概率论2优秀课件
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概率论课件第二章
第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S，若 X : S R为单值实范数，则称X为随机变量 （random variable, 简记为r.v.) 。
2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. （=1） 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt
x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S，若 X : S R为单值实范数，则称X为随机变量 （random variable, 简记为r.v.) 。
2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. （=1） 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt
x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件
概率论第二讲PPT课件
b b c r r c brbr cbr 2 cbr 3 c
当 c>0 时，由于每次取出球后会增加下 一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病 模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加 再传染的概率.
.
27
例11 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个,求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求
.
20
五、乘法公式
由条件概率的定义：
P(A| B) P(AB) P(B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
将A、B的位置对调，有
若 (2)和P(A(3))>式0,都则称P(为BA乘)=法P(公A)式P(,B|利A)用 它们可计算两个事件同时发生的概率 而 P(AB)=P(BA)
此点必属于AB. 由于我们已经
知道B已发生, 故B变成了新的
样本空间 , 于是 有(1).
.
16
3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
2. P (S | B) =1 ；
3.设A1, A2 , …,互不相容，则
P[(A1+A2 + …)| B] = P(A1|B)+ P(A2|B) + …
的概率.
.
4
由于将一颗骰子抛掷4次,共有
6666129种6等可能结果,
而导致事件 A ={4次抛掷中都未出“6”点}
当 c>0 时，由于每次取出球后会增加下 一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病 模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加 再传染的概率.
.
27
例11 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个,求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求
.
20
五、乘法公式
由条件概率的定义：
P(A| B) P(AB) P(B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
将A、B的位置对调，有
若 (2)和P(A(3))>式0,都则称P(为BA乘)=法P(公A)式P(,B|利A)用 它们可计算两个事件同时发生的概率 而 P(AB)=P(BA)
此点必属于AB. 由于我们已经
知道B已发生, 故B变成了新的
样本空间 , 于是 有(1).
.
16
3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
2. P (S | B) =1 ；
3.设A1, A2 , …,互不相容，则
P[(A1+A2 + …)| B] = P(A1|B)+ P(A2|B) + …
的概率.
.
4
由于将一颗骰子抛掷4次,共有
6666129种6等可能结果,
而导致事件 A ={4次抛掷中都未出“6”点}
概率论第二章(课件2)
条件概率具有非负性、规范性、乘法 法则和全概率公式等性质。
贝叶斯定理
贝叶斯定理的表述
对于任意两个事件A和B，有 P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)。
贝叶斯定理的应用
贝叶斯定理常用于在已知某些条件 下，对其他条件的发生概率进行推 断和更新。
贝叶斯定理的意义
贝叶斯定理是概率论中的一个重要 定理，它提供了在已知某些信息的 情况下，对其他信息的可信度进行 评估的方法。
期望的计算
期望的计算公式为E(X)=∑xp(x)，其中x为随机变量X的所有可能取值， p(x)为对应的概率。
方差与协方差
方差的定义
方差是随机变量与其期望之间的差的平方的期望，表示随机变量 取值与期望的偏离程度。
方差的性质
方差具有非负性，即对于任何随机变量X，D(X)≥0。
协方差的定义
协方差是两个随机变量的线性相关程度的度量，表示两个随机变量 同时偏离各自期望的程度。
自的概率分布相乘得到。
THANKS
感谢观看
02
随机变量及其分布
离散随机变量
离散随机变量定义
离散随机变量是在可数样本空间上的概率函数。
离散随机变量的概率分布
离散随机变量的概率分布由一个非负整数序列给出，表示在每个样 本点上随机变量取值的概率。
离散随机变量的期望值
离散随机变量的期望值是所有可能取值的概率加权和。
连续随机变量
连续随机变量念 • 随机变量及其分布 • 随机向量及其分布 • 随机变量的函数及其分布 • 随机变量的数字特征
01
概率论的基本概念
概率的定义与性质
01
02
03
概率的定义
概率是描述随机事件发生 可能性大小的数值，通常 用P表示。
概率论第2章精品PPT课件
当X=3时，取的另外两只球只能是1和2，即只有一种可能, 故
P{X
3}
1 C53
1 10
当X=4时，取的另外两只球可以是1、2、3中的任两个，故
P{X
4}
C32 C53
3 10
当X=5时，取的另外两只球可以是1、2、3、4中的任两个，故
P{X
5}
C42 C53
6 10
2
第2章 随机变量及其分布
(2) 根据概率密度的定义可得
fX
(x)
dFX (x) dx
1 / 0,
x,
1 xe 其它
13
第2章 随机变量及其分布
习题22(1)
22(1) 分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦 (Maxwell)分布，其概率密度为
f
(
x)
Ax 2e
x2
/b
,
0,
x0 其他
其中b=m/(2kT), k为玻耳兹曼(Boltzmann)常数，T为 温度，m是分子的质量，试确定常数A.
