解析几何专题(定点与定值问题) (终)
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解析几何专题 —定点与定值
沿河民族中学：阚 辉
一、温顾高考
考题展望
定点定值问题是解析几何的三种基本问题之一， 2015年全国卷Ⅱ第20题第Ⅰ问，2016年全国卷Ⅰ 第20题第Ⅰ问，北京卷第Ⅱ问，山东卷第Ⅱ问等 均为定点定值问题，由此可见定点定值问题它是 解析几何综合问题的基本形式，预测2017年高考 这种可能命题的可能性比较大。
2
解：(1)抛物线方程为 y2＝4x，设 A(x1，y1)，B(x2， y2)， 1 y＝ x＋m 1 2 设直线 l 的方程是 y＝ x＋m，由 ，得 2 2 y ＝4x y1＋y2＝8， 2 y －8y＋8m＝0， y1y2＝8m， y1＋4 y2＋4 4 4 kAM ＋ kBM ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ x1－4 x2－4 y1－4 y2－4 4（y1＋y2－8） ＝ 0， （y1－4）（y2－4） 直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补．
归纳 : 若能得到直线方程的点 y y 0 k ( x ห้องสมุดไป่ตู้ x 0 ) 则直线必过定点
斜式 ( x 0 , y 0 ).
思考解决定点问题有规律可循吗？
方法小结：定点问题实质上是一个恒成立问题， 解题中一般引入参变量建立方程，再根据其对参变量 恒成立，分离参数令其系数为零确定定点坐标，也可 能先根据特殊情况求出定点位置，再证该定点符合普 通情况．
（ 2 ）在平面直角坐标系 使得 ｜ＱＡ｜ ｜ＱＢ｜ ＝ | PA | | PB |
定点Ｑ，
的坐标，若不存在，请
两点 ( A 、 B 不是左 , 右顶点 : l 过定点 , 并求出该点的
你是否想说 点什么了？
归纳 : 动直线过定点问题 将直线方程（斜率存在 ）设为 y kx t , 由题设 ( m , 0 ).
条件将 t 用 k 表示为 t mk , 得直线恒过定点
撸起袖子干一干
抛物线 C：y ＝2px 经过点 M(4，－4)， (1)不过点 M 的直线 l 分别交抛物线于 A、 B 两点， 1 当直线 l 的斜率为 时，求证：直线 MA 与直线 MB 2 的倾斜角互补． (2)不经过点 M 的动直线 l 交抛物线 C 于 P、 Q两 点，且以 PQ 为直径的圆过点 M，那么直线 l 是否过 定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．
直线 与椭 圆的 位置 关系
中点弦问题 “点差法”
例 2 : 椭圆Ｃ : 的距离为
x a
2 2
y b
2 2
1 ( a b 0 )的离心率为
1 2
, 其左焦点到点
P ( 2 ,1 )
10 .
(1 ) 求椭圆Ｃ的标准方程 ( 2 ) 若直线 l : y kx m 与椭圆Ｃ相交于Ａ、Ｂ , 且以ＡＢ为直径的圆过 坐标 . 椭圆Ｃ的右顶点，求证
(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，以 PQ 为直径的圆过 点 M， 则(x1－4)(x2－4)＋(y1＋4)(y2＋4)＝0，
2 y2 y 1 2 即 4 －4 4 －4＋(y1＋4)(y2＋4)＝0，
化简，得 y1y2－4(y1＋y2)＋32＝0， 4 y1y2 x＋ 过 PQ 的直线为 y＝ 4 y1＋y2 4（y1＋y2）－32 4 4 ＝ x＋ ＝ y ＋y (x － 8) ＋ 4 y1＋y2 1 2 4，恒过(8，4)点．
思考 : ( 2015 年四川高考理
2 2
20 ), 如图已知椭圆 2 2 , 过点 P ( 0 ,1 )
x y E ： 2 2 1 ( a b 0 )的离心率为 a b 的动直线 l 与椭圆相交于Ａ、Ｂ两 l 被椭圆截得的弦长为
点 , 当直线 l 平行于 2 2.
x 轴时，直线
（1）求椭圆Ｅ的方程； xoy 中 , 是否存在与点Ｐ同同的 恒成立？若存在，求出 说明理由。 Ｑ
二、例题分析
例 1(2015 全国Ⅱ)已知椭圆 C：9x2＋y2＝m2(m>0)， 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M. (1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值． m (2)若 l 过点 3 ，m，延长线段 OM 与 C 交于点 P， 四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能， 求此时 l 的斜率； 若不能，说明理由．
（分析一） (1)设直线 l： y＝kx＋b(k≠0， b≠0)， A(x1， y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将 y＝kx＋b 代入 9x2＋y2＝m2， 得(k2＋9)x2＋2kbx＋ x1＋x2 －kb 9b b －m ＝0，故 xM＝ ＝ 2 ，yM＝kxM＋b＝ 2 . 2 k ＋9 k ＋9
2 2
于是直线 OM 的斜率 kOM＝ －9.
