导数探讨函数图像的交点问题

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高中数学导数与函数图像的关系分析与讲解

高中数学导数与函数图像的关系分析与讲解在高中数学中，导数与函数图像是密不可分的。

导数是函数在某一点上的变化率，而函数图像则是函数在整个定义域上的变化规律的图形表示。

理解导数与函数图像之间的关系对于学习和应用数学知识都具有重要意义。

本文将通过具体的题目举例，分析导数与函数图像的关系，并给出解题技巧和使用指导。

一、导数与函数图像的关系导数与函数图像之间有着密切的联系。

函数的导数可以帮助我们确定函数图像的特征，如函数的增减性、极值点、拐点等。

下面通过几个具体的题目来说明导数与函数图像的关系。

例题1：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求函数在$x=1$处的导数。

解析：首先我们需要求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。

根据导函数的定义，我们可以得到$f'(x)=3x^2-6x+2$。

然后，我们将$x=1$代入导函数中，得到$f'(1)=3(1)^2-6(1)+2=-1$。

这个结果告诉我们，在$x=1$处，函数$f(x)$的导数为-1。

通过这个例题，我们可以看出，函数$f(x)$在$x=1$处的导数为-1。

这意味着函数$f(x)$在$x=1$处的斜率为-1，即函数图像在该点的切线的斜率为-1。

这个信息可以帮助我们更好地理解函数图像的特征。

例题2：已知函数$g(x)=x^2-2x$，求函数$g(x)$的极值点。

解析：为了求函数$g(x)$的极值点，我们需要先求出函数$g(x)$的导函数$g'(x)$。

根据导函数的定义，我们可以得到$g'(x)=2x-2$。

然后，我们令$g'(x)=0$，得到$2x-2=0$，解得$x=1$。

这意味着函数$g(x)$的导数在$x=1$处为0，即函数图像在该点的切线的斜率为0。

通过这个例题，我们可以看出，函数$g(x)$的极值点出现在$x=1$处。

这个点处的切线斜率为0，意味着函数图像在该点处有一个极值。

这个极值可以是最大值或最小值，需要通过进一步的分析来确定。

如何用导数探讨函数图像的交点问题

用导数探讨函数图象的交点问题运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。

如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？例1 已知函数f(x)=－x 2+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）略（II ）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点， ∵x>0∴函数 (x)=g(x)－f(x) =2x －8x+6ln x+m 的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

∵)('x ϕ=2x －8+随x 变化如下表：∴极大值(1)=1-8+m=m-7，x 极小值= (3)=∵当x →0+时， (x )→ ，当x 时， (x ) ∴要使 (x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须 ⎩⎨⎧<-=>-=,0153ln 6)(,07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ ∴7<m<15－6ln 3. 所以存在实数m ，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为（7，15—6ln 3）. （分析草图见下图1）图1图2 引申1：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为 m+6In3-15>0或 m-7<0，即m>15-6In3 或m<7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图2和图3）。

引申2：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为=极小值)(x ϕm+6In3-15=0或=极大值)(x ϕm-7=0，y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）),0()3)(1(268262>--=+-=x x x x x =极小值)(x ϕ=极大值)(x ϕϕϕ∞-+∞→+∞→ϕ)(x ϕϕϕ图4 图5从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数 (x)= f(x)－g(x)②求导 ③研究函数ϕ(x )的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）④画出函数ϕ(x )的草图，观察与x 轴的交点情况，列不等式⑤解不等式。

导数与函数图像关系

在微积分中，导数是一个至关重要的概念。

它提供了函数在不同点上的斜率或变化率的信息。

函数的图像则是通过绘制函数的曲线来呈现函数的全貌。

本文将探讨导数与函数图像之间的密切关系。

首先，我们来回顾一下导数的定义。

对于一个给定的函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下公式计算得到：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h导数的几何解释是函数在该点的切线的斜率。

这意味着如果我们在点(x, f(x))处绘制切线，那么切线的斜率就是导数f'(x)。

根据这个定义，我们可以得出一些与函数图像有关的结论。

首先，导数提供了函数图像的局部信息。

通过计算导数，我们可以了解函数曲线在特定点的陡峭程度。

如果导数为正，那么函数曲线在该点上升；如果导数为负，那么函数曲线在该点下降。

导数的绝对值表示曲线的斜率的大小，即曲线的陡峭程度。

因此，导数可以帮助我们确定函数曲线在特定点的行为。

其次，导数提供了函数图像的全局信息。

通过计算导数，我们可以确定函数曲线在整个定义域内的变化规律。

如果导数始终为正，那么函数曲线将一直上升；如果导数始终为负，那么函数曲线将一直下降。

导数为零的点则表示函数曲线的极值点或拐点。

通过分析函数的导数，我们可以推断函数的整体行为，包括最大值、最小值和凹凸性等。

此外，导数还可以用于绘制函数的图像。

绘制函数的图像是通过连接许多点来得到的。

这样做的问题是，我们只能得到离散的点，而无法得到具体点之间的信息。

然而，通过计算导数，我们可以得到函数在每个点的斜率。

这些斜率可以帮助我们绘制更平滑的曲线，而不是简单地连接离散点。

因此，导数在绘制函数图像时起到了至关重要的作用。

最后，我们要注意到导数并不是函数图像的一切。

有些函数可能在某些点上没有导数，即导数不存在。

例如，函数在某些点上可能有间断或不可导的奇点。

在这种情况下，导数无法提供关于函数图像的任何信息。

因此，在分析函数图像时，我们应该综合考虑导数以及函数的其他特性。

高中数学考前归纳总结导数中的图像关系问题

导数中的图像关系问题一、常见基本题型：（1）已知图像交点个数，求参数的取值范围，例1. 已知3x =是函数2()16ln(1)10f x x x x =++-的一个极值点．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若直线y b =与函数()y f x =的图像有三个交点，求b 的取值范围．解：(1) f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)， 2243()1x x f x x-+'=+. 当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，()0f x '>；当x ∈(1,3)时，()0f x '<.∴()f x 的单调增区间是(－1,1)，(3，＋8)；()f x 的单调减区间是(1,3)，（2）由(1)知()f x 在(－1,1)单调增加，在(1,3)单调减小，在(3，＋∞)上单调增加，且当x ＝1，或x ＝3时，f ′(x )＝0，∴f (x )的极大值为f (1)＝16ln2－9，极小值为f (3)＝32ln2－21.∵f (16)＞162－10×16＞16ln2－9＝f (1)， f (e －2－1)＜－32＋11＝－21＜f (3)，∴在f (x )的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)，直线y ＝b 与y ＝f (x )的图像各有一个交点，即f (3)＜b ＜f (1)．∴b 的取值范围为(32ln2－21,16ln2－9).例2.已知函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=（1）当1=a 时，求函数)(x f 的最值；（2）说明是否存在实数)1(≥a a 使)(x f y =的图象与2ln 85+=y 无公共点. 解：（1）函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=的定义域是（1，+∞）当a=1时，1)23(21112)('--=---=x x x x x x f ，所以)(x f 在)23,1(为减函数，在),23(+∞为增函数，所以函数)(x f 的最小值为2ln 43)23(+=f .（2）1≥a 时，由（1）知)(x f 在（1，+∞）的最小值为2ln 14)22(2a a a a f -+-=+，令2ln 14)22()(2a a a a f a g -+-=+=在［1，+∞）上单调递减，所以2ln 43)1()(max +==g a g ，则,081)2ln 85()(max >=+-a g 因此存在实数)1(≥a a 使)(x f 的最小值大于2ln 85+，故存在实数)1(≥a a 使y=)(x f 的图象与y=2ln 85+无公共点.(2)已知图像的位置关系求参数的取值范围例 3.已知二次函数2()(0)h x ax bx c c =++>，其导函数()y h x '=的图象如图所示，()ln ()f x x h x =-．若函数2ln y x x =-, ([1,4])x ∈的图象总在函数()y f x =的图象的上方，求c 的取值范围．解：由题意可知，2x －ln x >x 2－3x －c ＋ln x 在x ∈[1,4]上恒成立，即当x ∈[1,4]时，c >x 2－5x ＋2ln x 恒成立设g (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，x ∈[1,4]，则c >g (x )max .易知()g x '=＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x =(21)(2)x x x--. 令()0g x '=得，x ＝12或x ＝2. 当x ∈(1,2)时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x ∈(2,4)时，()0g x '>，函数()g x 单调递增．而g (1)＝12－5×1＋2ln 1＝－4，g (4)＝42－5×4＋2ln 4＝－4＋4ln 2，显然g (1)<g (4)，故函数g (x )在[1,4]上的最大值为g (4)＝－4＋4ln 2，故c >－4＋4ln 2. ∴c 的取值范围为(－4＋4ln 2，＋∞)．二、针对性练习1．已知函数21()ln 12f x x x =+-.，求证：在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数 32()3g x x =的图象的下方. 证明：令2312()()()ln 123F x f x g x x x x =-=+-- 则2322112(1)(1)'()2x x x x x F x x x x x x+--++=+-== ∵当1x >时'()0F x <，∴函数()F x 在区间(1,)+∞上为减函数∴12()(1)1023F x F <=--< 即在(1,)+∞上，()()f x g x <∴在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方。

高中数学-函数的交点问题及例题解析

高中数学-函数的交点问题及例题解析函数的交点问题是高中数学中的重要概念之一。

交点是指两个函数图像相交的点，这些点的坐标可以用于求解关于函数的各种问题。

本文将对函数的交点问题进行解析，并提供几个例子来帮助理解。

交点的定义函数的交点是指两个函数图像在坐标平面上相交的点。

它们的坐标可以表示为$(x, y)$，其中$x$为横坐标，$y$为纵坐标。

解析交点的方法要求解函数的交点，可以使用以下几种方法：1. 图像法：将两个函数的图像绘制在坐标平面上，通过观察交点的位置来确定其坐标。

2. 代数法：将两个函数表示为方程，然后通过联立方程组的方法求解交点的坐标。

3. 近似法：使用数值方法（如迭代法、二分法等）求解交点的近似值。

例题解析下面是几个例题的解析：例题1已知函数$f(x) = 2x + 3$和$g(x) = x^2 - 1$，求解它们的交点坐标。

解析：首先，将两个函数表示为方程：$2x + 3 = x^2 - 1$。

然后，可以将方程变形为二次方程：$x^2 - 2x - 4 = 0$。

通过求解这个二次方程，可以得到两个交点的横坐标：$x_1 = -1$，$x_2 = 4$。

将横坐标代入任意一个方程中，可以求得相应的纵坐标：$y_1 = 1$，$y_2 = 11$。

所以，交点的坐标分别为$(-1, 1)$和$(4, 11)$。

例题2已知函数$h(x) = \sin(x)$和$k(x) = \cos(x)$，求解它们的交点坐标。

解析：观察函数$h(x)$和$k(x)$的图像可以发现它们是周期性的函数，并且在$x = \frac{\pi}{4}$和$x = \frac{5\pi}{4}$两个点相交。