1 241
t ex / 241dx 1 et / 241
0
综合得到：
1 et /241, t 0
FT
(t)
0,
其他
利用分布函数的性质计算概率：
P{50 T 100} FT (100) FT (50)
e50/ 241 e100/ 241
17
第2章 随机变量及其分布
习题23
23. 某种型号器件的寿命X(以小时计)具有概率密度
解： 甲乙各自做3重伯努力实验，设甲投中次数为X, 乙投中次数为Y, 两 者均遵从二项分布。故所求为
甲乙投篮相互独立
3
概率论与数理统计--第二章PPT课件
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
第26页/共57页
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
第23页/共57页
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
第26页/共57页
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
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例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
第23页/共57页
概率论第二章24节-常用离散分布ppt课件
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,..., n 二项概率 Cnk pk (1 p)nk 恰好是二项式[ p (1 p)]n 的展开式中的第 k 1 项，这正是其名 称的由来.
.
7
一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布.
2kkeke??????????????????????????????????????2eee????????????22xexexd故故专业文档常用离散分布的数学期望?几何分布gep的数学期望1p?01分布的数学期望p?二项分布bnp的数学期望np?泊松分布p?的数学期望?专业文档常用离散分布的方差?01分布的方差p1?p?二项分布bnp的方差np1?p?泊松分布p?的方差??几何分布gep的方差1?pp2专业文档1设火炮连续向目标射击n发炮弹每发炮弹命中为的概率为p则炮弹命中数的数学期望是
.
25
例2.4.7 有10 000名同年龄且同社会阶层的人参加了某保 险公司的一项人寿保险。每个投保人在每年初交纳200元 保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人获10 000元 的赔偿费。根据生命表知这类人的年死亡率为0.001。试求 保险公司在这项业务上
（1）亏本的概率； （2）至少获利500 000元的概率。
.
14
泊松分布： X 0 P e
1 1 e 1!
2 ... 2 e ... 2!
n ... n e ... n!
EX 1
e
2 2
e
3 3
e
... n n e
...
1!
2!
3!
n!
e 1
2 ... n1
2!
.
7
一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布.
2kkeke??????????????????????????????????????2eee????????????22xexexd故故专业文档常用离散分布的数学期望?几何分布gep的数学期望1p?01分布的数学期望p?二项分布bnp的数学期望np?泊松分布p?的数学期望?专业文档常用离散分布的方差?01分布的方差p1?p?二项分布bnp的方差np1?p?泊松分布p?的方差??几何分布gep的方差1?pp2专业文档1设火炮连续向目标射击n发炮弹每发炮弹命中为的概率为p则炮弹命中数的数学期望是
.
25
例2.4.7 有10 000名同年龄且同社会阶层的人参加了某保 险公司的一项人寿保险。每个投保人在每年初交纳200元 保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人获10 000元 的赔偿费。根据生命表知这类人的年死亡率为0.001。试求 保险公司在这项业务上
（1）亏本的概率； （2）至少获利500 000元的概率。
.
14
泊松分布： X 0 P e
1 1 e 1!
2 ... 2 e ... 2!
n ... n e ... n!
EX 1
e
2 2
e
3 3
e
... n n e
...
1!
2!
3!
n!
e 1
2 ... n1
2!
概率论-2-2多维随机变量及其分布(2),边缘分布-PPT课件
由于
( y μ ) ( x μ )( 2 2 2 y μ x μ ( x μ ) 2 2 1 1 ρ ρ , 2 σ σ σ 2 1 1
pij P {Y y j },
i 1
分别称 p i ( i 1, 2 , ) 和 p j ( j 1, 2 , ) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 .
Y y 1 y 2 y j
X
x x 1 x 2 i
p p 11 p 21 i 1
x
p( x, y)d y]d x,
p( x, y)d y,
称其为随机变量 ( X, Y ) 关于X 的边缘概率密度 .
