库仑主动土压力计算
土压力计算原理
延长墙背法是一种简化的近似方 法，由于计算简便，该方法至今仍在工 程界得到广泛应用。但是它的理论根据 不足，给计算带来一定的误差，这主要 是忽略了延长墙背与实际墙背之间的土 体重力及作用在其上的荷载，但多考虑 了由于延长墙背与实际墙背上土压力作 用方向的不同而引起的竖直分量差，虽 然两者能相互补偿，但未必能抵消。此 外，在计算假想墙背上的土压力时，认 为上墙破裂面与下墙破裂面平行，实际 上一般情况下两者是不平行的，这是产 生误差的第二个原因。
主动土压力强度沿墙高呈三角形 分布，合力作用点在离墙底h/3处， 说明：土压力强度分布图 只代表强度大小，不代表 方向与墙背法线成δ，与水平面 作用方向。 成（α＋δ）
二、库仑土压力计算被动土压力 按求主动土压力同样的原理可求得被动土压力的库仑公 式为：
1 2 E p H 2
cos 2 ( ) sin( ) sin( ) cos cos( ) 1 cos( ) cos( )
已知地震力与破裂棱体自重的合力Wδ的大小和方向，并且假定地震条件下土体 的内摩擦角φ 与墙背摩擦角δ不变，则墙后破裂棱体上的平衡力系如下图a所示。 若保持挡土墙和墙后棱体位置不变，将整个平衡力系转动θδ角使Wδ处于竖直方向， 如下图b所示。由于没有改变平衡力系中三力之间的相互关系，即力三角形abc转动 前后没有发生改变（如下图c所示），所以这种改变不会影响Ea的计算。 由下图b可以看出，只要用 右侧各值取代γ、δ、φ时，地震 力作用下的力三角形Abc与一般 情况下的力三角形abc完全相似 ，可以直接采用一般库伦土压力 公式进行地震土压力的计算。
图2-4 墙趾前被动土压力示意图
二、土压力计算理论及方法
对于土压力问题的研究从18世纪末已经开始，根据研究途径的不 同大致可以分为两类。 1）假定破裂面的形状，依据极限状态下破裂棱体的静力平衡条 件来确定土压力。这类土压力理论最初由法国的库伦（C.A.Coulomb ）于1773年提出，所以称为库伦理论，这是研究土压力问题的一种简 化理论。 2）假定土体为松散介质，依据土中一点的极限平衡条件确定土 压力强度和破裂面方向。这类土压力理论是由英国的朗金（ W.J.Rankine）于1857年首先提出，这类理论被称为朗金理论。 目前我国公路、铁路的挡土墙设计中，无论墙后填料是非粘性填 料还是粘性填料，无论是否出现第二破裂面，都采用库伦理论推导出 来的相应公式计算土压力。 朗金理论实质上是库伦理论的一个特例。它适用于墙后土体出现 第二破裂面的情况，一般多用于计算衡重式、凸形折线式、悬臂式和 扶臂式挡土墙的土压力。朗金理论计算被动土压力的误差一般比库伦 理论小，所以计算被动土压力时也采用朗金理论。
库仑主动土压力计算
1．库仑主动土压力（1）库仑主动土压力计算如图6-12(a)所示，设挡土墙高为h，墙背俯斜，与垂线的夹角为，墙后土体为无粘性土（c=0），土体表面与水平线夹角为，墙背与土体的摩擦角为。
挡土墙在土压力作用下将向远离主体的方向位移（平移或转动），最后土体处于极限平衡状态，墙后土体将形成一滑动土楔，其滑裂面为平面BC，滑裂面与水平面成角。
沿挡土墙长度方向取１m进行分析，并取滑动土楔ABC为隔离体，作用在滑动土楔上的力有土楔体的自重W，滑裂面BC上的反力R和墙背面对土楔的反力E（土体作用在墙背上的土压力与E大小相等方向相反）。
滑动土楔在W，R，E的作用下处于平衡状态，因此三力必形成一个封闭的力矢三角形，如图6-12（b）所示。
