【高考数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合集4

【高考数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合集4

未命名

一、解答题

1．已知动圆M 恒过点(1,0)F ，且与直线l ：1x =-相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；

（2）探究在曲线C 上，是否存在异于原点的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，当1216y y =-时，直线AB 恒过定点？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）轨迹方程为2

4y x =；（2）直线AB 过定点(4,0). 【解析】

(1)因为动圆M,过点F (1,0)且与直线:1l x =-相切, 所以圆心M 到F 的距离等于到直线l 的距离.根据抛物线的定义可以确定点M 的轨迹是抛物线，易求其方程.

（II ）本小题属于存在性命题，先假设存在A,B 在2

4y x =上, 直线AB 的方程:

21

1121

()y y y y x x x x --=

--,即AB 的方程为22121121()4y y y y y y x y +--=-,然后根据

1216y y =-,∴AB 的方程为12()(164)0y y y x ++-=,从而可确定其所过定点.

解：(1) 因为动圆M,过点F (1,0)且与直线:1l x =-相切, 所以圆心M 到F 的距离等于到直线l 的距离. …………2分 所以,点M 的轨迹是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,且12

p

=,2p =, ……4分 所以所求的轨迹方程为2

4y x =……………6分 (2) 假设存在A,B 在24y x =上, …………7分 ∴直线AB 的方程:21

1121

()y y y y x x x x --=

--, …………9分

即AB 的方程为:211124

()4

y y y x y y -=

-+, …………10分 即22

121121()4y y y y y y x y +--=-…………11分

又∵1216y y =-∴AB 的方程为12()(164)0y y y x ++-=，…………12分

令0y =,得4x =，所以,无论12,y y 为何值,直线AB 过定点(4,0) …………14分

2．（Ⅰ）求以22

20x y y +-=的圆心为焦点的抛物线方程；

（Ⅱ）若00(,)P x y 为（Ⅰ）中所求抛物线上任意一点，求点P 到直线20x y --=的距离的最小值，并写出此时点P 的坐标． 【答案】（Ⅰ）24x y =（Ⅱ）()2,1P

，最小值2

【解析】 【分析】

（Ⅰ）将圆的方程配成标准式，即可得出圆心坐标，利用抛物线的标准方程即可求解。 （Ⅱ）利用点到线的距离公式求最值。 【详解】 （Ⅰ）

2220x y y +-=

()2

211x y ∴+-=

故圆心坐标为(0,1)，同时抛物线焦点为(0,1)，故抛物线方程为2

4x y =；

（Ⅱ）00(,)P x y 且在抛物线2

4x y =上，20

04

x y ∴=．从而点P 到直线20

x y --=的距离为

d =

=≥，当02x = 即()2,1P 时，

． 【点睛】

本题考查圆的标准方程，求抛物线的标准方程及抛物线上的点到定直线的距离最值问题，属于一般题。

3．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线C 上一点(4,)M m 到其焦点的距离为6.

（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；

（Ⅱ）若抛物线C 与直线2y kx =-相交于不同的两点A 、B ，且线段AB 中点的横坐标为2，求实数k 的值. 【答案】（1）2

8y x =（2）2

【解析】

解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为

，其准线方程为2

p

x =-

， （2分） ∵P （4，m ）到焦点的距离等于A 到其准线的距离,4642

p

p ∴+=∴= ∴抛物线C 的方程为

（2分）

（Ⅱ）由

消去y ，得2

2

(48)40k x k x -++=（2分）

∵直线与抛物线相交于不同两点A 、B ，则有

0,64(1)0k k ≠?=+>，解得

, （2分）

又

122

24

22x x k k

++==，解得2,1k k ==-或（舍去） ∴所求k 的值为2

4．如图所示,已知点(,4)M a 是抛物线2

4y x =上一定点,直线AM BM 、的倾斜角互补,

且与抛物线另交于A ，B 两个不同的点．

(1)求点M 到其准线的距离； (2)求证：直线AB 的斜率为定值． 【答案】(1)5；(2)1

2

- 【解析】 【分析】

（1）把点M 的坐标代入抛物线的方程，求出点M 的坐标，然后根据抛物线的定义求出点M 到其准线的距离；

（2）设出直线MA 的方程，与抛物线方程联立，得出A 的纵坐标，同理得出B 的纵坐标，由已知条件结合点差法推导出AB 的斜率表达式，把A ，B 的坐标代入，由此能证明直线AB 的斜率为定值． 【详解】

（1）∵M （a ，4）是抛物线y 2＝4x 上一定点，∴42

＝4a ，a ＝4，

∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝﹣1，故点M 到其准线的距离为5；

（2）由题知直线MA 、MB 的斜率存在且不为0，设直线MA 的方程为：y ﹣4＝k （x ﹣4）；

联立22

4(4)

4161604y k x ky y k y x -=-??--+=?=?