同理可得 Y 的边缘分布函数
F ( y ) F ( , y ) [ p ( x , y ) d x ] d y , Y
y
p ( y ) ( x ,y ) d x . Y p
Y 的边缘概率密度.
X 和Y 具有联合概率密度 例3 设随机变量 6, x2 y x, p(x, y) . 0, 其它 求边缘概率密度 pX (x), pY ( y).
解
p ( x ) ( x ,y ) d y X p
第二章
第二节 多维随机变量 及其分布(2)
一、边缘分布函数
二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、内容小结
一、边缘分布函数
问题 : 已知 ( X , Y ) 的分布 , 如何确定 X , Y 的分 ?
F ( x ) P { X x }, F ( x , y ) P { X x , Y y } ,
《概率统计2章》课件
应用场景
非线性回归在许多领域都有应用，例如化学、物理学和生物学等，用于探索非线性关系和预测。
详细描述
非线性回归分析通过建立非线性方程来描述因变量与自变量之间的关系。这种关系不是线性的，而是以其他形式存在，例如二次方、指数、对数等。
贝叶斯统计
贝叶斯定理
贝叶斯定理是概率论中的一个基本定理，它提供了在给定一些新的信息下，更新我们对某个事件发生的概率的估计的方法。
单侧检验与双侧检验
假设检验的步骤
根据假设方向的不同，分为单侧检验和双侧检验。
显著性水平是判断假设是否成立的依据，临界值是判断数据是否显著的依据。
通过提出假设并检验假设是否成立来判断总体参数是否显著。
提出假设、构造检验统计量、确定临界值、做出决策。
回归分析
总结词
详细描述
公式解释
应用场景
一元线性回归是回归分析中最基础的形式，它探Leabharlann 一个因变量与一个自变量之间的关系。
总结词
条件概率是指在某个已知条件下，随机事件发生的概率。独立性是指两个随机事件的发生互不影响。
详细描述
条件概率表示为P(A|B)，即在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。独立性则是指两个随机事件A和B，如果P(A|B) = P(A)，则称A与B独立。条件概率与独立性是概率论中的重要概念，它们在概率模型建立和推断中有着广泛的应用。
在统计学中的应用
在金融领域的应用
在社会学中的应用
THANK YOU
感谢聆听
随机变量是用来描述随机实验结果的变量，其取值具有随机性。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律。
总结词
随机变量是定义在样本空间上的函数，其取值具有随机性。常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量可以取有限或可数无穷多个值，而连续型随机变量则可以取实数域上的任意值。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律，常见的分布有二项分布、泊松分布、正态分布等。理解随机变量的分布对于进行统计推断和决策具有重要的意义。
非线性回归在许多领域都有应用，例如化学、物理学和生物学等，用于探索非线性关系和预测。
详细描述
非线性回归分析通过建立非线性方程来描述因变量与自变量之间的关系。这种关系不是线性的，而是以其他形式存在，例如二次方、指数、对数等。
贝叶斯统计
贝叶斯定理
贝叶斯定理是概率论中的一个基本定理，它提供了在给定一些新的信息下，更新我们对某个事件发生的概率的估计的方法。
单侧检验与双侧检验
假设检验的步骤
根据假设方向的不同，分为单侧检验和双侧检验。
显著性水平是判断假设是否成立的依据，临界值是判断数据是否显著的依据。
通过提出假设并检验假设是否成立来判断总体参数是否显著。
提出假设、构造检验统计量、确定临界值、做出决策。
回归分析
总结词
详细描述
公式解释
应用场景
一元线性回归是回归分析中最基础的形式，它探Leabharlann 一个因变量与一个自变量之间的关系。
总结词
条件概率是指在某个已知条件下，随机事件发生的概率。独立性是指两个随机事件的发生互不影响。
详细描述
条件概率表示为P(A|B)，即在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。独立性则是指两个随机事件A和B，如果P(A|B) = P(A)，则称A与B独立。条件概率与独立性是概率论中的重要概念，它们在概率模型建立和推断中有着广泛的应用。
在统计学中的应用
在金融领域的应用
在社会学中的应用
THANK YOU
感谢聆听
随机变量是用来描述随机实验结果的变量，其取值具有随机性。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律。
总结词
随机变量是定义在样本空间上的函数，其取值具有随机性。常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量可以取有限或可数无穷多个值，而连续型随机变量则可以取实数域上的任意值。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律，常见的分布有二项分布、泊松分布、正态分布等。理解随机变量的分布对于进行统计推断和决策具有重要的意义。
概率2PPT课件
