蚁群算法及算例

k ij Δτ ij k 1 m
Q k (i , 若蚂蚁 在本次周 游中经过边, j ) k ij Lk 0, 否则
Q ——正常数，
Lk ——蚂蚁 k 在本次周游中所走路径的长度。
开始时，令 ij 0 C
（四）算法步骤
1、初始化参数：开始时每条边的信息素量都相等。 ij (0) 0 ij (0) C 2、将各只蚂蚁放置各顶点，禁忌表为对应的顶点。 3、取1只蚂蚁，计算转移概率 Pijk (t )，按轮盘赌的方式 选择下一个顶点，更新禁忌表，再计算概率，再选 择顶点，再更新禁忌表，直至遍历所有顶点1次。 k 4、计算该只蚂蚁留在各边的信息素量 ij ，该蚂蚁 死去。 5、重复3~4，直至 m只蚂蚁都周游完毕。 6、计算各边的信息素增量 ij 和信息素量 ij (t n) 。 7、记录本次迭代的路径，更新当前的最优路径，清空 禁忌表。 8、判断是否达到预定的迭代步数，或者是否出现停滞 现象。若是，算法结束，输出当前最优路径；否， 转2，进行下一次迭代。
Q ——正常数，
Lk ——蚂蚁 k
在本次周游中所走路径的长度。
开始时， ij 0 C 令
（三）特点
◆是一种基于多主体的智能算法，不是 单个蚂蚁行动，而是多个蚂蚁同时搜索， 具有分布式的协同优化机制。 ◆本质上属于随机搜索算法（概率算法）， 具有概率搜索的特征。 ◆是一种全局搜索算法，能够有效地避免 局部最优。
（四）优点
◆求解问题的快速性——由正反馈机制 决定； ◆全局优化性——由分布式计算决定， 避免蚁群在寻优空间中过早收敛；
D 10 E 2
m 参数设置： 5, 1, 1, 0.5, Q 100, ij (0) 2
τ ij t α ηij t β X , 如 果j J k i α β k Y pij t τ is t ηis t sJ k i 0 , 否 则
讨
论
1、对已学过的算法作出某种改进。 2、介绍自学的一种新的算法。 3、查阅文献，介绍某算法在某领域的 一个应用。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4、应用某算法解决一个实际问题。
算 例 A
A
已知资料表
B 2 0 1 4 7 C 10 2 0 3 5 D 8 5 3 0 1 E 3 7 6 2 0 A B C 0 1 9
B
E
C
D
4、每只蚂蚁只能走合法路线（经过每个城市 1次且仅1次），为此设置禁忌表来控制。 5、所有蚂蚁都搜索完一次就是迭代一次，每 迭代一次就对所有的边做一次信息素更新，原 来的蚂蚁死掉，新的蚂蚁进行新一轮搜索。 6、更新信息素包括原有信息素的蒸发和经过 的路径上信息素的增加。 7、达到预定的迭代步数，或出现停滞现象 （所有蚂蚁都选择同样的路径，解不再变化）， 则算法结束，以当前最优解作为问题的最优解。
（三）计算公式
k 1、转移概率 pij t 计算公式：
τ ij t α ηij t β , 如 果j J k i α β k pij t τ is t ηis t sJ k i 0 , 否 则




1 ij d ij
当所有蚂蚁完成1次周游后，各路径上的信息 素为： n) (1 ) ij (t ) ij ij (t
k ij Δτ ij k 1 m
Q k (i , 若蚂蚁 在本次周 游中经过边, j ) k ij Lk 0, 否则
（七）基于混合行为的蚁群算法 HBACA
特点：按蚂蚁的行为特征将蚂蚁分成4类，称为4个子蚁 群，各子蚁群按各自的转移规则行动，搜索路径，每迭 代一次，更新当前最优解，按最优路径长度更新各条边 上的信息素，如此直至算法结束。
蚂蚁行为——蚂蚁在前进过程中，用以决定其下一步移 动到哪个状态的规则集合。
1、蚂蚁以随机方式选择下一步要到达的状态。