yM 9 ＝－ ，即 kOM·k＝ xM k
所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值．
( 分析二 )( 1 ) 设Ａ ( x 1 , x 2 ), B ( x 2 , y 2 ), M ( x M , y M ) 则
2 2 2
x 2 x1 9 x1 y 1 m 2 2 2 2 9 ( x 2 x1 ) y 2 y 1 0 即 9 k AB 2 2 2 y 2 y1 9 x2 y2 m k AB k OM 9
沿河民族中学：阚 辉
一、温顾高考
考题展望
定点定值问题是解析几何的三种基本问题之一， 2015年全国卷Ⅱ第20题第Ⅰ问，2016年全国卷Ⅰ 第20题第Ⅰ问，北京卷第Ⅱ问，山东卷第Ⅱ问等 均为定点定值问题，由此可见定点定值问题它是 解析几何综合问题的基本形式，预测2017年高考 这种可能命题的可能性比较大。
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解：(1)抛物线方程为 y2＝4x，设 A(x1，y1)，B(x2， y2)， 1 y＝ x＋m 1 2 设直线 l 的方程是 y＝ x＋m，由 ，得 2 2 y ＝4x y1＋y2＝8， 2 y －8y＋8m＝0， y1y2＝8m， y1＋4 y2＋4 4 4 kAM ＋ kBM ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ x1－4 x2－4 y1－4 y2－4 4（y1＋y2－8） ＝ 0， （y1－4）（y2－4） 直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补．
归纳 : 若能得到直线方程的点 y y 0 k ( x ห้องสมุดไป่ตู้ x 0 ) 则直线必过定点
斜式 ( x 0 , y 0 ).
思考解决定点问题有规律可循吗？
方法小结：定点问题实质上是一个恒成立问题， 解题中一般引入参变量建立方程，再根据其对参变量 恒成立，分离参数令其系数为零确定定点坐标，也可 能先根据特殊情况求出定点位置，再证该定点符合普 通情况．
（ 2 ）在平面直角坐标系 使得 ｜ＱＡ｜ ｜ＱＢ｜ ＝ | PA | | PB |
定点Ｑ，
的坐标，若不存在，请
两点 ( A 、 B 不是左 , 右顶点 : l 过定点 , 并求出该点的
你是否想说 点什么了？
归纳 : 动直线过定点问题 将直线方程（斜率存在 ）设为 y kx t , 由题设 ( m , 0 ).
条件将 t 用 k 表示为 t mk , 得直线恒过定点
撸起袖子干一干
抛物线 C：y ＝2px 经过点 M(4，－4)， (1)不过点 M 的直线 l 分别交抛物线于 A、 B 两点， 1 当直线 l 的斜率为 时，求证：直线 MA 与直线 MB 2 的倾斜角互补． (2)不经过点 M 的动直线 l 交抛物线 C 于 P、 Q两 点，且以 PQ 为直径的圆过点 M，那么直线 l 是否过 定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．
直线 与椭 圆的 位置 关系
中点弦问题 “点差法”
例 2 : 椭圆Ｃ : 的距离为
x a
2 2
y b
2 2
1 ( a b 0 )的离心率为
1 2
, 其左焦点到点
P ( 2 ,1 )
10 .
(1 ) 求椭圆Ｃ的标准方程 ( 2 ) 若直线 l : y kx m 与椭圆Ｃ相交于Ａ、Ｂ , 且以ＡＢ为直径的圆过 坐标 . 椭圆Ｃ的右顶点，求证
(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，以 PQ 为直径的圆过 点 M， 则(x1－4)(x2－4)＋(y1＋4)(y2＋4)＝0，
2 y2 y 1 2 即 4 －4 4 －4＋(y1＋4)(y2＋4)＝0，
化简，得 y1y2－4(y1＋y2)＋32＝0， 4 y1y2 x＋ 过 PQ 的直线为 y＝ 4 y1＋y2 4（y1＋y2）－32 4 4 ＝ x＋ ＝ y ＋y (x － 8) ＋ 4 y1＋y2 1 2 4，恒过(8，4)点．
思考 : ( 2015 年四川高考理
2 2
20 ), 如图已知椭圆 2 2 , 过点 P ( 0 ,1 )
x y E ： 2 2 1 ( a b 0 )的离心率为 a b 的动直线 l 与椭圆相交于Ａ、Ｂ两 l 被椭圆截得的弦长为
点 , 当直线 l 平行于 2 2.
x 轴时，直线
（1）求椭圆Ｅ的方程； xoy 中 , 是否存在与点Ｐ同同的 恒成立？若存在，求出 说明理由。 Ｑ
二、例题分析
例 1(2015 全国Ⅱ)已知椭圆 C：9x2＋y2＝m2(m>0)， 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M. (1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值． m (2)若 l 过点 3 ，m，延长线段 OM 与 C 交于点 P， 四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能， 求此时 l 的斜率； 若不能，说明理由．
（分析一） (1)设直线 l： y＝kx＋b(k≠0， b≠0)， A(x1， y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将 y＝kx＋b 代入 9x2＋y2＝m2， 得(k2＋9)x2＋2kbx＋ x1＋x2 －kb 9b b －m ＝0，故 xM＝ ＝ 2 ，yM＝kxM＋b＝ 2 . 2 k ＋9 k ＋9
2 2
于是直线 OM 的斜率 kOM＝ －9.
yM 9 ＝－ ，即 kOM·k＝ xM k
所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值．
( 分析二 )( 1 ) 设Ａ ( x 1 , x 2 ), B ( x 2 , y 2 ), M ( x M , y M ) 则
2 2 2
x 2 x1 9 x1 y 1 m 2 2 2 2 9 ( x 2 x1 ) y 2 y 1 0 即 9 k AB 2 2 2 y 2 y1 9 x2 y2 m k AB k OM 9