高等数学-安大全套课件
高等数学完整全套教学课件
高等数学完整全套教学课件一、教学内容1. 极限与连续数列极限的定义及性质函数极限的定义及性质无穷小、无穷大的概念极限的运算法则函数在一点处的连续性定义函数在区间上的连续性2. 导数与微分导数的定义及几何意义基本导数公式高阶导数微分的定义及运算法则隐函数、参数方程函数求导3. 微分中值定理与导数的应用罗尔定理、拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必达法则泰勒公式函数的单调性、凹凸性、极值和最值二、教学目标1. 掌握极限、导数、微分等基本概念及其性质、运算法则。
2. 能够运用微分中值定理解决实际问题，分析函数的性质。
3. 培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学建模能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：极限、导数、微分等概念的理解；微分中值定理的应用。
2. 教学重点：极限、导数、微分的基本性质和运算法则；函数的单调性、凹凸性、极值和最值的求解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入通过实际案例，如物体的运动轨迹、温度变化等，引出极限、导数、微分等概念。
2. 例题讲解选取具有代表性的例题，详细讲解极限、导数、微分的基本性质和运算法则。
结合图形，解释函数的单调性、凹凸性、极值和最值的概念。
3. 随堂练习布置与例题难度相当的练习题，让学生巩固所学知识。
对学生进行个别辅导，解答疑问。
4. 课堂小结六、板书设计1. 极限、导数、微分的基本概念及性质。
2. 极限、导数、微分的运算法则。
3. 微分中值定理及其应用。
4. 函数的单调性、凹凸性、极值和最值。
七、作业设计1. 作业题目求下列函数的极限、导数、微分。
判断下列函数的单调性、凹凸性，并求极值、最值。
2. 答案详细的解答过程和答案。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生研究更高级的微积分概念，如泰勒级数、场论等。
鼓励学生参加数学竞赛、数学建模等活动，提高数学素养。
重点和难点解析1. 教学内容的布局与组织2. 教学目标的设定3. 教学难点与重点的识别4. 教学过程的实践情景引入5. 例题讲解的深度和广度6. 板书设计的清晰度与逻辑性7. 作业设计的针对性与答案的详细性8. 课后反思与拓展延伸的实际效果详细补充和说明：一、教学内容的布局与组织教学内容应遵循由浅入深、循序渐进的原则。
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多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
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h
lim f(0h)f(0)lim h 1,
h 0
h
h h 0
y y x
o
x
f(0h )f(0 ) h
lim
lim1.
h 0
h
h h 0
即 f (0 )f (0 ), 函y数 f(x)在 x0点不 . 可
四、导数的几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
4
4
2. 2
例3 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0连 点 . 续
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函 数 f(x)连 续 ,若f(x0)f(x0)则 称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
《高等数学课件PPT》-完整详细版
1
微积分基本定理
微积分基本定理的概念和推导，描述定积分和不定积分之间的关系。
2
带变限积分
带变限积分的计算方法和几何解释，通过例题演示如何求解带变限积分。
极限和连续
深入介绍极限和连续的概念、性质和运算法则，帮助学生理解和掌握这两个重要概念。
极限
数列极限和函数极限的定义和性质，常见的极限计 算方法和极限存在准则。
连续
函数连续的定义和判定条件，连续函数的性质和运 算法则。
函数及其图像
介绍函数的概念和性质，以及如何通过绘制函数图像来更好地理解函数。
函数
函数的定义、定义域、值域和性质，常见函数类型 和函数之间的关系。
图像
绘制函数图像的方法和技巧，通过观察图像认识函 数的特点和变化趋势。
导数和微分
介绍导数和微分的概念、性质和计算方法，以及它们在几何和物理中的应用。
1 导数
导数的定义和性质，导数的计算方法和常见 函数的导数公式。
2 微分
微分的概念和计算方法，微分在几何和物理 中的应用。
《高等数学课件PPT》-完整详 细版
一份完整详细的高等数学课件PPT，深入介绍高等数学的各个知识点，帮助 学生更好地理解和掌握这门重要学科。
课程目标和重要性
通过介绍高等数学课程的学习目标和重要性，帮助学生明确学习目标，激发学习兴趣，并认识到 高等数学在现实生活和学科发展中的广泛应用。
学习目标
深入理解高等数学的各个概念和方法，提高解决数学问题的能力。
不定积分与牛顿-莱布尼茨公式
深入研究不定积分的概念、性质和计算方法，以及牛顿-莱布尼茨公式的推导和应用。
1 不定积分
不定积分的定义和计算方法，常见函数的不 定积分公式。