（二）参数含义及符号
m ——蚂蚁数量；
k ——蚂蚁编号；
t ——时刻； n ——城市数；
d ij ——城市 i, j 之间的距离；
ij ——启发式因子（能见度），反映蚂蚁由
ij ——边 i, j 上的信息素量；
城市 i 转移到城市 j 的启发程度；
ij ——本次迭代边i, j 上的信息素增量；
Q , 若边 ij 是当前最优解的一部分 Δτ Lgb 0, 否则
ij
Δτ ij ——精英蚂蚁在边 ij ——精英蚂蚁个数；
上增加的信息素量；
Lgb
——当前全局最优解路径长度。
（二）蚁群系统 ACS
１、状态转移规则——伪随机比率规则 设 q0 (0,1) 为常数， q (0,1) 为随机数， 如果 q q0 ，则蚂蚁转移的下一座城市是使 [τ ij (t )]α [ηij (t )]β 取最大值的城市；若 q q0 ， 仍按转移概率确定。 一般， q0 取值较大。 ２、全局更新规则——只有精英蚂蚁才允许释放 信息素，即只有全局最优解所属的边才增加 信息素。 ３、局部更新规则——蚂蚁每次从城市 i 转移到 城市 j 后，边 i, j 上的信息素适当减少。
关于 min , max 的取值，没有确定的方法，有的 书例子中取为0.01，10；有的书提出一个在最大 值给定的情况下计算最小值的公式。
（四）基于优化排序的蚂蚁系统 ASrank
特点：每次迭代完成后，蚂蚁所经路径由小到大排序， 并根据路径长度赋予不同的权重，路径越短权重越大。 k 信息素更新时对 ij 考虑权重的影响。


——信息素的相对重要程度；
——启发式因子的相对重要程度；
J k i ——蚂蚁
k 下一步允许选择的城市集合。
1 d ij
2、启发式因子计算公式：ij
3、信息素计算公式
当所有蚂蚁完成1次周游后，各路径上的信息素为：
ij (t n) (1 ) ij (t ) ij
（二）算法的产生与发展
1、产生——受蚁群觅食行为启发，意大利学者M.Dorigo 于1991年在其博士论文中首次系统地提出一种基于蚂蚁种群 的新型智能优化算法“蚂蚁系统（Ant system,简称AS）”， 并用该法求解旅行商问题，获得了较好的效果。 2、发展——后来，提出者及许多研究者对该算法作了各种 改进，将其应用于更为广泛的领域，如图着色问题、二次分 配问题、工件排序问题、车辆路径问题、车间作业调度问题、 网络路由问题、大规模集成电路设计等。近些年来，M.Dorigo 等人把蚂蚁算法进一步发展成一种通用的优化技术“蚁群优化 （Ant Colony Optimization,简称ACO）”，并将所有符合ACO 框架的算法称为“蚁群优化算法（ACO algorithm）”。 3、展望——初步的研究结果已显示出ACO算法在求解复杂 优化问题，特别是离散优化问题方面的优越性。虽然严格的 理论基础尚未奠定，但从当前的应用效果来看，此算法具有 光明的发展前景。
蚂蚁 2、蚂蚁以贪婪方式选择下一步要到达的状态。 行为 3、蚂蚁按信息素强度选择下一步要到达的状态。
4、蚂蚁按信息素强度和城市间距离选择下一步要 到达的状态 。
五、蚁群算法与遗传、模拟退火算法的比较
实验结果表明：
1、蚁群算法所找出的解的质量最高，遗传 算法次之，模拟退火算法最低。
2、蚁群算法的收敛速度最快，遗传算法次 之，模拟退火算法最慢。蚁群算法之所以 能够快速收敛到全局最优解，是因为该算 法的个体之间不断进行信息交流和传递。 单个个体容易收敛于局部最优，多个个体 通过合作可以很快地收敛于解空间的最优 解的附近。
蚁 群 优 化 算 法
（ACO算法）
一、概述 二、蚂蚁系统（AS） 三、算例 四、改进的ACO算法
一、概述
（一）算法背景——蚁群的自组织行为特征