根据正弦定理并求出E的最大值即为墙背的库仑主动土压力：图6-12库仑主动土压力计算(a)挡土墙与滑动土楔（b）力矢三角形公式推导（6-12）库仑主动土压力计算公式推导在图6-13（b）的力矢三角形中，由正弦定理可得：（6－12a）式中º，其余符号如图6-13所示。
土楔自重为在三角形ABC中，利用正弦定律可得：由于故在三角形ADB中，由正弦定理可得：于是土楔自重可进一步表示为将其代入表达式（6-12a）即可得土压力E的如下表达式：E的大小随角而变化，其最大值即为主动土压力E a。
令求得最危险滑裂面与水平面夹角0=45º+/2，将0代入E的表达式即得主动土压力E a的如下计算公式：这里式中K a为库仑主动土压力系数，其值为：（6-13）2．库仑被动土压力库仑被动土压力计算公式的推导与库仑主动土压力的方法相似，计算简图如图6-14，计算公式为：（6－14）作用点在离墙底H/3处，方向与墙背法线的夹角为式中K p为库仑被动土压力系数，其值为：（6－15）库仑被动土压力强度分布图也为三角形，E p的作用方向与墙背法线顺时针成角，作用点在距墙底h/3处。
图6－15 库仑被动土压力计算（a）挡土墙与滑动土楔（b）力矢三角形特别提示当墙背垂直（=0）、光滑（=0）、土体表面水平（=0）时，库仑土压力计算公式与朗肯土压力公式一致。
Rankine土压力理论主动土压力计算被动土压力计算库仑
2
Kp只与内摩擦角有关。
无粘性土的被动土压力计算
pp zKp
Ep
H
H/3
Ep
1 2
K p H
2
HKp
粘性土的被动土压力计算
a 2c Kp
pp zKp 2c Kp
H
Ep
Ep
1 H
2
2Kp
2c
Kp H
h
H 2a b
h
b
3 ab
γHKp 2c Kp
τ
主动Rankine状态
f c stg
被动 Rankine状态
O
s
sz=s3=z sxmax=s1=pp
Rankine被动土压力—计算原理
45
2
Rankine被动土压力—计算方法
基本计算公式
s z z s 3 s x s1 pp
sp1p
sz3 tan2
静止土压力（Earth pressure at rest）
墙体静止不动 静止土压力
主动土压力（Active earth pressure）
墙体背离填土方向移动 土压力逐渐减小 土体达到极限平衡状态， 土压力达到最小值
主动土压力
被动土压力（Passive earth pressure）
墙体朝向填土方向移动 土压力逐渐增大 土体达到极限平衡状态， 土压力达到最大值
基本原理
认为作用在挡土墙上的土压力就是墙后半无限 土体达到极限平衡状态时的应力。
根据土体处于极限平衡状态时的最大和最小主 应力的相互关系来建立土压力的计算公式。
Rankine土压力理论
库伦土压力理论
2 a
Pp
被动土压力系数
K tg ( 45 /2 ) p
2
1 sin 1 sin
1 sin 静止土压力系数 K 0
K K 1 K a 0 p
思考
如果墙背倾斜，具有倾角； 墙背粗糙，与填土摩擦角为； 墙后填土面任意。 如何计算挡土墙后的土压力？
2 .被动土压力分布及破坏面
p z K 2 cK p p p
H
v
Pp
被动区
Ep
45－/2 90+
2c Kp
HKp
小结
基本条件和假定 极限应力分析 破坏形式 v Pa 主动和被动 砂土和粘性土 1 sin tg ( 45 / 2 ) 主动土压力系数 K 1 sin
b
若验算结果不满足要求时，可按以下措施处理
（1）增大挡土墙断面尺寸，使G增大 （2）加大χ 0,伸长墙址 （3）墙背做成仰斜，可减小土压力
（4）在挡土墙垂直墙背上做卸荷台，使总土压力减小，