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
理解：
n
①一个基本事件是一次试验的结果，且每个基本事件的
概率都是 1 ，即是等可能的；
②公式
n
P(A)
m 是求解公式，也是等可能性事件的概
率的定义，它与随n 机事件的频率有本质区别；
③可以从集合的观点来考察事件A的概 P(A) card(A)
率：
．
card (I )
事件I
事件A
2020年10月2日
11.1 随机事件的概率 (二)
2020年10月2日
1
一、复习引入： 事件的定义： 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 定义2:一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生 的频率 m 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把 这个常数n 叫做事件A的概率，记作P(A)．
2、甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的 题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依 次各抽一题，计算：
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
2020年10月2日
8
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
（2）某人未记住储蓄卡的密码的最后一位数字，他在 使用这张储蓄卡时，如果前三位号码仍按本卡密码，而 随意按下最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？
9
理解：
n
①一个基本事件是一次试验的结果，且每个基本事件的
概率都是 1 ，即是等可能的；
②公式
n
P(A)
m 是求解公式，也是等可能性事件的概
率的定义，它与随n 机事件的频率有本质区别；
③可以从集合的观点来考察事件A的概 P(A) card(A)
率：
．
card (I )
事件I
事件A
2020年10月2日
11.1 随机事件的概率 (二)
2020年10月2日
1
一、复习引入： 事件的定义： 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 定义2:一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生 的频率 m 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把 这个常数n 叫做事件A的概率，记作P(A)．
2、甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的 题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依 次各抽一题，计算：
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
2020年10月2日
8
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
（2）某人未记住储蓄卡的密码的最后一位数字，他在 使用这张储蓄卡时，如果前三位号码仍按本卡密码，而 随意按下最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？
概率论第2章条件概率与独立性精品PPT课件
解 设Ai 第 i 次考试及格 i 1, 2, 3
B＝{他考试能及格}
则
B A1A2A3 A1A2A3A4 A1A2A3A4 A1A2A3A4
P B = P A1A2A3A4 + P A1A2A3A4 + P A1A2A3A4 + P A1A2A3
= P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P A4 A1A2A3
2、规范性 若A B，则P(B A) 1 特别地，P( A) 1
3、可加性
若B1, B2 , ，Bn , 为一列两两互不相容事件，
则 P( Bk A) P(Bk A)
k1
k1
常用到 P(B | A) = 1 - P(B | A)
例2 一个家庭中有二个小孩，已知其中有一个是女孩， 问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大(假定一个小 孩是男还是女是等可能的)？ 解 样本空间Ω={(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)}
A={已知有一个是女孩}={(男,女)，(女,男)，(女,女)} B={另一个也是女孩}={(女，女)} 则
P(B | A) P(AB) 1/ 4 1 P(A) 3 / 4 3
例3 设已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8,能活 过25岁的概率是0.4, 问现龄20岁的该种动物能活过25岁的 概率是多少？ 解 设 A={该种动物能活过20岁}