1、高度结构化的组织——虽然蚂蚁的个体行为极其 简单，但由个体组成的蚁群却构成高度结构化的社会 组织，蚂蚁社会的成员有分工，有相互的通信和信息 传递。 2、自然优化——蚁群在觅食过程中，在没有任何提示 下总能找到从蚁巢到食物源之间的最短路径；当经过的 路线上出现障碍物时，还能迅速找到新的最优路径。 3、信息正反馈——蚂蚁在寻找食物时，在其经过的路 径上释放信息素（外激素）。蚂蚁基本没有视觉，但能 在小范围内察觉同类散发的信息素的轨迹，由此来决定 何去何从，并倾向于朝着信息素强度高的方向移动。 4、自催化行为——某条路径上走过的蚂蚁越多，留下 的信息素也越多（随时间蒸发一部分），后来蚂蚁选择 该路径的概率也越高。
（六）AS算法的优点与不足 较强的鲁棒性——稍加修改即可应用 于其他问题。（鲁棒性就是系统的健壮性 ，
优点
用以表征控制系统对特性或参数摄动的不敏 感性。）
分布式计算——本质上具有并行性。
易于与其他启发式算法结合。 不足 一般需要较长的搜索时间。 容易出现停滞现象。
三、算例——5个点的货郎担问题
参数设置：
mn 1, 1 0.5
ij 0 2
Q 100
四、改进的蚁群优化算法
▲最优解保留策略蚂蚁系统（带精 英策略的蚂蚁系统ASelite） ▲蚁群系统（ACS）
改进的 蚂蚁算法
▲最大-最小蚂蚁系统（MMAS） ▲基于优化排序的蚂蚁系统 （ASrank）
▲最优最差蚂蚁系统（BWAS）
k ij ——第 k 只蚂蚁在本次迭代中留在边 i, j
上的信息素量；
——信息素蒸发（或挥发）系数，
1 ——持久性（或残留）系数， 0 1 ；
Pijk (t ) ——时刻 t 蚂蚁 k 由城市 i 转移到城市 j 的 概率（转移概率）；
tabu ——蚂蚁 k 的禁忌表。 k
▲一种新的自适应蚁群算法（AACA） ▲基于混合行为的蚁群算法（HBACA）
（一）带精英策略的蚂蚁系统 ASelite
特点——在信息素更新时给予当前最优解以额 外的信息素量，使最优解得到更好的利用。找 到全局最优解的蚂蚁称为“精英蚂蚁”。
ij t n 1 ij t ij ij
（五）最优最差蚂蚁系统 BWAS
特点：主要是修改了ACS中的全局更新公式，增加 对最差蚂蚁路径信息素的更新，对最差解进 行削弱，使信息素差异进一步增大。
（六）一种新的自适应蚁群算法 AACA
特点：将ACS中的状态转移规则改为自适应伪随机 比率规则，动态调整转移概率，以避免出现 停滞现象。 说明：在ACS的状态转移公式中， q0 是给定的常数； q0 在AACA中， 是随平均节点分支数ANB而变 化的变量。ANB较大，意味着下一步可选的城市较 多，q0 也变大，表示选择信息素和距离最好的边的 可能性增大；反之减小。
◆有限时间内答案的合理性——由贪婪 式搜索模式决定，使能在搜索过程的早期 就找到可以接受的较好解。
二、蚂蚁系统（AS算法）——最早的ACO算法
（一）算法基本思想（以旅行商为例说明） 1、根据具体问题设置多只蚂蚁，分头并行搜 索。 2、每只蚂蚁完成一次周游后，在行进的路上 释放信息素，信息素量与解的质量成正比。 3、蚂蚁路径的选择根据信息素强度大小（初 始信息素量设为相等），同时考虑两点之间的距 离，采用随机的局部搜索策略。这使得距离较短 的边，其上的信息素量较大，后来的蚂蚁选择该 边的概率也较大。
特点
规则１和２都是为了使搜索过程更具有指导性，即 使蚂蚁的搜索主要集中在当前找出的最好解邻域内。规 则３则是为了使已选的边对后来的蚂蚁具有较小的影响 力，以避免蚂蚁收敛到同一路径。
（三）最大最小蚂蚁系统 MMAS
特点
1、每次迭代后，只对最优解所属路径上的信 息素更新。
2、对每条边的信息素量限制在范围 min , max 内，目的是防止某一条路径上的信息素量远 大于其余路径，避免过早收敛于局部最优解。