抗倾覆稳定性增大
（二）抗滑稳定验算
挡土墙在土压力作用下可能沿基础 底面发生滑动 ( G E ) n an K 1 . 3 抗滑稳定条件 s
W1
R1
2 cos ( ) K a sin( ) sin( )2 2 cos cos( )[ 1 ] cos( ) cos( )
库仑土压力理论
库仑土压力理论1776年法国的库伦（C.A.Coulomb）根据极限平衡的概念，并假定滑动面为平面，分析了滑动楔体的力系平衡，从而求算出挡土墙上的土压力，成为著名的库伦土压力理论。
一、基本原理库伦研究了回填砂土挡土墙的土压力，把挡土墙后的土体看成是夹在两个滑动面（一个面是墙背，另一个面在土中，如图6－12中的AB和BC面）之间的土楔。
根据土楔的静平衡条件，可以求解出挡土墙对滑动土楔的支撑反力，从而可求解出作用于墙背的总土压力。
这种计算方法又称为滑动土楔平衡法。
应该指出，应用库伦土压力理论时，要试算不同的滑动面，只有最危险滑动面AB对应的土压力才是土楔作用于墙背的Pa或Pp库伦理论的基本假设：1.墙后填土为均匀的无粘性土（c=0），填土表面倾斜（β＞0）；2.挡土墙是刚性的，墙背倾斜，倾角为ε；3.墙面粗糙，墙背与土本之间存在摩擦力（δ＞0）；4.滑动破裂面为通过墙踵的平面。
二、主动土压力计算如图所示，墙背与垂直线的夹角为ε，填土表面倾角为β，墙高为H，填土与墙背之间的摩擦角为δ，土的内摩擦角为φ，土的凝聚力c=0，假定滑动面BC通过墙踵。
滑裂面与水平面的夹角为α，取滑动土楔ABC作为隔离体进行受力分析（图6－11b）。
土楔是作用有以下三个力：1．土楔ABC自重W，由几何关系可计算土楔自重，方向向下；2．破裂滑动面BC上的反力R，大小未知，作用方向与BC面的法线的夹角等于土的内摩擦角φ，在法线的下侧；3．墙背AB对土楔体的反力P（挡土墙土压力的反力），该力大小未知，作用方向与墙面AB的法线的夹角δ，在法线的下侧。
土楔体ABC在以上三个力的作用下处于极限平衡状态，则由该三力构成的力的矢量三角形必然闭合。
已知W的大小和方向，以及R、P的方向，可给出如图所示的力三角形。
按正弦定理可求得：求其最大值（即取dP/dα=0），可得主动土压力式中Ka为库伦主动土压力系数，可按下式计算确定沿墙高度分布的主动土压力强度pa可通过对式（6－21）微分求得：由此可知，主动土压力强度沿墙高呈三角形分布，主动土压力沿墙高的分布图形如图所示。
挡土墙抗倾覆稳定性验算
其中，
称为库仑主动土压力系数，由上式见，库仑主动土压力系数与 内摩擦角φ，墙背倾角ε，外摩擦角δ，以及填土面倾角β有关， 参见P182表9---1。
数，因此，被动土压力强度pp=γzKp，沿墙高仍呈三角形分布， 合力作用点在墙高1/3处，EP的作用方向与墙背法线成δ角， 在外法线的下侧。
三、挡土墙稳定性验算
1．挡土墙抗倾覆稳定性验算
图（a）表示一具有倾斜基底的挡土墙，设在挡土墙自重G和 主动土压力Ea作用下，可能绕墙趾O点倾覆，抗倾覆力矩与倾 覆力矩之比称为抗倾覆安全系数Kt
当挡土墙在外力作用下推向土体时，墙后填土作用在填背上的 压力随之增大，当位移量达到一定值时，填土中出现过墙踵的 滑动面BC，形成三角形土楔体，此时，土体处于极限平衡状
态。
此时土楔ABC在自重G、反力R及E三力作用下静力平衡，与 主动平衡状态相反，R和E的方向均处于相应法线的上方，三 力构成一闭合力矢三角形。
第十二讲 土压力
-------库伦理论
§ 库仑土压力理论
一、假设
（1）当墙后填土达到极限平衡状态 时，其滑动面为一平面；