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要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质，如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值，也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点，需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础，如物理学、工程学、经济学等， 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质，这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础，如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念，它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx，其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质，这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具，它可以通过不同的方式定义，如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质，这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。
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05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法
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导数的应用
第五章
函数的单调性和极值
导数与函数的单调性：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减
极值的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相反，则该点为函数的极 值点
极值的分类：极大值和极小值
极值的求解：通过求导数等于0的点，并判断该点两侧的导数符号，确定极值点
曲线的凹凸性和拐点
质。
定积分的应用： 定积分在物理、 工程、经济等 领域有着广泛 的应用，如计 算物体的质量、 体积、重心等。
定积分的计算 方法：常用的 定积分计算方 法有牛顿-莱布 尼茨公式、积 分表法、数值
积分法等。
定积分的运算和求法
定积分的定义： 对函数在某一区 间上的积分
定积分的性质： 线性性、可加性、 单调性等
导数：函数在某一点的切 线斜率
凹凸性：函数在某点附近 的增减性
拐点：函数在某点附近的 凹凸性发生变化的点
应用：判断函数的单调性、 极值、最值等
洛必达法则和不定积分
洛必达法则：用于求解极限， 包括0/0型和∞/∞型
不定积分：用于求解函数的原 函数，包括基本积分公式和换 元积分法
洛必达法则的应用：求解极限、 求导、求积分等
不定积分的应用：求解函数的 原函数、求导、求积分等
泰勒公式和等价无穷小量代换
等价无穷小量代换：将复杂 函数替换为简单函数，便于 计算和近似
泰勒公式的应用：求极限、 求导数、求积分等
泰勒公式：将函数展开为多 项式形式，便于计算和近似
等价无穷小量代换的应用： 求极限、求导数、求积分等
不定积分与定积分
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用。
极限的运算和求法
极限的定义：函数 在某点或某区间上 的极限值
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应用：包括在物理、化学、生物、工程等领域的应用
差分方程的基本概念和性质
差分方程的定义：描述离散系统动态行为的数学模型 差分方程的性质：线性、非线性、稳定性、收敛性等 差分方程的求解方法：迭代法、数值解法、解析解法等 差分方程的应用：信号处理、控制系统、计算机科学等领域
求解方法：包括分离变量法、 积分因子法、拉普拉斯变换法
等
解法：包括初值问题、边值 问题和混合问题等
实例：如求解一阶线性常微分 方程的初值问题、边值问题等
高阶常微分方程的解法和应用
解法：包括高阶线性常微分方程的解法和非线性常微分方程的解法
线性常微分方程的解法：包括齐次线性常微分方程的解法和非齐次线性常微分方程的 解法
高等数学的基本内容和学习方法
基本内容：函数、极限、连续、导数、微分、积分、级数等 学习方法：理解概念、掌握公式、多做练习、总结规律 重点难点：极限、导数、积分、级数等 学习技巧：理解概念、掌握公式、多做练习、总结规律、多思考、多交流
数的基本概念和性质
自然数：正整数和零
整数：自然数和负整 数
有理数：整数和分数
性、可积性
导数的应用： 求极限、求最 大值和最小值、 求极值、求拐 点、求渐近线
等
微分学的应用
物理：描述运动、 力、加速度等物 理量
工程：计算工程 问题中的优化、 最优化问题
经济：分析经济 模型、预测市场 趋势
生物：研究生物 种群的增长、衰 减等规律
定积分的概念和性质
定积分的定义：积分上限和 下限的函数值之差
导数的计算和应用
导数的定义：函数在某一点的切线斜率 导数的计算方法：极限法、导数公式、导数表等 导数的应用：求极限、求极值、求最值、求渐近线等 导数的几何意义：函数在某一点的切线斜率，函数在某一点的变化率等
高等数学完整全套教学课件
高等数学完整全套教学课件一、教学内容本节课的教学内容来自高等数学教材的第五章——多元函数微分学。
本章主要内容包括多元函数的求导法则、隐函数求导、泰勒公式以及多元函数的极值问题。
