2010高三数学一轮复习幂函数

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高考数学一轮复习 13课时幂函数

③ 如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是坐
标原点.
④ 的正负： 0 时，图像过 0, 0 和 1,1 ，在第一
象限的图像上升； 0 时，图像不过原点，在第一象限
的图像下降；
⑤曲线在第一象限的凹凸性： 1 时，曲线下凹；
不会学会，会的做对.
79
没有不会做，只有没努力！
Go the distance
函数
y x
y x2
y x3
1
y x2
是常数，如 .
y x1
y
y
y
y
y
图像
Ox
Ox
Ox
Ox
Ox
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
3. 同一坐标系中五种幂函数的图像（右下图）：
4. 幂函数的特点：
① 幂函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出
现在第四象限，是否出现在第二、三象限，要看函
数的奇偶性；
② 幂函数的图像最多只能出现在两个象限内；
问题 3． 1 下列说法正确的是
A. 幂函数一定是奇函数或偶函数 B. 任意两个幂函数的图像都有两个以上交点； C. 如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个幂函数相同
D. 图像不经过 1,1 的幂函数一定不是偶函数
2 已知幂函数 f (x) 的图象过点
2,2
,幂函数
g(
x)
的图象过点
2,
1 4
，
求它们的解析式，并比较它们的大小.
不会学会，会的做对.
81
没有不会做，只有没努力！
Go the distance
问题 4． 1 幂函数的图象过点 3, 3 ，则它的单调增区间是

(完整版)高考数学第一轮复习幂函数与二次函数

∴2m=0,∴m=0.
则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.
3.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象，则解
析式中指数k的值依次可以是( )
(A) 1, 1 ,3
2
(C) 1 , 1,3
2
(B) 1,3, 1
2
(D) 1 ,3, 1
2
【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3，则
k1<0,0<k2<1,k3>1,故选A.
4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数，则实数 a的取值范围是______. 【解析】二次函数f(x)的对称轴是x=1-a, 由题意知1-a≥3,∴a≤-2. 答案：(-∞,-2]
5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若f(x)<0的解集为R，则实数m的取
(A)a>0,4a+b=0
(B)a<0,4a+b=0
(C)a>0,2a+b=0
(D)a<0,2a+b=0
(2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. ①当a=-2时,求f(x)的最值； ②求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数； ③当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
【解析】设f(x)=xn,则 3 ( 3 )n ,
3
即
3
1n
32
,
1
n
1, n
2,f
x
x 2 .
2
2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5,-3)

高三数学幂函数

2 1 0 0 1 2

图象性质应用（奇偶性和单调性）
例3、试解下列各题 1
1.画出幂函数 y x 3的图象，并指出它
的单调性
2.比较下列各组数的大小.
(1) 1.5 ,1.7 ,1 (2) ( 2) ,( 3) ,( 5)
3 7 3 7 3 7
1 3
1 3
课堂探究
（1）若(a+1)-2>(3-2a)-2，求实数a 的取值范围。 2-2m-3 m （2）已知幂函数y=x （m∈N) 的图像与x轴、y轴都没有公共点，且关于y轴对称，求m的值。
1 n取 2 ，四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n 2
依次为
(A) 2, 1 1 , ,2 2 2 1 1 (B) 2, , , 2 2 2 1 1 (C) , 2,2, 2 2 (D) 2, 1 1 , 2, 2 2
；https:/// 配资配资门户； 2019.1 ；
小结：
• 1.学习了幂函数的概念； • 2.利用“还原根式”求幂函数定义域的方法； • 3.利用幂函数在第一象限内的图象特征，并会根据奇偶性完成整个函数的图象。 • 4.利用函数的单调性比较几个 “同指数不同底数”的幂的
课后再探究
整数m, n的奇偶性与幂函数 y x (m, n Z , 且m, n互质)的定义域以及奇偶性有什么关系？
2
1
观察（一）
3
yx
3
yx
2
2
1
0 0 1 2 3
观察（二）
3
2
yx yx
1 2
1 3
1
0 0 1 2 3
观察（三）
3
2

高三数学第一轮复习幂函数

高三数学第一轮复习：幂函数重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．考纲要求：①了解幂函数的概念；②结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x=====的图像，了解他们的变化情况．知识梳理：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点；在(0,)+∞上是函数.（2）当0α<时，图象过定点；在(0,)+∞上是函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α . 诊断练习：1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域是3．函数y ＝52x 的单调递减区间为 4．函数y ＝221m mx －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _．范例分析：例1比较下列各组数的大小：（1）1.531，1.731，1；（22）32-，（－107）32，1.134-；（3）3.832-，3.952，（－1.8）53；（4）31.4，51.5.例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．例3幂函数273235()(1)t t f x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.反馈练习：1．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 .2．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.3．幂函数的图象过点(2,14), 则它的单调递增区间是．4．设x ∈(0, 1)，幂函数y ＝ax 的图象在y ＝x 的上方，则a 的取值范围是．5．函数y ＝34x -在区间上是减函数．6．一个幂函数y ＝f (x )的图象过点(3, 427),另一个幂函数y ＝g (x )的图象过点(－8, －2),(1)求这两个幂函数的解析式；（2）判断这两个函数的奇偶性；（3）作出这两个函数的图象，观察得f (x )< g (x )的解集.巩固练习1．用“<”或”>”连结下列各式：0.60.32 0.50.32 0.50.34， 0.40.8- 0.40.6-． 2．函数1322(1)(4)y x x --=-+-的定义域是3．942--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 . 4．已知3532x x >，x 的取值范围为5．若幂函数ay x =的图象在0<x<1时位于直线y=x 的下方，则实数a 的取值范围是6．若幂函数()f x 与函数g(x)的图像关于直线y=x 对称，且函数g(x)的图象经过,则()f x 的表达式为7. 函数2()3x f x x +=+的对称中心是，在区间是函数（填“增、减”）8．比较下列各组中两个值的大小33221.3 1.30.30.35533(1)1.5 1.6(2)0.60.7(3)3.5 5.3(4)0.18.15----与与与与09．若3131)23()2(---<+a a ，求a 的取值范围。

