初中数学几何说理与一题多解学法指导

初中数学几何说理与一题多解

喻俊鹏

七年级从学习“相交线与平行线”开始，将接触到有关几何问题的说理与证明。在解决这类问题时，首先应明确题设中的已知条件和要说明的结论各是什么，然后根据题设中的条件与所要说明的结论，回忆、联想学过的知识中有哪些可以作为说理的依据，并通过分析法––––由果索因，或综合法––––由因导果，探索说理的方法与途径，根据不同的方法与途径，可得到不同的解法。

例：如图1，已知AB//EF ，∠=∠+∠AEC A C ，那么AB//CD 吗？说明你的理由。

图1

思路分析：判断两条直线平行的依据除定义外，就是两直线平行的三种判定方法和平行公理，现从不同的途径分别说明如下：

一. 利用同位角相等，两直线平行

解法分析1：由于已知图形中没有同位角，因此需添加辅助线创造出运用同位角的条件，为此可延长CE 交AB 于M （如图2所示），则∠C 与∠4是一对同位角，只需说明∠C 与∠4相等即可。

图2

答：AB//CD ，理由如下：

辅助线作法如图2，因为AB//EF （已知）

所以∠=∠∠=∠A 134，（平行线的性质）

又∠=∠32（对顶角相等）

所以∠=∠42（等式的性质）

又∠=∠+∠=∠+∠AEC A C 12（已知）

所以∠+∠=∠+∠A C A 4，即∠=∠C 4

所以AB//CD （同位角相等，两直线平行）

二. 利用内错角相等，两直线平行

解法分析2：已知图形中没有内错角，同样可通过添加辅助线创造出运用内错角的条件。辅助线作法如图2，则∠C 与∠5是一对内错角，只需说明∠C ＝∠5即可，仿照解法一不难得到，请试说明之。

三. 利用同旁内角互补，两直线平行

解法分析3：原图形中没有同旁内角，为此作辅助线如图2，则图中∠C 与∠6是一对

同旁内角，只需说明∠+∠=C 6180 即可。有兴趣者也可仿照解法一写出说理过程。

四. 利用平行公理，说明两直线平行（即若a//b ，b//c ，则a//c ）

解法分析4：根据平行公理知，由题设AB//EF ，要证AB//CD ，只要说明EF//CD 即可，即说明图1中∠C ＝∠HEC 。而这并不需要作辅助线，由∠AEC ＝∠A ＋∠C ＝∠AEH ＋∠HEC ，及∠A ＝∠AEH ，很容易得到∠C ＝∠HEC 。从而EF//CD 。说明过程请读者自行写出。

由上可见，对一道几何题进行说理时，由于思考的角度不同，得到的解法也不同。因此，在求解几何问题时，不能只满足于求出结果就行，而要勤于思考，多途径求解，在多种解法中寻求最优方法，如上述四种解法中以解法四最为简捷。这样，既可开拓思路，培养创新思维，也可提高解题速度，增强解题能力。

练习：

1. 如图3，已知AB//CD ，∠=B 80 ，∠=BMD 28 ，求∠D 的度数。

图3

2. 如图4，如果∠C ＝∠1，∠B ＝∠2，那么EF 与AB 平行吗？说明你的理由。

图4

参考答案：

1. 提示：过点M 作AB 的平行线，可求得∠=D 52

2. EF//AB 。理由略。