具体教学内容如下：1. 多元函数的求导法则：主要包括偏导数的定义及其求导法则，如四则法则、链式法则、反函数求导法则等。
2. 隐函数求导：主要讲解如何利用偏导数求解隐函数的导数，包括直接求解和间接求解两种方法。
3. 泰勒公式：介绍泰勒公式的定义及其在多元函数中的应用，重点讲解如何利用泰勒公式展开多元函数。
4. 多元函数的极值问题：包括极值的存在性定理、极值的判定方法以及极值的求解方法。
二、教学目标1. 理解并掌握多元函数的求导法则，能够熟练运用各种法则求解多元函数的导数。
2. 学会隐函数求导的方法，能够独立求解复杂的隐函数导数问题。
3. 掌握泰勒公式的应用，能够利用泰勒公式展开多元函数并进行简化。
4. 理解多元函数极值的概念，学会使用极值判定方法和求解方法解决实际问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：隐函数求导、泰勒公式的应用以及多元函数极值的求解。
2. 教学重点：多元函数的求导法则、隐函数求导、泰勒公式以及多元函数的极值问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：笔记本、签字笔、直尺、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入：以实际问题为例，引入多元函数的求导问题。
2. 讲解多元函数的求导法则：通过示例，讲解四则法则、链式法则、反函数求导法则等。
3. 隐函数求导方法讲解：以具体例子为例，讲解直接求解和间接求解两种方法。
4. 泰勒公式的介绍与应用：讲解泰勒公式的定义及其在多元函数中的应用，通过示例让学生掌握泰勒公式的运用。
5. 多元函数极值问题的讲解：介绍极值的存在性定理、极值的判定方法以及极值的求解方法，并通过实例进行分析。
6. 随堂练习：布置具有代表性的题目，让学生现场解答，检验学习效果。
六、板书设计1. 多元函数的求导法则：四则法则、链式法则、反函数求导法则。
《高等数学课件》课件
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点的斜率或切线斜率。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率 。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、指数 函数、三角函数等，它们的导数已经给出。
链式法则
乘积法则用于计算两个函数的导数，公式为 (uv)'=u'v+uv'。
乘积法则
链式法则是计算复合函数导数的重要工具， 通过链式法则可以将复合函数的导数转化为 简单函数的导数。
商的导数法则
商的导数法则是计算分式函数的导数的关键 ，公式为(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
详细描述
无穷级数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。在 数学领域，无穷级数可以用来证明一些数学定理，如泰 勒定理等；在物理领域，无穷级数可以用来描述一些物 理现象，如振动和波动等；在工程领域，无穷级数可以 用来解决一些工程问题，如信号处理和图像处理等。
感谢您的观看
THANKS
重积分、方向导数等概念的基础。
06
微分方程
微分方程的基本概念
总结词
理解微分方程的基本定义和分类
详细描述
介绍微分方程的定义，以及微分方程 的分类，如线性微分方程、非线性微 分方程、一阶微分方程、高阶微分方 程等。
一阶微分方程的解法
总结词
掌握一阶微分方程的常见解法
详细描述
介绍一阶微分方程的常见解法，如变量分离法、积分因子法、常数变易法等，并 举例说明每种解法的应用。
高等数学完整全套教学课件
高等数学完整全套教学课件一、教学内容二、教学目标1. 掌握极限、导数、微分、积分等基本概念及其计算方法；2. 能够运用所学知识解决实际问题，如物理、几何、经济等领域的问题；3. 培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学建模能力。
三、教学难点与重点难点：极限的概念、导数的计算规则、积分的应用、微分方程的解法。
重点：极限与连续的关系、导数的应用、不定积分与定积分的计算、级数的收敛性判断。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：教材、《高等数学》学习指导书、笔记本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过实际案例，如物体运动、几何图形的面积等，引出极限、导数、积分等概念；2. 例题讲解：详细讲解典型例题，分析解题思路和方法；3. 随堂练习：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固所学知识；5. 课堂讨论：针对学生遇到的问题，进行讨论和解答；6. 课后作业布置：布置具有代表性的作业题目，巩固课堂所学。
六、板书设计1. 采用粗体字，突出重点；2. 例题：用红色粉笔标注关键步骤和易错点；3. 知识点：用蓝色粉笔书写，清晰易懂；4. 课堂讨论：用不同颜色的粉笔记录学生的观点和疑问。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求函数在一点的极限；（2）计算函数在某一点的导数；（3）求函数的不定积分和定积分；（4）解微分方程；（5）判断级数的收敛性。
2. 答案：详细给出每个题目的解答过程和答案。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生学习相关数学软件（如MATLAB、Mathematica等），提高数学计算和建模能力；推荐阅读相关数学书籍，拓宽知识面。
