第一讲一元二次方程培优专题含答案

第一讲一元二次方程培优专题（含答案）

一．选择题（共14小题）

1．（2016•包头）若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（）

A．﹣B．C．﹣或D．1

2．（2016•乐山）若t为实数，关于x的方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是（）

A．﹣15 B．﹣16 C．15 D．16

3．（2016•河北）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．无实数根D．有一根为0

4．（2016•黄冈校级自主招生）设x1，x2是方程x2+x﹣4=0的两个实数根，则x13﹣5x22+10=（）

A．﹣29 B．﹣19 C．﹣15 D．﹣9

5．（2016•岱岳区一模）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数：“i“，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（）

A．0 B．1 C．﹣1 D．i

6．（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）

A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根

D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

7．（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m ﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

8．（2013•呼和浩特）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（）

A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1

9．（2013•船山区校级自主招生）若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）

A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 10．（2013•涟水县校级一模）已知方程x2﹣4x+2=0的两根是x1，x2，则代数式

的值是（）

A．2011 B．2012 C．2013 D．2014

11．（2012•富顺县校级模拟）已知方程a3﹣5a2+3a=0三个根分别为a1，a2，a3，则计算a1（a2+a3）+a2（a1+a3）+a3（a1+a2）的值（）

A．﹣5 B．6 C．﹣6 D．3

12．（2010•汾阳市校级自主招生）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，其中真命题有（）

①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；

③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．

A．1个B．2个C．3个D．0个

13．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（）

A．9 B．10 C．9或10 D．8或9或10

14．（2009•桂平市二模）设α，β是方程x2+9x+1=0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（）

A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000

二．填空题（共10小题）

15．（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣

3x+8=0，则△ABC的周长是．

16．（2013•自贡）已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是．（填上你认为正确结论的所有序号）

17．（2013•荆门）设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则

=．

18．（2013•江阳区校级模拟）若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a+2013=0，b2﹣b+2013=0，则=．

19．（2012•金牛区三模）已知实数x满足，则=．

20．（2009•河南模拟）设A是方程x2﹣x﹣2009=0的所有根的绝对值之和，则A2=．

21．（2006•荆州）已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．

22．（2001•宜昌）用换元法解方程2x2+3x﹣5+3=0时，若设

a=，则原方程可变形为．

三．解答题（共6小题）

23．（2014•番禺区校级模拟）已知关于x的方程x2+2（k﹣3）x+k2=0有两个实数根x1、x2．

（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2﹣9|=x1x2，求k的值．