所以，交点的坐标分别为$\left(\frac{\pi}{4},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$和$\left(\frac{5\pi}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

导数与函数图像的关系分析

导数与函数图像的关系分析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

而函数图像则是函数在平面上的可视化展示。

导数与函数图像之间存在着密切的关系，通过对导数与函数图像的分析，我们可以深入理解函数的性质与行为。

一、导数的定义与计算方法导数的定义是函数在某一点的变化率，可以通过极限的概念进行定义。

对于函数f(x)，其在点x处的导数可以表示为f'(x)，即f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx。

这个定义可以理解为当Δx趋近于0时，函数在x点附近的变化率。

计算导数的方法有多种，其中最常见的是使用导数的基本公式。

对于常见的函数类型，我们可以通过这些公式来计算导数。

例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为整数，其导数为f'(x) = anx^(n-1)。

对于指数函数f(x) = e^x，其导数为f'(x) = e^x。

对于对数函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。

二、导数与函数的增减性导数与函数的增减性密切相关。

通过导数的正负可以判断函数在某一点的增减性。

当导数大于0时，函数在该点上是递增的；当导数小于0时，函数在该点上是递减的；当导数等于0时，函数在该点上取得极值。

通过导数与函数的增减性，我们可以推导出函数的极值点和拐点。

当函数的导数从正变为负时，函数在该点上取得极大值；当函数的导数从负变为正时，函数在该点上取得极小值。

而函数的拐点则是导数的变号点，即导数从正变为负或从负变为正的点。

三、导数与函数的凹凸性导数还可以用来判断函数的凹凸性。

通过导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。

二阶导数表示导数的导数，可以表示为f''(x)。

当二阶导数大于0时，函数在该点上是凹的；当二阶导数小于0时，函数在该点上是凸的；当二阶导数等于0时，函数在该点上可能是拐点。

通过导数与函数的凹凸性，我们可以推导出函数的凹凸区间和拐点。

导数与函数图象的交点

导数与函数图象的交点（方程根）个数
把方程转化为函数，利用导数研究函数图象与x轴的交点情况，就可以得到方程解的情况，例1 （2015年全国卷工理第21题）
分析与解
解题反思
第(2)题的难点在于分类，第一次分类是要确定h(x)的具体解析式，第二次分类是要判断f(x)的导数的符号，比较而言，利用数形结合更简单一些．
发散训练
~例2 （2015年江苏第19题）w
8分析与解
解题反思
第(2)题解1是把零点问题转化为不等式问题，又转化为方程解的问题，但不是直接解方程，由于通过条件知道方程的解，就转化为验证是否是方程的解，有效回避解高次方程．解2是通过“两边夹”的方法得到c的值，再验证其是唯一满足条件的值，解3利用3/2为重根构造关于a的4次不等式，通过待定系数法求出c，相对简单．
发散训练
例3 （2016年江苏第19题）
分析与解
发散训练。

2-6利用导数研究函数图象交点及零点问题(2)

【知识点6】利用导数研究函数图象交点及零点个数问题1. 思路提示：探讨()0f x =的根的个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，从限制函数()f x 的极值找到问题的充要条件；如果是研究两个函数图像交点的个数，则可以用两个函数作差构造新函数，在转化为方程()0f x =的根的问题求解.例1：设a 为实数，函数3()+3f x x x a =-+.（I ）求()f x 的极值；（II ）若方程()0f x =有3个实数根，求a 的取值范围；（III ）若()0f x =恰好有两个实数根，求a 的值.例2：已知32()+b (,,f x ax x x x R a b =-∈是常数，(0)a ≠，且当1x =和2x =时，函数()f x 取得极值.（I ）求()f x 的解析式;（II ）若曲线()y f x =与()3(20)g x x m x =---≤≤有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.例3：已知函数3()f x x x =-.（I ）求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；（II ）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的3条切线，证明：()a b f a -<<.例4：已知,a b 为常数，且0a ≠，函数()ln ,()2f x ax b ax x f e =-++= （ 2.71828e =是自然对数的底数）.（I ）求实数b 的值；（II ）求函数()f x 的单调区间；（III ）当1a =时，是否同时存在实数m M 和()m M <，使得对每一个．．．[],t m M ∈，直线y t =与曲线1()(,)y f x x e e⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由.例5：已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+（I ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；例6：已知函数(),3x x f =().x x x g +=()I 求函数()()()x g x f x h -=的零点个数，并说明理由；()II 设数列{}()*N n a n ∈满足()()(),,011n n a g a f a a a =>=+证明：存在常数,M 使得对于任意的,*Nn ∈都有.M a n ≤例7：已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-(I)讨论()f x 的单调性；（II ）设0a >，证明：当10x a <<时，11()()f x f x a a+>-；（III ）若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0'()0f x <例8：设函数322()2,()32f x x ax bx a g x x x =+++=-+，其中x R ∈，,a b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点(2,0)处有相同的切线l 。

初中九年级数学函像交点问题探究

初中九年级数学函像交点问题探究摘要：在初中九年级数学教学中，有效落实函数图像交点问题教学，能够提升学生的知识掌握水平。

基于此，本文详细阐述了函数与x轴存在两个交点时的交点问题探究讲解，以及针对函数图像交点个数求解的问题探究讲解，深入分析了围绕函数交点问题的数学教学，希望能够为初中教学工作的发展提供助力。

关键词：数学函数；二次函数；一次函数引言：函数图像交点问题作为初中九年级数学教学中的重点内容，已经成为了中考的关键考点之一，教师通过做好函数图像交点问题教学工作，有助于学生整体中考成绩水平的提升，因此，应深入分析函数图像交点问题，并采取有效的教学措施，增强教学工作效果，促进学生数学解题能力的发展。

1.函数与x轴存在两个交点时的问题探究1.解析式求解问题函数与x轴存在两个交点是初中函数考题中常见的已知条件，如果某函数为y=ax2+bx+c，且已知条件中提出，其与x轴存在两个交点，那么在设两个交点坐标分别为A（x1，0）、B（x2，0）的条件下，该已知条件所带来的潜在信息包括，与交点有关的解析式可以设为y=a（x-x1）（x-x2）、两个交点间的距离与交点坐标的关系可为AB=|x1-x2|、对称轴的方程式为x=（x1+x2）/2，教师通过归纳上述三个已知条件信息，来教授学生应对解析式求解、三角形面积求解这两个常见交点问题，可以帮助学生顺利得出问题答案，增强解题效率和效果。

以解析式求解问题为例，该问题已知条件为，y=x2+mx+n与x轴存在两个交点，其中交点A在y 轴的右侧、B在y轴的左侧，AB=4，该函数图像定点C则处于x=1上，求解该解析式。

在求解过程中，教师可以先设两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），然后带领学生根据上述内容提出规律，归纳出信息，AB=|x1-x2|=4、对称轴方程（x1+x2）/2=1，并再设y=a（x-x1）（x-x2），即可整合得出解析式为y=x2-2x-3。

1.三角形面积求解问题在常见的函数图像交点问题中，函数与x轴存在两个交点这一已知条件，还经常出现在三角形面积的求解中，因此，教师还可以将上述解题方法稍加改动，应用到坐标几何的面积求解中，扩大该技巧的使用范围，深入优化学生的解题技巧。

导数中分类讨论的三种常见类型

导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进展统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进展分类，然后对每一类的对象进展分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进展整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进展合理的分类，下面根据导数中3种比拟常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比拟实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，根本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进展求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的X 围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进展讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -. 当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -. 综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况. 2.导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进展求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，假设24120a ∆=-<即a <<，方程23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；假设24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；假设24120a ∆=->即a a <>，那么方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得1x =，2x =12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：综上所述，当a ≤≤()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭和3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为33a a ⎛--+ ⎪⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2那么相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小，所以不用再讨论。

函数曲线与轴交点问题及例题解析

函数曲线与轴交点问题及例题解析概述在数学中，函数曲线与轴交点问题是指确定一个函数与坐标轴的交点的数学问题。

这种问题在解析几何和微积分中经常出现，它们可以帮助我们理解函数的性质和图像。

问题解析给定一个函数的表达式，我们可以通过解方程来确定与坐标轴的交点。

具体而言，与x轴的交点对应于函数的值为0的x值，而与y轴的交点则对应于x值为0的函数值。

与x轴的交点为了确定函数与x轴的交点，我们可以将函数的表达式设置为0，然后解方程得到x的值。

解得的x值就是函数与x轴交点的横坐标。

与y轴的交点要确定函数与y轴的交点，我们需要找到函数在x = 0时的值。

将x替换为0，计算出的函数值就是函数与y轴交点的纵坐标。

例题解析考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3。

我们来解析一下它与坐标轴的交点。

与x轴的交点要确定函数与x轴的交点，我们将函数的表达式设置为0：x^2 - 4x + 3 = 0通过因式分解或求根公式，我们可以解得x的值。

在这个例子中，方程可以因式分解为：(x - 1)(x - 3) = 0由此可得，x = 1 或 x = 3。

所以，函数f(x) = x^2 - 4x + 3与x 轴的交点分别为(1, 0)和(3, 0)。

与y轴的交点要确定函数与y轴的交点，我们将x替换为0：f(0) = 0^2 - 4 * 0 + 3 = 3所以，函数f(x) = x^2 - 4x + 3与y轴的交点为(0, 3)。

