1-3 双向板计算截面与设计

近，出现了垂直于对角线方向的、大体上呈圆形的裂缝。这
些裂缝的出现，又促进了板底对角线方向裂缝的进一步扩展。
图1.34 均布荷载下四边简支双向板的裂缝分布
(a)板底裂缝分布
(b)板底裂缝分布
(c)板面裂缝分布
♠⑤两个方向配筋相同的四边简支矩形板板底的第一批裂缝，
出现在板的中部，平行于长边方向，这是由于短跨跨中的正
（P32） ♥ (c)角区格不折减
♠ (2)双向板的构造
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
♠ A．板厚
♠ 双向板的厚度通常在80～160mm范围内，任何情况下不 得小于80mm。 (p32)
♠ B．钢筋配置
♠ 双向板的配筋方式有分离式和连续式两种。
♠按弹性理论，板跨中弯矩沿板长、板宽向两边逐渐减小，
板底钢筋是按最大跨中正弯矩求得，故应向两边逐渐减少。
♥
♥
结构变形微小：直到结构丧失承载力为止，结构变
结构塑性假定：结构进入塑性形成塑性铰或塑性铰
形微小；
线的区域是完全塑性的，没有进入塑性的区域是完全弹
性的； ♥ 比例加载。
♠（3）结构处于极限状态的条件
♥
（
屈服条件：结构任一截面的弯矩不超过极限弯矩
M M u ）；
♥
平衡条件：结构的任一部分在内力和外力作用下处于
的棋盘式布置。
♠对于满布荷载
q g
2 的情况，板在支座处的转角较小，
可认为各区格板中间支座都是固定支座；
♠对于间隔布置的情况，可认为在支座两侧的转角大小都相 等、方向相同，无弯矩产生，可认为各区格板在支座都是简
支支座；
♠楼盖周边则按实际支承条件采用。 ♠从而可对上述两种荷载情况分别求出其跨中弯矩，而后叠 加，即可求出各区格的跨中最大弯矩。
1.2.2.4 双向板楼盖的截面设计与构造
♠ (1)截面设计
♠ A．截面的弯矩设计值
♠ 对周边与梁整体连接的双向板，除角区格外，可考虑周 边支承梁对板形成的拱作用，将截面的计算弯矩进行折减： ♥ (a)对于连续板的中间区格，其跨中截面及中间支座截 面折减系数为0.8；
♥ (b)对于边区格跨中截面及第一内支座截面，0.8、0.9
2 钢筋混凝土梁、板的塑性极限分析具体方法
♠用静力法求解 （梁、板）
♠用机动法求解（梁、板）
♠极限平衡法 （梁、板）、虚功原理
双向板塑性极限分析要点
♠①正交各向异性板塑性铰线上的极限弯矩
m u mxu cos cos myu sin sin mxu cos2 m yu sin 2
1.2.2 双向板肋梁楼盖
主讲： 管品武 教授
1.2.2 双向板肋梁楼盖
♠双向板定义 ♠1.2.2.1 双向板的受力特点
♠(1)双向板的受力特点
♠ ①沿两个方向弯曲和传递荷载
♠ ②同时承受剪力、扭矩和主弯矩
♠薄板的微分方程式：
♠扭矩的存在将减小按独立板带计算的弯矩值。与用弹性薄 板理论所求得的弯矩值进行对比，也可将双向板的弯矩计算 简化为按独立板带计算出的弯矩乘以小于1的修正系数来考 虑扭矩的影响。
♠在简支的双向板中，考虑支座的实际约束情况，每个方向
的正钢筋均应弯起，图l.39为单块四边简支双向板的典型配
筋情形。 ♠ 在固定支座的双向板及连续的双向板中，板底钢筋可弯
起1/2～1/3作为支座负钢筋，不足时再另加板面直钢筋。因
为在边板带内钢筋数量减少，故角上尚应放置两个方向的附 加钢筋。
♠ 受力筋的直径、间距和弯起点、切断点的位置，以及沿
