第四次实验最佳平方逼近
最佳平方逼近方法
2016-2017（1）专业课程实践论文用最佳平方逼近法求逼近函数肖夏， 29，R数学12-1班一、算法理论设函数组φ0,φ1,…，φm 都是[a,b]上的连续函数，并且在[a,b]上线性无关。
以此函数组为基，生成空间C[a,b]上的一个子空间H =Span{φ0,φ1,…，φm }则H 中的任意一个元素为p (x )=∑c j φj (x )mj=0对空间C[a,b]的任意两个函数f ，g ，定义内积(f,g )=∫ω(x )f (x )g (x )dx ba对于给定的函数f(x)∈C[a,b]，若p ∗(x )∈H ，满足(f −p ∗,f −p ∗)=min p∈H (f −p,f −p )则称p ∗(x )为子空间H 中对于f(x)的最佳逼近平方元素。
特别地，若φj (x )=x j ，j =0,1,…m 则称满足条件的p ∗(x )∈H ，为函数f (x )在区间[a,b]上带权ω(x )的m 次最佳平方逼近多项式。
设f(x)∈C[a,b]，p ∗(x )∈H 是子空间H 中对于f(x)的最佳平方逼近元素的充分必要条件是(f −p ∗,φj )=0，(j =0,1,…,m)或对于任意一个p (x )，总有(f −p ∗,p )=0。
求最佳平方逼近元素p ∗(x )=∑c k ∗φk (x )m k=0，只要求出c k ∗。
因(f −p ∗,φj )=(f,φj )−∑c k ∗(φi ,φj )=0mk=0得∑c k ∗(φi ,φj )=(f,φj )mk=0得((φ0,φ0)⋯(φ0,φm )⋮⋱⋮(φm ,φ0)⋯(φm ,φm ))(c 0∗⋮c m ∗)=((f,φ0)⋮(f,φm )) 求出c k ∗，带入p ∗(x )=∑c k ∗φk (x )m k=0即可。
二、算法框图三、算法程序function S=abc(n,a,b) //创建一个函数，里面填入次数，和区间范围base=inline('x^(j-1)','x','j');///定义quan=inline('1','x');for k=1:(n+1)for j=1:(n+1)syms xl(k,j)=int(base(x,k)*base(x,j)*quan(x),x,a,b); endy(k)=int(base(x,k)*(sqrt(x^2+1)),x,a,b);//红色字体是f(x) endl;y';c=vpa(inv(l)*y',3)p=0;for i=1:(n+1)p=p+c(i)*base(x,i);endp四、算法实现例1.求f (x )=√x 2+1在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。
3_最佳平方逼近问题
( 0 , * f ) 0 * ( 1 , f ) 0 ( , * f ) 0 n
yfnie@
5
几何意义
平方逼近误差
f
*
* *
2 2
( f , f )
* *
*
( , ) 2 ( , f ) ( f , f )
yfnie@
8
基于正交基的最佳平方逼近（续）
( 0 , f ) ( 1 , f ) ( n , f ) * C , , , ( , ) ( , ) ( n , n ) 0 0 1 1
*
T
( 0 , f ) ( 0 , 0 )
)
3
0
平方误差计算
直接计算：
b a
* 2x a b sin x 2 ( ) dx ba
2 1
2
间接计算：
ab ba ba * 1 sin( 2 t 2 ) 2 ( t ) dt 2
yfnie@ 16
求 (x ) c 0 0 c 1 1 c n n , 使 得
* * * *
n n n n * * f c i i , f c i i min f c i i , f c i i . i0 i0 ci R i0 i0
c0 ( f , 0 ) c1 ( f ,1 ) cn ( f , n )
即 { i } i 0 是线性空间
的一组正交基。
T
最佳平方逼近的误差
最佳平方逼近的误差
最佳平方逼近是一种数学方法，用于逼近一个函数或数据集。
这种方法通过选择一个简单的函数（如多项式）来逼近目标函数或数据集，使得逼近误差的平方和最小。
最佳平方逼近的误差是指逼近函数与目标函数之间的误差。
这个误差可以通过最小化逼近误差的平方和来获得。
具体来说，对于一个给定的数据集，我们可以选择一个多项式函数来逼近它。
然后，我们可以通过最小化逼近函数与数据集之间的平方误差来找到最佳的逼近多项式。
最佳平方逼近的误差可以通过以下步骤计算：
确定逼近函数的形式，例如多项式函数。
确定逼近函数的系数，使得逼近函数能够最佳地逼近目标函数或数据集。
计算逼近函数与目标函数或数据集之间的平方误差。
最小化平方误差，以获得最佳的逼近效果。
最佳平方逼近的误差通常是一个衡量逼近效果好坏的指标。
如果误差较小，则说明逼近效果较好；如果误差较大，则说明逼近效果较差。