重点和难点解析1. 教学内容的难点与重点；2. 教学过程中的实践情景引入、例题讲解和随堂练习；3. 板书设计；4. 作业设计；5. 课后反思及拓展延伸。
一、教学内容的难点与重点（1）极限的概念：要详细解释函数在一点处极限的定义，以及极限的性质，如唯一性、局部有界性等；（2）导数的计算规则：重点讲解导数的四则运算法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则等；（3）积分的应用：详细介绍积分在几何、物理、经济等领域中的应用，如求面积、体积、质心、曲线弧长等；（4）微分方程的解法：详细讲解常见微分方程的解法，如可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。
大学数学课件：高等数学完整PPT讲义
多元函数和偏微分方程
探索多元函数和偏微分方程的特性和解法。研究多元函数的极限、连续性， 并学习偏导数和偏微分方程的求解方法。
向量分析和线性代数基础
深入研究向量分析和线性代数的基本概念和技巧。掌握向量的运算法则、曲线和曲面的参数方程，以及 线性方程组的解法。
大学数学课件：高等数学 完整PPT讲义
欢迎来到我们的大学数学课件！这是一个完整的PPT讲义，旨在帮助学生深 入理解高等数学的关键概念和技巧。
高等数学课程概述
探索高等数学的广阔世界。从数学的起源和发展，到各个数学领域的实际应用。了解数学对科学、工程 和经济的重要性。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学符号和思维导图
掌握数学中常用的符号和记号。了解符号的含义和用法，以便更好地理解和 推导数学公式。使用思维导图来整理和呈现复杂的数学概念。
微积分基础知识
深入研究微积分的基本原理和概念。包括导数、积分和微分方程等重要概念， 以及它们在实际中的应用。
微分学和积分学
学习微分学和积分学的高级概念。探索微分学的极限、连续性和微分法则， 以及积分学的定积分、不定积分和积分方法。
常微分方程和级数
了解常微分方程和级数的基本理论和解法。研究一阶和高阶常微分方程的解析解和数值解法，以及级数 的收敛性和求和方法。
高等数学数学PPT课件精选全文完整版
归转化思想。
做
学生进行练习训练，个人独立思考与分组讨论相结合。
训
学生上黑板演示解题过程，其他学生点评，教师分析总结。
01
课程尚处于建设阶段，教学资源有待于进 一步完善，现有教学资源还没有得到充分 利用。
进一步开拓更多的学习资源，团队教师增 进针对教学方法和教学资源建设与利用方 面的交流。
பைடு நூலகம்
02
教学内容和教学设计在不断变化的社会需 求、学生思想，以及不断产生的新技术面 前有些滞后。
教学问题
转变传统的教学理念和改变旧的教学模式 探索、建立了新的教学模式和教学方法。
教学对象
教学对象为一年级学生，对大学学习环境、学习 方式需要有一定的适应期 。 教师向学生介绍大学学习的特点与方法，帮助学 生尽快度过适应期。
教学特色
通过不同形式的自主学习 、探究活动，让 学生体验
数学发现和创造的历程，发展他们的创 新意识 。
课程内容及授课学时数（1学期，共64课时）
序号 1 2 3 4 5 6
课程内容 第一章 函数的极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 空间解析几何
授课学时 12 12 6 16 16 2
导向
依据
度
专业
满足 专业培养目
标
必需 够用
理论知识以“必需、够用”为原则,教学内 容体现“专业性”
教学内容的针对性
专业理论知识需求
后续课程学习要求
教学内容的适用性
高等数学基本要求 教学内容的针对性
淡化严格论证 强化数学应用 注重数学软件
符合课程目标
教学内容选择 辅助多媒体教学 自主学习能力
-高等数学-课件完整版
2020/10/17
一、 基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2020/10/17
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作
U
0
(
a
).
U (a) { x 0 x a }.
2020/10/17
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
2020/10/17
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
2020/10/17
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
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3.函数的单调性 设函数 y f x 在区间 I 上有定义,对 I 内的任 意两点 x1 , x2 ,当 x1 x2时,若有 f x1 f x2 ,则称 f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x 在 I 上是单调减少的. 它们统称为单调函数.使函数 保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单 调区间 . 如函数 y ln x在0, 内是单调增加的,函数 y x 在 ,内是单调减少的.
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
二、函数的表示法 1.解析法 例2 作自由落体运动的物体下落时间为 t ,下落的
距离为 s,假定开始下落的时刻为 t 0,那么 s与 t 之间的依赖关系由下式给出:
1 2 s gt 2
当时间t 变化时,距离 s 作相应的变化.
