导数探讨函数图像的交点问题

引申 2：如果（Ⅱ）中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎 么解答呢？
前面相同，只需把后面改为
( x)极小值 m+6In3-15=0 或 (x)极大值 m-7=0，
即 m=15-6In3 或 m=7时，函数 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象有且只有两个不同的交点 （分析草 图见图 4 和图 5）。
图4
图5
从上题的解答我们可以看出， 用导数来探讨函数 y=f(x) 的图象与函数 y=g(x) 的图象的交
点问题，有以下几个步骤：①构造函数
(x)= f(x) －g(x) ②求导 1 (x) ③研究函数 (x) 的
单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）④画出函数 轴的交点情况，列不等式⑤解不等式得解
若存在，求出 m的取值范围； ，若不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）略 （ II ）∵函数 y=f(x) 的图象与 y=g(x) 的图象有且只有三个不同的交点，
∴令 f(x)= g(x)
∴ g(x) － f(x)=0
∵ x>0
∴函数 (x)=g(x) －f(x) = x 2 －8x+6ln x+m 的图象与 x 轴的正半
即 2m2 m 4 0
解得 m
3 2,0
0, 3 2
综上， m 的取值范围是
3 2, 3 2 （分析草图见图 6）
图6
当然，题目并不是千篇一律的，也有些变式，但是基本方法没有变化。如： 文科卷 21 题。
2006 年福建
例 3（福建文科卷第 21 题）已知 f (x) 是二次函数，不等式 f ( x) 0 的解集是 (0,5), 且
由 2006 年高考看如何用导数探讨函数图象的交点问题
2006 年高考数学导数命题的方向基本没变， 主要从五个方面 ( ①与切线有关的问题②函数
的单调性和单调区间问题③函数的极值和最值问题④不等式证明问题⑤与函数的单调性、极 值、最值有关的参数问题 ) 考查了学生对导数的掌握水平。
但是， 2006 年高考数学导数命题在方向基本没变的基础上，又有所创新。福建理科卷第
极值）转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际
上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。
试题“以能力立意”的意图表现明显，试题注重了创新、开放、探究性，以所学数学知
识为基础，对数学问题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究。考查了学生综合与灵活 地应用所学的数学思想方法，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的能力。
f ( x) 在区间 1,4 上的最大值是 12。
解题的关键是会用数形结合思想来研究问题。 下面用这几个步骤来完成 2006 年四川卷第 21 题。
例 2（四川卷第 21 题）已知函数 f(x)
3
x +3ax
1, g(x)
(x) 的草图，观察与 x
f ( x) ax 5, 其中
f 1 (x) 是的 f(x) 的导函数。
（Ⅰ）对满足 1 a 1的一切 a 的值， 都有 g(x) 0, 求实数ｘ的取值范围；
列表：
x
（ , m)
m
m,m
m
m,
1 (x)
(x)
单调递增
(x)极小 值 （ m )
0
极大
单调递减
2m2 m 4 〈 -4
0
极小
单调递增
又∵ (x) 的值域是 R ，且在 m ,
wenku.baidu.com上单调递增
∴当 x m 时函数 y ( x) 的图象与 x 轴只有一个公共点。
当 x m 时，恒有 ( x) ( m )
由题意得 ( m) 0
如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？下面我们先看一看今年的
高考题。 例 1（福建理科第 21 题）已知函数 f(x)= － x 2 +8x,g(x)=6lnx+m
（Ⅰ）求 f(x) 在区间 [t,t+1] 上的最大值 h(t);
（Ⅱ）是否存在实数 m，使得 y=f(x) 的图象与 y=g(x) 的图象有且只有三个不同的交点？
m 的取值
图1
图2
图3
引申 1：如果（Ⅱ）中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎 么解答呢？
前面相同，只需把后面改为
( x)极小值 m+6In3-15>0 或 (x)极大值 m-7<0，
即 m>15-6In3 或 m<7时，函数 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象有且只有一个不同的交点 （分析草 图见图 2 和图 3）。
∴ x 极大值 1 m－ 7, x 极小值 3 m+6ln 3－15.
∵ 当 x→0 时， (x) → ，当 x
时， (x)
∴要使 (x)=0 有三个不同的正实数根，必须且只须
( x)极大值 ( x)极小值
m 7 0, m＋6ln 3 15 0,
∴ 7<m<15－ 6ln 3. 所以存在实数 m，使得函数 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象有且只有三个不同的交点， 范围为（ 7， 15— 6ln 3 ） . （分析草图见下图 1）
（Ⅱ） 设 a
一个公共点。
m2 ，当实数ｍ在什么范围内变化时， 函数ｙ＝ f(x) 的图像与直线ｙ＝ 3 只有
解：（Ⅰ）略
（Ⅱ） f(x) x3 +3ax 1, f ' x 3x2 3m2
①当 m 0 时， f x x3 1 的图象与直线 y 3 只有一个公共点
②当 m 0 时，令 (x)= f(x)-3= x3 3ax 4 ， 1( x) = 3x2 3a =3 x2 3m 2
21 题研究两个函数的交点个数问题， 福建文科卷第 19 题研究分式方程的根的分布问题， 湖南
卷第 19 题研究函数的交点问题，四川卷第 21 题研究函数图象的交点个数问题。从以上试卷
我们可以发现导数命题创新的两个方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函数转向研究
两个函数或多个函数，二是研究内容的多元化，由用导数研究函数的性质（单调性、最值、
轴有且只有三个不同的交点。
∵ '( x) 2x 8 6 2x2 8x 6 2( x 1)( x 3) ( x 0),
x
x
x
当 x∈ (0,1) 时， 1 (x) 〉 0， ( x) 是增函数；当 x∈ (1,3) 时， 1 (x) 〈 0， ( x) 是减
函数；当 x∈ (3,+ ∞) 时， 1 (x) 〉 0， ( x) 是增函数；当 x=1 或 x=3 时， 1 (x) =0。