高考数学一轮复习讲义第13课时幂函数理

课题：幂函数考纲要求：① 了解幂函数的概念.② 结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x=====的图像，了解它们的变化情况.教材复习1.形如的函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数，如x y x =，2321,,2,x y x y x y y x====，32y x =其中是幂函数的有 .4.幂函数的特点：① 幂函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；② 幂函数的图像最多只能出现在两个象限内；③ 如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点.④α的正负：0α>时，图像过()0,0和()1,1，在第一象限的图像上升；0α<时，图像不过原点，在第一象限的图像下降；⑤曲线在第一象限的凹凸性：1α>时，曲线下凹；01α<<时，曲线上凸；0α<时，曲线下凹.5.在比较幂值大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助单调性进行比较. 典例分析：题型一：幂函数的概念及解析式问题1．()1下列函数是幂函数的序号是①2xy =；②12y x -=；③()22y x =+；④y =；⑤y=()2已知幂函数()y f x =的图像经过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则(2)f =.A 14.B 4.C 2.D题型二：幂函数图像与解析式的对应问题2．()1如图给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是.A ①13y x =，②2y x =，③12y x =，④ 1y x -= .B ①3y x =，②2y x =，③12y x =，④ 1y x -=.C ①2y x =，②3y x =，③12y x =，④ 1y x -=.D ①13y x =，②12y x =，③2y x =，④ 1y x -=()2函数,,a b c y x y x y x ===的图像如右上图所示，则实数,,a b c 的大小是.A c b a << .B a b c << .C b c a << .D c a b <<()3（2013上海春）函数12()f x x-=的大致图像是()4幂函数223m m y x --= ()m Z ∈的图像如图所示，则m 的值是.A 13m -<< .B 0 .C 1 .D 2()5若幂函数()22233m m y m m x --=-+的图像不经过原点，求实数m 的值.()6当()1,x ∈+∞时，函数a y x =的图象恒在直线y x =的下方，则a 的取值范围是.A 01a << .B 0a < .C 1a < .D 1a >题型三：幂函数的性质及应用问题3．()1下列说法正确的是.A 幂函数一定是奇函数或偶函数.B 任意两个幂函数的图像都有两个以上交点；.C 如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个幂函数相同 .D 图像不经过()1,1-的幂函数一定不是偶函数()2已知幂函数()f x 的图象过点)2,幂函数()g x 的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，求它们的解析式，并比较它们的大小.问题4．()1幂函数的图象过点(，则它的单调增区间是.A [)1,+∞ .B [)0,+∞ .C ),-∞+∞ .D (),0-∞()2设2535a ⎛⎫=⎪⎝⎭，3525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2525c ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 .A a c b >> .B a b c >> .C c a b >> .D b c a >>()3已知幂函数223()m m f x x--=()*m N ∈的图像关于y 轴对称，且在()0,+∞是减函数，求满足()()33132m m a a --+<-的a 的取值范围.课后作业：1. （2013黄冈中学月考）右图为幂函数n y x =在第一象限的图像，则1c 、2c 、3c 、4c 的大小为2.幂函数()22122mm y m m x +-=--,当()0,x ∈+∞时为减函数，则实数m 的值为.A 1m =- .B 3m = .C 1m =-或2m = .D 1m ≠+3.设1111222ba⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不等式成立的是.A a b a a a b << .B a a b a b a << .C b a a a a b << .D b a a a b a << 4.设0.30.2a =，0.30.3b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系是 .A a b c >> .B a b c << .C a c b << .D b a c << 5.(2012杭州模拟)若()()1122132a a --+<-，求a 的取值范围.走向高考：1.（07广东）若函数3()f x x =()x R ∈，则函数()y f x =-在其定义域上是.A 单调递减的偶函数 .B 单调递减的奇函数 .C 单调递增的偶函数.D 单调递增的奇函数2.（2012陕西文）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 .A 1y x =+ .B 2y x =- .C 1y x= .D ||y x x = 3.（2012广东文）下列函数为偶函数的是.A sin y x = .B 3y x = .C x y e = .D y =中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

