高中数学平面向量知识点总结82641

平面向量知识点总结第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。

一．向量的概念：1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。

2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：可表示为3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。

记作：|| 模是可以比较大小的4.两个特殊的向量：1︒零向量——长度（模）为0的向量，记作。

的方向是任意的。

注意与0的区别2︒单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

二．向量间的关系：1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥∥ 规定：与任一向量平行2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作：= 规定：=任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。

三．向量的加法：1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：强调： a bca +b AA ABB BC C a +ba +b aa b b ba a1︒“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点2︒可以推广到n 个向量连加 3︒a a a =+=+004︒不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则1︒向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2︒向量加法的交换律：+=+3︒向量加法的结合律：(+) +=+ (+)4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。

四．向量的减法：1.用“相反向量”定义向量的减法1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。

记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量。

-(-a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。

a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 03︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。

即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3.向量减法做图：表示a - b 。

强调：差向量“箭头”指向被减数总结：1︒向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量2︒向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点)1.实数与向量的积实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ1︒|λa ρ|=|λ||a ρ|2︒λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=2．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ①第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ②第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ ③ 3.向量共线充要条件：向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b ρ=λa ρ六．平面向量定理：用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。

（其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么于一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e注意几个问题：1︒ 1e 、2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底2︒ 这个定理也叫共面向量定理3︒λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量第二部分：向量的坐标运算 七．向量的坐标表示与坐标运算1.平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x 轴、y 轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量a ρ=x +y ，记作：a ρ=(x, y) 称作向量a ρ的坐标2．注意：1︒每一平面向量的坐标表示是唯一的；2︒设A(x 1, y 1) B(x 2, y 2) 则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1) 3︒两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。

3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

4．实数与向量积的坐标运算：已知a ρ=(x, y) 实数λ则λa ρ=λ(x +y j )=λx +λy j∴λa ρ=(λx, λy )结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。

八．向量平行的坐标表示结论：a ρ∥b ρ (b ρ≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b ρ≠∴x 2, y 2中至少有一个不为02︒充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0 3︒从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)01221=-=⇔y x y x λ九．线段的定比分点：1．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)2.定比分点坐标公式⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 3．中点公式：若P 是21P P 中点时，λ=1 222121y y y x x x +=+=4．注意几个问题：1︒ λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1 若P 与P 1重合，λ=0P 与P 2重合 λ不存在2︒ 中点公式是定比分点公式的特例3︒ 始点终点很重要，如P 分21P P 的定比λ=21则P 分12P P 的定比λ=2 4︒ 公式：如 x 1, x 2, x, λ 知三求一十．平面向量的数量积及运算律（一）平面向量数量积1．定义：平面向量数量积（内积）的定义，a ⋅b = |a ||b |cos θ， 并规定0与任何向量的数量积为0。

⋅2．向量夹角的概念：范围0︒≤θ≤180︒P 1PP222PPPθ = 0︒ θ = 180︒OO B B3．注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1︒两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定。

2︒两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。

3︒在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0。

因为其中cos θ有可能为0。

这就得性质2。

4︒已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c 。

但是a如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA| ⇒ab =bc 但a ≠ c 5︒在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c ) 显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线。

（二）投影的概念及两个向量的数量积的性质：1．“投影”的概念：作图 定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影。

注意：1︒投影也是一个数量，不是向量。

2︒当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值； 当θ为直角时投影为0； 当θ = 0︒时投影为 |b |； 当θ = 180︒时投影为 -|b |。

2．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积。

3．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量。

1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |。

特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a ba ⋅ CO 1O O B 1O O 1O5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |十一. 平面向量的数量积的运算律1. 交换律：a ⋅ b = b ⋅ a2. 结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )3. 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c 十二. 平面向量的数量积的坐标表示1.设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ⋅i = 1，j ⋅j = 1，i ⋅j = j ⋅i = 02.a ⋅b = x 1x 2 + y 1y 23.长度、角度、垂直的坐标表示1︒a = (x , y ) ⇒ |a|2 = x 2 + y 2 ⇒ |a | =22y x +2︒若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则AB =221221)()(y y x x -+- 3︒ co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=4︒∵a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）十三.平移一、平移的概念：点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，从而导致函数的解析式也随着改变。

这个过程称做图形的平移。

（作图、讲解）一个平移实质上是一个向量 二、平移公式：设'PP = (h , k )，即：''PP OP +=∴(x ’, y ’) = (x , y ) + (h , k ) ∴⎩⎨⎧+=+=k y y hx x '' —— 平移公式三、注意：1︒它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系2︒知二求一3︒这个公式是坐标系不动，点P (x , y )按向量a = (h , k )平移到点P ’(x ’,y ’)。