函数连续性在矩阵分析中应用关于

函数连续性在矩阵分析中的应用在数学分析的学习中知道，函数的连续性具有非常好的特性，比如局部有界性，介值性等，这使得很多问题在函数连续的基础上可以变得简单，那么函数连续性在高等代数中是否也有同样的好处，可以将问题简单化呢？类似于矩阵特征多项式和含字母矩阵的k 阶主子式等这样一类都是关于参数的多项式，而多项式为一连续函数，因此函数的连续性可以应用在矩阵中，从而引发了对函数连续性在矩阵的各方面的应用，比如：在伴随矩阵，矩阵的正定性以及矩阵对应行列式的计算等各方面的应用。

一、预 备 知 识定义[]61、函数在一点连续的定义：若函数()f x 在0x 的邻域包含0x 本身有定义，并且()()00lim x x f x f x →=，我们就称()f x 在点0x 连续。

定义[]62、函数()f x 在某一区间内有定义：若函数()f x 在开区间)(,a b 内每一点都连续，也就是说对)(,a b 内任何一点0x 皆成立()()00lim x x f x f x →=，则称()f x 在)(,a b 内连续，对闭区间],a b ⎡⎣来说，()f x 在],a b ⎡⎣上连续的定义是指：()f x 在)(,a b 内连续，同时有()()0f a f a +=，()()0f b f b -=，则称()f x 在],a b ⎡⎣内连续。

引理[]51、由初等函数的连续性知，多项式()1110...n n n n f x a x a x a x a --=++++在)(,-∞+∞上为连续函数。

定理[]51、（代数基本定理）任意一个n 次复系数多项式一定有n 个复数根，其中n>1.定理[]52、设()f x 是任意一个n 次复系数多项式，n>0，则()f x 恰有n 个复数根12,,,...,n c c c ，而且()()()()012...n f x a x c x c x c =---，其中0a 是()f x 的首项系数。

引理[]32、()()*11*A A --=证明：由于*AA A E =，故*1A A A -=，从而()()*11111A A A A A -----==，于是()*1*11.A A A A AA E ---==，证得()()*11*A A --=.引理[]53、()111AB B A ---=引理4、对n n P ⨯上的任一矩阵A ，存在δ，使得在[]0,δ上有t A 可逆， 其中t A A tE =+.证明：t A A tE =+＝111212122212.....................n n n n nn n nt a a a a t a a a a t a ⨯⎛+⎫⎪+ ⎪⎪⎪+⎭⎝ 其中A=()ij n n a ⨯则t A 是关于t 的多项式，由多项式的根的存在性定理知它具有n 个根12,,...,n t t t ，设12,,...,n t t t 不全为零，并记{}0min :0,1i i t t t i n =≠≤≤，取正数δ，使得00t δ<<，于是对任意的t ，0,det 0t t A δ<<≠，即t A 可逆。

引理[]15：设n 阶实矩阵()ij A a =，若,1ii ij i ja a i n ≠>≤≤∑，则0A ≠。

证明：若0A =，则A 的列向量线性相关，故存在不全为零的数12,,...,n k k k ，使111122121122221122000n n n n n n nn n a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩不妨设1k 是i k 中最大的数，则10k >，于是1111221n n a k a k a k =---，则()11112211211n nn a k a k a k a a k ≤++≤++，于是1111j j a a ≠≤∑，矛盾！ 二、函数连续在伴随矩阵中的一些应用对于方阵A ，存在等式*AA A E =,特别地，若A 可逆就有*1A A A -=，但若A 不可逆时，这个等式就不成立，在讨论有关伴随矩阵的一些特性时，对A 可逆的情况，利用*1A A A -=可方便证明相关结论，对A 不可逆的情况，往往可利用t A A tE =+这样一类矩阵配合函数的连续性进行推导。

2.1、用表示阶方阵的伴随矩阵，证明：()()**TT A A =证明：*AA A E =i ）当A 可逆时，T A 可逆且有()()()*11T T TTA A A AA --==()()()()()1**11TTTT T A AA A A A A A ---====ii)当A 不可逆时，令t A A tE =+，由引理四，存在定区间]0,δ⎡⎣，使得t A A tE =+可逆，由情形i ）知有()()**TT t t A A =，从而当0t →时，取极限有()()**TT A A =.综合情形i ），ii ）有结论：()*TA ＝()*T A2.2、证明：()***AB B A =证明：i ）先证明A,B 可逆的情形。

当A,B均可逆时，即0,0A B ≠≠，这时有：()()()()()**1**111111**0,0AB B A A B AB AB AB A B B A B BA AB BA AB A-------=≠≠=====即证得()***AB B A =ii)再证明A,B 不可逆的情形。