高考数学一轮复习幂函数

（
）
答案：（1）×
（2）当n＞0时，幂函数y＝xn在（0，＋∞）上是增函数. （
）
答案：（2）√
（3）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
（
）
答案：（3）√
目录
2.若幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y＝f（x）的大致图象是
（
）
解析：C 设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f（x）的图象过点（4，
目录
⁠
幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论
（1）恒过点（1，1）；
（2）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函
数值越大.
目录
⁠
1
2
函数y＝－1的图象大致是
（
1
2
）
1
2
解析：A 由结论知，函数y＝的图象恒过点（1，1），则y＝－1的图象过
点（1，0）且为增函数.故选A.
解析：设f（x）＝xα，则4α＝，所以α＝－ .因此f（x）＝ 2 ，从而 2 ＝4（a
2
2
1
1
−
2
＋3) ，解得a＝ .
5
1
答案：
5
目录
9.已知幂函数f（x）的部分对应值如下表：
x
1
1
2
f（x）
1
2
2
则不等式f（｜x｜）≤2的解集是
解析：设幂函数为f（x）＝xα，则
.
⁠
1
1
2
1
＝，∴α＝，∴f（x）＝ 2 ，不等式f
奇
函数
⁠
函数
⁠
（－∞，0]

4、高三一轮复习：幂指对函数

k < 1幂函数【知识要点】一、幂函数的定义：形如k x y =（k 为常数，∈k Q ）的函数叫做幂函数。

二、幂函数在第一象限的图像：【注】掌握幂函数在第一象限的图像，并据此结合定义域和奇偶性即可画出幂函数的图像。

三、幂函数的性质：1、幂函数在第一象限必有图像，在第四象限没有图像；2、幂函数恒过定点)1,1(；当0>k 时，幂函数还过定点)0,0(；3、当0>k 时，幂函数在),0[∞+单调递增；当0<k 时，幂函数在),0(∞+单调递减；反之亦然。

【例题解析】1、画出下列幂函数的大致图像：（1）21x y =；（2）4x y =；（3）31x y =；（4）3-=x y ；（5）32x y =；（6）2-=x y ；（7）21-=x y ；（8）23x y =；（9）3x y =。

2、判断下列命题的真假：（1）幂函数0x y =的图像是一条直线；（×）（2）幂函数的图像与坐标轴至多一个交点；（√）（3）幂函数要么是奇函数，要么是偶函数；（×）（4）若一个幂函数是奇函数，则它必经过原点；（×）（5）若一个幂函数是奇函数，则它在定义域内单调递增；（×）（6）如果一个幂函数的图像不经过)1,1(-，则它一定不是偶函数；（√）（7）如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个函数一定相同；（8）任何两个不同的幂函数的图像最多有三个交点。

（√）3、已知函数a x y =（∈a Q ）的图像当10<<x 时在直线x y =的上方，当1>x 时在直线x y =的下方，则a 的取值范围是}1|{Q ∈<a a a 且。

4、已知幂函数)237(3251)1(t t x t t y -+⋅+-=（∈t Z ）是偶函数，且在区间),0[∞+单调递增，求整数t 的值。

【解】由题意得：113=+-t t ，解得：0=t 或1=t 或1-=t ；当0=t 时，57x y =不是偶函数，所以0=t 不满足题意；当1=t 时，58x y =是偶函数，所以1=t 满足题意；当1-=t 时，52x y =是偶函数，所以1-=t 满足题意。

高考数学一轮复习教案第10课幂函数

一、教学目标1．了解幂函数的概念，会画出幂函数2132,1,,,x y xy x y x y x y =====的图象，根据上述幂函数的图象的变化情况，了解幂指数对函数图象的影响；2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式的值的大小； 3．进一步体会数形结合的思想．二、基础梳理热身训练1．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,2,1,21,1a ，则使函数a x y =为奇函数且定义域为R 的所有a 的值为______.（答案：1,3）【教学建议】本题是2007年山东卷（理）的改编题，主要是帮助学生复习、理解幂函数的概念，以及巩固函数定义域和奇偶性的相关知识点.教学时，可先简单回顾这5种幂函数的图象，然后引导学生观察图象可知，当1=a 或3时，函数ax y =为奇函数且定义域为R .2．下列命题中正确的有_________.（参考答案：②⑤）①幂函数的图象都经过点（1,1）和点（0,0）；②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当0=n 时，函数nx y =的图象是一条直线；④幂函数nx y =，当0>n 时是增函数； ⑤幂函数nx y =，当0<n 时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小. 【教学建议】本题主要是复习、巩固幂函数的图象。

通过该题，可以帮助学生理解幂函数图象的简单性质。

教学时可这样设计：在上面第1题的基础上，结合图象，由幂函数的性质知，①和④错误，②和⑤正确.又当0=n 时，函数nx y =中0≠x ，故其图象是一条去掉点（0,1）的直线，故③错误. 三、诊断练习1．教学处理：本课内容难度不大，课前要求学生先预习，然后抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误，几个常见幂函数的图象可让学生上黑板画，教师给予必要的指导即可。

2．诊断练习点评题1．比较下列各组数的大小：（1）35352.4-_____4.2-）（；（2）21--65）（ 21--54）（；（3）3132)5_____()(π-. 【分析与点评】本题选自教材，让学生巩固幂函数的单调性，会比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小.观察知，这3小题均是此情形.在课堂上，可根据学情，灵活安排讲评策略，可采取数形结合的方式讲解. 题2．若幂函数(,)ny mx m n R =∈的图象经过点(18,4),则n =_____________. 【分析与点评】此题中，隐含条件是当1m =，这是幂函数的定义，代入时注意底数是自变量x . （参考答案：23-）题3. 给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________．答案：①④⑤ 【分析与点评】本题主要是复习、巩固幂函数的图象。

