高中数学导学案独立性检验的基本思想及其初步应用

3. 2.1独立性检验的基本思想及其初步应用

教学目标

（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求22

列联表）的基本思想、方法及初步应用；

（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。

教学重点：独立性检验的基本方法

教学难点：基本思想的领会及方法应用

教学过程

一、问题情境

5月31日是世界无烟日。有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看一下问题：

某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了9965个人，其中吸烟者2148人，不吸烟者7817人。调查结果是：吸烟的2148人中有49人患肺癌，2099人未患肺癌；不吸烟的7817人中有42人患肺癌，7775人未患肺癌。

问题：根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”？

二、学生活动

（1）引导学生将上述数据用下表（一）来表示：（即列联表）

不患肺癌患肺癌总计

不吸烟7775 42 7817

吸烟2099 49 2148

总计9874 91 9965

（2）估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异：

在不吸烟者中，有42

7817

≈0.54％的人患肺癌；

在吸烟的人中，有

49

2148

≈2.28％的人患肺癌。

问题：由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关？把握有多大？

三、建构数学

1、从问题“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表，柱形图和条形图的展示，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系。但这种结论能否推广到总体呢？要回答这个问题，就必须借助于统计理论来分析。

2、独立性检验：

（1）假设

H：患肺癌与吸烟没有关系。即：“吸烟与患肺癌相互独立”。用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则有P(AB)=P(A)P(B)

若将表中“观测值”用字母代替，则得下表（二）：

患肺癌未患肺癌合计

吸烟 a b b a + 不吸烟 c

d d c + 合计

c a +

d b +

d c b a +++

学生活动：让学生利用上述字母来表示对应概率，并化简整理。

思考交流：||ad bc -越小，说明患肺癌与吸烟之间的关系越 （强、弱）？

（2）构造随机变量2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）

由此若0H 成立，即患肺癌与吸烟没有关系，则K 2

的值应该很小。把表中的数据代入计算得

K 2

的观测值k 约为56.632，统计学中有明确的结论，在0H 成立的情况下，随机事件P(K

2

≥6.635)≈0.01。由此，我们有99%的把握认为0H 不成立，即有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关系”。

上面这种利用随机变量K 2

来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。

说明：估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异是用频率估计概率，利用K 2

进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，观测数据,,,a b c d 取值越大，效果越好。在实际应用中，当,,,a b c d 均不小于5，近似的效果才可接受。

（2）这里所说的“患肺癌与吸烟有关系”是一种统计关系，这种关系是指“抽烟的人患肺癌的可能性（风险）更大”，而不是说“抽烟的人一定患肺癌”。

（3）在假设0H 成立的情况下，统计量K 2

应该很小，如果由观测数据计算得到K 2的观测值

很大，则在一定程度上说明假设不合理（即统计量K 2

越大，“两个分类变量有关系”的可能性就越大）。

3、对于两个分类变量A 和B ，推断“A 和B 有关系”的方法和步骤为：

①利用三维柱形图和二维条形图； ②独立性检验的一般步骤：

第一步，提出假设0H ：两个分类变量A 和B 没有关系； 第二步，根据2×2列联表和公式计算K 2

统计量； 第三步，查对课本中临界值表，作出判断。 4、独立性检验与反证法：

反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立； 独立性检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就

推断这个假设不成立。

四、数学运用

例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？

① 第一步：教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶与患心脏病有

关”的结论；

第二步：教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得到的统计结果；

第三步：由学生计算出2

K的值；

第四步：解释结果的含义.

②通过第2个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据表明可以进行这种推广.

变式练习：课本P97练习

【板书设计】：

【作业布置】：课本P97习题3.2第1题