人工边界转换方法解读

静-动力分析中人工边界转换方法的研究

摘要：通过将粘弹性动力人工边界应用于同时考虑静力效应和动力效应的工程算例，阐明了此类问题静-动力分析人工边界转换时保证模型为静力平衡体的必要性。通过将粘弹性静-动力统一人工边界应用于半无限空间体有限元模型的静力分析中，验证了静力计算中的误差将使模型动力分析的稳态反应出现相近的误差。在此基础上，系统阐述了适用于同时考虑静力效应和动力效应的工程问题的静-动力分析人工边界转换方法。

关键词：人工边界，静力分析，动力分析，边界转换

Abstract:Though the application of dynamic viscous-spring artificial boundary to an engineering case with a consideration of both static and dynamic effect, and the application of the unified viscous-spring boundary for static and dynamic analysis to static analysis of a finite modal of half space, the problems of the applications of viscous-spring artificial boundary to this kind of engineering calculation was pointed out, and its corresponding solving method was proposed. On the base, a systematic switching method of these artificial boundaries was specified.

Keywords: artificial boundary, static analysis, dynamic analysis, switching of boundaries

1 前言

人工边界从广义上可分为静力人工边界和动力人工边界。静力人工边界由来已久，通常有固定边界、滚轴边界等。动力人工边界经过几十年的研究发展，已形成具有全局人工边界和局部人工边界的两大类别，并应用于各自适应的工程计算中[1]。

动力人工边界发展到现在已有透射边界、粘性边界、粘弹性边界等几种类型。1994年，Deeks 提出粘弹性人工边界[11]。1998年，刘晶波等人发展了二维的黏弹性人工边界[3]，又于2005年将其发展为三维时域黏弹性人工边界[4]。2006年，刘晶波等人再将二维黏弹性边界发展成一致粘弹性人工边界及其对应的粘弹性边界单元[5]，并于2007年推导了三维一致粘弹性人工边界及等效粘弹性边界单元[6]。

目前对静-动力分析的普遍做法是采用静力人工边界和动力人工边界分别对静力问题和动力问题进行计算，将计算结果进行叠加后得到完整的结果[1]。但由于叠加原理仅在线弹性小变形范围内适用，原则上不能应用于涉及非线性或大变形问题的分析。

目前对涉及非线性或大变形问题的静-动力分析，常用的人工边界转换方法主要有以下几种：（1）静力分析和动力分析都采用滚轴边界或固定边界；（2）静力分析中采用滚轴边界或固定边界，动力分析采用粘弹性边界、透射边界、粘性边界等人工边界；（3）静力分析和动力分析都采用静-动力统一边界，如粘弹性静-动力统一人工边界。

对第（1）种方法，由于固定边界使波动全部反射，已有许多文献证明其具有放大振动效应的作用，目前已经使用得不多。刘晶波等人基于黏弹性动力人工边界和半无限空间中静力问题的基本解，建立了对动力问题和静力问题均适用的三维黏弹性静-动力统一人工边界，从而上述第（3）种方法得以解决[1]。

然而，在使用人工边界对地下结构进行动力分析时，还存在一些问题。如第（2）种方法，由于在静-动力分析的人工边界转换时的方法存在问题，致使产生错误的结果。在第（3）种方法中，将粘弹性静-动力统一人工边界应用于地下结构的静力分析时，其解与准确值存在误差。本文将就此两问题进行论证和分析，并阐述合理的地下结构静-动力分析人工边界转换方法。

2 静力和动力有限元分析原理

2.1 静力分析原理

地铁等地下工程初始应力场的确定须先计算未开挖状态下围岩的自重应力场，进而根据施工步

骤，采用释放荷载法，计算出衬砌结构和围岩的静应力场[13]

。许多地下结构的自重应力场模型可以假设为半无限空间体，根据经典围岩压力理论和弹性力学理论，半无限空间体中距地表面任一深度h 处的应力状态可定义为[7][8]：

h V γσ= (1) h V H λγλσσ== (2)

式中，σV 为竖向应力，γ为围岩重度，σH 为横向应力，λ为侧压力系数。对浅层围岩，可假设其为各向同性介质，侧压力系数可用泊松比表示如下[7]：

μ

μλ-=

1 (3) 对有限元计算中所取的有限区域，可以据此确定有限域边界条件。 2.2静力分析边界条件

根据上述静力分析方法，在静-动力共同作用问题的计算中，在进行动力分析之前须先确定地下结构模型的静应力场。地下结构开挖前可将大地假设为半无限空间体，其在重力作用下的静力计算，根据对称性，模型中任一处的水平位移0=H u 。因此，计算该应力场时，有限区域模型两侧可用水平约束即法向约束，底部可用全约束或仅约束竖直方向，顶面即地面应为自由边界。 2.3 动力分析原理

在动力荷载作用下，有限元体系在t +∆t 时刻的运动平衡方程为：

t t t t t t t t F u K u C u

M ∆+∆+∆+∆+=++ (4) 式中M 为体系的总质量矩阵；C 为体系的总阻尼矩阵；K 为体系的总刚度矩阵； u

t t +∆为体系的节点加速度向量； u

t t +∆为体系的节点速度向量；u t t +∆为体系的节点位移向量；t t F ∆+为外荷载向量。体系的总阻尼矩阵采用瑞利阻尼[9]

：

C M K =+αβ (5)

式中α、β为常数，可按两种不同的振动频率下测得的阻尼比ξ加以确定。计算中常数α、β可由

α+βω2i =2ωi ξi 和α+βω2j =2ωj ξj 求得[9]

。则α和β可表示为：

j i j i j i j i i j ωωωωωωωξωξα))(()

(2-+-=

(6)

)

)(()

(2j i j i j j i i ωωωωωξωξβ-+-=

(7) ωi 、ξi 分别为振型向量φi 对应的自振圆频率和阻尼比。根据振型分析结果可求得ωi 和ωj ，阻尼比在计算中取ξi =ξj =0.05。

2.4 粘弹性人工边界

粘弹性人工边界从用途上可分为动力人工边界和静-动力统一人工边界；从具体实现方法上可分为弹簧-阻尼器边界单元和一致粘弹性边界单元。下面先介绍动力人工边界。

具体计算中模型边界材料参数由其相邻的围岩介质材料决定。则当人工边界采用等效的弹簧和阻尼器物理元件来模拟时，其弹簧系数和阻尼系数的计算分别如下[3][4]：

法向边界：

)1(2μαα+==R E

R G K T

T

T ， s T c C ρ= (8) 切向边界：

)

1(2μαα+==R E

R G K N

N

N ， p N c C ρ= (9) 式中K T 、K N 分别为法向与切向的弹簧刚度；R 为波源至人工边界点的距离；c s 和c p 分别为S