【走向高考】高三数学一轮复习 25幂函数课件北师大

2022/1/172022/1/17
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[答案] B
4．下列命题：
①幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图像不可能在第四象限；
③n＝0时，函数y＝xn的图像是一条直线；
④幂函数y＝xn，当n>0时是增函数；
⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x
值的增大而减小
在(0，＋∞)上单调递减，说明指数为负，故应从指数小于
0入手求解．
[解析] ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3. ∵m∈N＋，∴m＝1,2. 又函数图像关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.
其中正确的是Leabharlann ()A．①④B．④⑤
C．②③
D．②⑤
[答案] D
[解析] y＝xα在α<0时，图像不过(0,0)，故①错，n ＝0时，y＝x0表示除去(0,1)点的直线，故③错；y＝xn，在 n>0时是增函数没有指明单调区间，如y＝在(－∞，0)上是增函数是错误的，由幂函数的图像性质知②⑤正确．
5．已知点 33，3 3在幂函数 f(x)的图像上，则 f(x)是 __________函数(填“奇”或“偶”)．
当p＝0或2时，f(x)＝x3不是偶函数；
当p＝1时，f(x)＝x4是偶函数，∴p＝1，此时f(x)＝x4.
已知幂函数y＝
∈N＋)的图像关于y轴
对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－<(3－2a)
－的a的范围．
[分析] 先根据条件确定m的值，再利用幂函数的单

高三数学一轮复习知识点专题2-4二次函数与幂函数

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题2-4二次函数与幂函数【核心素养分析】1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。

【重点知识梳理】知识点一幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 知识点二二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质【特别提醒】1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.【典型题分析】高频考点一幂函数的图象与性质例1.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.【答案】－1【解析】由题意知α可取－1，1，3.又y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数， ∴α<0，取α＝－1.【方法技巧】(1)幂函数y ＝x α的形式特点是“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【变式探究】（2020·山东临沂一中质检）幂函数y ＝x (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3＜0，即－1＜m ＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．高频考点二求二次函数的解析式例2.（2020·河北衡水中学调研）已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 2-2-3mm法三：(利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【方法技巧】求二次函数解析式的策略（1）已知三点坐标，选用一般式（2）已知顶点坐标、对称轴、最值，选用顶点式（3）已知与x 轴两点坐标，选用零点式【变式探究】（2020·湖南湘潭二中模拟）已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.【答案】19x 2＋49x －59【解析】法一：(一般式)设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧－b2a＝－2，4ac －b24a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：(顶点式)设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1，将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.高频考点三二次函数的图象及应用例3.（2020·吉林长春实验中学模拟）对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()【答案】A【解析】若0<a<1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足.【方法技巧】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【变式探究】（2020·河南商丘一中模拟）已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()A BC D【答案】D【解析】A项，因为a＜0，－b2a＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．B项，因为a＜0，－b2a＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．C项，因为a＞0，－b2a＜0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．D项，因为a＞0，－b2a＞0，所以b＜0，因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故选D。

高三数学第一轮复习 07：幂函数

高三数学第一轮复习07幂函数·知识梳理·模块01：幂函数的定义与图像1、定义：当指数a 固定，等式ay x =确定了变量y 随变量x 变化的规律，称为指数为a 的幂函数。

使得ax 有意义的x 的取值范围，称为此幂函数的定义域.幂函数的定义域可以是不同的的，它与指数a 的值有关．注意：幂函数的底数是变量x ，系数是1，a R ∈。

2、幂函数的图像①当21()a n n Z =+∈时，ay x =的图像关于原点成中心对称；当2()a n n Z =∈时，ay x =的图像关于y 轴对称；②nmy x ==，当n 是偶数，m 是奇数时，nm y x =的图像关于y 轴对称；当n 是奇数，m 是奇数时，n m y x =的图像原点成中心对称；当n 是奇数，m 是偶数时，n m y x =只在第一象限有图像(指数大于0时，加上原点)。

模块02：幂函数的性质1、当0a >时，幂函数ay x =有下列性质：①图像都通过点(0,0),(1,1)；②在区间(0,)+∞上严格递增；③在第一象限内，1a >时，图像是向下凸的上升曲线；当01a <<时，图像是向上凸的上升曲线．2、当0a <时，幂函数a y x =有下列性质：①图像都通过点(1,1)；②在区间(0,)+∞上严格递减，图像是向下凸的下降曲线．（在第一象限内||a 越大，图像下落的速度越快）[注意]无论a 取任何实数，幂函数ay x =的图像必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

模块03：函数图像变换1、平移变换（左＋右－，上＋下－）①()()0y f x a a =±>的图象，由()y f x =的图象沿x 轴方向向左(a +)或向右(a -)平移a 个单位得到；②()()0y f x b b =±>的图象，由()y f x =的图象沿y 轴方向向上(b +)或向下(b -)平移b 个单位得到。

