图论模型的构建

过河。河上有一只小船，每次除了人以外，只能
带一样东西。另外，如果人不在时狼就会吃掉羊
，羊就要吃白菜。问怎样安排渡河，才能做到既
把所有东西都带过河，而且在河上往返次数最少
？
•
•问题的要素有三点：（1）人及他所带的3样东西；（ 2）人不在时狼就会吃掉羊，羊就要吃白菜，即人在渡 河时，一岸上不能同时留下狼和羊或羊和白菜；（3） 人每次至多带一样东西渡河，并要保证岸上的安全。
形柱体，堆成的方形柱体每个侧面4种颜色都有。
•求解任务：1、这4个正方体能否堆成符合要求的方形柱体？
•
2、若能，找出一种堆砌方法。
•
•【方形柱体堆砌问题分析】
• 一个正方体有6个面，所以4个正方体可以堆砌 出为数十分可观的不同状态。就是确定了4个正方 体依Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ次序从上到下排列，只考虑两 两接触面不同，也有6^4=1296种排列，这里还没 有考虑4个侧面的不同组合。若考虑到后者，又会 衍生出许多各异的形式，先令第Ⅰ个正方体保持不 动，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ正方体个有4个侧面，故有4^3=64 种状态。因此即使在从上到下按序排列情况下，仍 然有1296×64=82944种状态。若用穷举法求这类 问题，将是不胜其烦的。 •为此，我们必须寻找解决问题的更好途径。
图论模型的构建
•
•二．图论建模方法
1. 要素的选取
• 在建立模型之前，我们首先要对研究对象进
行全面的调查，将原型理想化、简单化；然后对
原型进行初步的分析，分清其中的各个要素及求
解目标，理出它们之间的联系；下一步就是用恰
当的模型来描述这些要素及联系。
• 【例1】渡河问题
•
一个人带了一只狼、一只羊和一筐白菜想要
•
•权的加入使图论模型和求解目标变得更加复杂多样
•
有的权则表示容量或是流量，它们的运算特征是“
串联求最值，并联求和”，即一条路径上最大或是最小
的权决定了整条路径的权，而求解目标则是求图中或是
两点之间所有路径的权的加和。
•
还有的图不仅包含边权（边集E到实数集R的映射
），还包含点权（点集V到实数集R的映射）；或是包
•
•e4
•b
•e3
•e1 •e2
•e4 •e3
•y
•e2
•e3
•r
•e1
•从图中，能 找到两个 •e2 Hamiltion回 路，每个回路
•e1
的4条边分别 是
•g •e4 •e1,e2,e3,e4 。
•(见下页 )
•
•e4
•b
•e3
•r
•e1
•e1 •e2
•e4
•e2
•e3
•e1
•y
•e2
•g
•
•剔除下述6种可能发生狼吃羊，羊吃白菜的情况：（注意 照顾右岸的情况） •{wsv} {ws} {sv} {mw} {mv} {m} •将剩下的10种情况作为图G的顶点，图G的边是按下述规 则来连接的：如果情况A经过一次渡河可以变成情况B， 就在情况A与情况B之间连一条边。根据这一规则，构造 的图G如下面所示：
•
•问题的求解目标就归结为：在图G中找一条连接顶点mwsv与 φ，并且包含边数最少的路径。把图的边长设为1，那么渡河 问题归结为求顶点mwsv到顶点φ的最短路径问题。
•
•【例2】方形柱体堆砌
Baidu Nhomakorabea
• 有4个正立方体，它们的6个侧面各着以绿、蓝、红、黄4
种颜色之一，如图1-2所示。现在要把这4个正方体堆成一方
•
•【方形柱体堆砌问题分析 •】 对符合要求的方形柱体来讲，交换任意两个正
方体的上下位置，得到的方形柱体仍是符合要求的 ，即它的4个侧面都有4种颜色。它的每一对对面由 4个正方体各一个对面组成，因此问题的要素是4个 正方体各3个对面的颜色的构成，于是从每个对面的 着色考虑。用字母b,g,r,y分别表示蓝、绿、红、黄4 种颜色，并作为图的4个 顶点，4个正方体的各三个 对面依各对面的颜色连以边，并分别标以e1、e2、 e3、e4，比如第一个正方体有一对面着蓝、黄两色 ，则从顶点b到y引一条边标以e1,另两对面为红对红 、红对绿，故联结r,e和r,g,均标以 e1。同样地根据 第二、三、四正方体的各对面着色分别连以边并分 别标以e2 、e3、e4。则得图G，如图1—3所示。
•问题的求解目标：求河上往返次数最少的渡河方案。
• 对于要素（1），用字母m代表人，w代表狼，s代表 羊，v代表白菜。 • 要素（2）、（3）可抽象为开始时设人和其他三样东 西在河的左岸，这种情况用集合{mwsv}表示。在过河过 程中左岸出现的情况有以下16种： •{wmsv} {mws} {mwv} {msv} {wsv} {mw} {ms} {mv} •{ws} {wv} {sv} {m} {s} {v} {w} {φ}
问给定的棋盘，最多可以放置多少个机器人，使
它们不能互相攻击。
• 空地 •E草m地ptGyrass
•墙 Wall
•
•【模型一】 • 在问题的原型中，草地，墙这些信息不是我们所关心 的，我们关心的只是空地和空地之间的联系。因此，我们很 自然想到了下面这种简单的模型：
• 以上这些差异形成了图论模 型的多样化，使图论模型可以广 泛地适应各类问题，但这些丰富 的选择同时也增加了图论建模的 难度。。
•
•【例3】 机器人布阵
•
有一个N*M(N,M<=50)的棋盘，棋盘的每
一格是三种类型之一：空地、草地、墙。机器人
只能放在空地上。在同一行或同一列的两个机器
人，若它们之间没有墙，则它们可以互相攻击。
•e
•e3
4
•
•2. 选择合适的理论体系
• 图由点、边、权三部分组成，根据这三部分的 性质的不同，就有着不同的图论模型，有着不同的理 论和算法，也就构成了不同的理论体系。图论建模依 据的是图论的基本理论和基本算法。
• 例如二分图把整个点集V分为两个子集，规定子 集内部的点之间没有边，因此二分图就有着不同于一 般图的特殊性质，而它的匹配算法也就比一般图的算 法简单；此外还有树、有向无环图等，它们属于不同 的理论体系，有着各自不同的性质，适于用不同的算 法求解。
含好几类不同性质的权。
•
有的权表示长度或是时间等等，它们的运算特征是
“串联求和，并联求最值”，即一条路径的权由这条路
径上每条边的权相加得到，求解目标往往是求图中或是
两点之间所有路径的权的最优值。
•
• 权的运算也会产生一些变形，例如权的运算由 简单的相加、求最值扩展到相乘，或是更复杂的函数 计算等等。