总结通过解方程，我们可以确定函数曲线与坐标轴的交点。

这些交点的横坐标和纵坐标分别对应于函数与x轴和y轴的交点。

解析这些问题可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像。

以上是关于函数曲线与轴交点问题及例题解析的文档。

希望对您有所帮助！。

导数证明交点问题答案

若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 . 解析解析由题意该函数的定义域，由。

因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。

解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。

当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是。

[2011·上海八校联考] 设a ，b ，k 是实数，二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足： f (k －1)与f (k )异号， f (k ＋1)与f (k )异号．在以下关于f (x )的零点的命题中，真命题是( )A ．该二次函数的零点都小于kB ．该二次函数的零点都大于kC ．该二次函数的两个零点之差一定大于2D ．该二次函数的零点均在区间(k －1，k ＋1)内[2011·浙江六校联考] 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1的导函数为f ′(x )，f ′(0)＞0，f (x )与x 轴恰有一个交点，则f (1)f ′(0)的最小值为 ( ) A. 2 B.32 C. 3 D.52[来源:学§科§网Z§X§X§K]2．已知函数f (x )=1n x ，g (x )=a x +221(a 为常数)，若直线l 与y =f (x )和y =g (x )的图象都相切，且l 与y =f (x )的图象相切于定点P （1，f （1））．（1）求直线l 的方程及a 的值；（2）当k ∈R 时，讨论关于x 的方程f (x 2+1)-g (x )=k 的实数解的个数．解：（1）∵f ′(x )=x1，∴f （1）=1 ∴k 1=1,又切点为P （1，f （1），即（1，0） ∴l 的解析式为y=x-1，()2f x ax Inx =+y a 0x >()12f x ax x'=+y 00x >()12f x ax x'=+()2g x ax =-()1h x x=0a =0a >0a <0a <(),0-∞{}|0a a<y=x-1∵l 与y=g(x)相切，由,消去y 得x 2-2x+2a+2=0 y=a x +221 ∴△=（-2）2-4（2a+2）=0，得a=-21 （2）令h （x ）=f(x 2+1)-g(x)=1n(x 2+1)21212+-x ∵h ′(x)=212x x +-x=-21)1)(1(x x x x ++-，则)(,0)(101x h x h ，x x >'<<-<时或为增函数，-1＜x ＜0或x ＞1时，.)(.0)(为减函数x h x h <'故x=±1时，h （x ）取极大值1n2， x=0时，h （x ）取极小值21。

高中数学-函数的交点与根问题及例题解析

高中数学-函数的交点与根问题及例题解析介绍本文档将讨论高中数学中与函数的交点和根相关的问题，并提供例题解析。

通过研究本文档，读者将获得对这些概念的基本理解以及如何解决相关的数学问题的技巧。

函数的交点在数学中，函数的交点是指两个不同函数的图像在某一点上相交。

交点通常表示为一个坐标，包括横坐标和纵坐标。

要确定函数的交点，首先需要明确哪些函数需要比较。

通过方程式，可以找到交点的横坐标。

将这些横坐标代入对应的函数中，可以找到纵坐标，从而确定交点的坐标。

函数的根函数的根是指函数的图像与x轴相交的点。

根通常被表示为一个或多个实数。

要找到函数的根，需要解决函数的方程式。

通过将方程式设置为0，可以找到x的值，即函数的根。

解决函数的方程式通常需要运用代数运算和解方程的技巧。

可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解方程。

例题解析例题1已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3和g(x) = 2x - 1，求两个函数的交点。

解析：首先，将f(x)和g(x)设置为相等，即x^2 - 4x + 3 = 2x - 1。

通过整理方程，得到x^2 - 6x + 4 = 0。

然后，可以使用配方法或求根公式等方法解决这个方程。

在这个例子中，我们使用求根公式来解方程。

根据求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，代入方程的系数，即可得到x的值。

通过计算，得到x = 1和x = 3。

将这些x的值代入原来的函数中，可以得到相应的y值。

因此，交点的坐标为(1, -1)和(3, 5)。

例题2已知函数h(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2，求h(x)的根。

解析：要找到h(x)的根，我们需要解决方程x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0。

这是一个三次方程，可以使用因式分解、配方法、牛顿法等方法求解。

在这个例子中，我们使用因式分解方法来解决方程。

通过试除法，我们可以找到x = 1是方程的一个解。

导数与三角函数结合问题的研究(解析版)

