弦图综合应用
正方形弦图讲解及应用[讲解]
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正方形弦图讲解及应用
[例1] 如图，321l l l 、、是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两
条平行直线间的距离为h ，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上， 正方形ABCD 的面积是25.
（1） 连接EF,证明△ABE 、△FBE 、△ED 、△CDF 的面积相等
（2） 求h 的值
[例2] 已知，在直角梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,BC=3,设∠BDC=α,以D 为旋转中心，将腰DC 逆时针旋转90°至DE,连接AE,CE.
(1) 当α
=45°时，求△EDA 的面积 (2) 当α
=30°时，求△EDA 的面积 (3) 当0°＜α＜90°时，猜想△EDA 的面积与α大小有何关系？若有关系写出△EDA 的面积S 与α的关系式；若无关系，请证明结论
[例3] 如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG。
过A做AH⊥BC与H，AH的反向延长线与EG交与P，求证：BC=2AP
[例4] 如图，已知正方形ABCD边长为a，对角线AC、BD相交于点O，将另一边长为A的正方形OEFG的一个顶点放在O处，其相邻两边与正方形ABCD的相邻两边相交于M、N两点，当正方形OEFG绕着O点旋转任意角度时，请探索：在旋转过程中，两个正方形重叠部分图形的周长与面积是否发生变化，若变化，请求出其变化范围；若不变，请求出相应的定值
[例5]E、F分别是正方形ADCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF，H为垂足，求证：AH=AB
[例6]如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=√5，BP=√2，PC=1，求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长。
初中数学58种模型之29、弦图及推广图在三角形面积最大值中的应用
弦图及推广图在某些三角形面积最大值中的应用弦图由我国三国时期数学家赵爽发现与研究的，由四个全等的直角三角形拼成的内外都为正方形(外正方形的边为直角三角形的斜边)的一个图形，如下图1、弦(斜边)在外的弦图称为外弦图，如下图2中的弦在内的弦图称为内弦图.弦图一般用来证明勾股定理之外，笔者研究发现还可以用来求某些直角三角形面积最大值问题.例1.(1)求斜边为4的直角三角形面积的最大值；(2)求直角边之和为4的直角三角形面积的最大值.解：(1)如图3，取4个这样的全等直角三角形组成外弦图，直角三角形面积等于外正方形的面积减去内正方形面积的差再除以4的结果.外正方形的面积为16，当这种这种直角三角形的两条直角边相等时，内正方形的面积为0，直角三角形的面积最大，故斜边为4的直角三角形面积最大值为:16÷4=4.(2)如图4，取4个这样的全等直角三角形组成内弦图，同样，直角三角形面积等于外正方形的面积减去内正方形面积的差再除以4的结果.外正方形的面积为16，当内正方形的半径最小时，内正方形的面积取得最小值，而内正方形的半径最小值为2，此时直角三角形的两边相等，故直角三角形的面积最大值为：12×2×2=2.分析与反思：这2道问题略有不同，差别在于已知条件的不同，一个是斜边为定值，一个是直角边之和为定值，因而选择不同的弦图，那么为什么要选择弦图来解决这类问题呢？当然这2个问题的解决还有许多方法，不一一列举了，经过观察，我们能发现，首先，直角三角形最大角是直角，正多边形内角为直角的仅仅是正方形，而且，直角三角形两个锐角之和也为直角，因此，此类问题都可以运用弦图来解决.拓展：既然这类直角三角形面积最大值问题可以用弦图来解答，那么其他斜三角形的某些面积最大值能否找到类似方法呢？这是肯定的，但是仅限于特殊内角的三角形，大家看看例2.例2.(1)一个三角形的一条边为4，其对角为120°，求该三角形面积的最大值；(2)一个三角形的两边之和为4，这两边的夹角为120°，求该三角形面积的最大值.解：(1)如图5，取3个这样符合条件的全等三角形拼成正三角形，外正三角形的面积为：12×4×.当内正三角形面积为0，即该三角形为等腰三角形时，三角形面积有最大值，最大值为：(2)如图6，取6个这样符合条件的全等三角形拼成正六边形，外正六边形的面积为：12×4××6=当内正六边形面积最小，即半径最小，即半径垂直外正六边形的边时，内正六边形的边长为，面积为：12×.故这样的三角形面积最大值为：(.质疑：是否所有三角形面积最大值问题都有类似解法呢？我们下面来看看例3.例3.(1)一个三角形一个内角是45°，其对边为定值，求证：当该角的两条夹边相等时，该三角形的面积最大.(2)一个三角形一个内角是45°，该角的两条夹边之和为定值，求证：当这2条边相等时，该三角形的面积最大.证明：(1)如图7，取8个这样的三角形组成正八边形，45°角的对边为该正八边形的边.∵该三角形45°角所对的边为定值，∴该图形中的外正八边形的面积为定值.当45°角的两条夹边不等时，该图形会产生一个内正八边形，当45°角的两条夹边相等时，这8个三角形45°角的顶点会重合，从而不产生内正八边形.∴当该角的两条夹边相等时，该三角形的面积最大，恰等于这个正八边形面积的八分之一.(2)如图8，取8个这样的三角形按一定方向组成一个正八边形，45°角所对的边为正八边形的边，这样就形成了一个“八角星”，依次连接“八角星”的8个顶点，这样又产生了外正八边形.外正八边形和内正八边形之间的环形区域由8个两直角边为a b 、的直角三角形和8个两边为a b 、且夹角为45°的三角形组成.这两类三角形面积比值为：12ab ：1sin 452ab ︒.令环形面积为S，则这2个两类三角形面积之和为18S.∴这种三角形面积为：1818-=S.那么何种情形下，环形面积最大呢？显然，当a b =时，直角三角形的斜边(外正八边形的边)最大[例1(2)有详细严谨的证明]，而且45°角的对边c 最小(不是很严谨)，外、内正八边形的面积分别最大和最小，环形面积最大！∴当这2条夹边相等时，该三角形面积最大.分析与反思：例3(1)依然有类似于例1(1)、例2(1)的方法解决，但是例3(2)的解决之法与例1(2)、例2(2)的方法相去甚远，而且证明过程中对于内正八边形的最小面积的证明不是很有说服力，若要毫无破绽地证明，那么需要其他方面的知识！这与我们用更简单的方法来证明此类问题的目的背离了！这不如直接利用三角形面积公式1sinA 2S ab =、余弦定理和基本不等式来证明！原因何在？我们观察例1(2)与例2(2)，发现90°和120°都可以成为一个正多边形的内角，而没有任何一个正多边形的内角可以是45°！我们应当放弃这种方法！拓展：这类三角形面积最大值问题可分为两类：第一类为：已知一角的大小及对边的长度，第二类：已知一角的大小及两条夹边的长度之和.例1(1)、例2(1)、例3(1)都属于第一类，例1(2)、例2(2)、例3(2)都属于第二类.第一类对应的图形为图3、图5、图7，第二类对应的图形为图4、图6.这5个图形除了图3、图4称之为弦图，剩下3个图形都与弦图有很大的类似！我们不妨来个定义：对于有一个内角为α的三角形，把若干个这样的三角形拼成一个正多边形，象图3、图5、图7这样都是由剩下的2个内角的和作为正多边形的内角，我们称之为该三角形的“关联正多边形Ⅰ型”，象图4、图6这样直接由该角作为正多边形的内角，我们称之为干三角形的“关联正多边形Ⅱ型”.总结与归纳：此类三角形面积最大值问题能否类似于弦图来解决，关键在于这个三角形的某个内角或某2个内角之和能不能成为一个正多边形的内角.1.当有一个内角为α的三角形的对边已知，α能成为一个正多边形的外角(即剩下2个角的和可成为正多边形的内角)时，我们用“关联正多边形Ⅰ型”来证明或解答其面积最大值；2.当有一个内角为α的三角形，α能成为一个正多边形的内角，2条夹边和为定值时，我们用“关联正多边形Ⅱ型”来证明或解答其面积最大值.练习：求一个内角为150°，且2条夹边之和为8的三角形的面积最大值.。