P(A1A2…An-1)＞0, 则有 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1) 上式表明，事件积的概率可通过一系列条件概率的乘积来 计算。
证明：当P(A1A2An-1)＞0时， 由于A1A1A2…A1A2…An-1, 则有 P(A1)≥P(A1A2)≥…≥P(A1A2…An-1)＞0 由条件概率的定义，得
概率论_2版(苏淳编著)PPT模板
*5.6统计学中的三大分 布
1
5.6.1A<sup>2</sup>分布
2
5.6.2t分布
3
5.6.3F分布
4
5.6.4三大分布在统计中的重要 性
09 第6章极限定理
第6章极限定理
6.1依概率收敛与平均收敛 6.2依分布收敛 6.3弱大数律和中心极限定理 6.4a.s.收敛 6.5强大数律
05 5.2.5随机足标和的
些其他应用
期望和方差
第5章数字特征与特征函数
5.3协方差和相关系数
01
5.3.1协方差和 协方差阵
02
5.3.2相关系数
第5章数字特征与特征函数
5.4特征函数
01 5 . 4 . 1 特征函数 的定
义
02 5 . 4 . 2 特征函数 的性
质
03 5 . 4 . 3 关于特征 函数
02 5 . 1 . 2 数学期望 的性
质
04 5 . 1 . 4 方差
05 5 . 1 . 5 中位数和 p分
位数
第5章数字特征 与特征函数
*5.2条件概率，条件期望与条件方 差
01 5.2.1条件数学期望
及其应用
02 5.2.2通过条件概率
03 5.2.3条件方差及其
求概率
应用
04 5.2.4 数学期望的一
的一些讨论
04 5 . 4 . 4 反演公式 与唯
一性定理
05 5 . 4 . 5 几个初步 应用
06 5 . 4 . 6 多元特征 函数
第5章数字特征与特征函数
5.5多元正态分布
5.5.2n元正 态分布定义 的推广
5.5.1n元正 态分布
1
5.6.1A<sup>2</sup>分布
2
5.6.2t分布
3
5.6.3F分布
4
5.6.4三大分布在统计中的重要 性
09 第6章极限定理
第6章极限定理
6.1依概率收敛与平均收敛 6.2依分布收敛 6.3弱大数律和中心极限定理 6.4a.s.收敛 6.5强大数律
05 5.2.5随机足标和的
些其他应用
期望和方差
第5章数字特征与特征函数
5.3协方差和相关系数
01
5.3.1协方差和 协方差阵
02
5.3.2相关系数
第5章数字特征与特征函数
5.4特征函数
01 5 . 4 . 1 特征函数 的定
义
02 5 . 4 . 2 特征函数 的性
质
03 5 . 4 . 3 关于特征 函数
02 5 . 1 . 2 数学期望 的性
质
04 5 . 1 . 4 方差
05 5 . 1 . 5 中位数和 p分
位数
第5章数字特征 与特征函数
*5.2条件概率，条件期望与条件方 差
01 5.2.1条件数学期望
及其应用
02 5.2.2通过条件概率
03 5.2.3条件方差及其
求概率
应用
04 5.2.4 数学期望的一
的一些讨论
04 5 . 4 . 4 反演公式 与唯
一性定理
05 5 . 4 . 5 几个初步 应用
06 5 . 4 . 6 多元特征 函数
第5章数字特征与特征函数
5.5多元正态分布
5.5.2n元正 态分布定义 的推广
5.5.1n元正 态分布
概率论第2章ppt课件
2(2) 将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律。
解：相当于放回抽样问题. 样本空间总的基本事件数目：n=6×6=36
X可以取1,2,3,4,5,6(注意两次抛掷可能得到相同的点数)。
当X=1时，另一个点数可在1～6中任选，再考虑到两个不同的点数次序调
换是不同事件, 故
P{X1}62111 36 36
.
9
第2章 随机变量及其分布
习题16
16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为0.0001. 在某天的该时间段内有1000量汽车通过。问出事故的车辆 数不小于2的概率是多少？(利用泊松定理计算)
解：令在该段时间内发生事故的车辆数目为X, 根据题意知：
k!
(1) P{X8}48e4 0.0298
8!
(2) P { X 3 } 1 P { X 0 } P { X 1 } P { X 2 } P { X 3 }
1e44e442e443e4
2! 3!
1 71e4 0.5665
3
.
7
第2章 随机变量及其分布
习题13
13. 某一公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急 呼救的次数服从参数为(1/2)t的泊松分布，而与时 间间隔的起点无关(时间以小时计).
同理 P{X2}5219 P{X3}4217
36 36
36 36
P{X4}3215 P{X5}2213
36 36
36 36
P{X 6} 1 36
.
3
第2章 随机变量及其分布
习题8
8. 甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6和0.7。今各投三次。求(1)两人投中次数 相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.