导数与三角函数结合问题的研究有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数,由于三角函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失,使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上的难度.我们可从以下几个角度来突破此类问题的难点.1.分段讨论①以-π2,0,π2,π,⋯为端点分区间讨论;②以三角函数的最值点为端点分段讨论.2.巧用放缩,消去三角函数①正弦函数:当x>0时,x>sin x>x−12x2. ②余弦函数:cos x≥1−12x2.③正切函数:当x∈0,π2时,sin x<x<tan x. ④数值域:sin x∈-1,1,cos x∈-1,1.3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.4.分离参数:转化为函数值域问题.5.半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率.【精选例题】1已知函数f x =e x-ax，a∈R，f x 是f x 的导数.(1)讨论f x 的单调性，并证明：e x>2x；(2)若函数g x =f x -x cos x在区间0,+∞内有唯一的零点，求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)a≥1【详解】(1)因为f x =e x-ax，所以f x =e x-a，当a≤0时，f x =e x-a>0，则f x =e x-ax在R上单调递增，当a>0时，令f x =e x-a>0得x>ln a，令f x =e x-a<0得x<ln a，所以函数f x 的增区间为(ln a,+∞)，减区间为(-∞,ln a)，令F x =e x-2x，则F x =e x-2，令F x =e x-2>0得x>ln2，令F x =e x-2<0得x<ln2，所以函数F x 的增区间为(ln2,+∞)，减区间为(-∞,ln2)，所以当x=ln2时，F x 取得最小值为F ln2=e ln2-2ln2=2-2ln2>0，所以e x>2x，得证；(2)由(1)知，g x =e x-a-x cos x，因为函数g x 在区间0,+∞内有唯一的零点，所以方程a=e x-x cos x在区间0,+∞内有唯一解，令h(x)=e x-x cos x,x≥0，则函数h(x)=e x -x cos x与y=a在0,+∞上只有一个交点，记m x =e x-x-1,(x≥0)，则m x =e x-1≥0，所以m x 在0,+∞上单调递增，所以m x =e x-x-1≥e0-1=0，即e x≥x+1，故h (x)=e x-cos x+x sin x≥1-cos x+x(1+sin x)≥0，所以h(x)=e x-x cos x在0,+∞上单调递增，又h(0)=1，如图：要使方程a=e x-x cos x在区间0,+∞内有唯一解，则a≥1.所以a的取值范围是a≥1.2已知函数f x =sin x -x -ae x ,其中a 为实数,e 是自然对数的底数.(1)若a =-1,证明:f x ≥0;(2)若f x 在0,π 上有唯一的极值点,求实数a 的取值范围.【解析】(1)证明:a =-1时,f x =sin x -x +e x ,令g x =e x -x ,则g x =e x -1,当x <0时,g x <0,g x 在-∞,0 上为减函数,当x >0时,g x >0,g x 在0,+∞ 上为增函数,函数g x 的极小值也是最小值为g 0 =1,所以g x ≥g 0 =1,而-sin x ≤1,所以e x -x ≥-sin x ,即f x ≥0.(2)f x 在0,π 上有唯一的极值点等价于f x =cos x -1-ae x =0在0,π 上有唯一的变号零点,f x =0等价于a =cos x -1e x ,设h x =cos x -1e x,x ∈0,π ,h x =-sin x -cos x +1e x =1-2sin x +π4 e x,因为x ∈0,π,所以x +π4∈π4,5π4 ,当0<x <π2时,x +π4∈π4,3π4 ,sin x +π4 >22,h x <0,h x 在0,π2 上为减函数,当π2<x <π时,x +π4∈3π4,5π4 ,sin x +π4 22,h x 0,h x 在π2,π 上为增函数,所以函数h x 的极小值也是最小值为h π2=-1e π2,又h 0 =0,h π =-2e π,所以当-2e π≤a <0时,方程a =cos x -1ex 在0,π 上有唯一的变号零点,所以a 的取值范围是-2e π,0.3已知函数f x =e x ，g x =sin x +cos x .(1)求证：f x ≥x +1；(2)若x ≥0，问f x +g x -2-ax ≥0a ∈R 是否恒成立?若恒成立，求a 的取值范围；若不恒成立，请说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)a ≤2【详解】(1)令F x =e x -x -1，F x =e x -1，当x ∈-∞,0 ，F x <0，所以此时F x 单调递减；当x ∈0,+∞ ，F x >0，所以此时F x 单调递增；即当x =0时，F x 取得极小值也是最小值F 0 =0，所以F x ≥0，得证；(2)设h x =f x +g x -2-ax ，即证h x =e x +sin x +cos x -2-ax ≥0在0,+∞ 上恒成立，易得hx =ex+cos x -sin x -a ，当x =0时，若h 0 =2-a ≥0⇒a ≤2，下面证明：当a ≤2时，h x =e x +sin x+cos x -2-ax ≥0，在0,+∞ 上恒成立，因为h x =e x +cos x -sin x -a ，设u x =h x ，令v x =x -sin x ,v x =1-cos x ≥0，所以v x 在0,+∞ 上是单调递增函，所以v x ≥v 0 =0，又因为1-cos x ≥0，则u x =e x -sin x -cos x ≥x +1-sin x -cos x =x -sin x +1-cos x ≥0所以h x 在0,+∞ 上是单调递增函数，所以h x ≥h 0 =2-a ≥0，所以h x 在0,+∞ 上是严格增函数，若a >2时，h 0 <0，即h x 在x =0右侧附近单调递减，此时必存在h x 0 <h 0 =0，不满足f x +g x -2-ax ≥0a ∈R 恒成立，故当a ≤2时，不等式恒成立.4已知函数f (x )=e x +cos x -a (a ∈R )．(1)讨论f (x )在[-π,+∞)上的单调性；(2)当x ∈[0,+∞)时，e x +sin x ≥ax +1恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)f (x )在[-π,+∞)上的单调递增；(2)(-∞,2]【详解】(1)f (x )=e x -sin x ，当-π≤x ≤0时，e x >0，sin x <0，∴f (x )=e x -sin x >0，当x >0时，e x >1，sin x ≤1，∴f (x )=e x -sin x >0，即：f (x )>0在[-π,+∞)上恒成立，所以f (x )在[-π,+∞)上的单调递增.(2)方法一：由e x +sin x ≥ax +1得：e x +sin x -ax -1≥0当x =0时，e x +sin x -ax -1≥0恒成立，符合题意令g (x )=e x +sin x -ax -1，x >0g (x )=e x +cos x -a =f (x )，由(1)得：g (x )在(0,+∞)上的单调递增，∴g (x )>2-a ，①当a ≤2时，g (x )>2-a ≥0，所以g (x )在(0,+∞)上的单调递增，所以g (x )>g (0)=0，符合题意②当a >2时，g (0)=2-a <0，g (ln (2+a ))=2+cos (ln (2+a ))>0，∴存在x 0∈(0,ln (2+a ))，使得g (x 0)=0,当0<x <x 0时，g (x )<g (x 0)=0；所以g (x )在(0,x 0)上的单调递减，当0<x <x 0时，g (x )<g (0)=0，这不符合题意综上，a 的取值范围是(-∞,2].方法二：令h (x )=e x +sin x ，s (x )=ax +1，x ≥0则h (0)=s (0)=1，符合题意h (x )=e x +cos x =f (x )+a ，f (x )=e x -sin x 由(1)得：f (x )>0在(0,+∞)上恒成立，h (x )在(0,+∞)上单调递增所以，h (x )>h (0)>0，所以h (x )在(0,+∞)上单调递增，其图象是下凸的，如图： ∵h (0)=2，所以，曲线h (x )在点(0,1)处的切线方程为：y =2x +1，要使得h (x )≥s (x )在[0,+∞)上恒成立，只需a ≤2所以，a 的取值范围是(-∞,2].5已知函数f x =a sin x ，其中a >0.(1)若f x ≤x 在0,+∞ 上恒成立，求a 的取值范围；(2)证明：∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1xln x +1 +sin x .【答案】(1)0,1 ；(2)证明见解析【详解】(1)令h x =x -a sin x ，x ∈0,+∞ ，则h x =1-a cos x ，当a ∈0,1 时，h x >0，h x 单调递增，所以h x ≥h 0 =0，当a ∈1,+∞ 时，令m x =h x =1-a cos x ，则m x =a sin x ，所以对∀x ∈0,π2 ，mx >0，则hx 在0,π2 上单调递增，又因为h0 =1-a <0，hπ2=1>0，所以由零点存在定理可知，∃x 0∈0,π2使得h x 0 =0，所以当x ∈0,x 0 时，h x <0，h x 单调递减，h x <h 0 =0，与题意矛盾，综上所述，a ∈0,1 .(2)由(1)知，当a =1时，sin x ≤x ，∀x ∈0,+∞ . 先证ln x +1 ≤x ，x ∈0,+∞ ，令φx =x -ln x +1 ，则φ x =1-1x +1≥0，所以φx 单调递增，φx >φ0 =0，即ln x +1 ≤x . 所以当x ∈0,+∞ 时，ln x +1 +sin x ≤2x ，x +1xln x +1 +sin x ≤2x 2+1 .要证∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1x ln x +1 +sin x ，只需证e x>x 2+1. 令g x =x 2+1 e -x-1，x ∈0,+∞ ，则g x =2x -x 2-1 e -x=-x -1 2e -x≤0.所以g x 在0,+∞ 上单调递减，所以g x <g 0 =0，即e x>x 2+1.综上可得∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1xln x +1 +sin x .6已知函数f x =ae x +4sin x -5x .(1)若a =4，判断f x 在0,+∞ 上的单调性；(2)设函数p x =3sin x -2x +2，若关于x 的方程f x =p x 有唯一的实根，求a 的取值范围.【答案】(1)函数f x 在0,+∞ 上单调递增.(2)a ≤0或a =2【详解】(1)当a =4时，f x =4e x +4sin x -5x ,f x =4e x +4cos x -5，令g x =f x =4e x +4cos x -5,则g x =4e x -4sin x .当x ∈0,+∞ 时，4e x ≥4(x =0时等号成立)；-4sin x ≥-4(x =π2+2k π,k ∈Z 时等号成立)，所以g x =4e x -4sin x >0，即函数f x =4e x +4cos x -5在0,+∞ 上递增，所以f x ≥f 0 =3>0，即函数f x 在0,+∞ 上单调递增.(2)方程f x =p x 即ae x +4sin x -5x =3sin x -2x +2有唯一的实根，则a =3x +2-sin xe x只有一个解，等价于直线y =a 与函数y =3x +2-sin x e x 的图象只有一个交点.令h x =3x +2-sin xex，则h x =sin x -cos x +1-3x e x ，因为e x >0，所以hx=sin x -cos x +1-3x e x 的符号由分子决定，令m x =sin x -cos x +1-3x ，则m x =cos x +sin x -3=22sin x +π4-3<0.所以m x =sin x -cos x +1-3x 在R 上递减，因为m 0 =0，所以当x ∈-∞,0 时，m x >m 0 =0；当x ∈0,+∞ 时，m x <m 0 =0.即当x ∈-∞,0 时，h x >0；当x ∈0,+∞ 时，h x <0.所以函数h x =3x +2-sin xe x在-∞,0上递增，在0,+∞ 上递减，当x 趋于-∞时，e x 趋于0且大于0，分子3x +2-sin x 趋于-∞，则3x +2-sin xe x趋于-∞；当x =0时，h max x =h 0 =2；当x 趋于+∞时，e x 趋于+∞，分子3x +2-sin x 也趋于+∞，令φx =e x -3x +2-sin x ，则φ x =e x -3+cos x ，当x >2时，φ x =e x -3+cos x >0，则x 趋于+∞时，e x 增长速率大于3x+2-sin x 的增长速率，故x 趋于+∞时，3x +2-sin x e x趋于0.画出函数h x =3x +2-sin x e x的草图，并画出直线y =a ，要使直线y =a 与函数y =3x +2-sin xe x 的图象只有一个交点.则a ≤0或a =2.所以当a ≤0或a =2时，方程f x =p x 有唯一的实根.7已知函数f x =e x ，g x =2-sin x -cos x ．(1)求证：当x ∈0,+∞ ，x >sin x ；(2)若x ∈0,+∞ ，f x >g x +ax 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)-∞,2【详解】(1)证明：设F x =x -sin x ，x >0，则F x =1-cos x >0，所以F x 在区间0,+∞ 上单调递增，所以F x >F 0 =0，即x >sin x .