（2）填土面为坡角β的平面，且无超载；
（3）墙后填土为C=0的无粘性均质土体；
（4）墙背粗糙，有摩擦力，墙与土的摩
擦角为δ（称为外摩擦角）；
Charles- Auguste de
其中：
式中：μ—— 挡土墙基底对地基的摩擦系数 若验算结果不能满足上式要求时，可采取下列措施： （1）增大挡土墙断面尺寸，增加墙身自重以增大抗滑力； （2）在挡土墙基底铺砂石垫层，提高摩擦系数μ，增大抗滑力； （3）将挡土墙基底做成逆坡，利用滑动面上部分反力抗滑； （4）在墙踵后加钢筋混凝土拖板，利用拖板上的填土自重增大
库仑主动土压力计算
库仑主动土压力计算
1.原理
库仑主动土压力计算是根据库仑理论推导得出的一种计算土体受力的方法。
根据库仑理论，土体的平衡状态由屈服轨迹和塑性体积变化两部分组成。
屈服轨迹是土体水平面上的等功耗线，塑性体积变化是土体塑性变形产生的体积变化。
库仑主动土压力计算即是计算土体在一定条件下的屈服轨迹和塑性体积变化，从而求得土体的主动土压力。
2.公式
P_a = γH/2[1 + sin(φ - δ)]
其中，P_a为主动土压力，γ为土体的体积密度，H为土体高度，φ为土体内摩擦角，δ为土体的倾角。
在实际应用中，由于土体的不均匀性和复杂性，常常需要对公式进行修正。
根据具体情况，可以采用不同的修正公式，以得到更准确的计算结果。
3.应用
例如，在基础工程中，计算土体的主动土压力可以用于确定基坑支护结构的设计参数。
在边坡工程中，计算土体的主动土压力可以用于评估边坡的稳定性，为防止边坡失稳采取相应的措施提供依据。
此外，库仑主动土压力计算还可以应用于土体在不同条件下的力学行为研究。
通过计算土体的主动土压力，可以获得土体的变形规律和破坏机理，为土力学理论的发展提供实验数据。
总之，库仑主动土压力计算是土力学中一种重要的计算方法，通过计算土体的主动土压力可以评估土体受力情况和提供工程设计依据。
在实际应用中，需要考虑土体的不均匀性和复杂性，对计算公式进行修正，以获得更准确的计算结果。
库伦土压力与朗肯土压力计算理论
2.1 土压力理论土压力是指挡土墙后的填土因自重或外荷载作用对墙背产生的侧向压力。
土压力的计算是个比较复杂的问题。
它随挡土墙可能位移的方向分为主动土压力、被动土压力和静止土压力。
土压力的大小还与墙后填土的性质、墙背倾斜方向等因素有关。
2.1.1 库伦土压力[22]1773年著名的法国学者库伦(C.A.Coulomb)提出了一种计算土压力的理论。
这种理论是根据墙后所形成的滑动楔体静力平衡条件建立起来的，这种理论具有计算简单，适用范围广泛，且计算结果接近实际等优点，至今仍然被广泛使用于工程实践之中。
其基本假定如下:(l)墙后填土为理想散粒体(无粘聚力);(2)墙后填土产生主动土压力或被动土压力时，填土形成滑动楔体，且滑动面为通过墙踵的平面;(3)滑动楔体为刚体，不考虑滑动楔体内部的应力和变形条件1、主动土压力公式：212a a E H K γ=2a K = 式中：α—为墙背与铅直线夹角，逆时针为正值；K a —库仑主动土压力系数；β—填土表面与水平面所成坡角；δ—墙后填土与墙背的摩擦角，由试验或规范确定。
2、被动土压力公式212p p E H K γ=2p K =式中：K p —为库仑被动土压力系数。
2.1.2 朗肯土压力[23]朗肯土压力是英国学者朗肯在1857 年提出的一种经典的土压力理论，这种土压力理论是根据半空间体的应力状态和土的极限平衡理论得出的土压力计算理论之一。
这种土压力理论的计算方法比较简单，计算结果比较接近实际，至今仍然被广泛用于工程实践之中。