在实际应用中，我们通常会选择一个合适的逼近函数和系数，以使得逼近误差最小化。
研究生数值分析(20)函数的最佳平方逼近
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 6 15
可知
q1(t)
2 3
L0 (x)
6 15
L1 ( x)
2 3
6 15
t,
1 t 1
把 t =2x-1代人 q1(t) 得 x 在区间[0，1]上的一次最佳平方 逼近多项式
p1(t)
2 3
6 15
(2x
1)
4 15
12 15
m
m
[ * ( xi )
i 1
yi ]2
min ( x )
[ ( xi )
i 1
yi ]2
其中 (x) 为函数类Φ 中任意函数。
因此，用最小二乘法解决实际问题包含 如下2个基本环节：
（1）确定函数类Φ ，即确定 (x) 的形式。 这不是一个单纯的数学问题，还与其
12 15
所求的最佳平方逼近元素为
p(x) 4 12 x, 15 15
0 x 1
二、正交函数系在最佳平方逼近中的应用 对于一般的基底 0 (x),1(x),,n (x)
当 n 较大时，计算法方程中的 (k , j ) 以及求解法方程的计算量都是很大的。 1, x, x2 ,, xn 作基底，当ρ(x)≡1时， 虽然 (k , j ) (xk , x j ) 容易计算，但由此形成 的法方程系数矩阵G在 n稍大时是病态矩阵， 在计算机上求解法方程，其结果不太可靠。
§6 函数的最佳平方逼近 一、最佳平方逼近的概念与解法
用简单函数 p (x)去近似一个给定区间[a， b]上的连续函数 f (x)，是函数逼近要研究的 问题。度量逼近误差标准有许多种，这里 介绍一种称为平方逼近的函数逼近。
数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)
f=c(1)+c(2)*t;
fori=3:k+1
T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);
c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
实验内容
Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
成绩
教师
实验十八实验报告
一、实验名称：Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
四、实验原理：
1．Chebyshev多项式最佳一致逼近：
当一个连续函数定义在区间 上时，它可以展开成切比雪夫级数。即：
其中 为 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：
它们之间满足如下正交关系：
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定：
2．最佳平方逼近：
求定义在区间 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。
f2=power(a,n+1);
C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);
end
coff=C\d;
设已知函数 的最佳平方逼近多项式为 ，由最佳平方逼近的定义有：
其中
形成多项式 系数的求解方程组
最佳平方逼近
正规方程组一般为病态方程组，当维数 较高时，病态严重，求解困难。 可以采取选择不同的基的方式，来改变 正规方程组的性态。 我们考虑最佳平方逼近多项式，采用正 交多项式做基函数。
2
b
a
函数f ( x)和g ( x)正交 ( f , g ) w( x) f ( x) g ( x)dx 0
a b
设次数不超过n的多项式空间为 n , 显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., x n , 则，p( x) a0 a1 x ... an x n n 是f ( x)在 n的最佳逼近元的充分必要条件为
否则，就线性无关。 区间[a,b]上c11 ( x) .... cm m ( x) 0成立 就一定有c1 ... cm 0
假定1 ( x),....m ( x)是子空间S的基， 若函数g是最佳逼近元，则
( f g , 1 ( x)) 0,( f g , 2 ( x)) 0 ...., f g , m ( x)) 0 (
w( x) C[a, b]，w( x) 0，x [a, b] 称w( x)为权函数。
连续函数空间C[a, b]，给定权函数w( x) 对于f , g C[a, b]
最佳平方逼近多项式
给定函数f ( x) C[a, b], 求次数不超过n的 多项式p( x)，使得
b
a
w( x)( f ( x) p( x)) dx min
简记为Ax=b
求解这个方程，就能得到a， ，am， .....