(2)由f x >g x +ax 在区间0,+∞ 上恒成立，即e x +sin x +cos x -ax -2>0在区间0,+∞ 上恒成立，设φx =e x +sin x +cos x -ax -2，则φx >0在区间0,+∞ 上恒成立，而φ x =e x +cos x -sin x -a ，令m x =φ x ，则m x =e x -sin x -cos x ，设h x =e x -x -1，则h x =e x -1，当x >0时，h x >0，所以函数h x 在区间0,+∞ 上单调递增，故在区间0,+∞ 上，h x >h 0 =0，即在区间0,+∞ 上，e x >x +1，由(1)知：在区间0,+∞ 上，e x >x +1>sin x +cos x ，即m x =e x -sin x -cos x >0，所以在区间0,+∞ 上函数φ x 单调递增，当a ≤2时，φ 0 =2-a ≥0，故在区间0,+∞ 上函数φ x >0，所以函数φx 在区间0,+∞ 上单调递增，又φ0 =0，故φx >0，即函数f x >g x +ax 在区间0,+∞ 上恒成立.当a >2时，φ 0 =2-a ，φ ln a +2 =a +2+cos ln a +2 -sin ln a +2 -a =2-2sin ln a +2 -π4>0，故在区间0,ln a +2 上函数φ x 存在零点x 0，即φ x 0 =0，又在区间0,+∞ 上函数φx 单调递增，故在区间0,x 0 上函数φx <φx 0 =0，所以在区间0,x 0 上函数φx 单调递减，由φ0 =0，所以在区间0,x 0 上φx <φ0 =0，与题设矛盾.综上，a 的取值范围为-∞,2 .8已知函数f (x )=a sin x -ln (1+x )(a ∈R )．(1)若a =-1，求证：∀x >0,f (x )+2x >0；(2)当a ≥1时，对任意x ∈0,k 2，都有f (x )≥0，求整数k 的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)3【详解】(1)a =-1时，设g (x )=f (x )+2x =-sin x -ln (1+x )+2x ，则g (x )=-cos x -11+x+2，∵x >0∴x +1>1∴-1x +1∈(-1,0)∵cos x ∈[-1,1]∴-cos x -1x +1+2>0，即g (x )>0在(0,+∞)上恒成立，∴g (x )在(0,+∞)上单调增，又g (0)=0∴g (x )>g (0)=0，即∀x >0,f (x )+2x >0；(2)a =1时，当k =4时，f (2)=sin2-ln3<0，所以k <4．下证k =3符合．k =3时，当x ∈0,32时，sin x >0，所以当a ≥1时，f (x )=a sin x -ln (1+x )≥sin x -ln (1+x )．记h (x )=sin x -ln (1+x )，则只需证h (x )=sin x -ln (1+x )≥0对x ∈0,32恒成立．h (x )=cos x -1x +1，令ϕ(x )=cos x -1x +1，则ϕ (x )=-sin x +1(x +1)2在0,π2 递减，又ϕ (0)=1>0,ϕ π2=-1+1π2+12<0，所以存在x 1∈0,π2，使得ϕ x 1 =0，则x ∈0,x 1 ,ϕ x 1 >0,ϕ(x )在0,x 1 递增，x ∈x 1,π2 ,ϕx 1 <0,ϕ(x )在x 1,π2 递减；又ϕ(0)=0,ϕπ2 =-1π2+1<0，所以存在x 2∈x 1,π2 使得ϕx 2 =0，且x ∈0,x 2 ,ϕ(x )>0,x ∈x 2,π2,ϕ(x )<0，所以h (x )在0,x 2 递增，在x 2,π2递减，又h (0)=0,h π2 =1-ln 1+π2 >0，所以h (x )≥0对x ∈0,π2 恒成立，因为0,32 ⊆0,π2 ，所以k =3符合．综上，整数k 的最大值为3．9已知函数f (x )=(x -1)e x +ax +1．(1)若f(x)有两个极值点，求a的取值范围；(2)若x≥0，f(x)≥2sin x，求a的取值范围．【答案】(1)0,1 e；(2)2,+∞．【详解】(1)由f(x)=(x-1)e x+ax+1，得f (x)=xe x+a，因为f(x)有两个极值点，则f (x)=0，即方程-a= xe x有两个不等实数根，令g(x)=xe x，则g (x)=(x+1)e x，知x<-1时，g (x)<0，g(x)单调递减，x>-1时，g (x)>0，g(x)单调递增，则x=-1时，g(x)取得极小值g(-1)=-1e，也即为最小值，且x<0时，g(x)<0，x→-∞时，g(x)→0，x>0时，g(x)>0，x→∞时，g(x)→+∞，故-1e<-a<0，即0<a<1e时，方程-a=xe x有两个实数根，不妨设为x1，x2x1<x2．可知x<x1时，f (x)>0，x1<x<x2时，f (x)< 0，x>x2时，f (x)>0，即x1，x2分别为f(x)的极大值和极小值点．所以f(x)有两个极值点时，a的取值范围是0,1 e．(2)令h(x)=(x-1)e x+ax-2sin x+1，原不等式即为h(x)≥0，可得h(0)=0，h (x)=xe x+a-2cos x，h (0)=a-2，令u(x)=h (x)=xe x+a-2cos x，则u (x)=(x+1)e x+2sin x，又设t(x)=(x+1)e x，则t (x)= (x+2)e x，x≥0时，t (x)>0，可知t(x)在0,+∞单调递增，若x∈0,π，有(x+1)e x>0，sin x>0，则u (x)>0；若x∈π,+∞，有(x+1)e x>(π+1)eπ>2，则u (x)>0，所以，x≥0，u (x)>0，则u(x)即h (x)单调递增，①当a-2≥0即a≥2时，h (x)≥h (0)≥0，则h(x)单调递增，所以，h(x)≥h(0)=0恒成立，则a≥2符合题意．②当a-2<0即a<2时，h (0)<0，h (3-a)=(3-a)e(3-a)+a-2cos(3-a)≥3-a+a-2cos(2-a)> 0，存在x0∈(0,3-a)，使得h (x0)=0，当0<x<x0时，h (x)<0，则h(x)单调递减，所以h(x)<h(0)=0，与题意不符，综上所述，a的取值范围是2,+∞．10已知函数f x =x-sinπ2x-a ln x,x=1为其极小值点．(1)求实数a的值；(2)若存在x1≠x2，使得f x1=f x2，求证：x1+x2>2．【答案】(1)a=1；(2)证明见解析【详解】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f (x)=1-π2cosπ2x-a x，依题意得f (1)=1-a=0，得a=1，此时f (x)=1-π2cosπ2x-1x，当0<x<1时，0<π2x<π2，0<π2cosπ2x<π2，1x>1，故f (x)<0，f(x)在(0,1)内单调递减，当1<x<2时，π2<π2x<π，π2cosπ2x<0，1x<1，故f (x)>0，f(x)在(1,2)内单调递增，故f(x)在x=1处取得极小值，符合题意.综上所述：a=1.(2)由(1)知，f(x)=x-sinπ2x-ln x，不妨设0<x1<x2，当1≤x1<x2时，不等式x1+x2>2显然成立；当0<x1<1，x2≥2时，不等式x1+x2>2显然成立；当0<x1<1，0<x2<2时，由(1)知f(x)在(0,1)内单调递减，因为存在x 1≠x 2，使得f x 1 =f x 2 ，所以1<x 2<2，要证x 1+x 2>2，只要证x 1>2-x 2，因为1<x 2<2，所以0<2-x 2<1，又f (x )在(0,1)内单调递减，所以只要证f (x 1)<f (2-x 2)，又f x 1 =f x 2 ，所以只要证f (x 2)<f (2-x 2)，设F (x )=f (x )-f (2-x )(1<x <2)，则F (x )=f (x )+f (2-x )=1-π2cos π2x -1x +1-π2cos π2(2-x ) -12-x =2-1x +12-x -π2cos π2x +cos π-π2x =2-1x +12-x-π2cos π2x -cos π2x =2-1x +12-x，令g (x )=2-1x +12-x(1<x <2)，则g (x )=1x 2-1(2-x )2=4-4x x 2(2-x )2，因为1<x <2，所以g(x )<0，g (x )在(1,2)上为减函数，所以g (x )<g (1)=0，即F (x )<0，所以F (x )在(1,2)上为减函数，所以F (x )<F (1)=0，即f (x 2)<f (2-x 2).综上所述：x 1+x 2>2.11(2023全国新高考2卷)(1)证明：当0<x <1时，x -x 2<sin x <x ；(2)已知函数f x =cos ax -ln 1-x 2 ，若x =0是f x 的极大值点，求a 的取值范围．【答案】(1)证明见详解(2)-∞,-2 ∪2,+∞【详解】(1)构建F x =x -sin x ,x ∈0,1 ，则F x =1-cos x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则F x 在0,1 上单调递增，可得F x >F 0 =0，所以x >sin x ,x ∈0,1 ；构建G x =sin x -x -x 2 =x 2-x +sin x ,x ∈0,1 ，则G x =2x -1+cos x ,x ∈0,1 ，构建g x =G x ,x ∈0,1 ，则g x =2-sin x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则g x 在0,1 上单调递增，可得g x >g 0 =0，即G x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则G x 在0,1 上单调递增，可得G x >G 0 =0，所以sin x >x -x 2,x ∈0,1 ；综上所述：x -x 2<sin x <x .(2)令1-x 2>0，解得-1<x <1，即函数f x 的定义域为-1,1 ，若a =0，则f x =1-ln 1-x 2 ,x ∈-1,1 ，因为y =-ln u 在定义域内单调递减，y =1-x 2在-1,0 上单调递增，在0,1 上单调递减，则f x =1-ln 1-x 2 在-1,0 上单调递减，在0,1 上单调递增，故x =0是f x 的极小值点，不合题意，所以a ≠0.当a ≠0时，令b =a >0因为f x =cos ax -ln 1-x 2 =cos a x -ln 1-x 2 =cos bx -ln 1-x 2 ，且f -x =cos -bx -ln 1--x 2 =cos bx -ln 1-x 2 =f x ，所以函数f x 在定义域内为偶函数，由题意可得：f x =-b sin bx -2x x 2-1,x ∈-1,1 ，(i )当0<b 2≤2时，取m =min 1b ,1 ，x ∈0,m ，则bx ∈0,1 ，由(1)可得fx =-b sin bx -2x x 2-1>-b 2x -2x x 2-1=x b 2x 2+2-b 2 1-x2，且b 2x 2>0,2-b 2≥0,1-x 2>0，所以fx >x b 2x 2+2-b 21-x2>0，即当x ∈0,m ⊆0,1 时，f x >0，则f x 在0,m 上单调递增，结合偶函数的对称性可知：f x 在-m ,0 上单调递减，所以x =0是f x 的极小值点，不合题意；(ⅱ)当b 2>2时，取x ∈0,1b ⊆0,1 ，则bx ∈0,1 ，由(1)可得f x =-b sin bx -2x x 2-1<-b bx -b 2x 2 -2x x 2-1=x 1-x2-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2 ，构建h x =-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2,x ∈0,1b ，则h x =-3b 3x 2+2b 2x +b 3,x ∈0,1b，且h 0 =b 3>0,h 1b=b 3-b >0，则hx >0对∀x ∈0,1b 恒成立，可知h x 在0,1b 上单调递增，且h 0 =2-b 2<0,h 1b=2>0，所以h x 在0,1b 内存在唯一的零点n ∈0,1b ，当x ∈0,n 时，则h x <0，且x >0,1-x 2>0，则f x <x1-x 2-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2 <0，即当x ∈0,n ⊆0,1 时，fx <0，则f x 在0,n 上单调递减，结合偶函数的对称性可知：f x 在-n ,0 上单调递增，所以x =0是f x 的极大值点，符合题意；综上所述：b 2>2，即a 2>2，解得a >2或a <-2，故a 的取值范围为-∞,-2 ∪2,+∞ .【跟踪训练】1已知函数f x =xe -x +a sin x ，e 是自然对数的底数，若x =0恰为f (x )的极值点.(1)求实数a 的值；(2)求f (x )在区间-∞,π4上零点的个数.【答案】(1)-1；(2)1【详解】(1)由题意得f x =1-xex+a cos x ，因为x =0为f (x )的极值点，故f (0)=1+a =0,∴a =-1，此时f x =1-x e x-cos x ，则x <0时，1-xe x >1，故f (x )>0，则f (x )在(-∞,0)上单调递增；由f x =1-x e x -cos x =1-x -e x cos x e x，令g x =1-x -e x cos x ,∴g x =-1-e x cos x -sin x ，当0<x <π4时，cos x -sin x >0，则g (x )<0，则g (x )在0,π4上单调递减，故g (x )<g (0)=0，即f(x )<0，故f (x )在0,π4 上单调递减，则x =0为f (x )的极大值点，符合题意，故a =-1.(2)由(1)知f x =xe -x -sin x ，f x =1-xex-cos x ，x <0时，f (x )>0，f (x )在(-∞,0)上单调递增，则f (x )<f (0)=0，故f x 在(-∞,0)上不存在零点；当0<x <π4时，f (x )<0，故f (x )在0,π4上单调递减，则f (x )<f (0)=0，故f x 在0,π4上不存在零点；当x =0时，f (0)=0，即x =0为f x 的零点，综合上述，f (x )在区间-∞,π4上零点的个数为1.2已知函数f x =2cos x +ln 1+x -1．