(推荐)上海高一反三角函数典型例题

反三角函数典型例题

例1：在下列四个式子中，有意义的为__________： 解：（4）有意义。

（1）（2）arcsin 4

π

；（3）sin(arcsin 2)；（4）arcsin(sin 2)。 点评：arcsin x ——x [1,1]∈-。

例2：求下列反正弦函数值

（1）= 解：3

π

（2）arcsin0= 解：0 （3）1arcsin()2

-= 解：6π- （4）arcsin1= 解：2π

点评：熟练记忆：0，1

2

±、，，1±的反正弦值。

思考：1sin(arcsin

)24

π

+该如何求？

例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x

(1)sin x =

x [,]22ππ

∈- 解：x ＝变式：x [,]2

π

∈π?

解：x [,]2π

∈π时，π－x [0,]2

π∈，sin(π－x)＝sinx

∴π－x ＝，则x ＝π－

变式：x [0,]∈π? 解：x ＝或x ＝π－(2)1sin x 4=-，x [,]22ππ∈- 解：1

x arcsin 4

=-

变式：1

sin x 4=-，3x [,2]2

π∈π

解：3x [,2]2π∈π时，2π－x [0,]2

π

∈，sin(2π－x)＝－sinx ＝14

∴2π－x ＝arcsin 14，则x ＝2π－arcsin 1

4

点评：当x [,]22ππ

∈-时，x arcsina =；而当x [,]22ππ∉-，可以将角转化到区间[,]22

ππ-上，

再用诱导公式处理对应角之三角比值即可。

练习：

(1)sin x =

x [,]22ππ

∈- 解：x 3π=

(2)sin x 3=，x [0,]∈π 解：x =x =π-

(3)3sin x 5=-，3x [,]22ππ∈ 解：3

x arcsin 5

=π+

例4：求函数y 2arcsin(52x)=-的定义域和值域。

解：由152x 1-≤-≤，则x [2,3]∈，arcsin(52x)[,]22ππ-∈-，则y [,]∈-ππ。

变式：y sin x arcsin x =+ 解：x [1,1]∈-，y [sin1,sin1]22

ππ

∈--+

思考：当3x [,]44

ππ

∈-时，求函数y arcsin(cosx)=的值域。

解：当3x [,

]44

ππ∈-时t cos x [2=∈，而y arcsin t =为增函数，则y [,]42ππ∈-。

例5：求下列函数的反函数 (1) y sin x =，x [,]2

π∈π

解：y [0,1]∈，x [,0]2

π-π∈-且sin(x )sin x y -π=-=-，则x arcsin(y)-π=-，

则x arcsin y =π-，则反函数是1f (x)arcsin x -=π-，x [0,1]∈。 (2) y arcsin x =，x [0,1]∈

解：y [0,]2π∈，x sin y =，则反函数是1f (x)sin x -=，x [0,]2

π∈。

[例6] 求下列反三角函数的值：

(1) ＝6

π

(2) arccos(2-

＝

34

π

（两种方法）

(3) arccos0＋arctan1＝34π

(4) arctan(＝3

π-

(5) arcsin (－12)＋arccos (－12

)＝2π (6) 5arctan(tan )6π

＝6π-

[例7] 用反三角函数值的形式表示下列各式中的x ：

(1) 1cos x 3

=，x [0,]∈π

解：1x arccos 3= 变式：1cos x 3

=-，x [,2]∈ππ

解：1

x 2arccos 3

=π-

(2) tan x 2,x (,)22

ππ=-∈-

解：x arctan(2)=-

变式：3x (,)22

ππ

∈ 解：x arctan2=π+

[例8] (1) 已知arcsin x arcsin(1x)≥-，求x 的取值范围。

解：由11x x 1-≤-≤≤，得

1

x 12

≤≤。 (2) arccosx arccos(1x)>-

解：由1x 1x 1-≤<-≤，得10x 2

≤<

。

(3) arctan x 3π

>

解：x > (4) arccos x 3π> 解：1

1x 2

-≤<

[例9 求y ＝arcsinx ＋arctanx 的值域。

解：∵－1≤x ≤1 ∴－

34π≤x ≤34

π ——涉及和函数概念，反正弦、反正切函数单调性

[例10] 求下列各式的值：

(1) sin(arccos(

解：设x arccos(3=，则cos x 3=-

且x [,]2

π

∈π，则sin x =

(2) tan[arccos(]6

π

-

解：2

31)tan()2

432ππ-=

==+ (3) 213

cos (arccos )2

5

解：设3x arccos 5=，则3cos x 5=且x [0,]2π∈，则2x 1cos x 4

cos 225+==

(4) 123

sin[arctan arcsin ]55-

解：设12arctan 5α=，3arcsin 5β=，则12tan 5α=，4sin 5

β=且,(0,)2π

αβ∈，

则1231245333

sin[arctan arcsin ]sin()5513513565-=α-β=⨯-⨯=。

思考：若求11

arctan arctan 23

+的值呢？

解：1arc tan 2α=，1arctan 2β=，则1tan 2α=，1

tan 3

β=且,(0,)2παβ∈，

∵tan()1α+β=，且(0,)α+β∈π，∴4

π

α+β=。

（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注！）