，设(),A A A x y ，(),B B B x y ， 44A y k ∴+=

，即4

4A y k

=-， ∵直线AM BM 、的斜率互为相反数，∴直线MB 的方程为：4(4)y k x -=--， 同理可得：44B y k

=

--，由A ，

B 两点都在抛物线y 2＝4x 上，∴ 2A A 4y x =，2

B B 4y x =， 2241

4

24A B A B AB A A B A B B y y y y k y y x x y y ∴=

===-+----，

∴直线AB 的斜率为定值1

2

-. 【点睛】

本题考查了抛物线的定义,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了一元二次方程根与系数关系，考查直线的斜率为定值的证明，属于中档题．

5．已知1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=＞＞

的左，右焦点，点(P -在

椭圆E 上，且抛物线2

4y x =的焦点是椭圆E 的一个焦点。 （1）求a ,b 的值：

（2）过点2F 作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆2222x y a b +=+相交于A ，B 两点，且

与椭圆E 相交于C ，D 两点，当111F A F B =?时，求△

1F CD 的面积。 【答案】（1

）1a b ==；

（2

）7

.

【解析】 【分析】

（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出a ，b ；

（2）设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与圆的方程可以求出2t ，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积． 【详解】

（1）24y x ＝焦点为F （1，0），则F 1（1，0），F 2（1，0），

122P F +P F a ＝＝

，解得a =c ＝1，b ＝1，

（Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y

联立22

13x ty x y =+??+=?得22

(1)220t y ty ++-=，易知△＞0，则1221222t t +12

t +1y y y y ?

+=-????=-??

11 F A F B ?＝1

122(1)(1)x x y y +++＝1212(ty +2)(ty +2)+y y

＝2

2

12122

2-2t t +1y y +2t y +y +4t +1

（）（）＝ 因为111F A F B =?，所以22

2-2t t +1

＝1，解得2

1t 3＝ 联立22

1

12

x ty x y +??

?+??＝＝ ，得22t +2y +2ty-10（）＝，△＝82t +1（）＞0 设3344C ,),(,)x y B x y （，则3423422t y +y t +2

1y y 2t -?

???

?-

?+?

＝＝

1F CD 12341S F F y -y 23

??＝＝ 【点睛】

本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题。 意在考查学生的数学运算能力。

6．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设点1,04F ??

???，直线l :14x =-，点P 在直线l 上

移动，R 是线段PF 与y 轴的交点,过R 、P 分别作直线1l 、2l ，使1l PF ⊥，2l l ⊥，

12l l Q =.

(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；

(2)已知⊙M ：22(4)1x y -+=，过抛物线C 上一点000(,)(1)H x y y ≥作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值． 【答案】(1) 2y x =；(2)11-. 【解析】 【分析】

(1)依题意知，得出PQ QF =，利用抛物线的定义，即可求得抛物线的方程； （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，求得直线HA 与HB 的方程，进而得到直线AB 的方程，即可作出求解． 【详解】

(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，所以RQ 是线段FP 的垂直平分线，

即PQ QF =，由抛物线的定义，可得动点Q 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，

又由1,04F ??

???，直线l :14x =-，所以抛物线的方程为2y x =．

（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为114MA y k x =

-，所以1

1

4HA x k y -=， 可得，直线HA 的方程为111(4)4150x x y y x --+-=， 同理，直线HB 的方程为222(4)4150x x y y x --+-=，

所以210101(4)4150x y y y x --+-=，2

20202(4)4150x y y y x --+-=， 所以直线AB 的方程为2

00(4)4150x y yy x --+-=，

令0x =，可得000

15

4(1)t y y y =-

≥， ∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞单调递增，所以min 11t =-． 【点睛】

本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用抛物线的定义，以及直线与圆的位置关系求得直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．

7．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2

20y px p =>的准线方程是12

x =-.