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用
一、引言
三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将介
绍三角函数模型在实际问题中的简单应用，包括振动、音乐、天文等方面。
二、振动模型
振动是物理学中常见的现象，三角函数模型可以很好地描述振动的特性。
例如，在弹簧振子中，物体在平衡位置附近偏离并摆动，可以用正弦
函数描述振动的过程。
振动的周期、频率和振幅等因素可以通过三角函数
进行计算和预测。
三、音乐模型
音乐是艺术与科学的结合，三角函数模型在音乐中也有着重要的应用。
音乐的基本要素包括音高、音长和音色等。
三角函数可以帮助我们理解和
创建不同音调的声音，例如正弦函数可以生成纯音，而复杂的乐曲可以通
过多个三角函数的叠加来表示。
四、天文模型
三角函数模型在天文学中也扮演着重要的角色。
例如，我们可以使用
正弦函数来描述地球公转和自转的运动规律。
通过对三角函数模型的运用，我们可以计算出日出、日落以及季节变化等现象，并预测天文事件的发生
时间和位置。
五、结论
三角函数模型的简单应用涵盖了振动、音乐和天文等多个领域。
通过
对三角函数的理解和运用，我们可以更好地理解和解释各种现象，并进行
相关问题的计算和预测。
在实际应用中，对三角函数模型的灵活运用将有
助于我们解决各类问题。
三角函数图象及指导应用
函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.y Aωxφ如下表所示.x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 3.函数【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)作函数y ＝sin(x －π6)在一个周期的图象时，确定的五点是(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)这五个点．( × ) (2)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin(2x ＋π4)．( × ) (3)函数y ＝sin(x －π4)的图象是由y ＝sin(x ＋π4)的图象向右移π2个单位长度得到的．( √ )(4)函数y ＝sin(－2x )的递减区间是(－3π4－k π，－π4－k π)，k ∈Z .( × )(5)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0.( √ )(6)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．(2014·)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象．2．(2013·)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 ∵34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，∴T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，故选A.3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (23π)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3， 即f (x )在(π6，23π)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .列表，并描点画出图象：x －π6π12 π37π12 5π6X 0 π2 π 3π2 2πy ＝sin X 0 10 －1y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π30 2 0 －2 0(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(1)把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4(2)(2014·)将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[－π6，π3]上单调递减D ．在区间[－π6，π3]上单调递增答案 (1)A (2)B解析 (1)将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x－π2)，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程． (2)y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z . 令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故B 正确．画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故C ，D 错误．题型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( ) A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________． 答案 (1)D(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析 (1)∵f (x )(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.思维升华 根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最大值－最小值2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最大值＋最小值2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象知A ＝3，以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第一个零点，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3. (2)f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2(k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )． 题型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3 (2014·改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ<π2得k ＝0所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)， 当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小＝－32.思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得单调减区间． (4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得其对称中心．利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．解 (1)∵最小正周期为π.∴2πω＝π.即ω＝2.又∵直线x ＝π6是函数图象的一条对称轴，∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z .