无铰拱的计算

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性中心。由于y轴是对称轴，故知x、y是弹性面积的一对形
心主轴。由此可见，把刚臂端点引到弹性中心上，且将X2、 X3置于主轴方向上，就可以使得全部副系数都等于零。这一 方法就称为弹性中心法。此时典型方程将进一步简化为以下
三个独立方程式:
2121
X X
1 2

1P 2P
0 0
33 X 3 3P 0
（1）忽略轴向变形，只考虑弯曲变形；
（2）当拱比较平时，可近似地， 取ds=dx，cos=1。因此，简化
后的位移公式为
11

1 EI
l y 2dx
0
1P
1 EI
l yM 0dx
0
计算得：11

1 EI
l 4 f 0 l 2
x(l

2
x) dx

16 f EIl
1. 第一项简化措施是利用结构的对称性, 选取对称的基 本体系，将拱顶截面C截开，取拱顶的弯矩X1、轴力X2、剪 力X3为多余未知力，得到两个悬臂曲杆的基本结构，如图 19-5（b）所示。
2. 第二项简化措施是利用刚臂,进一步使余下的副系数 δ12和δ21也等于零，从而使力法方程简化为三个独立的一元 一次方程,如图19-5(c)、(d)所示。
于是，多余未知力可按下式求解:
（19-5）
X1=-Δ1P/δ11 ，X2= -Δ2P/δ22，X 3=-Δ3P/δ33 (19-6)
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一、弹性中心法
图19-5
图19-6
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二、系数和自由项的简化
由于杆是曲杆，在计算系数和自由项时，应考虑曲 率对变形的影响，但计算结果表明这种影响一般很小。 因此，仍采用直杆的位移计算公式来求解系数和自由项。 对于多数情况，通常可忽略轴向变形和剪切变形的影响。
2 4
l (l 2 x 2 2lx3 x 4 )dx 8 f 2l
0
15 EI
计算Δ1P时，先绘制简支梁的弯矩M0图如图19-2(b)所示，其弯矩 方程分两段表示如下：
左半跨 ： M0=3qlx/8-qx2/2 （0＜x＜l/2） ；
右半跨 ： M0 =ql(l-x)/8 (l/2＜x＜l) ；
sin


FN

FS 0 sin
X
1
cos


（19-2）
图19-1
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第一节 两铰拱的计算
【例19-1】 如图19-2所示为一抛物线两铰拱，承受半跨均布荷载 作用，试求其水平推力H。设拱截面尺寸为常数，以左支座为原点， 拱轴方程为：y=4fx(l-x)/l2
解：计算时，我们采用两个假设：
X1


1P
11

yM P
ds I
y 2 ds cos2 ds
I
A
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第一节 两铰拱的计算
求得了推力X1后，其它内力的计算方法和计算公式与三 铰拱完全相同。在竖向荷载作用下，两铰拱任意截面的内力
计算公式为：
M FS

M0 FS 0
X1
cos
y
X1
ys
y1
ds EI
ds
EI
（19-4） 上一页 返回 下一页
一、弹性中心法
我们设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，如图19-6所
示，则ds/EI就代表此图中的微面积，而式（19-4）就是计算
这个图形面积的形心坐标公式。由于此图形的面积与结构的
弹性性质EI有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为弹
一、弹性中心法
当 X 1 1 、X 2 1 、X 3 1分别作用时所引起的内力为：
M 1 1， F N1 1， F S1 0
M2

y，
F N2

cos，
F S2

sin
M 3 1， F N3 sin， F S3 cos
代入后得：12 21
此时，副系数δ12和δ21的表达式为：
12 21
M 1 M 2 ds EI
F N1 F N 2 ds EA
K F S1 F S2 ds GA
这里规定：轴向右为正，轴向下为正，弯矩以使得拱内
侧受拉为正，剪力以使隔离体顺时针方向转动为正，轴力
以压力为正。
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因此
1
1P EI
l 2
y(3qlx

1
qx2
)dx

1
08
2
EI
l qlBaidu Nhomakorabea
qf l3
l 2
y
8
(l

x)dx

30EI
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第一节 两铰拱的计算
由力法方程求得 X1
1P 11
ql 2 16 f
即
FN

X1
ql 2 16 f
这个结果与三铰拱在半
跨均布荷载作用下的结果是 一样的。
的不均匀沉陷时采用。两铰拱的弯矩在两端拱趾处为零逐渐
向拱顶增大，所以其截面一般亦相应设计为由拱趾向拱顶逐
渐增大的形式。通常采用的变化规律为：
I=ICcos
（19-1）
计算两铰拱时，通常采用如图19-1（b）所示简支曲梁为
基本结构，以支座的推力为基本未知量,如图19-1（c）所示。
又因基本结构在X1=1作用下，如图19-1（d）、（e）所示， 由力法典型方程可得：
M 1 M 2 ds EI
y ds EI
(
y1

ys
)
ds EI
由上式可见，当多余未知力放在拱顶截面C的中心时，
δ12是不可能等于零的。必须将多余未知力的作用点移动一下 位置，即把它从C点沿y轴向下移动一段距离，使得有正、负
不同的两个区间，而仍保持符号不变，这样才有可能使得积
分式为零。
此时，令δ12=δ21=0，可得刚臂的长度ys为
第十九章
第一节
两铰拱的计算
第二节
无铰拱的计算
第三节 温度改变和混凝土收缩对无铰拱的影响
第四节
支座移动对无铰拱的影响
第一节 两铰拱的计算
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第一节 两铰拱的计算
两铰拱是一次超静定结构，如图19-1（a）所示，通常有
带拉杆（系杆拱）和不带拉杆两种形式。因为两铰拱的支座
发生竖向位移时并不引起内力，所以宜在地基可能发生较大
FH求出以后，利用公式 M=M0-FHy 可绘制出M图， 如图19-2（c）所示。这个 弯矩图也与三铰拱的弯矩图 相同。
图19-2
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第二节 无铰拱的计算
本节只讨论常见对称无铰拱的计算。
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一、弹性中心法
如图19-5（a）所示为一对称无铰拱，属于三次超静定 结构。为简化计算，我们采用以下两项简化措施：