二次函数在闭区间上的值域问题

二次函数在闭区间上的值域问题

题型一【定函数定区间】

例1．函数f (x )＝2x 2－6x ＋3在区间[－1，1]上的最小值是－1，最大值是11．

f (x )＝2x 2－6x ＋3＝2(x －32)2－32

，x ∈[－1，1]. 练习：若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254

，－4]，则m 的取值范围是 [32，3]_________

． 题型二【动函数定区间】

例2．求函数y ＝x 2＋tx ＋1在区间[－1，1]上的最值；

【分类讨论】

解：（1）函数y ＝x 2＋tx ＋1的对称轴为直线x ＝－t 2

． 1°若－t 2

≤－1，即t ≥2时，函数在[－1，1]上单调增， 当x ＝－1时，y min ＝2－t ，当x ＝1时，y max ＝2＋t ；

2°当－1＜－t 2

＜0，即0＜t ＜2时， 当x ＝－t 2时，y min ＝1－t 24

，当x ＝1时，y max ＝2＋t ； 3°当0≤－t 2

＜1，即－2＜t ≤0时， 当x ＝－t 2时，y min ＝1－t 24

，当x ＝－1时，y max ＝2－t ； 4°当－t 2

≥1，即t ≤－2时，函数在[－1，1]上单调减， 当x ＝1时，y min ＝2＋t ，当x ＝－1时，y max ＝2－t ．

例3．已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0，2]上有最小值3，求a 的值．

解：f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2＝4(x －a 2

)2－2a ＋2，x ∈[0，2]． （1）当a 2

＜0，即a ＜0时，f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2＝3，解得a ＝1－2或a ＝1＋2（舍）； （2）当0≤a 2≤2，即0≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a 2)＝－2a ＋2＝3，解得a ＝－12

（舍）； （3）当a 2

＞2，即a ＞4时，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18＝3，解得a ＝5＋10或a ＝5－10（舍）． 综上，a ＝1－2或a ＝5＋10．

题型三【定函数动区间】

例4．函数f (x )＝x 2－4x －4在区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．试写出g (t )的表达式，作出g (t )的图象，并求g (t )的最小值．

【分类讨论】

函数f (x )＝(x －2)2－8．

1°当t ＞2，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上是增函数，g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；

2°当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8；

3°当t ＋1＜2，即t ＜1时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上是减函数，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7．

所以g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7，t ＜1，

－8， 1≤t ≤2，t 2－4t －4，t ＞2．

分段函数g (t )的最小值是－8．

【小结】含参数的函数值域问题，注意对称轴与给定区间的关系——分类讨论

应用： 如图，用长为16米的篱笆，借助墙角围成一个矩形ABCD ，

在P 处有一棵树与两墙的距离分别为a 米(0＜a ＜12)和4米．若此树不圈在矩形外，求矩形ABCD 面积的最大值M ．

【注意理解题目含义】【定函数动区间的二次函数】

解：设AB ＝x ，则AD ＝16－x ， 要求x ≥4，16－x ≥a ，即4≤x ≤16－a (0＜a ＜12)，

S ABCD ＝x (16－x )＝64－(x －8)2，

(1)当16－a ＞8时，即0＜a ＜8时，f (x )max ＝64； (2)当16－a ≤8时，即8≤a ＜12时，f (x )max ＝－a 2＋16a ，因此M ＝⎩⎨⎧64，0＜a ＜8， －a 2＋16a ，8≤a ＜12．

解：设AD ＝x ，则AB ＝16－x ，

要求x ≥a ，16－x ≥4，即a ≤x ≤12(0＜a ＜12)，S ABCD ＝x (16－x )＝64－(x －8)2，

(1)当0＜a ＜8时，f (x )max ＝64；

(2)当8≤a ＜12时，f (x )max ＝－a 2＋16a ，因此M ＝⎩⎨⎧64，0＜a ＜8， －a 2＋16a ，8≤a ＜12．

练习．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －a 4＋12

在区间[－1，1]上的最大值为2，求a 的值. 【解析】f (x )＝－x 2

＋ax －a 4＋12＝－(x －a 2)2＋a 24－a 4＋12，x ∈[－1，1]． （1）当a 2＜－1，即a ＜－2时，f (x )max ＝f (－1)＝－12－5a 4

＝2，解得a ＝－2（舍）； （2）当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (x )max ＝f (a 2)＝a 24－a 4＋12

＝2，解得a ＝－2或a ＝3（舍）； （3）当a 2＞1，即a ＞2时，f (x )max ＝f (1)＝－12＋3a 4＝2，解得a ＝103．综上，a ＝－2或a ＝103． 已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋3，x ∈[－2，2]，

(1)当a ＝6时，求f (x )的最大值；

(2)a ∈R ，设f (x )的最大值为g (a )，求g (a )的取值范围．

(3) a ∈R ，设f (x )的最大值为h (a )，求h (a )的取值范围．

解：(1)当a ＝6时，f (x )＝－x 2＋6x ＋3＝－(x －3)2＋12，当x ＝2时，f (x )max ＝11．

(2)f (x )＝－x 2

＋ax ＋3＝－(x －a 2)2＋a 24＋3， a 米 4米 B

A D C

P