又∵φ∈(0，π2)，∴φ＝π6.又∵A ＝2，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6]＝2sin 2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin(2x －π3)．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 可得k π－π12≤x ≤k π＋512π，k ∈Z .即函数g (x )的单调递增区间是 [k π－π12，k π＋512π]，k ∈Z .三角函数图象与性质的综合问题典例：(12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期．(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期； (2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分]＝2sin(x ＋π3)，[5分]于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2][11分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分] 答题模板解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式．第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b2＋cos x ·b a 2＋b 2)．第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规． 温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝a b)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解.方法与技巧1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2．由图象确定函数解析式由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)． 失误与防1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如：先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化． 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域.A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．(2013·)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C ．0 D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.2．(2013·)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 答案 A解析 f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 所以最小正周期为π，振幅为1. 故选A.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( ) A ．[－7π12，5π12]B ．[－7π12，－π12]C ．[－π12，7π12]D ．[－π12，5π12]答案 D解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2.∴取k ＝0，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.4.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( ) A ．－5安 B ．5安 C ．53安 D ．10安答案 A解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值围是( )A ．(－∞，－92]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－92]∪[32，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[32，＋∞)答案 D解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)．6.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12，因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝12cos πx ，∴f (16)＝12cos π6＝34.7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.答案 20.5解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋A ＝28，a －A ＝18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)， 当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝20.5.8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题是________． 答案 ③④解析 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题； f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．9．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)．(1)求f (2π3)的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．解 (1)f (2π3)＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－(12)2＝－14.(2)f (x )＝cos x cos(x －π3)＝cos x ·(12cos x ＋32sin x )＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＝12cos(2x －π3)＋14. f (x )<14等价于12cos(2x －π3)＋14<14，即cos(2x －π3)<0，于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z .解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )<14成立的x 的取值集合为{x |k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z }．10．(2014·)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，则φ的一个可能取值是( ) A.π12 B.π6 C.5π6 D.7π12答案 D解析 图像F ′对应的函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ， 则π4＋π6＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－5π12，k ∈Z ， 当k ＝1时，φ＝7π12，故选D. 12．