从而得到f ( x)在子空间S中的最佳平方 逼近元g ( x) a11 ( x) ..... amm ( x)
MATLAB上机实验——最佳平方逼近
用MATLAB 语言编写连续函数最佳平方逼近的算法程序（函数式M 文件）。
并用此程序进行数值试验，写出计算实习报告。
二. 程序功能要求：在后面的附一leastp.m 的基础上进行修改，使其更加完善。
要求算法程序可以适应不同的具体函数，具有一定的通用性。
所编程序具有以下功能：1.用Lengendre 多项式做基，并适合于构造任意次数的最佳平方逼近多项式。
可利用递推关系0112()1,()()(21)()(1)()/2,3,.....n n n P x P x xP x n xP x n P x nn --===---⎡⎤⎣⎦=2.被逼近函数f(x)不用内联函数构造，而改用M 文件建立数学函数。
这样，此程序可通过修改建立数学函数的M 文件以适用不同的被逼近函数（要学会用函数句柄）。
3.要考虑一般的情况。
因此，程序中要有变量代换的功能。
]1,1[],[)(+-≠∈b a x f 4.计算组合系数时，计算函数的积分采用变步长复化梯形求积法（见附三）。
5.程序中应包括帮助文本和必要的注释语句。
另外，程序中也要有必要的反馈信息。
6.程序输入：（1）待求的被逼近函数值的数据点(可以是一个数值或向量)0x （2）区间端点：a,b 。
7. 程序输出：（1）拟合系数：012,,,...,nc c c c （2）待求的被逼近函数值00001102200()()()()()n n s x c P x c P x c P x c P x =++++ 三：数值试验要求：1.试验函数：；也可自选其它的试验函数。
()cos ,[0,4]f x x x x =∈+2.用所编程序直接进行计算，检测程序的正确性，并理解算法。
3.分别求二次、三次、。
最佳平方逼近函数。
）x s (4.分别作出逼近函数和被逼近函数的曲线图进行比较。
）x s ()(x f （分别用绘图函数plot(,s())和fplot(‘x cos x ’,[x 1 x 2,y 1,y 2])）0x 0x 四：计算实习报告要求：1.简述方法的基本原理，程序功能，使用说明。
最佳平方逼近
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
第四章 3最佳平方逼近(1)
§3 最佳平方逼近摘要：介绍内积赋范线性空间中的最佳平方逼近的特征，最佳逼近元存在唯一性及求解；2,L a b ρ⎡⎤⎣⎦中的最佳平方逼近问题的讨论。
一、赋范线性空间定义1 线性空间X 称为赋范线性空间，如果其上赋予一个满足如下3条性质的函数：（1）0,00,;x x x x X ≥=⇔=∈ （2）,,;α=∈∈ax a x x X（3）,,.x y x y x y X +≤+∈ 则称是线性空间X 的范数。
例1 欧氏空间(欧几里德空间（Euclid ）)n:12221,,=⎛⎫=∈⎪⎝⎭∑nnk k x x x范数称为欧氏范数或2-范数。
例2 1-范数赋范线性空间n：11,,==∈∑nnk k x x x称为1-范数。
定义2 赋范线性空间中的最佳逼近：若Y 是赋范线性空间X 的一个线性子空间，x X ∈，则称量(),inf y Yx Y x y∈∆=-为子空间Y 对元素x 的最佳逼近，而使上式成立的元素*y 称为最佳逼近元，且Y 称为逼近子空间。
二、内积空间定义3 假设X 是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二元函数(),：()()(1)(,)(,),,;(2)(,)(,),,,;(3)(,)(,)(,),,,;(4),0,;,00,ααα=∀∈=∀∈∈+=+∀∈≥∀∈=⇔=x y y x x y X x y x y x y X x y z x z y z x y z X x x x X x x x则称X 为内积空间。
例3 欧几里得空间n： (),,,=∈Tnx y x y x y内积→范数：2x ，2x 满足范数的3条性质。
内积空间→赋范线性空间定义4 内积空间中的最佳逼近：假设(1,2,,)ϕ=i i n 是内积空间X 中的n 个线性无关的元素，f X ∈，则子集{}12,,,ϕϕϕΦ=n n span对f 的最佳平方逼近定义为()2,min ϕϕ∈Φ∆Φ=-nn f f . （1） 使（1）成立的那个元素称为最佳逼近元素。
最佳一致和平方逼近
§2 最佳一致逼近多项式
一、最佳一致逼近多项式的存在性
定理4.9
对任意的 f x C a, b , 在
Hn
中都存在对
* pn x ,使得 f x 的最佳一致逼近多项式,记为
f ( x ) p n* ( x )
m in
p n ( x ) H n
f ( x) pn ( x)
由插值余项定理， n 次插值多项式 Ln x 的余项为
Rn x f x Ln x
n
f
x n 1 n 1!