(1)判断函数f x 在区间0,π2上零点和极值点的个数，并给出证明；(2)若x ≥0时，不等式f x <ax +1恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)函数f x 在区间0,π2上只有一个极值点和一个零点，证明见解析；(2)实数a 的取值范围是1,+∞【详解】(1)函数f x 在区间0,π2 上只有一个极值点和一个零点，证明如下，f x =-2sin x +1x +1，设t x =f x =-2sin x +1x +1，t x =-2cos x -1x +12，当x ∈0,π2 时，t x <0，所以f x 单调递减，又f 0 =1>0，f π2=-2+1π2+1=-2+2π+2<0，所以存在唯一的α∈0,π2 ，使得f α =0，所以当x ∈0,α 时，f x >0，当x ∈α,π2 时，f x <0，所以f x 在0,α 单调递增，在α,π2单调递减，所以α是f x 的一个极大值点，因为f 0 =2-1=1>0，f α >f 0 >0，f π2=ln 1+π2 -1<0，所以f x 在0,α 无零点，在α,π2上有唯一零点，所以函数f x 在区间0,π2 上只有一个极值点和一个零点；(2)由f x ≤ax +1，得2cos x +ln 1+x -ax -2≤0，令g x =2cos x +ln 1+x -ax -2，x >0 ，则g 0 =0，g x =-2sin x +11+x-a ，g 0 =1-a ，①若a ≥1，则-a ≤-1，当x ≥0时，-ax ≤-x ，令h x =ln x +1 -x ，则h x =1x +1-1=-xx +1，当x ≥0时，h x ≤0，所以h x 在0,+∞ 上单调递减，又h 0 =0，所以h x ≤h 0 ，所以ln x +1 -x ≤0，即ln x +1 ≤x ，又cos x ≤1，所以g x ≤2+x -x -2=0，即当x ≥0时，f x ≤ax +1恒成立，②若0≤a <1，因为当x ∈0,π2 时，g x 单调递减，且g 0 =1-a >0，g π2 =-2+11+π2-a <0，所以存在唯一的β∈0,π2，使得g β =0，当x ∈0,β 时，g x >0，g x 在0,β 上单调递增，不满足g x ≤0恒成立，③若a <0，因为g e 4-1 =2cos e 4-1 +ln e 4 -a e 4-1 -2=2-2cos e 4-1 -a e 4-1 >0不满足g x ≤0恒成立，综上所述，实数a 的取值范围是1,+∞ .3已知函数f x =xe x -1，g x =a x +ln x 且f x -g x ≥0恒成立. (1)求a 的值；(2)证明：x 3e x >x 2+3 ln x +2sin x .(注：其中e =2.71828⋯为自然对数的底数)【答案】(1)a =1；(2)证明见解析【详解】(1)因为f x -g x ≥0恒成立，所以xe x -a (ln x +x )≥1恒成立，令h (x )=xe x -a (ln x +x )，则h (x )=e x+xe x-a 1x +1 =(x +1)⋅xe x -ax(x >0)，当a <0时，h (x )>0，所以h (x )在(0,+∞)上递增，当x→0时，xe x →0,ln x →-∞，所以h (x )→-∞，不合题意，当a =0时，h 12=e2<1，不合题意，当a >0时，令xe x -a =0，得a =xe x ，令p (x )=xe x ，则p (x )=(x +1)e x >0，所以p (x )=xe x 在(0,+∞)上递增，且p (0)=0，所以a =xe x 有唯一实根，即h (x )=0有唯一实根，设为x 0，即a =x 0e x 0，且x ∈(0,x 0)时，h (x )<0，x ∈x 0,+∞ 时，h(x )>0,所以h (x )在0,x 0 上为减函数，在x 0,+∞ 上为增函数，所以h (x )min =f x 0 =x 0e x 0-a ln x0+x 0 =a -a ln a ，所以只需a -a ln a ≥1，令t =1a ，则上式转化为ln t ≥t -1，设φ(t )=ln t -t +1，则φ (t )=1t -1=1-tt，当0<t <1时，φ (t )>0，当t >1时，φ (t )<0，所以φ(t )在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，所以φ(t )≤φ(1)=0，所以ln t ≤t -1，所以ln t =t -1，得t =1，所以t =1a=1，得a =1，(2)证明：由(1)知，当a =1时，f x ≥g x 对任意x >0恒成立，所以∀x ∈0,+∞ ，xe x ≥x +ln x +1(当且仅当x =1时取等号)，则x 3e x ≥x 3+x 2ln x +x 2(x >0)，所以要证明x 3e x >x 2+3 ln x +2sin x ，只需证明x 3+x 2ln x +x 2>(x 2+3)ln x +2sin x (x >0)，即证x 3+x 2>3ln x +2sin x (x >0)，设t (x )=ln x -x +1,m (x )=sin x -x ，则由(1)可知ln x ≤x -1(x >0)，m (x )=cos x -1≤0在(0,+∞)上恒成立，所以m (x )在(0,+∞)上递减，所以∀x ∈0,+∞ ，m (x )<m (0)=0，所以sin x <x (x >0)，所以要证x 3+x 2>3ln x +2sin x (x >0)，只要证x 3+x 2≥3(x -1)+2x (x >0)，即x 3+x 2-5x +3≥0(x >0)，令H (x )=x 3+x 2-5x +3，则H (x )=3x 2+2x -5=(3x +5)(x -1)，当0<x <1时，H (x )<0，当x >1时，H (x )>0，所以H (x )在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，所以当x ∈0,+∞ 时，H (x )≥H (1)=0，即x 3+x 2-5x +3≥0(x >0)恒成立，所以原命题成立.4已知函数f (x )=x +sin x ，x ∈R .(1)设g (x )=f (x )-12x ，求函数g (x )的极大值点；(2)若对∀x ∈0,π2，不等式f (x )≥mx cos x (m >0)恒成立，求m 的取值范围.【答案】(1)x =2π3+2k π(k ∈Z )；(2)(0,2].【详解】(1)函数g (x )=12x +sin x ，求导得g (x )=12+cos x ，由g (x )=0，得cos x =-12，当-2π3+2k π<x<2π3+2k π(k ∈Z )时，cos x >-12，即g (x )>0，函数g (x )单调递增；当2π3+2k π<x <4π3+2k π(k ∈Z )时，cos x <-12，即g (x )<0，函数g (x )单调递减，因此函数g (x )在x =2π3+2k π(k ∈Z )处有极大值，所以函数g (x )的极大值点为x =2π3+2k π(k ∈Z ).(2)依题意，m >0，∀x ∈0,π2 ，不等式f (x )≥mx cos x ⇔x +sin x -mx cos x ≥0，当x =π2时，π2+1≥0成立，则m >0，当x ∈0,π2时，cos x >0，x +sin x -mx cos x ≥0⇔x +sin x cos x-mx ≥0，令h (x )=x +sin x cos x -mx ，x ∈0,π2 ，求导得h(x )=(1+cos x )cos x +(x +sin x )sin x cos 2x -m =cos x +x sin x +1cos 2x -m ，令φx =cos x +x sin x +1cos 2x -m ，x ∈0,π2 ，求导得φ (x )=x cos 2x +2x sin 2x +sin2x +2sin x cos 3x >0，因此φ(x )在0,π2 上单调递增，即有φx ≥φ0 =2-m ，而cos x +x sin x +1cos 2x ≥cos x +1cos 2x >1cos 2x，又函数y =1cos 2x在x ∈0,π2 上的值域是[1,+∞)，则函数φ(x )，即h x 在0,π2 上的值域是2-m ,+∞ ,当0<m ≤2时，h (x )≥0，当且仅当m =0,x =0时取等号，于是函数h (x )在0,π2上单调递增，对x ∈0,π2 ，h (x )≥h (0)=0，因此0<m ≤2，当m >2时，存在x 0∈0,π2，使得h (x 0)=0，当x ∈(0,x 0)时，h (x )<0，函数h (x )在(0,x 0)上单调递减，当x ∈(0,x 0)时，h (x )<h (0)=0，不符合题意，所以m 的取值范围为(0,2].5已知函数f (x )=ax 2-a (x sin x +cos x )+cos x +a (x >0)．(1)当a =1时，(I )求(π,f (π))处的切线方程；(II )判断f x 的单调性，并给出证明；(2)若f x >1恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)(I )y =3πx -2π2+1；(II )f x 单调递增，证明见解析；(2)a ≥1【详解】(1)当a =1时，f (x )=x 2-x sin x +1，可得f (x )=2x -sin x -x cos x .(I )f (π)=π2+1,f (π)=3π，所以在(π,f (π))处的切线方程为y -π2+1 =3πx -π ，即y =3πx -2π2+1.(II )f (x )=2x -sin x -x cos x =x -sin x +x (1-cos x )，设m (x )=x -sin x (x >0)，则m (x )=1-cos x ≥0,m (x )单调递增，所以m (x )>m (0)=0，即x >sin x ，所以当x >0时，f (x )>0,f (x )单调递增.(2)设g (x )=f (x )-1=ax 2-a (x sin x +cos x )+cos x +a -1，由题意g (x )>0恒成立.①当a ≤0时，g π2=a π2π2-1 +a -1<0,g (x )>0不恒成立，不合题意；②当0<a <1时，设h (x )=g(x )=2ax -ax cos x -sin x ，h (0)=0，h (x )=2a -a cos x +ax sin x -cos x ，h (0)=a -1<0，h π2=2a +π2a >0，设r (x )=h (x )，x ∈0,π2，r (x )=2a sin x +ax cos x +sin x >0，h (x )单调递增，由零点存在定理得∃t ∈0,π2，使得h (t )=0.h (x )在(0,t )上h (x )<0，h (x )<h (0)=0，即g (x )<0，所以g (x )在(0,t )上单调递减，g (x )<g (0)=0，g (x )>0不恒成立，不合题意；③当a ≥1时，g(x )=2ax -ax cos x -sin x ，则g (x )x =2a -a cos x -sin x x =a (1-cos x )+a -sin x x，当x>0时，1-cos x ≥0,x >sin x ，即sin xx <1，则g (x )x >0，所以当x >0时，g (x )>0,g (x )单调递增.可得：g (x )>g (0)=0，即f (x )>1，所以a ≥1.综上，a 的取值范围为1,+∞ ．6已知f (x )=ax 2-cos x -x sin x +a (a ∈R ).(1)当a =14时，求y =f (x )在[-π,π]内的单调区间；(2)若对任意的x ∈R 时，f (x )≥2恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)单调增区间为：-π3,0 ，π3,π ；单调减区间为：0,π3 ，-π,-π3 ；(2)[3,+∞).【详解】(1)当a =14时，f (x )=14x 2-cos x -x sin x +14，求导得f (x )=12x -x cos x =x 12-cos x ，而x ∈[-π,π]，由cos x =12，得x =±π3，当x ∈-π3,π3 时，12-cos x <0，当x ∈π3,π ∪-π,-π3时，12-cos x >0，则当x >0时，若f (x )>0，则x ∈π3,π ；若f (x )<0，则x ∈0,π3，当x <0时，若f (x )>0，则x ∈-π3,0 ；若f (x )<0，则x ∈-π,-π3 ，所以函数y =f (x )在[-π,π]内的单调增区间为：-π3,0 ，π3,π ；单调减区间为：0,π3 ，-π,-π3.(2)因为f (-x )=a (-x )2-cos (-x )-(-x )sin (-x )+a =f (x )，于是函数f (x )=ax 2-cos x -x sin x +a (a ∈R )为偶函数，则f (x )≥2对任意x ∈R 恒成立，等价于对任意的x ∈[0,+∞)，恒有f (x )≥2成立，求导得f (x )=2ax -x cos x =x (2a -cos x )，当x ∈[0,+∞)时，当2a ≥1，a ≥12成立时，2a -cos x ≥0恒成立，即f (x )≥0恒成立，函数f (x )在[0,+∞)内单调递增，则有f x min =f 0 =a -1，因此a -1≥2，解得a ≥3，则a ≥3；当2a <1，a <12时，函数y =cos x 在[0,π]上单调递减，且-1≤cos x ≤1，因此存在x 0>0，使得当x ∈(0,x 0)时，2a -cos x <0，f (x )<0，函数f (x )在(0,x 0)上递减，此时x ∈0,x 0 ，f x <f 0 =a -1<2，不符合题意，所以实数a 的取值范围为[3,+∞).7已知函数f (x )=e x -a -x -cos x ，x ∈(-π,π)其中e =2.71828⋯为自然对数的底数．(1)当a =0时，证明：f x ≥0;(2)当a =1时，求函数y =f x 零点个数．【答案】(1)证明见解析；(2)2.【详解】(1)当a =0时，f (x )=e x -x -cos x ，x ∈(-π,π)，求导得f (x )=e x -1+sin x ，显然f (0)=0，当-π<x <0时，e x -1<0,sin x <0，则f (x )<0，当0<x <π时，e x -1>0,sin x >0，则f (x )>0，因此函数f (x )在(-π,0)上单调递减，在(0,π)上单调递增，则当x ∈(-π,π)时，f (x )≥f (0)=0，所以f x ≥0.