已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期的图象上的四个点，如图所示，A (－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6答案 A 解析 因为CD →在x 轴上的投影为π12，又点A (－π6，0)，所以函数的四分之一个最小正周期为π6＋π12＝π4.即函数的最小正周期为π，故ω＝2ππ＝2. 又点A (－π6，0)是处于递增区间上的零点，所以2×(－π6)＋φ＝2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．又因为0<φ<π2，所以φ＝π3.故选A. 13．(2014·)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数的解析式为_________________________． 答案 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6 解析 据已知两个相邻最高点和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6. 14．(2014·)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)验室这一天的最大温差；(2)若要验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解 (1)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin(π12t ＋π3)， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3， －1≤sin(π12t ＋π3)≤1. 当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1； 当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1. 于是f (t )在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)， 故有10－2sin(π12t ＋π3)>11， 即sin(π12t ＋π3)<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6， 即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．15．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2. (1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，数k 的取值围．解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)． (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)， 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3， 所以g (x )∈[－32，1] 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值围是(－32，32]∪{－1}．。
赵爽弦图中考数学
赵爽弦图备战2013年中考数学——精华综合型问题解析（五）1. （2011安徽芜湖，15，5分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数ky x=经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为（422-）的圆内切于△ABC ，则k 的值为 ．【解题思路】由等腰Rt △ABC 的内切圆半径，求出正方形的边长，再由正方形的性质求出对角线的交点坐标，最后代入ky x=求出k 值.设正方形边长为a ，则AC=BC=a ，AB=a ，∵Rt △ABC 的内切圆半径为（422-），∴ = 422-，解得： = 4，由正方形的性质得对角线的交点坐标为（2，2），代入ky x=得k=2×2= 4. 【答案】4.【点评】在平面直角坐标系中将正方形、三角形、圆、反比例函数图像有机地组合起来，综合运用相关知识才能使问题得以解决是本题的一大亮点. 解决问题的关键是求出正方形对角线的交点坐标.而利用直角三角形的内切圆半径与三边关系的规律求正方形边长是一个难点，求出正方形边长后再利用正方形的性质求对角线的交点坐标又是一个重点.难度较大. 2. 三、解答题1. （2011安徽，23，14分）如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）. (1)求证h 1=h 3；(2)设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S ＝(h 1＋h 2)2＋h 12； (3)若12312h h +=,当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况.【解题思路】可构造全等三角形来解决第（1）、（2）两个问题，由二次函数的性质来解决第三个问题.. 【答案】证明：（1）过A 点作AF ⊥l 3分别交l 2、l 3于点E 、F ，过C 点作CH ⊥l 2分别交l 2、l 3于点H 、G ，∵l 1∥l 2∥l 3∥l 4，∴AF ⊥l 2 ，CH ⊥l 3，h 1=AE ，，h 3=CG,由同角的余角相等得：∠CDG=∠DAF=∠ABE ，∠AEB=∠CGD=90°，AB=CD ，∴△ABE ≌△CDG,∴AE=CG ，∴. h 1=h 3.证明：（2）由（1）同理可证：△ABE ≌△BCH ≌△CDG ≌△DAF,且两直角边长分别为h 1、h 1+h 2,四边形EFGH 是边长为h 2的正方形， ∴()2122122212122211)(22214h h h h h h h h h h h S ++=++=++⨯=. (3)由题意，得12321h h -=， 则：5452451452312112121211+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=h h h h h h S又⎪⎩⎪⎨⎧〉-〉0231011h h 解得0＜h 1＜32 ∴当0＜h 1＜52时，S 随h 1的增大而减小；当h 1=52时，S 取得最小值54；当52＜h 1＜32时，S 随h 1的增大而增大.【点评】本题以正方形、平行线以及平行线间的距离为背景设计问题，旨在考查添加辅助线构造全等三角形以及二次函数模型来解决问题的能力，三个问题可谓是由简单到复杂，环环相扣，层层推进.辅助线添第23题图HE FG第23题图加后，立即出现了赵爽玄图，可谓是独具匠心；“S 随h 1的变化情况”设计是常规问题中的一个创新尝试，并将代数式变形以及考虑解决问题的全面性上升到一定的高度！难度较大. 2. （2011广东省，21，9分）如图，抛物线1417452++-=x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N. 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.【解题思路】（1）解决关键是由B 点坐标求出直线解析式，发现四边形ACBD 是正方形．（2）将C 、D 两点坐标代入抛物线解析式构造二元一次方程组求解．（3）是存在的，需要由EM∥x 轴理解E ，M 两点的纵坐标相同，进一步理解E ，M 两点关于抛物线的对称轴对称．【答案】（1）易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB 的解析式为y=121+x （2） )30(41545)121(14174522≤≤+-=+-++-=-==t t t t t t MP NP MN s （3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN=BC ，此时，有25415452=+-t t ，解得11=t ，22=t 所以当t=1或2时，四边形BCMN 为平行四边形.