高三数学一轮复习讲义幂函数与双曲线函数

高三第一轮复习讲义幂函数与双曲线函数一、知识梳理： 1. 幂的有关概念(1) 正整数指数幂: ()n n a a a a n *=⋅⋅⋅∈L ?14243个; (2) 零指数幂: 0a =_____________(其中__________);(3) 负整数指数幂: p a -=_______________(其中0a ≠, p *∈¥);(4) 分数指数幂: nma =______________(其中,m n *∈¥, 且m , n 既约).2. 幂的运算性质(1) m n a a ⋅=_____________(0a >, ,m n ∈¡); (2) ()m n a =_____________(0a >, ,m n ∈¡); (3) ()m ab =_____________(0, 0a b >>, m ∈¡).3. 幂函数的概念、图像与性质幂函数的定义形如k y x =, k 为常数, k 为有理数的函数叫做幂函数.幂函数2y x -= 1y x -=12y x -=13y x =图像幂函数12y x =y x =2y x = 3y x = 图像10a ≠1pa m n a m na +mn a m m a b4. 函数(0)ay x a x=+>的图像与性质函数在区间(0,)+∞部分函数的图像如右图所示, 它是一条双曲线. 主要性质如下:(1) 定义域:________________; (2) 奇偶性: ______________; (3) 单调性: 在(0,)+∞中, 在区间上单调递减, 上单调递增;(4) 值域与最值: 在(0,)+∞上时, 函数值的取值范围是当时, 取到5. 函数(0)ay x a x=+<的图像与性质函数在区间(0,)+∞部分函数的图像如右图所示, 它是一条双曲线. 主要性质如下:(1) 定义域: ________________;(2) 奇偶性: ______________; (3) 单调性: 在_________________________单调递增; (4) 值域与最值: _________________________________; (5) 零点二、基础检测：1. 幂函数()y f x =的图像经过点, 则(8)f =_________.2. 下列函数中, 既是偶函数又是(0,)+∞上的增函数的是答 [ ] A. 43y x =B. 32y x =C. 2y x -= D. 14y x -= 3. 下列命题中, 正确的是答 [ ]A. 当0k =时, 函数k y x =的图像是一条直线奇函数奇函数(,0)-∞与(0,)+∞上分别值域为¡, 无最值 (,0)(0,)-∞⋃+∞(,0)(0,)-∞⋃+∞)+∞)+∞x =x =B. 幂函数的图像都经过点(0,0)和(1,1)C. 当0k <时且k y x =是奇函数时, k y x =是减函数D. 幂函数的图像不可能过第四象限4. 函数2, [1,2]y x x x=+∈的值域是______________.5. 函数21y x x =+-在定义域(1,]a 上的最小值是22+1, 则实数a 的取值范围是_______________.6. 函数(0)cy x c x=+≠在[2,)+∞上单调递增, 则实数c 的取值范围是________________.三、例题精讲：【例1】将下列函数图像的标号, 填入相应函数后面的横线上.(1)32y x =: _________; (2)43y x =: _________; (3)53y x =: _________; (4)23y x -=:_________.【例2】已知函数221()m my m x ---=∈¢在区间(,0)-∞上是减函数, 求m 的最大值.解: 即考虑函数22(0)mm y x x +-=≠,若函数是奇函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递减, 则有220(2,1)m m m +-<⇒∈-,当1m =-时, 222m m +-=-, 是偶函数, 不合题意;若函数是偶函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递增, 则有220(,2)(1,)m m m +->⇒∈-∞-⋃+∞, 当3m =-时, 224m m +-=, 是偶函数, 符合题意; 综上所述, m 的最大负整数值为3-.A B C D【例3】已知函数23y x -=．（1）画出它的图像；（2）判断它的奇偶性；（3）写出它的单调区间．解：（1）(2) ()f x 是偶函数； (3) 23y x -=在(),0-∞是增函数，()0,+∞是减函数．【例4】已知幂函数()()21322p p Z f x xp -++=∈在()0,+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数．解：因为()()21322p p f x xp Z -++=∈在()0,+∞是增函数，所以213022p p -++>，即2230p p --<，解得13p -<<，所以p =0、1、2．当p =0时，32y x =不是偶函数，故p =0舍去；当p =1时，2y x =是偶函数，故p =1符合题意；当p =2时，32y x =不是偶函数，故p =2舍去．综上p =1，()2y f x x ==．【例5】已知()()22k k x k Z f x -++=∈满足()()23f f <．（1）求k 的值；（2）是否存在正数m ，使()()()[]121,1,2g x mf x m x x =-+-∈-的值域为174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦？若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由．解：（1）由()21924k f x x⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=且()()23ff <，知()f x在()0,+∞上单调递增，故220k k -++>，12k -<<因此1k =或0；（2）()2f x x =，()()[]2222141121,1,224m m g x mx m x m x x m m -+⎛⎫=-+-=--+∈- ⎪⎝⎭，对称轴为112x m =-，则1122m-≥，得12m ≤-，与0m >矛盾，所以m 不存在．【例6】设01a b c d <<<<<，正数,,,m n k r 满足：01a b c dm n k r <===<，则,,,,1m n k r 之间的大小关系为________________。