(2)当a =1时，f (x )=e x -1-x -cos x ，x ∈(-π,π)，求导得f (x )=e x -1-1+sin x ，当-π<x <0时，e x -1-1<0,sin x <0，则f (x )<0，当1<x <π时，e x -1-1>0,sin x >0，则f (x )>0，当0≤x ≤1时，函数y =e x -1-1,y =sin x 都递增，即函数f (x )在(0,1)上单调递增，而f (0)=e -1-1<0,f (1)=sin1>0，因此存在x 0∈(0,1)，使得f (x 0)=0，当0≤x <x 0时，f (x )<0，当x 0<x ≤1时，f (x )>0，从而当-π<x <x 0时，f (x )<0，当x 0<x <π时，f (x )>0，即有函数f (x )在(-π,x 0)上单调递减，在(x 0,π)上单调递增，f (x 0)<f (0)=e -1-1<0，而f -π2 =e -π2-1+π2>0,f π2 =e π2-1-π2>e -π2>0，于是函数f (x )在(-π,x 0)，(x 0,π)各存在一个零点，所以函数y =f x 零点个数是2.8已知函数f x =x -1 e x +ax +1.(1)若a =-e ，求f x 的极值；(2)若x ≥0，f x ≥2sin x ，求a 的取值范围.【答案】(1)f x 极小值=1-e ，无极大值.(2)2,+∞【详解】(1)当a =-e 时f x =x -1 e x -ex +1，则f x =xe x -e ，令g x =f x =xe x -e ，则g 1 =0，gx =x +1 ex，所以当x <-1时g x <0，g x 单调递减且g x <0，当x >-1时g x >0，g x 单调递增，所以当x <1时g x <0，即f x <0，当x >1时g x >0，即f x >0，所以f x 在-∞,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以f x 在x =1处取得极小值，即f x 极小值=f 1 =1-e ，无极大值.(2)令h x =f x -2sin x =x -1 e x +ax -2sin x +1，x ∈0,+∞ ，则原不等式即为h x ≥0，可得h 0 =0，h x =xe x +a -2cos x ，h 0 =a -2，令u x =h x =xe x +a -2cos x ，则u x =x +1 e x +2sin x ，令t x =x +1 e x ，x ∈0,+∞ ，则t x =x +2 e x >0，所以t x 在0,+∞ 上单调递增，则t x ≥t 0 =1，则x ∈0,π 时x +1 e x >0，sin x ≥0，所以u x >0，当x ∈π,+∞ 时x +1 e x ≥π+1 e π>2，所以u x >0，所以u x >0在0,+∞ 上恒成立，所以u x 即h x 在0,+∞ 上单调递增，当a -2≥0，即a ≥2时h x ≥h 0 ≥0，所以h x 单调递增，所以h x ≥h 0 =0恒成立，所以a ≥2符合题意，当a -2<0，即a <2时h 0 <0，h 3-a =3-a e 3-a+a -2cos 3-a ≥3-a +a -2cos 3-a >0，所以存在x 0∈0,3-a 使得h x 0 =0，当0<x <x 0时h x <0，则h x 单调递减，所以h x <h 0 =0，与题意不符，综上所述，a 的取值范围是2,+∞ .9已知函数f x =2sin x -ln 1+x 0<x <π ．(1)证明：函数f x 有唯一的极值点α，及唯一的零点β；(2)对于(1)问中α，β，比较2α与β的大小，并证明你的结论．【答案】(1)证明见解析；(2)2α>β，证明见解析【详解】(1)当π2<x <π时，由于y =2sin x 单调递减，y =ln 1+x 单调递增，所以f x 单调递减，又f π2=2-ln 1+π2 >0,f π =-ln 1+π <0，所以f x 只有一个零点(设为x 0)，无极值点；当0<x <π2时，由f x =2sin x -ln 1+x 得f x =2cos x -1x +1，设g x =2cos x -1x +1，则g x =-2sin x +1x +1 2，由于y =-2sin x 和y =1x +12在0,π2 上均单调递减，所以g x 单调递减，又g 0 =1>0,g π2=-2+1π2+12<0，所以存在x 1∈0,π2，使得g x 1 =0，当0<x <x 1时，g x >0，g x 单调递增，即f x 单调递增，当x 1<x <π2时，g x <0，g x 单调递减，即f x 单调递减，又f π3=1-11+π3>0,f π2 =-1π2+1<0，所以当0<x <x 1时，f x >0恒成立，且存在x 2∈π3,π2 ，使得fx 2 =0，当0<x <x 2时，fx >0，f x 单调递增，当x 2<x <π2时，fx <0，f x 单调递减，所以x 2是f x 的极值点，又f 0 =0,f π2=2-ln 1+π2 >0，所以当0<x <π2时，f x >0恒成立，即函数f x 无零点；综上，函数f x 有唯一的极值点α(α=x 2)，及唯一的零点β(β=x 0).(2)2α>β，证明如下：由(1)知α∈π3,π2，2α,β∈π2,π ，由于α为f x 的极值点，所以f α =2cos α-1α+1=0，即2cos α=11+α，所以f 2α =2sin2α-ln 1+2α =4sin αcos α-ln 1+2α =2sin α1+α-ln 1+2α ，设y =x -sin x 0<x <π2，则y =1-cos x >0，所以y =x -sin x 单调递增，所以x -sin x >0，即x >sin x ，所以f2α=2sinα1+α-ln1+2α<2α1+α-ln1+2α，令φ(x)=2x1+x-ln(1+2x)0<x<π2，则φ (x)=-2x21+x21+2x<0，所以φ(x)在0,π2上单调递减，所以φ(x)<φ(0)=0，所以f2α <0=fβ ，又f x在π2,π递减，所以2α>β.10已知函数f x =ax2+x-ln2x．(1)若f x 在1,+∞上单调递增，求a的取值范围；(2)若函数g x =f x -x+ln2xx-sin x在0,π上存在零点，求a的取值范围．【答案】(1)a≥0；(2)0<a<1【详解】(1)由题得f x =2ax+1-1x，因为f x 在1,+∞上单调递增，所以f x =2ax+1-1x≥0在1,+∞上恒成立，即2a≥1x2-1x在1,+∞上恒成立，因为1x2-1x=1x-122-14≤0，所以a≥0.(2)因为g x =ax-sin x，则g x =a-cos x，注意到：g0 =0，g 0 =a-1，若a≥1，则g x =a-cos x≥0，所以g x 在0,π上单调递增，所以g x >g0 =0，g x 在0,π上不存在零点，若a≤-1，则g x =a-cos x≤0，所以g x 在0,π上单调递减，所以g x <g0 =0，g x 在0,π上不存在零点，若-1≤a≤0，显然g x =ax-sin x<0，在0,π上不存在零点，若0<a<1，显然存在t∈0,π，使得g t =0，且g x 在0,π上单调递增，注意到：g 0 =a-1<0，g π =a+1>0，所以g x 在0,t上小于零，在t,π上大于零，所以g x 在0,t上单调递减，在t,π上单调递增，注意到：g0 =0，g t <0，且gπ >0，所以存在唯一β∈t,π使得gβ =0，综上，所以0<a<1.11已知函数f x =ln x+sin x.(1)求函数f x 在区间1,e上的最小值；(2)判断函数f x 的零点个数，并证明.【答案】(1)sin1；(2)f x 有1个零点，证明见解析【详解】(1)f(x)=ln x+sin x的定义域为0,+∞，故f (x)=1x+cos x，令g x =f (x)=1x+cos x，g x =-1 x2-sin x，当x∈1,e时，g x =-1x2-sin x<0，所以g x 在1,e上单调递减，且g1 =1+cos1>0，g e =1e +cos e<1e+cos2π3=1e-12<0，所以由零点存在定理可知，在区间[1,e]存在唯一的a，使g a =f a =0，又当x∈1,a时，g x =f x >0；当x∈a,e时，g x =f x <0；所以f x 在x∈1,a上单调递增，在x∈a,e上单调递减，又因为f1 =ln1+sin1=sin1，f e =ln e+sin e=1+sin e >f1 ，所以函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为f1 =sin1.(2)f x 有1个零点，证明如下：因为f(x)=ln x+sin x，x∈0,+∞，若0<x≤1，f (x)=1x+cos x>0，所以f(x)在区间0,1上单调递增，又f1 =sin1>0，f1e=-1+sin1e<0，结合零点存在定理可知，lnπ>1≥-sin x ，所以f x >0，综上，函数f (x )在0,+∞ 有且仅有一个零点.12已知函数f (x )=12ax 2-(a -2)x -2ln x .(1)当a =2时，证明：f x >sin x .(2)讨论f x 的单调性.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析【详解】(1)当a =2时，f (x )=x 2-2ln x (x >0)，f (x )=2x -2x，令f (x )<0，得0<x <1，令f (x )>0，得x >1，所以f (x )在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，所以f (x )≥f (1)=1，当且仅当x =1时，等号成立，而当x =1时，sin x <1，当x >0且x ≠1时，sin x ≤1，所以f x >sin x .(2)f (x )=12ax 2-(a -2)x -2ln x 的定义域为(0,+∞)，f (x )=ax -(a -2)-2x =(x -1)ax +2 x，当a ≥0时，ax +2>0，令f (x )<0，得0<x <1，令f (x )>0，得x >1，所以f (x )在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数.当a <0时，令f (x )=0，得x =1或x =-2a ，若1<-2a，即-2<a <0时，令f (x )<0，得0<x <1或x >-2a ；令f (x )>0，得1<x <-2a ，所以f (x )在(0,1)和-2a ,+∞ 上为减函数，在1,-2a 上为增函数；若1=-2a ，即a =-2时，f (x )≤0在(0,+∞)上恒成立，所以f (x )在(0,+∞)上为减函数；若1>-2a ，即a <-2时，令f (x )<0，得0<x <-2a 或x >1，令f (x )>0，得-2a <x <1，所以f (x )在0,-2a和(1,+∞)上为减函数，在-2a ,1 上为增函数.综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；当-2<a <0时，f (x )在(0,1)和-2a ,+∞ 上为减函数，在1,-2a 上为增函数；当a =-2时，f (x )在(0,+∞)上为减函数；当a <-2时，f (x )在0,-2a和(1,+∞)上为减函数，在-2a ,1 上为增函数.13(1)证明：当x <1时，x +1≤e x ≤11-x；(2)是否存在正数a ，使得f x =2e x +a sin x -ax 2-a +2 x 在R 上单调递增，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，a =1【详解】(1)设g x =e x -x -1，其中x <1，则g x =e x -1，由g x <0可得x <0，由g x >0可得0<x <1，所以，函数g x 在-∞,0 上单调递减，在0,1 上单调递增，所以，当x <1时，g x ≥g 0 =0，即x +1≤e x (*)，由(*)可知e -x ≥1-x ，当x <1时，得e x ≤11-x，原不等式得证；(2)f x =2e x +a sin x -ax 2-a +2 x ，则f x =2e x +a cos x -2ax -a -2，设h x =2e x +a cos x -2ax -a -2，则h x =2e x -a sin x -2a ，f x 在R 上单调递增⇔f x ≥0在R 上恒成立，注意到f 0 =0，只需f x 在x =0处取得最小值，易知其必要条件为h0 =2-2a =0，则a =1，下面证明充分性：令p x =x -sin x ，则p x =1-cos x ≥0且p x 不恒为零，所以，函数p x 在R 上单调递增，当x >0时，p x =x -sin x >p 0 =0，即x >sin x ，当x <0时，p x =x -sin x <p 0 =0，即x <sin x ，当a =1时，f x =2e x +sin x -x 2-3x ，则f x =2e x +cos x -2x -3=h x ，故h x =2e x -sin x -2，①当x >0时，h x >2x +2-sin x -2>2x -sin x >2x -x =x >0，所以h x 在0,+∞ 上单调递增，即f x 在0,+∞ 上单调递增；②当x <0时，若x ∈-1,0 ，则h x =2e x -sin x -2<21-x -sin x -2<21-x -x -2=x 1+x 1-x<0，若x ∈-∞,-1 ，则h x =2e x -sin x -2≤2e+1-2<0，所以h x 在-∞,0 上单调递减，即f x 在-∞,0 上单调递减.由①②可知，fx ≥f0 =0，故当a =1时，f x 在R 上单调递增.当0<a <1时，由(1)知当x <1时，f x =2e x +a cos x -2ax -a -2≤21-x +a cos x -2ax -a -2≤21-x +a -2ax -2-a =2ax x -1-1a 1-x，当x ∈1-1a,0 时，f x <0，f x 单调递减，不合题意；当a >1时，同理可得当x <1时，f x ≤2ax x -1-1a 1-x ，当x ∈0,1-1a时，f x <0，f x 单调递减，不合题意.综上所述：当a =1时，函数f x 在R 上单调递增.。

