数值计算(计算方法第一章).

(1) 非线性方程求根
(2) 求解线性代数方程组的数值方法
(3) 数值逼近：插值逼近和最佳逼近 (4) 数值微分和数值积分 (5) 常微分方程数值解法
• 研究数值算法的任务主要有：
(1) 构造计算机上可执行的算法 计算机上可执行的运算： 四则运算 逻辑运算
计算方法：把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加、减、乘、除等基本运算——
数值方法。
(2) 构造计算复杂性好的算法 尽可能提高数值方法的计算速度和少占存贮空间。
(3) 构造可靠性好的数值方法 选择或研制能达到“数值问题”要求的计算精度 的数值方法，为此须研究数值问题的性态及数值 方法的稳定性。
离散型（统计型） 不确定型（随机型） (2) 算法设计：将数学问题数值化 例1.1.4 求解线性方程组 求解二次方程
Ax b
ax2 bx c 0
是数值问题
输入的数据是系数矩阵 A, 常数项向量 b与系数a , b, c
输出的数据是解向量 x, 和方程的解 x1 , x2
求解微分方程
► 克兰姆(Cramer)法则：
xi
Ai A
, i 1, 2,, n.
运算量(乘除)： (n 1) n! (n 1) n (n 1)! (n 1) ►高斯消元法(Gauss)：
运算量(乘除)
1 1 3 2 理论上很“漂亮”的 n n n. Cramer法 3 则 3
教
材： 《数值计算方法》 曾金平 主编 湖南大学出版社，2006 《计算方法》 邓建中，刘之行 编 西安交通大学出版社，2004 数学分析、高等代数、常微分方程
参考教材：
前期课程：
第一章
引 言
§1.数值计算方法及其主要研究内容
随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来 愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍 及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞 机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都 离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学 工具－数值计算方法，已成为各高等院校数学、 物理和计算机应用专业等理工科本科生的专业 基础课，也是工科硕士研究生的学位必修课。
• 计算数学：常称为数值分析或（数值）计算方法。 主要是研究如何运用计算工具（如计算 器、计算机等）去获得数学问题的数值 解的理论和方法。 对那些在经典数学中，用解析方法在理论上已作出 解的存在，但要求出他的解析解又十分困难，甚至 是不可能的这类数学问题，数值解法就显得不可缺 少，同时又十分有效。 当代实践表明：计算方法正在日趋明显地成为数学 与计算机科学的交叉性科学。
例1.1.1
求二次方程
ax bx c 0
2
的根。
求根公式为：
x1 , 2
b b 4ac 2a
2
开方运算不能在计算机上直接进行运算，必须 化为可在计算机上执行的等价运算。
即应化为公式：
x1 , 2
b sqrt(b 2 4ac) 2a
例1.1.2 已知 a0, a1, a2 ,…, an, x, 计算多项式：
(4) 上机运行：数值模拟物理过程 (5) 计算结果再表示：如图像的可视化等 (6) 可靠性分析：分析计算结果的可靠性，必要时 重复上述过程。
其中算法设计是本书的核心内容。本书针对来源于 科学与工程中的数学模型问题，介绍计算机上常用 的数值方法的算法设计思想并进行算法分析。
•
本书研究内容：对如下五类问题探索数值求解方法 及其与算法有关的理论分析
ax2 bx c 0
的根。
此问题本身可看成功能单一的模块 数值方法： 直接方法，即用求根公式 迭代方法（后面将介绍）
2 当 d b 4ac大于零或小于零时， 须考虑的细节：
需选用不同的公式 当d 0且 d b 时，会出现两个近 似数相减而影响有效数字的位数 当|a |较|b|和|c|相对小很多时， 有可能出现舍入误差增大
y 2 x 3 y( 0 ) 0
不是数值问题
输入的虽是数据 , 但输出的不是数据而是 函数y x 2 3x
将其变成数值问题，即将其“离散化”
即将求函数 y x2 3x
改变成求函数值 y( x1 ), y( x2 ),, y( xn ), x1 x2 xn
bn an bk bk 1 x ak , k n 1, n 2, ,1, 0 p( x) b 0
运算量：
n.
例1.1.3
解线性方程组
Ax b,
其中， A (aij )nn , x ( x1, x2 ,, xn )T , b (b1, b2 ,, bn )T .
在计算机上并不适用！
取n 20
Gauss: 3060次
Cramer: (20+1)!(20-1) 5.11019 19 30.78年(1012 次 / 秒)
•一个计算过程主要包括如下几个环节：
(1) 数学建模：将工程问题数学化 工程中的数学模型一般可分为三类： 连续型（确定型） 本书重点讨论
边缘科学：计算物理，计算力学，计算化学， 计算生物学，计算经济学等。
计算数学的根本任务就是研究算法
算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及 规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构 成的完整计算步骤称为算法。 运算量(计算量)： 一个算法所需的乘除运算总次数 计算量是衡量一个算法好坏的重要指标!
“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法，这也是计算方法的任务之一
(3) 程序设计：将数值问题机器化 软件开发方法： 结构化方法： 面向过程，“自顶而下，逐步细化” 其关键方面： 划分模块 设计或选择模块的算法 充实细节 组装式开发方法： 面向对象，“自下向上”
例1.1.5
求二次方程
p( x) a源自文库 x an1x
n
n 1
a1x a0 .
直接计算：运算量（乘法）
秦九韶算法（1247年）：
1 n (n 1) 2 1 n(n 1). 2
p( x) x( x( x(an x an1 ) an2 ) a1 ) a0