高考数学一轮复习---幂函数知识点与题型

高考数学一轮复习---幂函数知识点与题型一、基础知识1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质R R R{x|x≥0}{x|x≠0}二、常用结论对于形如f(x)＝x nm(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．三、考点解析考点一幂函数的图象与性质例、(1)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，33)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x23－n n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1 C．2 D．1或2[解题技法]幂函数y＝xα的主要性质及解题策略：(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．跟踪训练1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为()A．y＝x－4B．y＝x－1 C．y＝x2D．y＝x 1 32.已知当x∈(0,1)时，函数y＝x p的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．考点二比较幂值大小例、若a＝3221⎪⎭⎫⎝⎛，b＝3251⎪⎭⎫⎝⎛，c＝3121⎪⎭⎫⎝⎛，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 跟踪训练1．若a＝5253⎪⎭⎫⎝⎛，b＝5352⎪⎭⎫⎝⎛，c＝5252⎪⎭⎫⎝⎛，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a2．若(a＋1)12<(3－2a)12，则实数a的取值范围是________．课后作业1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( )A ．4 B.2 C ．22 D ．1 2．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( )A ．1B ．2 C.12 D ．－13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3 4．已知幂函数f (x )的图象过点⎪⎭⎫⎝⎛412，，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6 5．幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x23－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3 6．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b 7．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x <z <yB ．y <x <zC ．y <z <xD ．z <y <x 8．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]9．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则)91(f ＝________.10．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________． 11．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________． 12．已知幂函数f (x )＝x 12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．13．已知幂函数f (x )＝x()21－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．(1)试确定m 的值；(2)求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．。

