高中数学导学案独立性检验的基本思想及其初步应用

3. 2.1独立性检验的基本思想及其初步应用教学目标（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求22列联表）的基本思想、方法及初步应用；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。

教学重点：独立性检验的基本方法教学难点：基本思想的领会及方法应用教学过程一、问题情境5月31日是世界无烟日。

有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。

这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看一下问题：某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了9965个人，其中吸烟者2148人，不吸烟者7817人。

调查结果是：吸烟的2148人中有49人患肺癌，2099人未患肺癌；不吸烟的7817人中有42人患肺癌，7775人未患肺癌。

问题：根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”？二、学生活动（1）引导学生将上述数据用下表（一）来表示：（即列联表）不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775 42 7817吸烟2099 49 2148总计9874 91 9965（2）估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异：在不吸烟者中，有427817≈0.54％的人患肺癌；在吸烟的人中，有492148≈2.28％的人患肺癌。

问题：由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关？把握有多大？三、建构数学1、从问题“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表，柱形图和条形图的展示，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系。

但这种结论能否推广到总体呢？要回答这个问题，就必须借助于统计理论来分析。

2、独立性检验：（1）假设H：患肺癌与吸烟没有关系。

即：“吸烟与患肺癌相互独立”。

用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则有P(AB)=P(A)P(B)若将表中“观测值”用字母代替，则得下表（二）：患肺癌未患肺癌合计吸烟 a b b a + 不吸烟 cd d c + 合计c a +d b +d c b a +++学生活动：让学生利用上述字母来表示对应概率，并化简整理。

思考交流：||ad bc -越小，说明患肺癌与吸烟之间的关系越 （强、弱）？（2）构造随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）由此若0H 成立，即患肺癌与吸烟没有关系，则K 2的值应该很小。

把表中的数据代入计算得K 2的观测值k 约为56.632，统计学中有明确的结论，在0H 成立的情况下，随机事件P(K2≥6.635)≈0.01。

由此，我们有99%的把握认为0H 不成立，即有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关系”。

上面这种利用随机变量K 2来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。

说明：估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异是用频率估计概率，利用K 2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，观测数据,,,a b c d 取值越大，效果越好。

在实际应用中，当,,,a b c d 均不小于5，近似的效果才可接受。

（2）这里所说的“患肺癌与吸烟有关系”是一种统计关系，这种关系是指“抽烟的人患肺癌的可能性（风险）更大”，而不是说“抽烟的人一定患肺癌”。

（3）在假设0H 成立的情况下，统计量K 2应该很小，如果由观测数据计算得到K 2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理（即统计量K 2越大，“两个分类变量有关系”的可能性就越大）。

3、对于两个分类变量A 和B ，推断“A 和B 有关系”的方法和步骤为：①利用三维柱形图和二维条形图； ②独立性检验的一般步骤：第一步，提出假设0H ：两个分类变量A 和B 没有关系； 第二步，根据2×2列联表和公式计算K 2统计量； 第三步，查对课本中临界值表，作出判断。

4、独立性检验与反证法：反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立； 独立性检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。

四、数学运用例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？① 第一步：教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论；第二步：教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得到的统计结果；第三步：由学生计算出2K的值；第四步：解释结果的含义.②通过第2个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据表明可以进行这种推广.变式练习：课本P97练习【板书设计】：【作业布置】：课本P97习题3.2第1题3.2.1独立性检验的基本思想及其初步应用课前预习阅读教材P91-P95，了解相关概念，如：分类变量、列联表、独立性检验。

学习目标（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求22列联表）的基本思想、方法及初步应用；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。

学习重点：独立性检验的基本方法学习难点：基本思想的领会学习过程一、情境引入5月31日是世界无烟日。

有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。

这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看一下问题：某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了9965个人，其中吸烟者2148人，不吸烟者7817人。

调查结果是：吸烟的2148人中有49人患肺癌，2099人未患肺癌；不吸烟的7817人中有42人患肺癌，7775人未患肺癌。

问题：根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”？二、学生活动【自主学习】（1）将上述数据用下表（一）来表示：不患肺癌患肺癌总计不吸烟吸烟总计（2）估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异：在不吸烟者中患肺癌的人约占多大比例？；在吸烟的人中患肺癌的人约占多大比例？ 。

问题：由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关？把握有多大？ 【合作探究】1、观察、分析样本数据的列联表和柱形图、条形图，你能得出什么结论？2、该结论能否推广到总体呢？3、假设0H ：患肺癌与吸烟没有关系。

则两事件发生的概率有何关系？不患肺癌患肺癌 总计 不吸烟 a b a+b 吸烟 c d c+d 总计 a+cb+da+b+c+d何结论？4、构造随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++），结合3中结论，若0H 成立，则K 2应该很 (大、小)根据表(一)中的数据，利用4中公式，计算出K 2的观测值，该值说明什么？（统计学中有明确的结论，在0H 成立的情况下，P(K 2≥6.635)≈0.01。

）5、结合表（二）和三维柱形图、二维条形图如何判断两个分类变量是否有关系？利用独立性检验呢？二者谁更精确？ 【当堂检测】在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？学校：二中 学科：数学 编写人： 游恒涛 审稿人:马英济3.2.2独立性检验的基本思想及其初步应用教学目标通过对典型案例的探究，进一步巩固独立性检验的基本思想、方法，并能运用K 2进行独立性检验．教学重点：独立性检验的基本方法 教学难点：基本思想的领会及方法应用 教学过程 一．学生活动练习：（1）某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？女教授人数，男教授人数，女副教授人数，男副教授人数。

（2）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到 K 2250(1320107) 4.84423272030⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵K 2 3.841≥，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 ．（答案：5%）P （K 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 k 02.7063.8415.0246.635二．数学运用例1 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表： 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总 计 男 37 85 122 女 35 143 178 总 计72228300由表中数据计算得到K 的观察值 4.514k ≈. 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？为什么？ （学生自练，教师总结）强调：①使得2( 3.841)0.05P K ≥≈成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果这个前提不成立，上面的概率估计式就不一定正确； ②结论有95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义；③在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算2K 的值解决实际问题，而没有必要画相应的图形，但是图形的直观性也不可忽视.例2、为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示。

根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？专业性别非统计专业 统计专业男13 10 女7 20有效无效合计口服58 40 98 注射64 31 95合计122 71 193分析：在口服的病人中，有5859%98≈的人有效；在注射的病人中，有6467%95≈的人有效。

从直观上来看，口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异，能否认为用药效果与用药方式一定有关呢？下面用独立性检验的方法加以说明。

说明：如果观测值K2≤2.706，那么就认为没有充分的证据显示“A与B有关系”，但也不能作出结论“H成立”，即A与B没有关系小结：独立性检验的方法、原理、步骤三、巩固练习：某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？不健康健康总计不优秀41 626 667优秀37 296 333总计78 922 10003.2.2独立性检验的基本思想及其初步应用学习目标通过对典型案例的探究，进一步巩固独立性检验的基本思想、方法，并能运用K 2进行独立性检验．学习重点：独立性检验的应用 学习过程 一．前置测评（1）某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？ 。