向量的数乘及坐标运算

三、向量数乘运算及其几何意义

一、知识回顾：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个 ，记作 ，它的模与方向规定如下： １）||a λ= ；

2） λ＞０时,a λ的方向与 的方向相同；当λ＜０时, a λ的方向与 的方向相反； 实数与向量的积的运算律：

运算律：()a λμ= ； ()a λμ+= ； ()a b λ+= .

2．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a

共线⇔有且只有一个实数λ，使得

二、沙场练兵：

1．已知向量a = e 1-2 e 2，b =2 e 1+e 2, 其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6 e 1-2 e 2的关系为（ ） A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．无法确定

2．已知向量e 1、e 2不共线，实数(3x -4y )e 1＋(2x -3y )e 2 =6e 1+3e 2 ,则x －y 的值等于 （ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．2

3．若AB =3a , CD =－5a ,且||||AD BC =,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 4．AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD =a ,BE =b ,那么BC 为（ ）

A ．32a ＋34b

B ．32a －32b

C ．32a －34b

D ． －32a ＋3

4

b

5．已知向量a ,b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b 共线的条件是 （ ） ①2a -3b =4e 且a +2b = -3e ②存在相异实数λ ，μ，使λa -μb =0

③x a +y b =0 (其中实数x , y 满足x +y =0) ④已知梯形ABCD ，其中AB =a ,CD =b A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④

*6．已知△

ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若PA PB PC AB ++=，则（ ）

A ．P 在△ABC 内部

B ．P 在△AB

C 外部 C ．P 在AB 边所在直线上

D ．P 在线段BC 上 二、填空题

7．若|a |=3,b 与a 方向相反,且|b |=5,则a = b

8．已知向量e 1 ,e 2不共线，若λe 1－e 2与e 1－λe 2共线,则实数λ=

9．a ,b 是两个不共线的向量，且AB =2a ＋k b ,CB =a ＋3b ,CD =2a －b ,若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值可为

*10．已知四边形

ABCD 中，AB =a －2c ,CD =5a ＋6b －8c 对角线AC 、BD 的中点为E 、F ，则向量EF =

三、解答题

11．计算：⑴(－7)×6a =

⑵4(a ＋b )－3(a －b )－8a =

⑶(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )=

12．如图，设AM 是△ABC 的中线，AB =a , AC =b ,求AM

13．设两个非零向量a 与b 不共线,

⑴若AB =a ＋b ,BC =2a ＋8b ,CD =3(a －b ) ,求证：A 、B 、D 三点共线; ⑵试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.

*14．设

OA ,OB 不共线,P 点在AB 上,求证:OP =λOA +μOB 且λ+μ=1(λ, μ∈R).

四、平面向量基本定理及坐标表示（1）

一、知识回顾：

1．平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线．．．向量，那么对这一平面内的任一向量a

，有且只有一对实数21,λλ使： ，其中不共线的向量21,e e

叫做表示这一平面内所有向量

的 。

2．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，

则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，

a ＝(),x y 叫做向量a

的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

注：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。 3．平面向量的坐标运算：

若()()2211,,,y x b y x a ==，则a b ±= 若()()2211,,,y x B y x A ，则AB = 若a =(x,y)，则λa =

若()()0,,,,2211≠==b y x b y x a ，则//a b ⇔

二、沙场练兵：

1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7);

C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10);

D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4

3

,21(-

2．已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 3．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ） ①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对；

③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0.

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．仅②

4．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0，则11

x y

+的

值为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

5．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b

*6．平面直角坐标系中，O

为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C (x , y )满足OC =αOA +βOB ，其

中α,β∈R 且α+β=1，则x , y 所满足的关系式为 （ ） A ．3x +2y -11=0 B ．(x -1)2+(y -2)2=5

C ．2x -y =0

D ．x +2y -5=0

二、填空题

7．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 8．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y = ;

9．已知A (2,3),B (1,4)且

1

2

AB =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2π),则α+β=

*

10．已知a =(1,2) ,b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为

三、解答题

11.已知向量b 与向量a =(5,-12)的方向相反，且|b |=26,求b

12．如果向量AB =i -2j ,BC =i +m j ,其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线。

13．已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2）,11

,,33

AE AC BF BC ==

求证：//EF AB

*14．已知

A (2,3)、

B (5,4)、

C (7,10)，若()AP AB AC R λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在第三象限内？