概率论2ppt课件
17
引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是 少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次 品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本 的信 息来推断总体的信息，这是数理统计学研 究的问题之一。
第十二章 平稳随机过程
• 12.1 平稳随机过程的概念 • 12.2 各态历经性 • 12.3 相关函数的性质 • 12.4 平稳过程的功率谱密度
5
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词： 契比雪夫不等式 大数定律 中心极限定理
6
§1 大数定律
背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
3. 用正态分布近似计算
npq 400 0.02 0.98 2.8
PZ
2
1
P0
Z
2
1
P
0
np npq
Z
np npq
2
np npq
16
1 P
8 2.8
Z 8 2.8
6 2.8
1
6 2.8
8 2.8
0.9859
第六章 数理统计的基本概念
关键词： 样本 总体 个体 统计量
2 分布 t 分布 F 分布
解：记16只电器元件的寿命分别为Z1, Z2, , Z16, 16 则16只电器元件的寿命总和为Z Zi, 由题设E Zi 100, DZi 1002 i1
引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是 少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次 品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本 的信 息来推断总体的信息，这是数理统计学研 究的问题之一。
第十二章 平稳随机过程
• 12.1 平稳随机过程的概念 • 12.2 各态历经性 • 12.3 相关函数的性质 • 12.4 平稳过程的功率谱密度
5
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词： 契比雪夫不等式 大数定律 中心极限定理
6
§1 大数定律
背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
3. 用正态分布近似计算
npq 400 0.02 0.98 2.8
PZ
2
1
P0
Z
2
1
P
0
np npq
Z
np npq
2
np npq
16
1 P
8 2.8
Z 8 2.8
6 2.8
1
6 2.8
8 2.8
0.9859
第六章 数理统计的基本概念
关键词： 样本 总体 个体 统计量
2 分布 t 分布 F 分布
解：记16只电器元件的寿命分别为Z1, Z2, , Z16, 16 则16只电器元件的寿命总和为Z Zi, 由题设E Zi 100, DZi 1002 i1
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所以，
4
PAPA|BiPBi i1
0.050.150.040.20.030.30.020.35
3.15%. 14
例6、根据以往的临床记录，某种诊断癌症的 试验具有如下效果：若以A表示事件“试验反 应为阳性”，C表示“被诊断者患有癌症”， 已知P(A|C)=0.9A5|,CP( )=0.96.现对自然人群 进行普查，设被试验的人患癌症的概率为 0.004，即P(C)=0.004.求P(A)和P(C|A)？
P(Bi | A)
P(Bi)P(A| Bi)
n
P(Bi)P(A| Bi)
i1
由条件概率、乘法公式与全概率公式推出
12
有诸多原因可以引发某种结果，而该结果又不 能简单地看作这诸多事件的和，这样的概率问 题属于全概率类型。
当一随机事件A发生后，往往需要推断引起A 发生的原因，这时就需要应用Bayes公式来计 算在A发生的情况下Bi发生的概率，推断引起A 发生的主要原因。
PAi | X
PAiPX| Ai
2
PX| AiPAi
i1
若P(A1|X)> P(A2|X)，则作出决策：具有X特征 的木材是桦木，否则是桉木。
17
在应用公式时，有两个问题要弄清楚： 1、如何确定完备事件组？
一般，可从下列两个方面来寻找完备事件组： 当事件的发生与相继两个试验有关时，从第 一试验入手寻找完备事件组； 当事件的发生是由诸多两两互斥的原因而引 起的，可以这些“原因”为完备事件组。
有包含关系或主从条件关系的用条件概率 P(A|B).
7
例3、某种动物由出生活到10岁的概率为0.7， 活到20岁的概率为0.3，问现年满10岁的这种 动物活到20岁的概率是多少？
解：A:活到10岁以上；B:活到20岁以上 显然A 包含B ，属于条件概率，且P(AB)=P(B)
所以，
PB|APPAAB00..7373.
P A B P B P A |B P A P B |A ,
这个称为乘法公式。
4
不难看出，计算条件概率P(A|B)有两种方法： 在原样本空间Ω中分别求出P(B),P(AB),再 按定义公式计算； 在缩减样本空间B中按一般概率P(A)计算。
5
例2、一批零件共100个，次品率为10％，从 中抽取两次，每次取一个。第一次取出的不放 回，求第二次才取得正品的概率？
第三节 条件概率与全概率公式
例1、一个家庭中已有两个小孩，其中一个是 女孩，问这时另一个也是女孩的概率有多大？
解：Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}； 令，A={两个都是女孩}={(女,女)}； B={有一个是女孩}={(男,女),(女,男),(女,女)}; 计算B发生下A的概率可以取B为样本空间(缩 减样本空间)，此时，A只含一个样本点。
8
例4、某厂的产品中有5%的次品，在100件正 品中有70件是一等品。试求在该厂的产品中任 取一件是一等品的概率。
解：A:任取一件产品是正品；B:任取一件产品 是一等品。显然，A包含B；
所以，
PBPA B PA PB|A 0.950.70.665.