n 1
其中， n 1 x x xi , 1,1
i 0
其估计式为：
对 X 中每一对元素 x , y , 都有一实数，记为 x, y 与之对应， 且这个对应满足: （1） （2） （3） （4）
x, x 0, x 0 x, x 0; x, y y, x , x, y X ; x, y x, y , x, y X ; R; x y, z x, z y, z , x, y, z X ;
* i * f 使得： ( xi ) pn ( xi ) () f pn
（i=0,1,…,n+1）
其中σ=1或σ=-1
推论4.1
设 f x 是区间 a, b 上的连续函数， * x 是 f x Pn
f 的n次最佳一致逼近多项式， 若
内存在且保号， 则
即
1 xi cos(i ) , i 0,1, 2,..., n 2 n 1
如果插值区间为[a,b],做变换式（4.63）
最佳平方逼近
所求的
应该使下式达极小：
由
整理得到
计算积分后，得法方程组
解之得 从而得到最佳平方逼近一次多项式
三、正交基函数的选择 如果我们选择子空间
正交，即 则法方程
简化为
即 容易求得 并得到最佳平方逼近
例3.2. 已知
在区间 [-1，1]上两两正交，试求
在这个
区间上的最佳平方逼近二次多项式，并给出误差估计。
应该使
整体达最小。 通过这种度量标准求得拟合曲线y=f(x)的方法，
就称作曲线拟合的最小二乘法。 按照以上思想来求出f(x)的拟合曲线，首先需
要确定出f(x)所属的函数类，然后进一步求出具体 函数，具体按照以下步骤进行。
二、最小二乘法拟合曲线的步骤
第一步：根据如下已知点的坐标，在坐标系里描点
第二步：根据图示，确定曲线所属的函数类型，例 如多项式函数类、三角函数类、指数函数 类、对数函数类等。假设所确定的函数类 的基函数为
而n+1元函数
在区间
上具有一阶连续导函数，因此根据
极值原理，在最小值点
处：
而 于是 即
利用内积 可以得到 这是一个含有n+1个变量的方程组，具体形式为：
再写成 矩阵形式为
这是关于n+1个变量
的线性方程组，并称
其为法方程组，或者正规方程组。
解此方程组，就可以得到 了f(x) 的最佳平方逼近：
，也就得到
同时，还需要给出连续函数
空间上的一个度量标准，下面通过内积给出平方范数。
二、连续函数的平方范数
已知所有连续函数构成的集合C[a,b]是一个线性
空间，对于C[a,b]中的任意函数
、 ，定义
实数
最佳平方逼近
( p f,p q ) ( f q ,p q ) 0
这说明, p(x) q(x) 于 [a, b].
9
三、最佳平方逼近函数的求解
利用 ( f p*, j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设
(x) 最佳平方逼近的函数 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n. 其中, {0x,1x, , nx}为子空间 Hn 的一组基.
证: () 反证法, 设有函数 kx, 使得 ( f p*, k) k 0 , 令 q(x) p*(x) kx k /(k, k), 显然, q(x)Hn . 利用内
积的性质, 可得
(f q ,f q ) (f p * ,f p * ) (2 k ,k k )(f p * ,k ) ( k 2 ( k ,k ,k ) k 2 )
(fp * ,fp * )( k,k 2k)(fp * ,fp * )
k
这说明, p*(x) 不是对 f (x) 最佳平方逼近的函数, 矛盾.
7
() 若 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n 成立, 对任意的 p(x)Hn ,有
( f p , f p ) ( f p * p * p , f p * p * p )
( f p * , f p * ) 2 ( f p * , p * p ) ( p * p , p * p )
(0,1) (1,1)
((10,,nn))cc10**((ff,,10))
(n,0) (n,1) (n,n)cn* (f,n)
由于 0x,1x, , nx 线性无关, 可以推得上系数阵是
最佳平方逼近
a0 a 1 an
( f , 0 ) ( f ,1 ) = , ( f , n )
此方程组称为
法方程 .
n j=0 * a j j， k
可见，
( f (x)
) = 0 , k = 0 ,1 , L , n .