其基本假定如下:1).墙本身是刚性的，不考虑墙身的变形；2).墙后填土面水平且填土延伸到无限远处；3).墙背直立、光滑。
1、主动土压力公式无粘性土： 2(45-)2a Ztg ϕσγ=。
粘性土： 2(45-)2(45-)22a Ztg Ctg ϕϕσγ=-。
式中：C 一为土的粘聚力，Z —计算点距离填土面的深度(m);φ一内摩擦角σa 一为主动土压力γ—填土的重度a b c图2-1 朗肯土压力计算图无粘性土：主动土压力强度与深度z 成正比，土压力分布图呈三角形（图2－1b ）。
库伦压力理论
库仑土压力理论（2012-10-25 16:45:19）基本原理库伦研究了回填砂土挡土墙的土压力，把挡土墙后的土体看成是夹在两个滑动面（一个面是墙背，另一个面在土中，如图6- 12中的AB和BC面）之间的土楔。
根据土楔的静平衡条件，可以求解出挡土墙对滑动土楔的支撑反力，从而可求解出作用于墙背的总土压力。
这种计算方法又称为滑动土楔平衡法。
应该指出，应用库伦土压力理论时，要试算不同的滑动面，只有最危险滑动面AB对应的土压力才是土楔作用于墙背的P a或P p。
库伦理论的基本假设：1.墙后填土为均匀的无粘性土（c=0）,填土表面倾斜（B> 0）;2.挡土墙是刚性的，墙背倾斜，倾角为8 ;3.墙面粗糙，墙背与土本之间存在摩擦力（8 > 0）;4.滑动破裂面为通过墙踵的平面。
(a )(b )(c )图6- 11库伦主动土压力计算图式主动土压力计算如图6- 11所示，墙背与垂直线的夹角为 £，填土表面 倾角为B ，墙高为H,填土与墙背之间的摩擦角为8，土的内摩擦角为$, 土的凝聚力c=0，假定滑动面BC 通过墙踵。
滑裂面与水平面的夹角为a ,取滑动土楔ABC 作为隔离体进行受力分析(图6- 11b )o 土楔是作用有以下三个力：1. 土楔ABC 自重W 由几何关系可计算土楔自重，方 向向下；W&2.破裂滑动面BC上的反力R大小未知，作用方向与BC面的法线的夹角等于土的内摩擦角$,在法线的下侧;3.墙背AB对土楔体的反力P（挡土墙土压力的反力）, 该力大小未知，作用方向与墙面AB的法线的夹角8 , 在法线的下侧。
土楔体ABC在以上三个力的作用下处于极限平衡状态，则由该三力构成的力的矢量三角形必然闭合。
已知W的大小和方向，以及R、P的方向，可给出如图6- 11c所示的力三角形。
按正弦定理可求得："妙诚“（6-20）求其最大值（即取d P/d a =0）,可得主动土压力卜21）式中K a为库伦主动土压力系数，可按下式计算确定cos (0 - &)in" + - /I)cos(^ + - /J)沿墙高度分布的主动土压力强度Pa可通过对式（6 - 21）微分求得:由此可知，主动土压力强度沿墙高呈三角形分布，主动土压力沿墙高的分布图形如图6—12所示。
基于库仑理论的粘性土主动土压力的计算
基于库仑理论的粘性土主动土压力的计算黄玉萍（福建交通职业技术学院 350007）The calculating and conveniently of initiative soil pressure of visciditybasedon Coulomb(C) of theories[提要]本文以库仑理论为基础，对粘性土主动土压力的计算提出了一种较为简便且适用面较广的方法。