令,t t A A tE B B tE =+=+，则存在公共的δ，使)(0,t δ∈及t A ,t B 均可逆。

事实上，t A A tE=+＝111212122212.....................n n n n nn n nt a a a a t a a a a t a ⨯⎛+⎫⎪+ ⎪⎪ ⎪+⎭⎝ 其中A=()ij n n a ⨯， 则t A 是关于t 的多项式，因此由多项式的根的存在性定理知它具有n 个根12,,...,n t t t ，设12,,...,n t t t 不全为零，并记{}0min :0,1i i t t t i n =≠≤≤，取正数1δ，使得100t δ<<，于是对任意的t ，10,0t A δ<<≠，即t A 可逆。

同理，t B B tE =+＝111212122212.....................n n n n nn n nt b b b b t b b b b t b ⨯⎛+⎫⎪+ ⎪⎪⎪⎪ +⎭⎝ 其中B=()ij n n b ⨯，则t B 是关于t 的多项式，因此由多项式的根的存在性定理即定理二知它具有n 个根'''12,,...,n t t t ，设'''12,,...,n t t t 不全为零，并记{}'''0min :0,1i i t t t i n =≠≤≤，取正数2δ，使得'200t δ<<，于是对任意的t ，20,0t B δ<<≠，即t B 可逆。

取{}12min ,δδδ=，则当任意的0t δ<<，均有0t A ≠且0t B ≠，即这时t A 与t B 均可逆，这时由情形i ）即有()***t t t t A B B A =，从而当0t →时，取极限有()***AB B A =。

综上所述，无论A,B 是否为可逆矩阵，均有()***AB B A =成立。

注01：在()***AB B A =的证明过程中，当A,B 可逆时，证明的过程是简单的，利用()()*1AB AB AB -=即可得到，而当A,B 不可逆时，1A -与1B -不存在，因此，公式()()*1AB AB AB -=不可用，那么借助t A A tE =+与t B B tE =+，由行列式的知识知它们的行列式都是t 的n 次多项式，再由多项式的知识找出一个区间，使得在这个区间上t A 与t B 的行列式均不为零，即意将情形ii ）归为情形i ），最后利用函数的连续性得出结论。

2.3 设A,B 为任意两个方阵，若A~B,则其伴随矩阵也相似，即**~A B .证明：i ）当A,B 均可逆时，由*AA A E =和*BB B E =有()1*A A A -=, ()1*B B B -= (1)因为A 与B 相似，故存在可逆方阵P,使得1P AP B -= (2)两边取行列式得A B =,将（1）式代入（2）式中得到：()()111**P A A P B B ---=因为A B =，所以()()111**P A P B ---=，即()11*P A --＝()1*1B P --,在等式两边同乘P 得：()11*P P A --()1*1B P P --=，即()()11****P A B P --=于是有()()()111****BP AP ---=， 那么()1****B P A P-=, 从而**~A B .ii ）当A,B 均不可逆时，令t A A tE =+，t B B tE =+，由引理4，存在δ，使得在]0,δ⎡⎣上有t A 与t B 均可逆，且有()111t tP A P P A tE P P AP tE B tE B ---=+=+=+=，即~t t A B ，由情形i ）知**~t t A B ，从而当0t →时，取极限有**~A B .三、函数连续性在行列式计算中的应用分块矩阵能简化高阶矩阵的运算，可应用于高阶矩阵的逆矩阵和秩的求解、行列式计算等问题中，矩阵的特征多项式也是关于行列式的计算，并且是一类本身就带有参数的特殊行列式计算，以下我们应用函数的连续性来解决行列式计算的一些问题。

3.1 、A BAD BC C D=-, 其中A,B,C,D n n C ⨯∈且AC=CA 证明：i ）先证明A 可逆的情形。

1100n n I A B A B CA I C D D CA B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1) 显然101n nI CA I -=-,因此对（1）式两边取行列式得到10A B A B C D D CA B -==-111()A D CA B A D CA B AD ACA B ----=-=- 由于AC CA =，所以()()111()A D CA B AD AC A B AD C AA B AD CB ----=-=-=-于是A BAD BC C D=- ii ）再证明A 不可逆的情形。

记n A A I λλ=+＝111212122212.....................n n n n nn n na a a a a a a a a λλλ⨯⎛+⎫⎪+ ⎪⎪⎪⎪ +⎭⎝ 其中A=()ij n n a ⨯，易知A λ是关于λ的n 次多项式。