0， 1， ， n 在 [ a , b ]上 L
由定理，正交多项式系
定理：设 0 , L , n C [ a , b ], 记 Gram 矩阵为
G = G ( 0 , L , n ) ( 0 , 0 ) ( 1 , 0 ) = ( n , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 1 ) ( n , 1 ) L L L L ( 0 , n ) ( 1 , n ) ( n , n )
r 1, ( f , g ) = a f ( x ) g ( x ) d x(1 ) (2) (3) (4)
( f , g) = (g, f ) ( cf , g ) = c ( f , g ) ( f1 f 2 , g ) = ( f1 , g ) ( f 2 , g ) ( f , f ) 0 , 当且仅当 f = 0 时 ( f , f ) = 0
满足內积定义的函数空 因此，连续函数空间 n 维欧氏空间 其內积定义为
n
间称为內积空间， C [ a , b ]上定义了內积就形成一 个內积空间。
T T
R 中两个向量內积定义：
n
设 f = ( f 1 , f 2 ,L , f n ) , g = ( g 1 , g 2 ,L , g n ) f = ( fk ) 2
b b 2
最佳平方逼近
(2) Rn中的最佳平方逼近
R n 中的最佳平方逼近称为离散情形的最佳平方 逼近，求离散情形最佳平方逼近的方法称为
最小二乘法
下节讨论
dis( x, y) || x y ||2 ( x y, x y)
( x y )
i i
2
连续函数空间C[a,b]中f(x)与g(x)的距离即为
dis( f ( x ), g ( x )) || f ( x ) g ( x ) ||2
2 ( f ( x ) g ( x )) dx a b
( f ( x), g( x)) a f ( x) g( x)dx ( f ( x), g( x)) a ( x) f ( x) g( x)dx
b b
若取 Pn [a ,b ] 中 n +1个线性无关元为 {1,x ,… ,x n },则 对任意的g(x)∈C[a,b], 求Pn[a,b]中对g(x)的最佳 平方逼近元pn(x)，就必须通过求解法方程组得到 最佳平方逼近元.
b
或
( f ( x), g( x)) a ( x) f ( x) g( x)dx
b
f ( x ), g ( x ) C[a, b] 其中(x) 称为权函数
它满足：
①在[a,b]的任何子区间上积分为正； ②(x) ≥0，且使(x) =0的点至多有限个； ③ 对f(x)=1, x, x２,…, 积分 a f ( x ) g ( x )dx 存在.
例1 求g(x)=x 在P1[0,1]中的最佳平方逼近元
解法一
这是C[0,1]上的最佳平方逼近问题. 取０＝１, １＝x, P1[0,1]＝span{1,x} 记 p1(x)=a０＋a１x (０,0)=1，(０,1)=1/2， (1,1)=1/3 ， (０,g)=2/3， (1,g)=2/5. 所以，关于a０，a１为未知数的法方程组为
最佳平方逼近
4 15 4 5 x. 0 x 1
所求的最佳平方逼近元
素为 p ( x )
5.6.2 正交系在最佳平方逼近中的应用
当 0x,1x, , nx, 是正交系时,求解最佳平方逼 近式(5.82)中的系数非常容易. 目标: 求下面的最佳平方逼近式中的系数
（ 5.84）
函数 f 的 L-最佳平方逼近函数为
pL ( x )
n k 0
c k L k ( x ),
(L)
1 x 1
（5.85）
遇到区间[a,b], 通过下面的变换把问题转化到[-1,1]上处理.
x a b 2 b a 2 t.
函数 f (x) 的 Legendre 无穷级数
三、最佳平方逼近函数的求解
利用 ( f p*, j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设
p * (x)
n
故
0
ck k ( x)
*
n * k
k 0
f
p *,
j
f , c
j k 0 j
k
,
j
(5.82)
n
ck k ,
1
( f , g)
1
f ( x ) g ( x )dx
L-正交多项式为 L0x, L1x, , Lnx, 用(5.83), 有
ck
(L)
( f , Lk ) ( Lk , Lk )
2k 1 2
1
1
L
k
( x ) f ( x )dx ,
k 0,1, 2, ..., n
最佳平方逼近拟合
最佳平方逼近拟合你有没有想过，为什么我们生活中的许多东西都可以用一个简单的曲线或者直线来表示呢？好比说，我们走路的速度，车开到某个地方的距离，甚至是你早上喝几杯咖啡的频率。
