第2讲 基本初等函数、函数的应用
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第2讲 基本初等函数、函数的应用
高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题
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真 题 感 悟
1.(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A.a
D.c 解析 ∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ log 53＋log 5822 －1 log 58＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52422 －1log 58<⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ log 52522 －1log 58 ＝0，∴log 53 ∵55<84，134<85，∴5log 85<4log 88＝4＝4log 1313<5log 138， ∴log 85 2.(2020·全国Ⅰ卷)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( ) A.a >2b B.a <2b C.a >b 2 D.a 解析 由指数和对数的运算性质可得 2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b . 令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 又∵22b ＋log 2b <22b ＋log 2b ＋1＝22b ＋log 2(2b )， ∴2a ＋log 2a <22b ＋log 2(2b )，即f (a ) 3.(2020·全国Ⅲ卷)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝ K 1＋e －0.23（t －53） ，其中K 为最大确诊病例数.当I (t *)＝0.95K 时， 标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A.60 B.63 C.66 D.69 解析 因为I (t )＝ K 1＋e －0.23（t －53） ， 所以当I (t *)＝0.95K 时， K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ⇒11＋e －0.23（t *－53） ＝0.95⇒1＋e －0.23(t *－53) ＝10.95⇒e －0.23(t *－53)＝1 0.95－1⇒e 0.23(t *－53)＝19⇒0.23(t *－53)＝ln 19⇒t *＝ ln 190.23＋53≈3 0.23＋53≈66.故选C. 答案 C 4.(2020·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≥0，－x ，x ＜0.若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有 4个零点，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫－∞，－12∪(22，＋∞) B.⎝ ⎛ ⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，22) C.(－∞，0)∪(0，22) D.(－∞，0)∪(22，＋∞) 解析 法一 注意到g (0)＝0，所以要使g (x )恰有4个零点，只需方程|kx －2|＝ f（x）|x|恰有3个实根即可.令h(x)＝ f（x） |x| ，即y＝|kx－2|与h(x)＝ f（x） |x| 的图象有3 个交点. h(x)＝f（x） |x| ＝ ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x2，x＞0， 1，x＜0. 当k＝0时，此时y＝|kx－2|＝2，如图①，y＝2与h(x)＝f（x） |x| 的图象有1个交点， 不满足题意； 当k＜0时，如图②，此时y＝|kx－2|与h(x)＝f（x） |x| 的图象恒有3个交点，满足 题意； 当k＞0时，如图③，由y＝kx－2与y＝x2联立，得x2－kx＋2＝0，令Δ＞0，得 k2－8＞0，解得k＞22或k＜－22(舍去)，此时y＝|kx－2|与h(x)＝f（x） |x| 的图象 有3个交点. 综上，k的取值范围为(－∞，0)∪(22，＋∞).故选D. 法二由法一知y＝|kx－2|与h(x)＝f（x） |x| 的图象有3个交点，令k＝－1 2 ，检验知 符合题意，可排除选项A，B； 令k＝1，检验知不符合题意，可排除选项C.故选D. 答案 D 考 点 整 合 1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ； (3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a M N ＝log a M －log a N ； (5)log a M n ＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ； (7)log a N ＝log b N log b a (注：a ， b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0). 2.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分01两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0 (1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标. (2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解. 4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈 检验作答 . 热点一 基本初等函数的图象与性质 【例1】 (1)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ x ＋12(a >0，且a ≠1)的图 象可能是( )