高三第一轮复习幂函数

对数与对数函数幂函数【提纲挈领】主干知识归纳1. 定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．2. 幂函数的常见5种形式的图象与性质：3. 幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②幂函数的图象过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．方法规律总结1. 可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；2. 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.3. 二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.【指点迷津】【类型一】幂函数的图象和性质【例1】：已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点12⎛ ⎝⎭，，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 【解析】：由幂函数的定义知k ＝1.又12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12α⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得α＝21，从而k ＋α＝23. 答案：C【例2】：已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)·x －5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.【解析】：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)·x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. 答案：－1【例3】：若11222()( 211)m m m >＋＋－，则实数m 的取值范围是( )A.⎛-∞⎦⎝ B.⎫∞⎪⎪⎢⎭⎣+ C ．(－1,2) D.⎫⎪⎪⎢⎭⎣2 【解析】：因为函数y ＝12x 的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于22 21102110.m m m m m m >≥⎧⎪≥⎨⎪⎩＋＋－＋＋－，，,≤m <2.答案：D【类型二】二次函数的图象与性质【例1】：已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]，(1)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．【解析】：(1)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的图象的对称轴为x ＝－22a＝－a ， ∴要使f (x )在[－4,6]上为单调函数，只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6. 故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． (2)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3=2223(1)2,023(1)2,0x x x x x x x x ⎧=++≤⎪=⎨=-+>⎪⎩22+-＋＋其图象如图所示．又∵x ∈[－4,6]，∴f (|x |)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数．【例2】：若函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围. 【解析】：作出函数y ＝x 2－2x ＋3的图象如图.由图象可知，要使函数在[0，m ]上取得最小值2，则1∈[0，m ]，从而m ≥1，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝3，所以要使函数取得最大值为3，则m ≤2，故所求m 的取值范围为[1，2].【例3】：已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．【解析】：(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.[2分](2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a. ①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在[0，1a ]上递减，在[1a，1]上递增． ∴f (x )min ＝f (1a)＝－1a. ②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝2,11, 1.a a a a-<⎧⎪⎨-≥⎪⎩【例4】：已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．【解析】：2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立．当x ＝0时，适合；当x ≠0时，a <23111236x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是12⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-，.答案：12⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-，【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1.一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象可能是()【解析】：若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，则－b2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴右侧，故应排除B ，故选C.答案：C2.若a ＜0，则0.5a ，5a ，5－a的大小关系是( )A.5－a ＜5a ＜0.5a B.5a ＜0.5a ＜5－a C.0.5a ＜5－a ＜5a D.5a ＜5－a ＜0.5a【解析】：5－a＝()15a，因为a ＜0时，函数y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－a .答案：B3.(2016·中山模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A.a ≥8B.a ≤8C.a ≥4D.a ≥－4【解析】：函数图象的对称轴为x ＝a 2，由题意得a 2≥4，解得a ≥8.答案：A4.若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( ) A.－b2aB.－b aC.cD.4ac －b 24a【解析】：∵f (x 1)＝f (x 2)且f (x )的图象关于x ＝－b 2a 对称，∴x 1＋x 2＝－ba .∴f (x 1＋x 2)＝f ()－b a ＝a ·b 2a2－b ·ba ＋c ＝c .答案：C5.如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A.f (－2)<f (0)<f (2) B.f (0)<f (－2)<f (2) C.f (2)<f (0)<f (－2)D.f (0)<f (2)<f (－2)【解析】：由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f (0)<f (2)<f (－2). 答案：D 二、填空题6.函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________.【解析】：令x ＝t ，则x ＝t 2(t ≥0)，则y ＝－t 2＋t ＝－()t －122＋14，当t ＝12时，y max ＝14. 答案：147.当α∈{}－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限.【解析】：当α＝－1，1，3时，y ＝x α的图象经过第一、三象限；当α＝12时，y ＝x α的图象经过第一象限.答案：二、四8.已知函数f (x )是二次函数，不等式f (x )＞0的解集是(0，4)，且f (x )在区间[－1，5]上的最大值是12，则f (x )的解析式为________.【解析】：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x )＞0的解集是(0，4)，可知f (0)＝f (4)＝0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x ＝2，再由f (x )在区间[－1，5]上的最大值是12，可知f (2)＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （4）＝0，f （2）＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝12，c ＝0.∴f (x )＝－3x 2＋12x . 答案：f (x )＝－3x 2＋12x 三、解答题9.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]. (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数.【解析】：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1，2])，求函数g (x )的最小值. 【解析】：(1)f (x )在区间(－1，0)，(1，＋∞)上单调递增.(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x （x ＞0），x 2＋2x （x ≤0）.(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值.综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a （a ≤0），－a 2－2a ＋1 （0＜a ≤1），2－4a （a ＞1）.【二级目标】能力提升题组一、选择题1.设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0，1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，0]B.[2，＋∞)C.(－∞，0]∪[2，＋∞)D.[0，2]【解析】：二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0，1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)＜0，x ∈[0，1]，所以a ＞0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x ＝1.所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. 答案：D2.(2016·武汉模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋b (1＜a ＜3)，且x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则下列说法正确的是( ) A.f (x 1)＜f (x 2) B.f (x 1)＞f (x 2) C.f (x 1)＝f (x 2)D.f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定【解析】：f (x )的对称轴为x ＝－1，因为1＜a ＜3，则－2＜1－a ＜0，若x 1＜x 2≤－1，则x 1＋x 2＜－2，不满足x 1＋x 2＝1－a 且－2＜1－a ＜0；若x 1＜－1，x 2≥－1时，|x 2＋1|－|－1－x 1|＝x 2＋1＋1＋x 1＝x 1＋x 2＋2＝3－a ＞0(1＜a ＜3)，此时x 2到对称轴的距离大，所以f (x 2)＞f (x 1)；若－1≤x 1＜x 2，则此时x 1＋x 2＞－2，又因为f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，所以f (x 1)＜f (x 2). 答案： A 二、填空题3.关于x 的不等式ax 2－|x ＋1|＋3a ≥0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.【解析】：因为不等式ax 2－|x ＋1|＋3a ≥0的解集为(－∞，＋∞)，即ax 2－|x ＋1|＋3a ≥0在R 上恒成立，将参数a 分离得a ≥|x ＋1|x 2＋3＝|x ＋1|（x ＋1）2－2（x ＋1）＋4＝1|x ＋1|＋4|x ＋1|－2（x ＋1）|x ＋1|，因为|x ＋1|＋4|x ＋1|－2（x ＋1）|x ＋1|≥|x ＋1|＋4|x ＋1|－2≥2，所以|x ＋1|x 2＋3＝1|x ＋1|＋4|x ＋1|－2（x ＋1）|x ＋1|≤12，所以a ∈[)12，＋∞.答案：[)12，＋∞三、解答题4.已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (1)>0. (1)求证：－2<ba<－1；(2)若x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，求|x 1－x 2|的取值范围.【解析】：(1)证明当a ＝0时，f (0)＝c ，f (1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0，则f (0)·f (1)＝c (2b ＋c )＝－c 2<0与已知矛盾，因而a ≠0，则f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－(a ＋b )(2a ＋b )>0，即()b a ＋1()b a ＋2<0，从而－2<ba<－1. (2)解 x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝－2b3a ，x 1x 2＝－a ＋b 3a ，那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝()－2b3a2＋4×a ＋b 3a ＝49·()b a2＋4b 3a ＋43＝49()b a ＋322＋13.∵－2<b a <－1，∴13≤(x 1－x 2)2<49，∴33≤|x 1－x 2|<23，即|x 1－x 2|的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，23.【高考链接】1. (2012高考真题山东理)设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A.当0a<时，12120,0x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+< D. 当0a>时，12120,0x x y y +>+>【解析】：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当0<a 时，要想满足条件，则有如图,做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，同理当0>a时，则有0,02121>+<+y y x x ，故答案选B.另法：32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b =.不妨设12x x <，则223x b ==所以21()()(F x x x x =-，比较系数得1x -=，故1x =120x x +=，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B. 答案：B2. （2010辽宁文数）（4）已知0a>，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是（A ）0,()()x R f x f x ∃∈≤ （B ）0,()()x R f x f x ∃∈≥（C ）0,()()x R f x f x ∀∈≤ （D ）0,()()x R f x f x ∀∈≥【解析】：函数()f x 的最小值是0()()2bf f x a-=，等价于0,()()x R f x f x ∀∈≥，所以命题C 错误. 答案：C3. (2012高考真题福建理)对于实数a 和b ，定义运算“﹡”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________. 【解析】：由新定义得⎩⎨⎧>+-≤-=->--≤-⎩⎨⎧--------=0,0,21212112),1)(12()1(),1)(12()12()(2222x x x x x x x x x x x x x x x x x f ，所以可以画出草图，若方程m x f =)(有三个根，则410<<m ，且当0>x 时方程可化为02=-+-m x x ，易知m x x =32；当0≤x 时方程可化为022=--m x x ，可解得48111mx +-=，所以4811321mm x x x +-⋅=，又易知当41=m 时4811m m +-⋅有最小值，所以0481143141<+-⋅<-⨯mm ，即01631321<<-x x x . 答案：)0,1631(- 4.（2006年湖北卷）关于x 的方程()011222=+---k x x，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是（B ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【解析】：据题意可令21x t -=(0)t ≥①，则方程化为20t t k -+=②，作出函数21y x =-的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0<t<1时方程①有4个根；（3）当t=1时，方程①有3个根。