9
∩
二、全概率公式与Bayes公式
定理1 (全概率公式)： 设事件B1,B2,…,Bn是样本空间Ω的一组划分, P(Bi)>0(i=1,2,…,n),且A Ω,则对任意事件A有：
13
例5、某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的15%, 20%,30%和35%;四条流水线的不合格率分别 为0.05,0.04,0.03及0.02。现从该厂产品中任 取一件，问恰好抽到不合格品的概率是多少？
解：A=“任取一件，恰好为不合格品” Bi=“任取一件，恰好是第i条流水线产品”
15
解 ： P A P A |C P C P A |C P C
0 .9 5 0 .0 0 4 1 0 .9 6 1 0 .0 0 4 0 .0 4 3 6 .
P C |A P P A A C P C P P A A |C 0 .0 8 7 2 .
P(C)是由以往的数据分析得到的，叫做先验概 率；
n
P(A) P(Bi)P(A|Bi). i1
10
证明： 因为A可互斥分解为
AA AB 1 AB2 ... ABn
ABiin1两 两 互 斥
所以由加法公式与乘法公式得：
n
n
P (A ) P (Ai)B P (B i)P (A |B i).
i 1
i 1
11
定理2 (Bayes公式)： 设事件B1,B2,…,Bn是一个完备事件组, P(Bi)>0 (i=1,2,…,n), A为一子事件，且P(A|Bi)>0，则
而在得到的信息(检验结果呈阳性)而重新加以 修正的概率P(C|A)叫做后验概率。
16
Bayes决策： 为了判断一根木材是桦木还是桉木，通常采用
先抽取它的一个特征(如平均亮度X)，然后再根据 这个特征作出判断，这时常用Bayes决策。
以A1，A2分别表示被检验的木材为桦木或桉木 这一事件，已知它们的先验概率P(A1)和P(A2)，试 验确定出P(X| A1)和P(X| A2)。
解：A:第一次取得次品；B:第二次取得正品 所以，
PA 10 ; PB| A90;
100
99
PABPAPB| A 10 90 1.
100 99 11
6
乘法公式可以推广到多个事件 P(ABC)=P((AB)C)=P(AB)P(C|AB)
=P(A)P(B|A)P(C|AB) 涉及事件A与B同时发生的概率用P(AB);
2
所以，
PA| B 1.
3
显然，P(A|B) ≠P(A)=1/4.
此外,在样本空间Ω中易计算得:
P(B)=3/4,
P(AB)=1/4,
且有 P(A| B) P(AB). P(B)
由此，一般可
设事件B的概率P(B)>0，记
PA|
B
PAB PB
,
称P(A|B)为在事件B已发生的条件下事件A发生 的条件概率。 任意事件A和B，若P(A)>0，P(B)>0，则有
2、如何区分是用全概率公式or贝叶斯公式？ “由因求果”用全概率公式, “执果求因”用Bayes公式.
18
本节要点提示
4
PAPA|BiPBi i1
0.050.150.040.20.030.30.020.35
3.15%. 14
例6、根据以往的临床记录，某种诊断癌症的 试验具有如下效果：若以A表示事件“试验反 应为阳性”，C表示“被诊断者患有癌症”， 已知P(A|C)=0.9A5|,CP( )=0.96.现对自然人群 进行普查，设被试验的人患癌症的概率为 0.004，即P(C)=0.004.求P(A)和P(C|A)？
P(Bi | A)
P(Bi)P(A| Bi)
n
P(Bi)P(A| Bi)
i1
由条件概率、乘法公式与全概率公式推出
12
有诸多原因可以引发某种结果，而该结果又不 能简单地看作这诸多事件的和，这样的概率问 题属于全概率类型。
当一随机事件A发生后，往往需要推断引起A 发生的原因，这时就需要应用Bayes公式来计 算在A发生的情况下Bi发生的概率，推断引起A 发生的主要原因。
PAi | X
PAiPX| Ai
2
PX| AiPAi
i1
若P(A1|X)> P(A2|X)，则作出决策：具有X特征 的木材是桦木，否则是桉木。
17
在应用公式时，有两个问题要弄清楚： 1、如何确定完备事件组？
一般，可从下列两个方面来寻找完备事件组： 当事件的发生与相继两个试验有关时，从第 一试验入手寻找完备事件组； 当事件的发生是由诸多两两互斥的原因而引 起的，可以这些“原因”为完备事件组。
有包含关系或主从条件关系的用条件概率 P(A|B).