①当t=1时，23=MP ，4=NP ，故25=-=MP NP MN , 又在Rt △MPC 中，2522=+=PC MP MC ，故MN=MC ，此时四边形BCMN 为菱形②当t=2时，2=MP ，29=NP ，故25=-=MP NP MN ,又在Rt △MPC 中，522=+=PC MP MC ，故MN ≠MC ，此时四边形BCMN 不是菱形.【点评】此题是一道解析几何问题，综合考查了二次函数、一次函数、正方形、抛物线的平移等知识，需要学生系统掌握待定系数法，数形结合及分类讨论的数学思想，才能很好的解答．（1）（2）两问设计简洁明快，上手容易．第（3）问属于存在探究性问题，这类问题往往是要判断符合条件的关系式或结论是否存在，解答时，可以先对其做出肯定的假设，然后由此出发，结合已知条件进行计算和推理论证，若推出矛盾结论，则可否定先前假设，若推出合理结论，则肯定假设正确，从而最终得出问题的结论．难度较大. 3. （2011贵州安顺，27，12分）如图，抛物线y =21x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．【解题思路】（1）将点A 坐标代入y =21x 2+bx －2即可求出抛物线解析式，利用配方或顶点坐标公式即可求出点D 坐标。
专题材料-第3讲：弦图专题-讲义
弦图专题弦图弦图1.利用弦图或其衍生图来解决数学问题；2.弦图相关题型中，掌握作辅助线构造图形的方法。
1.勾股定理的应用；2.外弦图；3.内线弦图。
赵爽，又名婴，字君卿。
中国古代数学家、天文学家。
他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。
其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。
它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。
开方除之，即弦。
”证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。
”勾股定理的利用勾股定理的证明方法是多样的，而它们的共性是利用图形的面积证明。
在解题的过程中灵活的应用勾股定理：直角三角形↔三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
例1.(1)图(a)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图(b)所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是______。
(2)如图(c)所示，直线L 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的面积是5和11，则b 的面积为_________。
练习1.勾股定理被誉为“几何明珠”,在数学的发展历程中占有举足轻重的地位.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入长方形内得到的,︒=∠90BAC ,3=AB ,4=AC ,点D、E、F、G、H、I都在长方形KLMJ 的边上,则长方形KLMJ 的面积为()A.90 B.100 C.110 D.121方法1：直接利用勾股定理；方法2：把勾股定理和正方形面积联系到一起。
例2.如图,正方形ABCD 的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH,则线段GH 的长为()A.538 B.22 C.514D.25练习1.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，……，按照此规律继续下去，则9S 的值为（）。
苏教版五年级上册数学巧用“弦图”解决面积问题课件
B、C：220－100＝120（平方米） 120÷2＝60（平方米）
A：60÷10＝6（米） 6×6＝36（平方米）
答：小正方形实验田的面积是36平方米。
B
D
10米
A6米
C
四、练习巩固。
如图，用四个相同的长方形拼成一个面积为100平 方厘米的大正方形，每个长方形的周长是多少厘米？ 10厘米
12－1×4＝8（平方米）
8÷4＝2（平方米）
2÷1＝2（米）
2＋1＋1＝4（米）
4×4＝16（平方米）
答：大正方形的面积是16平方米。
方法四
有一大一小的两个正方形（如右图），
对应边之间相距1米，如果夹在两个正方形之
间的部分的面积为12平方米，那么大正方形
的面积是多少呢？
12÷2＝6（平方米）
6×2÷2＝6（米）
因为100＝10×10 所以大正方形的边长＝10厘米 长方形的长+宽＝大正方形的边长＝10厘米 每个长方形的周长＝10×2＝20厘米 答：每个长方形的周长是20厘米。
谢谢大家
2米
上下底之和是6米， 上下底之差是2米。
（6＋2）÷2＝4（米）
4×4＝16（平方米） 答：大正方形的面积是16平方米。
视察例1，解决这个问题关键要做什么?
在求面积过程中我们可以根据“弦图”巧添辅助线， 关键是将图形转化成已学过的图形，从而解决问题。
三、美丽的“弦图”
四、练习巩固。
有一大一小的两个正方形实验田（如右图）， 它们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么 小正方形实验田的面积是多少平方米？
12÷4=3（平方米）
3÷1＝3（米）
正方形其三：弦图的应用
弦图的应用在勾股定理的证明中，我们学习过赵爽弦图，如下，有△AED ≌△BF A ≌△CGB ≌DHC ．EF GHCDAB稍作变形，若DE ⊥AF ，则可得：△DAE ≌△ABF ．（证明思路类似三垂直模型）一般地，在正方形ABCD 中，若MN ⊥PQ ，则必有MN =PQ ．HMNPQCD AB法一：分别将PQ 、MN 平移至AF 、DE 位置（作平行线）证明AF =DE 即可．E F BA D CQPNM法二：过点P 作PE ⊥BC ，过点N 作NF ⊥AB 交AB 于点F ，易证△PEQ ≌△NFM ．M反之，若已知PQ =MN ，但不一定存在PQ ⊥MN ． 如下：EF =PQ =MN ，但EF 不与MN 垂直．EF BAD CQPNM由位置关系可推数量关系， 但由数量关系未必可推位置关系．其他结论：（1）弦图与对称：对称点连线被对称轴垂直且平分．A'B'MNCD AB将正方形ABCD 沿MN 折叠，则'AA MN 且'AA ⊥MN ． （2）弦图与辅助圆：垂足H 轨迹是个圆弧（定边对直角）以AD 中点M 为圆心，MA 为半径的圆，两端分别的点A 及对角线交点O ． （3）弦图与四点共圆：C 、D 、H 、F 四点共圆．连接DF ，取DF 中点N ，以点N 为圆心，DN 为半径作圆，C 、D 、H 、F 四点共圆． 特别地，若E 、F 分别是AB 、BC 中点，连接CH ，则CH =CD ．证明：∵∠CHD =∠CFD =∠AED =∠CDE ，∴CH =CD ．（4）矩形中的弦图构造：在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且AF ⊥DE ，则AF ABDE AD=． ABC DE FH证明：易证△ABF ∽△DAE ，∴AF ABDE AD=．1．（2018·青岛）如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E 、F 分别在AD 、DC 上，2AE DF ==，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为 ．EFGHCDAB【分析】∵AE =DF ，易证△BAE ≌△ADF ， ∴∠ABE =∠DAF ，∵∠DAF +∠BAG =90°，∴∠ABE +∠BAG =90°，∴∠AGB =90°． ∵DF =2，∴CF =3，∴BF ==∴12GH BF ==故GH．2．