[关键词]库仑理论粘性土主动土压力计算Abstract:This text is based on one Coulomb(C) of theories, to cohesivesoil calculation of active earth pressure , propose one comparatively simpleand convenient and suitable wider methods.Key words: Coulomb(C) of theories cohesive soil calculation of active earth pressure在土压力的计算理论中，库仑理论因其概念清楚，适用范围较广而被广泛应用于挡墙的主动土压力的计算中。
但是，库仑理论把填土视为无粘性并假定其内聚力为0，这与工程实际不相符。
为此，如何在计算中考虑土的粘性，就成了业界广泛研究的对象，现行的相关“规范”也提出了计算方法。
但是，现行规范中的计算方法，因其仅针对几种模式提出的，当实际情况与“现成模式”不相符时，就会变得无所适从。
本文粘性土的主动土压力将工程中常用的简化处理方式公式化，便于按摩仓理论求解。
1 滑动体上无荷载时，粘性土的主动土压力计算的基本公式推导1·1基本假定仍以库仑理论为基础，墙后填土达到极限状态时的破裂面为平面，该平面通过墙趾。
1·2各符号意义如下如图-1所示：H——挡墙高；γ——粘性填土的容重；α——墙背AB与垂直方向的夹角；β——填土面的倾角；c——填料间沿破裂面单位长度的粘聚力，可由土的剪切试验确定。
几种常见情况下的土压力计算
h2=3m
中砂
土体的分层情况及相关土性指标均如图示。试求主动 =20kN/m3 土=3压0°力
沿挡墙墙高的分布。
35.3kPa
解：第一层土，1=20，故有：
K a1
tan（2 45
1
2
）
tan（2 45
20 ） 2
0.490
第二层土，2=30，故有：
K a2
tan（2 45
2
2
）
tan（2 45
30 ） 2
1h1 K a1 1h1 K a2
1h1 K a1 1h1 K a2
1h1 2h2 Ka2
1 2 1 2
1h1 2h2 Ka2
1 2 1 2
1h1 2h2 Ka2
1 2 1 2
2)、墙背及填土表面倾斜：
计算中近似地将各分层面假想为与土体表面平行。相应 的计算方法是：对于第一层土可按前述均匀土层的计算方法 进行计算；计算下层土的土压力时，可将上层土的重力连同 外荷载一起当作作用于下层土（分界面与表层土体表面平行） 上的均布荷载，然后按上条所述的方法进行计算，但其有效 范围应限制在下层土内。现以下图为例说明具体方法：
第一层土的顶面处： paA 1hKa1 第一层土的底面处： paC上 1 ( H1 h)Ka1
H2
H1
h'
q
A
Ea1
假想分界面 C
土层分界面
Ea2
2
B
图7-20 分层填土的主动土压力
paA
paC上 paC下
paB
上列式中的h’可计算求得。
在计算第二层土的土压力时，将第一层土的重力连同外
背法线成角。
如果工程中对计算精度的要求不高，在计算分层土的土 压力时，也可将各层土的重度和内摩擦角按土层厚度加权平 均，然后近似地把土体当作均质土求土压力系数Ka并计算土 压力。这样所得的土压力及其作用点和分层计算时是否接近 要看具体情况而定。
几种常见情况下的土压力计算
边坡稳定性分析
在边坡稳定性分析中，被动土压 力的大小和分布对边坡的稳定性 有重要影响。通过计算被动土压 力，可以评估边坡的稳定性，采
取相应的加固措施。
PART 05
特殊情况下的土压力计算
REPORTING
填土情况下的土压力计算
填土情况下的土压力计算需要考虑填土的密度、内摩擦角、粘聚力等参数 ，以及填土的方式和压实程度等因素。
土压力的影响因素
挡墙高度