利用导数探究函数图像的交点问题

利用导数探究函数图像的交点问题在解决函数图像的交点问题时，导数起到了关键的作用。

导数能够帮助我们确定函数的变化趋势以及判断图像是否与坐标轴相交。

本文将通过一些具体的例子，来说明如何利用导数来探究函数图像的交点问题。

首先，我们来考虑一个简单的例子：求解函数y=x^2-1与x轴的交点。

我们首先将函数y=x^2-1代入x轴方程y=0，得到方程x^2-1=0。

然后我们可以通过求解这个方程来找到函数与x轴的交点。

为了更方便地解决这个问题，我们可以先求出函数的导数,即y'=2x。

然后，我们观察到导数的符号与函数的增减性息息相关。

根据导数的定义，当x>0时，导数y'>0，表示函数在该区间上是递增的。

当x<0时，导数y'<0，表示函数在该区间上是递减的。

当x=0时，导数y'=0，表示函数在该点取得极值。

综上所述，函数在x<0递减，在x>0递增，并在x=0处取得极值。

而函数y=x^2-1在x<0时，函数值始终小于0，因此不存在交点。

而在x>0时，函数值始终大于0，同样不存在交点。

所以，函数y=x^2-1不与x轴相交。

接下来，我们考虑一个稍复杂一些的例子：求解函数y=x^3-2x与y=x图像的交点。

同样地，我们先求出函数的导数，即y'=3x^2-2、然后我们观察导数的符号。

当x<-√(2/3)时，导数y'<0，表示函数在该区间上是递减的。

当-√(2/3)<x<√(2/3)时，导数y'>0，表示函数在该区间上是递增的。

当x>√(2/3)时，导数y'>0，表示函数在该区间上是递增的。

接下来，我们观察函数在极值点处的行为。

我们可以通过对导数y'=3x^2-2=0求解来找到极值点的横坐标。

解这个方程可以得到两个解：x=-√(2/3)和x=√(2/3)。

我们可以将这两个值代入原函数求解对应的纵坐标。

高中数学《用导数探求函数图象的交点》教学设计

《用导数探求函数图象的交点》教学设计
本节课内容是二轮复习中导数的应用的一个比较重要的题型。

本节课通过 2006 年高考试题提出问题，再通过导数求解，其中蕴含了丰富的数思想方法，是培养学生探究能力、创新能力、思维能力的极好素材。

[教学目标]
1、知识目标：巩固导数的应用，能运用导数探求函数的交点及根的分布。

2、能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；培养学生的自主探索精神和创新能力。

3、情感目标：培养学生学习数学的兴趣，在轻松的学习环境中激发潜能、体验成功。

[重点]：运用导数探求函数的交点
[难点]：数形结合的思想在解题中的应用
高中毕业生二月调研测试理科数学试卷
试卷讲评说明。

高中数学《用导数探求函数图象的交点》教学设计

《用导数探求函数图象的交点》教学设计
本节课内容是二轮复习中导数的应用的一个比较重要的题型。

本节课通过 2006 年高考试题提出问题，再通过导数求解，其中蕴含了丰富的数思想方法，是培养学生探究能力、创新能力、思维能力的极好素材。

[教学目标]
1、知识目标：巩固导数的应用，能运用导数探求函数的交点及根的分布。

2、能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；培养学生的自主探索精神和创新能力。

3、情感目标：培养学生学习数学的兴趣，在轻松的学习环境中激发潜能、体验成功。

[重点]：运用导数探求函数的交点
[难点]：数形结合的思想在解题中的应用
高中毕业生二月调研测试理科数学试卷
试卷讲评说明。

函数交点问题

函数交点问题
在数学中，函数交点问题是一个常见且重要的概念。

当两个函数相交时，它们在交点处具有相同的函数值，这就是函数交点的定义。

函数交点的研究不仅可以帮助我们找到函数之间的关系，还可以解决许多实际问题。

首先，我们来看两个函数的交点如何求解。

假设有两个函数f(x)和g(x)，我们需要找到它们的交点。

首先，我们将两个函数相等，即f(x) = g(x)，然后解方程找到交点的横坐标。

接着，将横坐标代入其中一个函数中，即可求得交点的纵坐标。

通过这种方法，我们可以找到函数之间的交点。

函数交点问题不仅局限于两个函数的交点，有时候我们也需要找到多个函数的交点。

这就需要我们逐一比较每对函数的交点，找到它们的公共交点。

这样的问题在数学建模和实际问题中经常遇到，比如在求解多个曲线的交点时就需要用到这种方法。

另外，函数交点的研究还可以帮助我们解决一些实际问题。

比如在经济学中，交点可以表示两种不同政策的平衡点，通过研究函数的交点，可以找到最优的政策选择。

在物理学中，函数交点可以表示两个物体的碰撞点，通过计算交点可以帮助我们预测物体的运动轨迹。

函数交点的研究不仅可以帮助我们理解数学问题，还可以应用到各个领域中。

总的来说，函数交点问题在数学中具有重要的意义，它不仅可以帮助我们理解函数之间的关系，还可以解决许多实际问题。

通过研究函数交点，我们可以更好地理解数学知识，并将其应用到实际生活中，帮助我们更好地解决问题。

函数交点问题的研究将会在数学领域中继续发展，为我们提供更多的启发和挑战。

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