哎呀，可能你会觉得这些和数学沾不上边，但它们都有一个共同点——那就是“最佳平方逼近拟合”！是不是听起来很复杂，像是哪个天才数学家发明的理论，搞得大家都一头雾水？其实也没那么神秘，它不过是让我们用简单的线条来描述一些看似杂乱无章的事物罢了。
你想象一下，假如你拿着一支笔在纸上画个点，嗯，就像你随便画了个点在纸上，完全不考虑它是不是在一条直线上。
这些点就好像你生活中的一堆数据，乱糟糟的，哪儿也不想待。
可问题是，生活本来就这么不规则，对吧？你一不小心就走了个弯路，或者一顿饭吃得太多，体重表上就跳起来了几个数字。
说真的，这些数据如果放在一起，真的看起来有点让人头疼。
可是，生活总是有办法的，不是吗？在这些乱七八糟的点中间，总得有一条线能把它们拉得有模有样，让它们看起来不那么难看。
这时候，“最佳平方逼近拟合”就来了。
说简单点，就是给这些乱七八糟的点找一条最合适的线，线能代表这些点的趋势，就像是给一堆散乱的想法找到了一个中心思想。
你看，数学家就是这么聪明！他们发现，只要我们找到一条能最小化所有点和线之间距离的直线，咱们就能用这条线“逼近”数据中的规律。
这就像是你拍了一张照片，原本照片里有好多不太好看的地方，结果你修修图，找到了一个最佳的曝光度和色调，嘿！整张照片看起来都美了。
再说白了，最佳平方逼近拟合就像是你和一群朋友吃饭，大家都说着话，吃着菜，突然你说：“哎，咱们来个自拍吧！”大家都想凑到镜头里，结果每个人都挤成一团，有些人脸上还没照到，最远的几个人脸都模糊了。
这时候你得微微后退一步，调整一下角度，把大家都拍进镜头，拍出来的效果会让大家都满意。
其实就是在做一种调整，找到那个“最适合”的位置。
虽然每个人的位置稍有不同，但最终画面却是一个完美的合照，不是吗？好啦，搞清楚了怎么回事，那这些“乱七八糟”的点是怎么产生的呢？简单来说，生活中一切的数据，几乎都不是完美的。
最佳平方逼近方法
特别地，若
，
则称满足条件的
，为函数
在区间 上带权 的 次最佳平方逼近多项式。
设
，
是子空间 中对于 的最佳平方逼近元素的充
分必要条件是
，
或对于任意一个 ，总有
。
求最佳平方逼近元素 因
，只要求出 。
得
得
求出 ，带入
即可。
二、算法框图
开始
定义权函数
，和函数
输入 ， ， 否
是
三、算法程序
function S=abc(n,a,b) 项式。 解：
结束
在 上的一次最佳平方逼近多
由方程组
，
，
结束
第一题的解：
例 2. 求 解：
在 上的一次最佳平方逼近多项式。
由方程组
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，
，
第二题的解：
例 3. 求 解：
在 上的 2 次最佳平方逼近多项式。
由方程组
，
，
，
第三题的解：
例 4.求 解：
在 上的一次最佳平方逼近多项式。
由方程组
，
，
第三题的解：
2016-2017（1）专业课程实践论文
用最佳平方逼近法求逼近函数
肖夏， 29，R 数学 12-1 班
一、算法理论
设函数组
都是 上的连续函数，并且在
此函数组为基，生成空间
上的一个子空间
上线性无关。以
则 中的任意一个元素为
对空间
的任意两个函数 ， ，定义内积
对于给定的函数
，若
，满足
则称
为子空间 中对于 的最佳逼近平方元素。
最佳平方逼近和最小二乘法
最佳平方逼近和最小二乘法哎呀，今天我们来聊聊一个挺有意思的话题，那就是最佳平方逼近和最小二乘法。
这听起来好像挺高大上的样子，其实呢，咱们可以把它变得简单易懂。
想象一下，你在阳光明媚的下午，喝着冰凉的饮料，跟朋友闲聊。
说起这些数学名词，大家可能会皱眉头，但我跟你说，这其实跟咱们生活中遇到的那些小烦恼有着千丝万缕的联系。
什么是最佳平方逼近呢？就像你和朋友一起找地方吃饭。
你们各自都提出了自己的想法，但最后为了避免争吵，大家决定选择一个最符合大家口味的地方。
这个过程就像是在给一堆数据点找到一个最合适的“朋友”。
想象一下，在坐标系上，有一堆点在那儿乱七八糟地分布着。
你想找一条线，尽量让这条线离这些点都近一点儿。
没错，这就是最佳平方逼近。
它试图找到那条线，让所有点到这条线的距离平方和最小。
简单点说，就是尽量让大家都满意。
再说说最小二乘法。
这名字听上去像个数学怪物，但其实它就是一种聪明的方式，帮助我们处理那些烦人的数据。
咱们可以把它想象成在考场上，有些同学的分数特别高，有些则低得让人心疼。
如果你只看最高分和最低分，可能会觉得这次考试的结果一片惨淡。
但如果你用最小二乘法来分析，那就好像给每个人的分数加了个权重，最终得出的平均分就能更真实地反映出大家的水平。
你可能会问，这俩东西有什么关系呢？嗯，其实它们是一对好搭档。