（2018·聊城）如图，正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连接AE ，过B 点作BH AE ⊥，垂足为点H ，延长BH 交CD 于点F ，连接AF ． （1）求证：AE BF =．（2）若正方形边长是5，2BE =，求AF 的长．EFH CDAB【分析】（1）易证：△ABE ≌△BCF ，∴AE =BF ． （2）CF =BE =2，DF =3，∴AF =3．（2018·上海）已知：如图，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE ⊥AP ，DF ⊥AP ，垂足分别是点E 、F ． （1）求证：EF ＝AE ﹣BE ； （2）连接BF ，如果AF DFBF AD=．求证：EF ＝EP ． EFPCDAB【分析】（1）易证△DF A ≌△AEB ，∴AF =BE ，∵EF =AE -AF ，∴EF =AE -BE ． （2）∵△DF A ≌△AEB ，∴AF =BE ，∴BE AF DFBF BF AD==， EFPCDAB∴△BEF ∽△DF A ，易证△BEP ∽△DF A ，∴△BEF ∽△BEP ， 又BE 是公共边，∴△BEF ≌△BEP ，∴EF =EP ．4．（2018·长春）在正方形ABCD 中，E 是边CD 上一点（点E 不与点C 、D 重合），连结BE ．图1图2图3E CDABGMMGBADCFEEF CDAB【感知】如图①，过点A 作AF BE ⊥交BC 于点F ．易证ABF BCE ∆≅∆．（不需要证明） 【探究】如图②，取BE 的中点M ，过点M 作FG BE ⊥交BC 于点F ，交AD 于点G ． （1）求证：BE FG =．（2）连结CM ，若1CM =，则FG 的长为 ．【应用】如图③，取BE 的中点M ，连结CM ．过点C 作CG BE ⊥交AD 于点G ，连结EG 、MG ．若3CM =，则四边形GMCE 的面积为 ．【分析】（1）过点A 作AP ∥GF ，则四边形APFG 是平行四边形，∴AP =FG ，PEFCDABGM又∵GF ⊥BE ，∴AP ⊥BE ，由题意得△ABP ≌△BCE ，∴AP =BE ，∴BE =FG ． （2）如图，若CM =1，则BE =2CM =2，∴FG =BE =2．EFCDABGM（3）若CM =3，BE =6，∵CG ⊥BE ，∴CG =6，考虑四边形GMCE 对角线互相垂直，∴1136922GMCE S ME CG =⋅=⨯⨯=四边形．故四边形GMCE 是面积为9．5．（2019·广西）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一个动点（点E 与点A ，B 不重合），连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于点G ，交AD 于点F ． （1）求证：△ABF ≌△BCE ；（2）如图2，当点E 运动到AB 中点时，连接DG ，求证：DC DG =；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C 作CM DG ⊥于点H ，分别交AD ，BF 于点M 、N ，求MNNH的值． 图3图2图1NHM E F G CDABBADCGFE E FGCDAB【分析】（1）∵∠ABF +∠CBG =90°，∠BCE +∠CBG =90°，∴∠ABF =∠BCE ，在△ABF 和△BCE 中， ABF BCEAB BCBAF CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABF ≌△BCE （ASA ）．（2）∵∠CDF =∠CGF =90°，故C 、D 、F 、G 四点共圆，连接CF ，取中点O ，点O 即为圆半径．∴∠DGF =∠DCF ，∵点F 是AD 边中点，∴∠FCD =∠FBA =∠BCE ， ∴∠DGF =∠BCE ，∴∠DGC =∠DCG ，∴DG =DC ． （3）tan ∠DGC =tan ∠DCG =2，∴1tan 2GCN ∠=， 不妨设BC =，则BG =a ，CG =2a ，∴NG =a ，CN=， 又CH ，∴NH =． 易证3tan4DCM ∠=，∴CM，∴MN =． ∴54MH NH =．6．（2018·杭州）如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上（不与点B ，C 重合），连结AG ，作DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ，设BGk BC=． （1）求证：AE ＝BF ．（2）连结BE ，DF ，设∠EDF ＝α，∠EBF ＝β．求证：tan α＝ktan β．（3）设线段AG 与对角线BD 交于点H ，△AHD 和四边形CDHG 的面积分别为S 1和S 2，求21S S 的最大值． EFGCDAB【分析】（1）易证△AED ≌△BF A ，∴AE =BF ． （2）tan BG BGBAG k BA BC∠===，设DE =a ，则AF =a ， tan AE BF a BAG ak ==⋅∠=，∴()1EF a ak k a =-=-．()1tan 1k a EF k DE a α-===-，()11tan k a EF kBF ak kβ--===，∴tan tan k αβ=⋅． （3）设正方形边长为单位1，则BG =k ，1CG k =-，易证△BHG ∽△DHA ，∴GH BGk AH AD==， HBADCGFE连接DG ，则DHG DHAS k S=，又11=22AGDABCD SS =正方形， 即1111222AHDSk k =⋅=++，11222DHGk kS k k =⋅=++， 又()111122DGC kS k -=⋅-⋅=，∴221122222k k k k S k k --++=+=++， 2211S k k S =-++，当12k =时，取到最大值54， ∴当12k =时，21S S 的最大值为54．7．（2019·襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．①求证：DQ AE =； ②推断：GFAE的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，(BCk k AB=为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当23k =时，若3tan 4CGP ∠=，GF =，求CP 的长．ABCD E FGHOP图1图2GO Q E F CD AB【分析】（1）①易证△DAQ ≌△ABE ，∴DQ =AE ．②易证四边形DGFQ 是平行四边形，∴FG =DQ ，∴FG =AE ，∴1GF AE =． （2）如图，过点F 作FM ⊥CD 交CD 边于M 点，易证△FMG ≌△ABE ，∴FG FM BC k AE AB AB ===． （3）∵GF =23GF AE =，∴AE = ∵PG ∥EF ，CG ∥BF ，易证∠CFP =∠BFE ，∴3tan 4BFE ∠=， ∴4BF =，5AF EF ==，3BE =，过点P 作PQ ⊥BC 交BC 延长线于点Q ，易证△FBE ∽△EQP ，∴FB FE BE EQ EP QP ==，代入得：4536EQ PQ ==，解得：185PQ =，245EQ =， ∴95CQ EQ EC =-=，∴CP ．。
专题23 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-2021年新高考数学基础考点一轮复习