挡墙高度越大，土压力 越大。
墙体位移
墙体位移越大，土压力 越大。
墙体刚度
墙体刚度越大，土压力 越小。
土壤性质
土壤性质不同，其承载 力和压缩性也不同，从 而影响土压力的大小。
PART 02
静止土压力计算
REPORTING
静止土压力定义
01
静止土压力是指挡土墙不发生任 何方向的位移，墙后填土处于静 止平衡状态，作用在挡墙上的土 压力。
REபைடு நூலகம்ORTING
被动土压力定义
被动土压力定义
在土压力作用过程中，墙后土体处于 受剪切破坏的极限平衡状态，此时作 用在墙背上的土压力即为被动土压力 。
被动土压力的特点
被动土压力的大小等于滑裂面上的剪 切力乘以滑裂面的面积，其作用方向 与墙背垂直。
被动土压力计算公式
公式一：根据库仑土压力理论，被动土 压力可由下式计算
几种常见情况下的土 压力计算
REPORTING
• 土压力计算概述 • 静止土压力计算 • 主动土压力计算 • 被动土压力计算 • 特殊情况下的土压力计算
目录
PART 01
土压力计算概述
REPORTING
土压力定义
挡土墙设计主动土压力计算
土压力的水平 和垂直为：
E x E a cos( ) E y E a sin( )
1 2 cos( ) sin( ) 2 G H sec 2 cos( )
1.破裂面交于内边坡
sin(90 ) cos( ) Ea G G sin( ) sin( )
1 2 cos( ) sin( ) 2 G H sec 2 cos( )
8、一般条件下库伦主动土压力计算
挡土墙库仑土压力理论
挡土墙土压力计算时应用了库仑（Coulomb）土压 力理论，通过对墙背后破坏棱体的受力分析，得到土 压力的反力E是破裂角的函数，即 E f ()，再求E的极 值可以得到主动土压力和被动土压力。 库仑法的假定为：破裂面为平面且通过墙踵、填 料为砂性土(c=0)、墙背存在摩擦、挡墙和破坏土体为 刚体。
南京工业大学交通学院
挡土墙土压力考虑
1、主动土压力与被动土压力的区分：
假定挡土墙处于极限移动状态，土体有沿墙及假 想破裂面移动的趋势，则土推墙即为主动土压力， 墙推土即为被动土压力。
2、路基挡土墙的土压力考虑：
路基挡土墙一般都有可能有向外的位移或倾覆， 因此，在设计中按墙背土体达到主动极限平衡状态 考虑，且取一定的安全系数以保证墙背土体的稳定。 墙趾前土体的被动土压力一般不计。
南京工业大学交通学院
用土压应力分布图计算主动土压力
第一破裂面计算公式
第一破裂面计算公式1. 库仑土压力公式介绍破裂角概念来自于库仑土压力计算公式，这里需要对库仑土压力公式计算做一个简单介绍。
图1 库仑土压力理论基本假设：（1）平面滑动面假设。
当墙移动，使墙后填土达到破坏时，填土两个平面同时滑动。
一个是沿墙背AB，一个是沿土体内某一滑动面BC，BC与水平面成θ角。
这个角就是破裂角，BC面也称第一破裂面。
（2）刚体滑动假设。
（3）楔体ABC整体处于极限平衡状态。
在AB和BC滑动面上，抗剪强度已充分发挥，即滑动面上的剪应力τ均已达抗剪强度τf。
（部分文献还验算第二破裂面上的下滑力，抗滑力，这个意思是一样）受力分析：假设滑动土楔自重为W，下滑时受到墙面给予的支撑力E（其反力就是土压力），和滑动面外土体支撑力R，则（1）根据楔体整体处于极限平衡状态的条件，可得知E、R的方向。
反力R的方向与BC面的法线成夹角φ（土的内摩擦角）；反力E的方向则应与墙背AB面的法线成夹角σ。
只是当土体处于主动状态时，为阻止楔体下滑，R、E在法线的下方；被动状态时，为阻止楔体被挤而向上滑动，R、E在法线的上方。