最佳平方逼近就是在找一条线，而最小二乘法则是在告诉你怎么画出这条线。
就像你要画一个完美的心形，光靠眼睛估计可不行，得有个具体的方法。
最小二乘法就像那把尺子，帮你量出每个点到线的距离，让你知道要怎么调整，才能画得又圆又满。
而且啊，这些方法可不光是在数学课上用得着。
咱们的日常生活中也是到处都是应用。
比如你在超市买水果，有些橙子很便宜，有些却贵得让你心疼。
你可能想知道，橙子的价格到底是个什么水平。
于是，你就可以用最小二乘法来分析这批橙子的价格走势，看看哪些便宜又好吃，哪些是价格虚高。
结果一出来，你就能得出一个合理的消费建议，哎呀，简直太棒了！还有呢，想想你在网上购物时，看到的那些评价。
最佳平方逼近
n
j =0
所以
= ( f − P , f − P* ) + ( P* − P, P* − P) + 2( f − P* , P* − P) f −P 2
2
*
j =0
= f −P
*
2 2
+ P −P ≥ f −P
* 2
2
*
2 2
, ∀P ( x ) ∈ S
是最优的。 即 P * ( x ) 是最优的。 (3) 均方误差
令
⋯ ∈ P( x) = ∑a j ϕ j ( x) ↔ a 0， a1， a n） R n + 1 （
b
2 f − P 2 = ∫a ω ( x )( f ( x ) − ∑ a jϕ j ( x )) dx ≡ I (a0 , a1 ,⋯ , a n )
2
j =0
n
f − P*
2 2
数分知识, 数分知识, * * = ∫ ω ( x )( f ( x ) − ∑ a *j ϕ j ( x ))2 dx ≡ I（a0，a1， a n） 它有稳定解 ⋯ * a
1 （）若 f ( x ) ∈ C [a , b]； (2) 函数类 S = Span{ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ),⋯ , ϕ n ( x )}， i ( x) ∈ C[a, b]， ϕ 线性无关， 且 ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ), ⋯ , ϕ n ( x )线性无关，则
f −P
2 2 *
2 2
= ( f − P, f − P)
j =0
≥ f −P
*
2 2
= ( f − P + P* − P, f − P* + P* − P)
3.3.4 内积空间上的最佳平方逼近
a, b
Gn 0,
其中
Gn Gn ( 0 , 1 , , n ) ( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , n ) (1 , 0 ) (1 , 1 ) (1 , n ) ( n , 0 ) ( n , 1 ) ( n , n )
*g Q x
*
2 2
g S , g S
* *
i , i
2 i
g S ,g S
*
g S
* 2 2
S*
* 这说明 不是对 的最佳平方逼近元， g
S
与假设条件矛盾，
所以
必须与一切 g S*
正交.
k k 0,1,..., n
3.3.4 内积空间上的最佳平方逼近
1．函数系的线性关系
定义： 若函数 ，在区间 上连续， 0 ( x), 1 ( x), , n ( x)
a, b
则称
如果关系式 当且仅当 函数在
a0 0 ( x) a11 ( x) a2 2 ( x) an n ( x) 0
证： 必要性.
用反证法. 设 的最佳平方逼近元， gX S *为 正交 . 0,1,..., n k k 即存在 但
g S
* 不与所有的
i 0 i n
使得
i g S * , i 0
令
i Q( x ) S i (i , i )
的全体是 的一个子集，记为
span{0 , 1 ,
并称
, n }
是生成集合的一个基底。 0 ( x), 1 ( x), , n ( x)
定理 连续函数 在 ( x上线性无关的 ), 1 ( x), , n ( x) 0
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13
多项式正交函数族：切比雪夫多项式、勒让德多项式 、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式等
§ Legendre多项式与最佳平方逼近
Legendre polynomials: (x) 1, [a, b]=[-1,1], {1, x, …, xn,…}, 经Schmidt正交化 ， 即得Legendre多项式(Legendre, 1785年定义) 1814年，Rodrigul（罗德里克）提出一种简便形式：
n
把区间[-1,1], 通过变换把转化到[a,b]上处理.