专题23 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【考点总结】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3. 【常用结论】1．两种图象变换的区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度．②先周期变换(伸缩变换)，再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度．即图象的左右平移变换是针对x 而言的，应是x 本身加减多少，而不是ωx 加减多少． 2．周期与对称性之间的关系(1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期；(2)正切曲线相邻的两对称中心之间的距离是12周期．3．对称轴(对称中心)与函数值的关系在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0，0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0. 【易错总结】(1)搞错图象平移的单位长度； (2)搞错横坐标伸缩与ω的关系；(3)搞不清f (x )在x ＝π2处取最值；(4)确定不了解析式中φ的值．例1．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选D.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 故选D.例2．函数y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．解析：根据函数图象变换法则可得． 答案：y ＝sin 12x例3．若函数f (x )＝sin ωx (0<ω<2)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________． 解析：由题意知当x ＝π3时，函数取得最大值，所以有sin ωπ3＝1，所以ωπ3＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以ω＝32＋6k (k ∈Z )，又0<ω<2，所以ω＝32.答案：32例4．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________． 解析：将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.答案：π6【考点解析】【考点】一、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 例1、已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 【解】 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2， 周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin(2x ＋π3)＝2sin X .列表如下：(3)法一：把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象； 再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 法二：将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象．(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．【变式】1．函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象可以由函数y ＝cos 2x 的图象 ( )A ．向右平移π6个单位长度得到B ．向右平移π3个单位长度得到C ．向左平移π6个单位长度得到D ．向左平移π3个单位长度得到解析：选A.将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝sin 2x 的图象，再将y ＝sin 2x的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象，综上可得，函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象可以由函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选A.【变式】2．将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝cos 2x ＋sin 2x 的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12解析：选D.将函数y ＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝2cos(x＋π4－φ)的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝2cos(1a x ＋π4－φ)的图象，又y ＝2cos(1a x ＋π4－φ)＝cos 2x ＋sin 2x ＝2cos(2x －π4)，所以1a ＝2，π4－φ＝－π4＋2k π(k ∈Z )，所以a ＝12，又φ>0，所以φ＝π2＋2k π(k ∈N )，结合选项知选D.【变式】3．(2020·福州模拟)若ω>0，函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos(ωx －ωπ3＋π3)的图象．因为所得函数图象与y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：52【考点】二、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例1、 (1)如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，|φ|<π2)的图象过点(0，3)，则f (x )的函数解析式为( )A ．f (x )＝2sin(2x －π3)B ．f (x )＝2sin(2x ＋π3)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)D ．f (x )＝2sin(2x －π6)(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f (－π3)＝________.【解析】 (1)由题意知，A ＝2，函数f (x )的图象过点(0，3)，所以f (0)＝2sin φ＝3，由|φ|<π2，得φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．故选B. (2)由函数的图象可得A ＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，则2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以f (－π3)＝－62.【答案】 (1)B (2)－62确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.【变式】1．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象是( )解析：选A.由y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫－π12，2，故排除C.故选A. 【变式】2．(2020·安徽黄山毕业班第二次质量检测)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫5π6，－1 B ．⎝⎛⎭⎫π12，0 C.⎝⎛⎭⎫π12，－1D ．⎝⎛⎭⎫5π6，0解析：选A.由题图得⎝⎛⎭⎫π3，－1为f (x )图象的一个对称中心，T 4＝π3－π12，所以T ＝π，从而f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π3＋k π2，－1(k ∈Z )，当k ＝1时，为⎝⎛⎭⎫5π6，－1，选A. 【考点】三、三角函数图象与性质的综合应用 角度一 三角函数图象与性质的综合问题例1、(2020·河南郑州三测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，要使f (a ＋x )－f (a －x )＝0成立，则a 的最小正值为( )A.