f的充要条件是
lim sup | f n ( x ) f ( x ) | 0.
n xD
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推论 设在数集D上fn(x)f(x)(n),若存在数列 {xn}D,使|fn(xn)-f(xn)| 0,则函数列{fn(x)}在数集D上非 一致收敛.
因此
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| f n ( x ) f ( x t )dt |
0
1

k 1 n k k 0 n n 1 k 1 n k k 0 n n 1
k | f ( x ) f ( x t ) | dt | n
dt .
1
故{fn(x)}在[a,b]一致收敛于 f ( x t )dt .

在[a, b]上一致收敛.

c
f ( x, y ) g( x, y )dy
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例1 设f(x)在全体实数集上连续,
1 k f n ( x ) f ( x ), n k 0 n
n 1
证明:函数列{fn(x)}在任何有限区间上一致收敛.
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即{Fn(x)}在[0,a]上单调递减,且
Fn (a) Fn ( x) Fn (a) 0,
因此
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x lim sup | Fn ( x ) | lim sup | n ln(1 ) x | n x[ 0 ,a ] n x[ 0 , a ] n
n,存在正数M,使得| vn(x)| M,则级数un(x)vn(x)在I上 一致收敛.
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定理7 (狄里克雷判别法)设 (1)un(x)的部分和函数列
U n ( x ) uk ( x ) (n 1,2,)
n k 1
在I上一致有界;
(2)对任意xI,{vn(x)}是单调的;
y 时,对参量x, g(x, y)一致地收敛于0,则含参量
反常积分


c
f ( x, y ) g( x, y )dy
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在[a, b]上一致收敛.
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阿贝耳判别法:
若 (1)


c
f ( x , y )dy在[a, b]上一致收敛；
(2) 对任意 x [a, b],函数 g(x, y)为 y 单调函数,且 对参量x , g(x, y)在[a, b]上一致有界,则含参量反常积分
a a 1 lim | n ln(1 ) a | lim | n( o( )) a | 0. n n n n n
因此
x f n ( x ) n ln(1 )( n 1, 2,) n
在[0,a]上一致收敛.
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在[0,+)上
证明:对任何有限区间[a,b], f(x)在[a,b+1]连续,从而一致 连续,对任意>0,存在>0,对任意x ,x [a,b+1],当|x -x|< 时
| f ( x) f ( x ) | ,
把区间[0,1] n等分,作函数 f(x+t)的积分和
1 k n f ( x n ), k 0