弯矩Mx大于长跨跨中的正弯矩My所致。 ♠随着荷载加大，由于主弯矩Ml的作用，这些板底的跨中裂 缝逐渐延长，并沿45o角向板的四角扩展，如图1.34b所示。 由于主弯矩MII的作用，板顶四角也出现大体呈圆形的裂缝， 如图1.34c所示。最终因板底裂缝处受力钢筋屈服而破坏。
♠⑥板中钢筋的布置方向对破坏荷载影响不大，但平行于四
♠考虑到施工方便，其减少方法为： ♥将板在各方向各分为三个板带(图1.38)，两边板带的宽
度为板短向跨度的1／4，其余为中间板带。
♥在中间板带均匀配置按最大正弯矩求得的板底钢筋，边 板带内则减少一半，但每米宽度内不得少于三根。 ♥对支座边界板面负钢筋，为承受四角扭矩，按最大支座 负弯矩求得的钢筋沿全支座均匀分布，并不在边板带内 减少。
②支座最大负弯矩
♠支座最大负弯矩可近似地按满布活荷载布置，即求得。这 时认为各区格板中间支座，都是固定支座。楼盖周边仍按实 际支承条件考虑。 ♠然后按单跨双向板计算出各支座的负弯矩。 ♠当求得的相邻区格板在同一支座的负弯矩不相等时，可取 绝对值较大者作为该支座的最大负弯矩。
1.2.2.3 双向板支承梁的设计
三角形荷载的等效
梯形荷载的等效
♠在按等效均布荷载求出支座弯矩后(此时仍需考虑各跨活 荷载的最不利布置)，再根据所求得的支座弯矩和梁的实际 荷载分布(三角形或梯形分布荷载)，由平衡条件计算梁的跨 中弯矩和支座剪力。
♠(2)按调幅法计算 ♥在考虑内力塑性重分布时，可在弹性理论求得的支座 弯矩的基础上，对支座弯矩进行调幅(可取调幅系数为 0.75)，再按实际荷载分布计算梁的跨中弯矩。
♠《建筑结构静力计算手册》中的双向板计算表格便是按这
个理论编制的，其中在对双调和偏微分方程求解时，采用了
收敛性好的单重正弦三角级数展开式的解答形式。表中所列 出的最大弯矩和最大挠度的系数，都是按上述方法近似确定
的。即对于每一种板，按一定间距选择一些点，依次计算各
点的弯矩和挠度系数，将其中最大的一个值作为近似值。 ♠此系数的近似值与理论的最大系数值有一定差别，但误差 不大，可用于工程实践。
平衡状态； ♥ 机构条件：结构由塑性铰或塑性铰线形成机构。
♠（4）塑性极限分析定理
♥上限定理：满足平衡条件和机构条件的荷载是结构真实
极限荷载的上限，即 F Fu ，F 称为可破坏荷载；
♥下限定理：满足平衡条件和屈服条件的荷载是结构真实
F F F 极限荷载的下限，即 称为可接受荷载； u ，
墙边、墙角处的构造钢筋，均与单向板楼盖的有关规定相同
补充：钢筋混凝土梁板塑性极限分析方法
♠1. 塑性极限分析的一般方法
♠（1）塑性绞线的特点
♥ 弹性最大弯矩是塑性铰线的起点；
♥ 沿固定边形成负弯矩塑性铰线；
♥ 板的支承线为板块转动的轴线；
♥ 塑性铰线通过转轴交点。
♠（2）塑性极限分析的基本假定
(2)多跨连续双向板的实用计算法
♠多跨连续双向板多采用以单个区格板计算为基础的实用计 算方法，此法假定支承梁不产生竖向位移，不受扭；同时还
规定双向板沿同一方向相邻跨度的比值 lmax
免计算误差过大。
lmin
≥0.75，以
①跨中最大正弯矩
♠为求连续板跨中最大正弯矩，均布活荷载q应按图1. 35所示
♠由于对称，板的对角线上没有扭矩， 故对角线截面就是主弯矩平面。 ♠图1.31为均布荷载q下四边简支方板对 角线上主弯矩的变化图形以及板中心线 上主弯矩Mx、My的变化图形。 ♠图中主弯矩MI当用矢量表示时是和对 角线相垂直的，且都是数值较大的正弯 矩，双向板底沿45o方向开裂就是由这 一主弯矩引起的。主弯矩MII与对角线 相平行的，并在角部为负值，数值也较 大；MII将引起角部板面产生垂直于对 角线的裂缝。
