均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)教学内容

利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x +

≥ (当且仅当1x =时取“=”

）;若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当 _____________时取“=”）

若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”）

2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则

22-2a b a b a b

b a b a b a

+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”

） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可

以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R +

∈，且满足

134

x y

+=，则xy 的最大值为 ________。 解：因为x >0，y>0，所以

23434

3

x y x y

xy

+≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，

于是

13

xy

≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求

11

x y

+的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16

2

1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立

技巧二：配凑项求 例2：已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。 解：

5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛

⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭

231≤-+=

当且仅当1

5454x x

-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 例3. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解：

当

，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

变式：设2

3

0<

-x ∴2922322)23(22)23(42

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭

⎫

⎝⎛∈=

23,043x 时等号成立。 例4. 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。 解：

当

,即

时,4

21)591

y x x ≥+⨯

=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 练习：1、已知01x <<，求函数(1)y x x =-.；

2、2

03

x <<

，求函数(23)y x x =-技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换） 错解

．．：

0,0x y >>，且

191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭

故 ()min 12x y += 。

错因：解法中两次连用基本不等式，在2x y xy +≥等号成立条件是x y =，在

1992

x y xy

+≥1

9

x y

=

即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：

19

0,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y

⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭

当且仅当

9y x

x y

=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。

变式： （1）若+

∈R y x ,且12=+y x ，求y

x

11+的最小值

(2)已知+

∈R y x b a ,,,且1=+y

b x a ，求y x +

的最小值

2：已知0,0x y >>，且

19

1x y

+=，求x y +的最小值。

(3) 设0,0.a b >>11

33a

b

a b

+与的等比中项，则的最小值为（ ）

． A ．8 B ．4 C ． 1 D ．

14

解析：因为333=⋅b

a

，所以1=+b a 。 又0,0,a b >>所以4222)11)((11=⋅+≥++=++=+b

a a

b b a a b b a b a b a ，当且仅当b a a b =即2

1

==b a 时取“=”。故选（Ｂ）．

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a

f x x x

=+的单调性。例：求函数2

y =

的值域。

(2)t t =≥，则2

y =

1

(2)t t t ==+≥

因1

0,1t t t >⋅=，但1t t

=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52

y ≥。 所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （

1

）

231,(0)

x x y x x

++=> （2）

1

2,33

y x x x =+

>- (3)

1

2sin ,(0,)sin y x x x

π=+

∈ 的最大值.

技巧六、已知x ，y 为正实数，且

x 2＋

y 2

2

＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 2

2 。

同时还应化简1＋y 2

中

y 2

前面的系数为 1

2

， x 1＋y 2 ＝x

2·1＋y 22

＝ 2

x ·

12 ＋y 22