工程力学：第六章弯曲变形b

自由端的挠度及转角
C1
1 2
FL2
; C2
wk.baidu.com
1 6
FL3
w(L) FL3 (L) FL2
3EI
2EI
11
解二：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) F(L x) 写出微分方程并积分
EIw M (x) (FL Fx)
EIw
FLx
1 2
Fx2
C1
FLx 2 Fx3 EIw 2 6 C1x C2
r EI
r (x) EI z
二、曲率与挠曲线的关系：
1
w
r(x)
1 (w)2
3 2
→
1 w
r(x)
……（2）
三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得
M(x) w EI
EIw M(x)
7
w
M>0
w
w ( x ) ＞ 0 x
M<0
w ( x ) ＜ 0 x
结论：挠曲线近似微分方程—— EIw M(x)
1
第六章 弯曲变形
§6—1 概述 §6—2 梁的挠曲线近似微分方程 §6—3 积分法计算梁的变形 §6—4 叠加法计算梁的变形 §6—5 梁的刚度计算 §6—6 简单超静定梁的求解 弯曲变形小结
2
§6—1 概 述
材料力学的任务是研究构件强度、刚度与稳定性的问题。
弯曲强度的计算： max 1)画Q、M图：
tg dw w(x) w tg w
dx
4
5
一、挠曲线：梁变形后的轴线。
二、挠度： w w(x)
三、转角： (x) 四、挠度和转角的关系
tg dw w(x) w
dx
tg w
w
P
A
C
w
C'
B
x
6
§6—2 梁的挠曲线近似微分方程
一、曲率与弯矩的关系：
1 M 1 M (x) ……（1 ）
C1
C2
Fb 6L
(L2
b2);
D1 D2 0
确定挠曲线和转角方程
w1
Fbx1 6LEI
L2 b2 x12
1
w1
Fb 6LEI
(L2
b2 ) 6x12
跨中挠度及转角
w2
Fb 6LEI
L b
(x2
a)3
x23
(L2
b2 )x2
2
w2
Fb 2LEI
L b
(x2
a)2
x22
极其平坦的平面曲线。
w
x
二、挠度：横截面形心沿垂直于
轴线方向的位移。用“w” 表示。
三、转角：横截面绕中性轴转过
C'
的角度。用“ ” 表示。
C
w
四、挠度和转角的关系 x
w = w（x） ……挠曲线方程。挠度向上为正；向下为负。
θ=θ(x)……转角方程。由变形前的横截面转到变形后，逆时
针为正；顺时针为负。
（3）、在弯矩方程分段处： 一般情况下稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。
4、确定挠曲线方程和转角方程 。
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
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例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
解一：建立坐标系并写出弯矩方程 w
M (x) F(L x) 写出微分方程并积分
a)
EIw2
Fb 2L
x22
F (x2 a)2 2
C2
EIw1
Fb 6L
x13
C1x1
D1
EIw2
Fb 6L
x23
F (x2 6
a)3
C2 x2
D2
13
应用位移边界条件和连续条件求积分常数
x = 0 , w = 0 ; x = L , w = 0 . x1 = x2 = a ，w1 = w2 ；w／1 = w／2
应用位移边界条件求积分常数
X=0, w=0 ; θ =0
C1 0 ; C2 0
w
x
L
F
x
确定挠曲线、转角方程
w(x) F 3Lx2 x3 6EI
w F 2Lx x2 2EI 最大挠度及转角
wm ax
w(L)
FL3 3EI
m ax
(L)
FL2 212EI
例：求图示梁的跨中的挠度和转角
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了Fs、(w)2 对变形的影响。 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
8
§6—3 积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量） 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
EIw(x) M (x)
EIw(x) M (x)dx C1
x
L
F
x
EIw M (x) F(L x)
确定挠曲线、转角方程
EIw
EIw 1 F (L x)2
-
12F(L
6
x )3
C1
C1x
C2
w(x) F (L x)3 3L2x L3 6EI
w F (L x)2 L2
应用位移边界条件求积分常数
2EI
x = 0, w = 0 ; θ = 0
M max Wz
[
],
max
F S* smax z max Izb
[ ],
2)计算
Wz ,
Iz,
S
* z
,
3)计算应力
弯曲刚度的计算： 梁弯曲变形的计算。
目的：要控制梁的最大弯曲 变形在一定的限度内。
梁的挠度，横截面的转角。 梁的挠曲线：变形后的轴线。
3
一、挠曲线：梁变形后的轴线。
F
性质：连续、光滑、弹性、
（EI=常数）a b l
Fb l
a
b
Fa
解：建立坐标系并写出弯矩方程
F
Fb
x1
l
M (x1) L x1
A
C
B
M (x2 )
Fb L
x2
F (x2
a)
x2
写出微分方程并积分
左侧段（0≤x1≤a）：
EIw1
Fb L
x1
EIw1
Fb 2L
x12
C1
右侧段（a≤x2≤L）：
EIw2
Fb L
x2
F (x2
EIw(x) ( M (x)dx)dx C1x C2
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
9
P
A
C
B
D
P
边界条件： wA 0, wB 0 ; wD 0, D 0 ;
连续条件：w C
左
w C
右
C左 C右
（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。
（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。
1 3
(L2
b2
)
w
x
L 2
Fb 48EI
(3L2
4b2 );
w
x
L 2
Fb 24LEI
L2 4b2
两端支座处的转角——
A
Fab(L 6LEI
b)
;
B
Fab(L 6LEI
a)
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讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。
左 1max w1 0 x1 0
侧
段：1m a x
A
Fab(L b) 6LEI
右 2max w2 0 x2 L
侧 段：
2m ax
B
Fab(L 6LEI
a)
当 a＞b 时——
max
B
Fab(L 6LEI
a)
wmax w 0 x1
L2 b2
3
a(a 2b) 3
当 a＞b 时—— x1 a 最大挠度一定在左侧段
wmax w1 xx1 9