7
例3、某种动物由出生活到10岁的概率为0.7， 活到20岁的概率为0.3，问现年满10岁的这种 动物活到20岁的概率是多少？
解：A:活到10岁以上；B:活到20岁以上 显然A 包含B ，属于条件概率，且P(AB)=P(B)
所以，
PB|APPAAB00..7373.
P A B P B P A |B P A P B |A ,
这个称为乘法公式。
4
不难看出，计算条件概率P(A|B)有两种方法： 在原样本空间Ω中分别求出P(B),P(AB),再 按定义公式计算； 在缩减样本空间B中按一般概率P(A)计算。
5
例2、一批零件共100个，次品率为10％，从 中抽取两次，每次取一个。第一次取出的不放 回，求第二次才取得正品的概率？
第三节 条件概率与全概率公式
例1、一个家庭中已有两个小孩，其中一个是 女孩，问这时另一个也是女孩的概率有多大？
解：Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}； 令，A={两个都是女孩}={(女,女)}； B={有一个是女孩}={(男,女),(女,男),(女,女)}; 计算B发生下A的概率可以取B为样本空间(缩 减样本空间)，此时，A只含一个样本点。
8
例4、某厂的产品中有5%的次品，在100件正 品中有70件是一等品。试求在该厂的产品中任 取一件是一等品的概率。
解：A:任取一件产品是正品；B:任取一件产品 是一等品。显然，A包含B；
所以，
PBPA B PA PB|A 0.950.70.665.
9
∩
二、全概率公式与Bayes公式
定理1 (全概率公式)： 设事件B1,B2,…,Bn是样本空间Ω的一组划分, P(Bi)>0(i=1,2,…,n),且A Ω,则对任意事件A有：
13
例5、某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的15%, 20%,30%和35%;四条流水线的不合格率分别 为0.05,0.04,0.03及0.02。现从该厂产品中任 取一件，问恰好抽到不合格品的概率是多少？
解：A=“任取一件，恰好为不合格品” Bi=“任取一件，恰好是第i条流水线产品”
15
解 ： P A P A |C P C P A |C P C
0 .9 5 0 .0 0 4 1 0 .9 6 1 0 .0 0 4 0 .0 4 3 6 .
P C |A P P A A C P C P P A A |C 0 .0 8 7 2 .
P(C)是由以往的数据分析得到的，叫做先验概 率；
n
P(A) P(Bi)P(A|Bi). i1
10
证明： 因为A可互斥分解为
AA AB 1 AB2 ... ABn
ABiin1两 两 互 斥
所以由加法公式与乘法公式得：
n
n
P (A ) P (Ai)B P (B i)P (A |B i).
i 1
i 1
11
定理2 (Bayes公式)： 设事件B1,B2,…,Bn是一个完备事件组, P(Bi)>0 (i=1,2,…,n), A为一子事件，且P(A|Bi)>0，则
而在得到的信息(检验结果呈阳性)而重新加以 修正的概率P(C|A)叫做后验概率。
16
Bayes决策： 为了判断一根木材是桦木还是桉木，通常采用
先抽取它的一个特征(如平均亮度X)，然后再根据 这个特征作出判断，这时常用Bayes决策。
以A1，A2分别表示被检验的木材为桦木或桉木 这一事件，已知它们的先验概率P(A1)和P(A2)，试 验确定出P(X| A1)和P(X| A2)。
解：A:第一次取得次品；B:第二次取得正品 所以，
PA 10 ; PB| A90;
100
99
PABPAPB| A 10 90 1.
100 99 11
6
乘法公式可以推广到多个事件 P(ABC)=P((AB)C)=P(AB)P(C|AB)
=P(A)P(B|A)P(C|AB) 涉及事件A与B同时发生的概率用P(AB);
2
所以，
PA| B 1.
3
显然，P(A|B) ≠P(A)=1/4.
此外,在样本空间Ω中易计算得:
P(B)=3/4,
P(AB)=1/4,
且有 P(A| B) P(AB). P(B)
由此，一般可
设事件B的概率P(B)>0，记
PA|
B
PAB PB
,
称P(A|B)为在事件B已发生的条件下事件A发生 的条件概率。 任意事件A和B，若P(A)>0，P(B)>0，则有
2、如何区分是用全概率公式or贝叶斯公式？ “由因求果”用全概率公式, “执果求因”用Bayes公式.
18
本节要点提示