高三一轮复习二次函数与幂函数

(2)(2014· 杭州模拟 ) 若 (a ＋ 1) ________．解析令 f(x)＝x
<(3 － 2a)
，则 a 的取值范围是
1 ＝，则 f(x)的定义域是{x|x>0}，且在(0，＋ x
∞)上单调递减， a＋1>0， 2 3 则原不等式等价于3－2a>0，解得3<a<2. a＋1>3－2a，答案 2 3 (3，2)

2． (2014· 烟台调研)幂函数为 A．1 C．3
n
1 1 y＝f(x)的图象经过点4，2，则 f4的值
Байду номын сангаас
( B．2 D．4
)
1 B [设 f(x)＝x ，∵f(4)＝， 2 1 1 1n － ∴4 ＝2，f4＝4 ＝4 n＝2，故选 B.]
第六节
二次函数与幂函数

[主干知识梳理] 一、常用幂函数的图象与性质

1
y ＝x
y＝x
2
y＝x
3
y＝x
2
y＝x
－1
图象
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域奇偶性
R
奇增
{y|y≥0} 偶 (－∞，0]减， (0，＋∞)增
R
奇
{y|y≥0}
非奇非偶增
{y|y≠0} 奇 (－∞，0)和 (0，＋∞)减
单调性
公共点
增
(1，1)

二、二次函数 1．二次函数的定义形如 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的函数叫做二次函数． 2．二次函数解析式的三种形式 ax2＋bx＋c(a≠0) (1)一般式：f( )－＝； ax (x m)2＋n(a≠0) (2)顶点式：f(x) ； a＝ (x－x1)(x－x2)(a≠0) (3) 零点式： f(x) ＝．

高中数学一轮复习课件幂函数的图像和性质

总结归纳
及时总结归纳学习过程中的重点和难点，形成自己的学习笔记和心得体会，便于回顾和复习。
保持良好作息和心态，积极备战高考
合理安排时间
保证充足的睡眠和合理的饮食，保持良好的身体状态和精神状态
。
调整心态
保持积极乐观的心态，相信自己能够通过努力取得好成绩。遇到困难时，及时调整情绪，寻求帮
助和支持。
高中数学一轮复习课件幂函数的图像和性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 幂函数基本概念与性质 • 幂函数图像特征与绘制方法 • 幂函数在解决实际问题中应用 • 幂函数与其他类型函数关系研究 • 高考真题回顾与解题技巧总结 • 复习策略与备考建议
幂函数基本概念与
01
性质
幂函数定义及表达式
加强练习和反思总结是提高解题能力的关键。通过大量的练习可以加深对知识点的理解和记忆；通过反思总结可以发现自己的不足之处并加以改进。
复习策略与备考建
06
议
制定个性化复习计划，明确目标
分析自身情况
根据自己的数学基础、学习能力和时间安排，制定适合自己的复
习计划。
明确复习目标
确定自己在幂函数的图像和性质方面的学习目标，例如掌握基本概念、理解图像特征、熟练运用性质等。
03
幂函数与一次、二次函数的比较
虽然幂函数、一次函数和二次函数在形式上有所不同，但它们之间有着
密切的联系。在解决某些问题时，可以通过转化思想将它们相互转化，
从而简化问题的求解过程。
幂函数与指数、对数函数关系探讨
幂函数与指数函数
指数函数的底数a可以看作是幂函数的指数n，而指数函数的指数x则可以看作是幂函数的自变量。因此，指数函数和幂函数在形式上具有一定的相似性。

高考数学一轮复习幂函数课件理

二、填空题(每小题4分，共12分) 6．幂函数f(x)=(m2－5m+7)xm－2为奇函数，则m=____. 【解析】由f(x)=(m2－5m+7)xm－2为幂函数得： m2－5m+7=1，解得：m=2或m=3，又因为该函数为奇函数，所以m=3．答案:3
7．设a=(
2 3
)m，b=
m
3 2
，c=
【解析】选C.∵0<a<b<1，
∴0<a<b<11< <1 ，
ba
又∵f(x)= x在12 (0，+∞)上为增函数，
∴f(a)<f(b)<f(
)1b<f(
)．1
a
4．若幂函数f(x)的图象经过点(3，1 )，则其定义域为___.
9
【解析】设幂函数为y=xα，∵函数过点(3，1)，
9
∴ 1=3α，解得α=-2，f(x)=x-2，
象，如图所示：
x－2，
则有：h(x)=
x
2，
x－2，
x －1，－1 x＜0或0＜x 1，
x 1．
根据图象可知：函数的最大值等于1，单调递增区间是
(－∞，－1)和(0，1)，单调递减区间是(－1，0)和
(1，+∞).
【规律方法】解决与幂函数图象有关的问题，常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质，而与幂函数有关的函数的性质的研究，常利用其相应幂函数的图象，数形结合求解.
1
1
∴ x 3 ，y即3 D选项错误.
【方法技巧】比值大小的类型及方法 (1)关于同底数幂的大小比较，一般从指数函数的单调性方面考虑； (2)关于相同指数幂的大小比较，一般从幂函数的单调性方面考虑； (3)关于同底数的对数值的大小比较，一般从对数函数的单调性方面考虑； (4)关于同真数的对数值的大小比较，一般先应用换底公式，转换为同底数的对数值，从对数函数的单调性方面考虑.