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线()()20y k x k =-≠与抛物线相交于M N 、两点，O 为坐标原点，证明：以MN 为直径的圆过原点.

【答案】（1）2

2y x =；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）根据抛物线的性质，即可求得p 的值，求得抛物线方程；

（2）将直线方程代入抛物线方程，利于韦达定理即可12x x ，由()2

12124y y x x =，即可求得12y y ，利用向量的坐标运算，即可求得OM ON ⊥,进而可得到结果． 【详解】

解：（1）由抛物线()220y px p =>的准线方程为2

p

x =-

， 则1

22

p -

=-，则1p =， ∴抛物线方程为22y x =；

（2）证明：设()()1122,,,M x y N x y ，

由2(2)2y k x y x

=-??=?，消去y 整理得()

2222

22140k x k x k -++=， 124x x ∴=，

由2

2

11222,2y x y x ==，两式相乘，得()2

12124y y x x =，

注意到12,y y 异号，所以124y y =-，

则12120,OM ON x x y y ?=+=

OM ON ∴⊥， 90MON ∴∠=，

所以以MN 为直径的圆过原点． 【点睛】

本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题．

8．已知定点()1,0F ，定直线l 的方程为1x =-，点P 是l 上的动点，过点P 与直线l 垂直的直线与线段PF 的中垂线相交于点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程:

（2）点()(),0 0A a a >，点(),0B a -， 过点A 作直线1l 与曲线C 相交于G 、E 两点，求证：GBA EBA ∠=∠.

【答案】（1）24y x =；（2）见解析

【解析】 【分析】

（1）根据垂直平分线的性质以及抛物线的定义，求得曲线C 的轨迹方程.

（2）设出直线1l 的方程，联立直线1l 的方程和抛物线方程，消去x ，写出韦达定理，通过计算0BG BE k k +=，证得BG BE k k =-，从而证得GBA EBA ∠=∠. 【详解】

（1）由题知QF QP d ==，

∴点Q 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线， ∴曲线C 的方程为24y x =.

（2）设直线1l 的方程为x my a =+，

()11,G my a y +，()22,E my a y +，

由2

4x my a y x

=+??

=?得2

440y my a --=， 124y y m +=， 124y y a =-，

又1

12BG y k my a

=

+，222BE y k my a =+，

∴121222BG BE y y k k my a my a

+=

+++

()

()()1212122222my y a y y my a my a ++=

++

()()()

122424022m a a m

my a my a ?-+?=

=++

∴BG BE k k =-∴GBA EBA ∠=∠ 【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查根与系数关系的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

9．设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点. （1）若直线3x =被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p 的值； （2）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求

||

||

PA PF 的最大值；

（3）设2p =，1l 、2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，

1l 与抛物线Γ交于点A 、B ，2l 与抛物线Γ交于点C 、D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，求点G 的

轨迹方程. 【答案】（1）32

p =；（2

；（3）23y x =-. 【解析】 【分析】

（1）当3x =时，代入抛物线方程，求得y ，可得弦长，解方程可得p ；

（2）求得A 的坐标，设出过A 的直线为()2

p

y k x =+，tan k α=，联立抛物线方程，

若要使||

||

PA PF 取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得

所求最大值；

（3）求得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，

结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程 【详解】

（1）由3x =可得y =6，解得32

p =； （2）A 是点(

2

p

F ，0)关于顶点O 的对称点，可得(2p A -，0)，

设过A 的直线为()2

p

y k x =+，tan k α=，

联立抛物线方程可得22

22

2

(2)04

k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得△2242(2)0k p p k p =--=，解得1k =±， 可取1k =，可得切线的倾斜角为45?，

由抛物线的定义可得||11

||sin(90)cos PA PF αα

==?-，而α的最小值为45?， ||

||

PA PF ； （3）由2

4y x =，可得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，

()G x y ,，

设1:(1)l y k x =-，联立抛物线2

4y x =，可得2

2

2

2

(24)0k x k x k -++=，

即有122

42x x k +=+

，1212

4

()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1

k

-，可得

23424x x k +=+，344y y k +=-， 点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，

可得4(x ，1234)(4y x x x x =+++-，1234)y y y y +++，

即为2

12342

4

444x x x x x k k =+++-=+

①， 12344

44y y y y y k k

=+++=-+

②， 联立①②式消元可得222

211()22y k k x k k

=-=+-=-，

则G 的轨迹方程为22y x =- 【点睛】

本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题