（2）根据楔体应满足静力平衡力三角形闭合的条件，可知E、R的大小。
（3）求极值，找出真正滑动面，从而得出作用在墙背上的总主动土压力Ea和被动土压力Ep。
图2 库仑主动土压力计算图利用正弦定理：2. 坦墙土压力计算图3 坦墙与第二滑动面2.1. 坦墙概念当σ<<φ时，滑面依然可以沿墙背滑动。
但当σ≈φ时，就可能出现两种情况。
一是墙背较陡，公式依然成立。
二是墙背较缓，墙后土体破坏时可能不再沿墙背AB滑动，而是沿图3的BC和BD面滑动，两个面均发生在土中。
这种情况，BCD仍处于极限平衡状态，而ABC未达极限平衡，它将贴附于墙背AB上与墙一起移动，故而可以视为墙体的一部分。
显然，对于坦墙，库仑公式不能用来直接求出作用在墙背AB面上的土压力，但却可用其求出作用于第二滑动面BC上的土压力Ea’。
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工程实践表面,墙后土体破坏时的滑动面只有主动状态下在墙背斜度不大且墙背与土体之间的摩擦角很小时才接近于平面,库仑公式的平面假设引起的误差在计算主动土压力时比较小,约为２％～10%；而在计算被动土压力时的误差较大,且误差随角的增大而增大，有时可达２～3倍，故工程中计算被动土压力一般不使用库仑公式。
将其代入表达式(6-12ａ）即可得土压力E的如下表达式:
Ｅ的大小随角而变化,其最大值即为主动土压力Ｅa。令
求得最危险滑裂面与水平面夹角0=4５º+/2,将０代入E的表达式即得主动土压力Ｅａ的如下计算公式:
这里
式中Ｋａ为库仑主动土压力系数,其值为：
(６-１３)
２．库仑被动土压力
库仑被动土压力计算公式的推导与库仑主动土压力的方法相似，计算简图如图6-１4，计算公式为:
沿挡土墙长度方向取1m进行分析,并取滑动土楔ABC为隔离体，作用在滑动土楔上的力有土楔体的自重Ｗ，滑裂面ＢC上的反力R和墙背面对土楔的反力Ｅ（土体作用在墙背上的土压力与Ｅ大小相等方向相反)。滑动土楔在W,Ｒ,E的作用下处于平衡状态，因此三力必形成一个封闭的力矢三角形,如图6-12(ｂ)所示。根据正弦定理并求出E的最大值即为墙背的库仑主动土压力:
图6-１2库仑主动土压力计算
(a)挡土墙与滑动土楔 （b)力矢三角形
公式推导(6-12）
库仑主动土压力计算公式推导
在图6－13(b）的力矢三角形中，由正弦定理可得:
（６－1２a)
式中º，其余符号如图6-13所示。
土楔自重为
在三角形ＡBＣ中,利用正弦定律可得：
由于
故
在三角形ADB中,由正弦定理可得:
于是土在离墙底H/３处,方向与墙背法线的夹角为
式中Kｐ为库仑被动土压力系数,其值为:
(6－１5)
库仑被动土压力强度分布图也为三角形,Eｐ的作用方向与墙背法线顺时针成角,作用点在距墙底ｈ/3处。
图6-15库仑被动土压力计算
(ａ）挡土墙与滑动土楔(b）力矢三角形
特别提示
当墙背垂直(＝0）、光滑（=0)、土体表面水平(＝0)时,库仑土压力计算公式与朗肯土压力公式一致。
库仑主动土压力计算
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1．库仑主动土压力
（1)库仑主动土压力计算
如图6-１2(a)所示,设挡土墙高为h,墙背俯斜，与垂线的夹角为,墙后土体为无粘性土(c=0)，土体表面与水平线夹角为,墙背与土体的摩擦角为。挡土墙在土压力作用下将向远离主体的方向位移(平移或转动)，最后土体处于极限平衡状态,墙后土体将形成一滑动土楔,其滑裂面为平面BC，滑裂面与水平面成角。