10
例3 求 f(x)= x 在区间 [0,1] 上的一次最佳平方逼近多项式. 解 令 x 1 (1 t ) 2 1 则 f ( x) 1 t g (t ), 1 x 1 2
先求g(t)在区间 [-1,1] 的一次最佳平方逼近多项式.
解 法方程为
1 1 2
1 c 2 2 0 3 2 1 c 3 1 5
4 4 解得 c0 , c1 15 5
所求的最佳平方逼近元 素为 p( x) 4 4 x. 0 x 1 15 5
7
2 正交系在最佳平方逼近中的应用
b
(k , j ) k ( x) j ( x)dx,
a
( f , k )
q
a
f ( x)k ( x)dx,
6
例1 定义内积 ( f , g ) 0 f ( x) g ( x)dx
试在H1=Span{1,x}中寻求对于f(x)= x 的最佳平方逼近元素p(x).
1
找一个函数P(x) ，使P(x) 与 f(x) 之差在某种度量意义下达 到最小。
函数类 A通常是区间 [a,b] 上的连续函数，记作C[a,b] ；函数
类 B 通常是代数多项式，有理多项式，三角多项式，分段 多项式等容易计算的函数。
3
最常用的度量标准有两种：
1、一致逼近（均匀逼近） 以
a x b
f ( x) p* ( x) min f ( x) p( x)
2 pPn
2
则称 p*(x) 是在Pn中对 f (x) 的最佳平方逼近函数.
5
三、最佳平方逼近函数的求解
1、解法方程
p * ( x)
k 0
n
* ck k ( x )
(0 ,0 ) (0 ,1 ) ( , ) ( , ) 1 1 1 0 ( n ,0 ) ( n ,1 )
实验四
最佳平方逼近
1
实验内容： 最佳平方逼近多项式的求解： 解‘法方程组’； 规范正交函数组.
2
定义 近似代替又称为逼近，函数 f(x) 称为被逼近函数；P(x)
称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。
函数逼近问题可叙述为：对函数类 A 中给定的函数 f(x) ，需
要在另一类较简单的便于计算的函数类 B （B∈ A）中，
先求g(t)在区间 [-1,1] 的一次最佳平方逼近多项式.
2 2 可知 q1 (t ) t , 1 t 1 3 5
把 t=2x-1 代入 q1(t)，就得 x 在区间[0,1]的一次最佳平方逼近多 项式:
4 4 p1 ( x) x. 0 x 1 15 5
12
四、程序实现
2 2 可知 q1 (t ) t , 1 t 1 3 5
把 t=2x-1 代入 q1(x)，就得 项式: 4 在区间[0,1]的一次最佳平方逼近多
4 p1 ( x) x. 0 x 1 15 5
11
例3 求 f(x)= x 在区间 [0,1] 上的一次最佳平方逼近多项式. 解 令 x 1 (1 t ) 2 1 则 f ( x) 1 t g (t ), 1 x 1 2
* ( f , 0 ) (0 , n ) c0 * (1 , n ) c1 ( f ,1 ) * ( n , n ) cn ( f , n )
9
具体步骤
遇到区间[a,b], ba x t. 2 2
把Legendre多项式规范化： wk
Lk Lk 2
求在区间[-1,1]上，f(t)的n次最佳平方逼近多项式：
pn *( x ) k 0 ( f , wk ) wk ( x ).
当 0x,1x, , nx, 是规范正交系时,求解最佳平方逼近 式非常容易.
最佳平方逼近多项式为：
* p *( x ) k 0 ck k ( x ). n
ck * ( f ,k ), k 0,1, 2,..., n
8
如何求正交函数族？ 从一组线性无关函数族出发，用 Schmidt 正交化方法 将其规范正交化成一组规范正交函数族。
max f ( x ) p ( x )
作为度量误差f(x)- P(x) 的“大小” 标准。
2、平方逼近（均方逼近） 以 (
f ( x) p( x) dx)
b a
2
1 2
作为度量误差f(x)- P(x)的“大小” 标准。
4
函数的最佳平方逼近
最佳平方逼近的概念与解法
一、最佳逼近的意义 设{0x,1x, , nx} C[a, b], 它们线性无关. 又给定 f (x)C[a, b], 求 p*(x) Pn Span{0x,1x, , nx}, 使得 f (x) p*(x) 在某种意义下最小. 二、最佳平方逼近的概念 定义 对于给定的 f (x)C[a, b],若有 p*(x)Pn ,使得