的荷载为梯形分布，见图1.36。
♠支承梁的内力可按弹性理论或考虑塑性内力重分布的调幅
法计算，分述如下：
♠ (1)按弹性理论计算 ♥对于等跨或近似等跨(跨度相差不超过10％)的连续梁， 可先将支承梁的三角形或梯形分布荷载化为等效均布荷 载（根据支座弯矩相等的原则确定 ），再利用均布荷载
下等跨连续梁的计算表格计算梁的内力(弯矩、剪力)。
♠ ①竖向位移曲面呈碟形。矩形双向板沿长跨最大正弯矩 并不发生的跨中截面上，因为沿长跨的挠度曲线弯曲最大处 不在跨中而在离板边约1／2短跨长度处。 ♠ ②加载过程中，在裂缝出现之前，双向板基本上处于弹
性工作阶段，
♠ ③四边简支的正方形或矩形双向板，当荷载作用时，板 的四角有翘起的趋势，板传给四边支座的压力是不均匀分布 的，中部大、两端小，大致按正弦曲线分布。
♥唯一定理：满足所有三个条件的荷载是结构真实极限荷
载，即 F Fu F ，若 F F ，则 Fu F F 。
♠ 在实际工程中往往求出下限解的最大值，或上限解的最
小值，若二者相等，则可求出真实极限荷载；
♠ 有时只能求出下限解（用静力法），或上限解（用机动
法），取其极值可求出最接近的解答。
边配置钢筋的板，其开裂荷载比平行于对角线方向配筋的板
要大些。
♠⑦含钢率相同时，较细的钢筋较为有利。在钢筋数量相同
时，板中间部分钢筋排列较密的比均匀排列的有利(刚度略 好，中间部分裂缝宽度略小，但靠近角部，则裂缝宽度略 大 )。
1.2.2.2 按弹性理论计算双向板
♠若把双向板视为各向同性的，且板厚h远小于平面尺寸、 挠度不超过h/5时，则双向板可按弹性薄板小挠度理论计 算。
♠④两个方向配筋相同的四边简支正方形板，由于跨中正弯
矩Mx，My的作用，板的第一批裂缝出现在底面中间部分； ♠随后由于主弯矩MI的作用，沿着对角线方向向四角发展， 图1.34a所示。 ♠随着荷载不断增加，板底裂缝继续向四角扩展，直至板的 底部钢筋屈服而破坏。 ♠当接近破坏时，由于主弯矩MII的作用，板顶面靠近四角附
中正弯矩；
♠ ②沿支座边板面配置负钢筋，以承担支座负弯矩； ♠ ③对于单跨矩形双向板，在角部板面应配置对角线方向
的斜钢筋，以承担负主弯矩，在角部板底配置垂直于对角线
的斜钢筋以承担正主弯矩。由于斜筋长短不一，施工不便， 故常用平行于板边的钢筋所构成的钢筋网来代替斜钢筋。
(2)主要试验结果
四边简支双向板在均布荷载作用下的试验研究表明：
2 板角上翘
♠由于板角上翘作用，因此沿AD线产生负弯矩，形象地说明
了角部板面垂直于对角线开裂的原因。另外，与对角线相垂
直的线，如BC线，则犹如单跨梁，跨中因正弯矩而开裂， 这是对角部板底沿对角线开裂的又一解释。
在双向板中应按图1.33配置钢筋：
♠ ①在跨中板底双向配置平行于板边的正钢筋，以承担跨
如果
m x u m y u ，则 m u m x u m y u
如果
45

，则
m u
1 (mxu m y u ) 2
♠②双向板塑性极限分析要点（近似简化方法）
♥破坏机构取 45 ；
♥用虚功原理（外功=内功）计算极限荷载或进行设计。
具体的例题、解法见相关习题课
♠精确地确定双向板传给支承梁的荷载是困难的，也是不必 要的。在确定双向板传给支承梁的荷载时，可根据荷载传递 路线最短的原则按如下方法近似确定。
♠即从每一区格的四角作45o线与平行于底边的中线相交，把
整块板分为四块，每块小板上的荷载就近传至其支承梁上。
因此，短跨支承梁上的荷载为三角形分布，在长跨支承梁上