有些函数在其定义域上的对应法则不能由一 个式子表示,即在定义域的不同范围内用不同的解 析式表示,这成为分段函数.如符号函数
0
当自变量 x 取数值 x0 Df 时,与 x0 对应的 y 的
为Zf . 函数的两要素:定义域 D f 和对应法则 f .如果 两个函数具有相同的定义域和对应法则,那么它 们是相同的函数.
例1 下列函数是否相同，为什么？
(1) f x 2 lg x, g x lg x 2 (2) f x x , g x x 2
解 ⑴ f x 与g x 不是相同的函数,因为定义域不同. ⑵ f x 与g x 是相同的函数,因为定义域与对应 法则都相同.
注 求函数定义域时应注意的一般规律
① 开偶次方,根号内的表达式不小于零;
② 对数中的真数必须大于零;
③ 分式中的分母不能为零;
④ 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能
4.函数的有界性 设函数 y f x 在区间 I 上有定义,如果存在正 常数 M ,使得对于区间 I 内所有 x ,恒有 f x M , 则称函数 f x 在区间 I 上有界.如果这样的 M 不存 在,则称 f x 在区间 I 上无界.
如函数 y sin x 在区间 ,内是有界的. 这是因为对于任意的 x , 都有 sin x 1 成 立.而函数 y x3在区间 ,内是无界的.
1, y sgn x 0, 1, x0 x0 x0
如图1.
图1
2.表格法 例3 某炼钢厂上半年生产的钢产量如下表，这里 的时间T(月)和产量Q(吨)之间是两个相互依赖的 变量.
时间（月） 1 2 3 4 5 6
产量（吨）
1032
1024
1027
1038
1057
若 f x f x ,则称 f x 为偶函数.
注 ①奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像
关于 y 轴对称; ②一个函数可以既不是奇函数,也不是偶函数, 如函数 y x3 x 2 .
2.函数的周期性 设函数 y f x 的定义域为D f ,如果存在一个 常数 T 0 ,使得对任意 x D f 有 x T D f ,且 f x T f x ,则称函数 f x 为周期函数, T 称为f x 的周期. 显然,若 T 是周期函数 f x 的周期,则 kT 也是 f x 的周期 k 1,2,3, ,通常说的周期就是最小正 周期. 如函数 y sin x 和 y cos x 都是以 2 为周期的 周期函数.
x D ,变量 y 都有唯一确定的数值与之对应,则
称变量 y 是变量 x 的函数,记为
y f x , x D,
其中 x 称为自变量, y 称为因变量.集合 D 称为函
数的定义域,记为 D f .
值称为函数 y f x 在点 x0 处的函数值,记为f x0 或 y x x ,函数值组成的数集称为函数的值域,记
第一节 函数及其性质
一、函数的概念 二、函数的表示法 三、函数的几种特性
一、函数的概念
1.常量与变量 在某过程中不发生变化而保持一定数值的 量称为常量;在某过程中可以取不同数值的量称 为变量.常量通常用字母 a, b, c 等表示,变量通常 用字母 x, y, z 等表示.
2.函数的概念 定义1 设x, y 是两个变量, D 是一个给定的数 集.如果有一个对应法则 f ,使得对于每一个数值
注 只有当 D f Z 时,复合函数 y f x
才有意义.如 y cos x 9 无意义,因为内函数的 值域与外函数的定义域没有公共部分,不能复合.
例1 函数 y arctan 合而成的?
x
2
是有哪些较简单的函数复
解 是由 y u 2 , u arctanv, v x 三个较简单的 函数复合而成的.
1047
对每个月份T ,都有唯一一个与T 相应的产量Q .
3.图像法 例4 某自动记录仪记录的某电容放电的电容情况,
如图2所示的曲线.
图2
根据此曲线,就可知道某电容随时间的变化情 况.
三、函数的几种特性 1.函数的奇偶性 设函数 y f x 的定义域 D f 关于原点对称,对于
任意的 x D f ,若 f x f x ,则称f x、初等函数 三、反函数与隐函数
一、复合函数 定义2 设 y 是 u的函数 y f u ,而 u 又是 x 的 函数 u x .如果对于 x 的定义域中某些 x值所 对应的 u 值,函数 y f u 有定义,则 y 通过 u 也成 为x 的函数,称为由 y f u 及 u x 复合而成的 复合函数,记为 y f x ,其中 u 称为中间变量.