π12B ．π6 C.π4D ．π3【解析】 由函数图象可得，函数的最大值为2，即A ＝2.因为函数图象过点(0，1)，即f (0)＝1，所以sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫11π12，0，所以f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫ω×11π12＋π6＝0， 又x ＝11π12在函数f (x )的单调递增区间内，所以令11π12ω＋π6＝2k π(k ∈Z )，解得ω＝24k －211(k ∈Z )．由函数图象可得最小正周期T >11π12，即2πω>11π12，解得ω<2411.又ω>0，故k ＝1，从而ω＝2211＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由f (a ＋x )－f (a －x )＝0，得f (a ＋x )＝f (a －x )，所以该函数图象的对称轴为直线x ＝a . 令2a ＋π6＝n π＋π2(n ∈Z )，解得a ＝n 2π＋π6(n ∈Z )．要求a 的最小正值，只需n ＝0，得a ＝π6，故选B.【答案】 B求解该题的难点是ω的确定，需要根据函数的周期与函数的零点所在位置列出条件，x ＝11π12在函数的单调递增区间内，如果忽视这个隐含条件，就会得到11π12ω＋π6＝k π(k ∈Z )，从而产生增解，无法得到正确的选项．故根据函数图象确定函数解析式时，要准确定位函数图象的特征性质． 角度二 函数零点(方程根)问题例2、(2020·湖南株洲二模)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－a ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8恰有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫5π4，11π8 B ．⎣⎡⎭⎫9π4，7π2 C.⎝⎛⎦⎤5π4，11π8D ．⎝⎛⎦⎤9π4，7π2【解析】 由题意得方程cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝a ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8有三个不同的实数根． 画出函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8的大致图象，如图所示．由图象得，当22≤a <1时，方程cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝a 恰好有三个不同的实数根． 令2x －π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝π8＋k π2，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π8.不妨设x 1<x 2<x 3，由题意得点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝π8对称，所以x 1＋x 2＝π4.又结合图象可得π≤x 3<9π8，所以5π4≤x 1＋x 2＋x 3<11π8.故x 1＋x 2＋x 3的取值范围为⎣⎡⎭⎫5π4，11π8.故选A. 【答案】 A巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程或不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的特征确定方程的解或不等式的解集．故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决问题的关键． 【变式】1．(2020·山东烟台3月模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且f ⎝⎛⎭⎫πω＝－12，则当ω取最小值时，函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6 解析：选C.将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象向右平移π6个单位长度后，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋φ的图象． 因为所得函数图象关于y 轴对称，所以－ωπ6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得ω＝－6k －3＋6φπ，k ∈Z .又f ⎝⎛⎭⎫πω＝－12＝sin ()π＋φ＝－sin φ，即sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.所以ω＝－6k －2，又ω>0，所以取k ＝－1，可得ωmin ＝4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6.故选C.【变式】2．(2020·新疆乌鲁木齐二检)若关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 在区间(]0，π上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，2)B ．[0，2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋1)解析：选A.关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 可化为sin 2x ＋cos 2x ＝m －1，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝m －12.易知sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝m －12在区间(0，π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4.令2x ＋π4＝t ，即sin t ＝m －12在区间⎝⎛⎦⎤π4，9π4上有两个不同的实数根t 1，t 2. 作出y ＝sin t ⎝⎛⎭⎫π4<t ≤9π4的图象，如图所示， 由|x 1－x 2|≥π4得|t 1－t 2|≥π2，所以－22≤m －12<22， 故0≤m <2，故选A.。
弦图的几例应用_宋晶靓
北京市枣营中学（１００１２５） 宋晶靓 人教版初中数学八年级下册中，应用我国古代数学家赵爽构造的“弦图”（如图１）证明了勾股定理，数形结合，招法俊巧，过程简捷，深受师生的欢迎．正如课本所说：“赵爽弦图表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．”今天，我们应用“赵爽弦图”证明几道中考数学题和初中数学竞赛中的正方形问题，发扬我国古代数学的光辉，过程依然是简单明了．一、赵爽弦图的结构特征首先我们分析赵爽弦图的几何构造特征，应用时就不再一一证明了．１．如图１所示，赵爽弦图是以四个全等的直角三角形的斜边ｃ为边长的正方形，其中的小正方形的边长为该直角三角形两直角边之差ｂ－ａ（ｂ＞ａ）．图１图２２．如图２所示，延长直角三角形ＡＢＥ的直角边ＡＥ，与ＢＣ相交于点Ｐ，因为ＥＰ∥ＦＣ，所以ＢＰ：ＰＣ＝ＢＥ：ＥＦ，从而把大正方形ＡＢＣＤ的分割边长之比与直角△ＢＦＣ的分割边长之比建立了等量关系．３．如图２所示，四边形ＡＥＣＧ为平行四边形，大正方形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与小正方形ＨＥＦＧ的对角线ＧＥ互相平分，即大正方形与小正方形的中心重合．还有如图２中有与△ＢＥＰ全等的四小直角三角形等等，我们就不一一说明了．二、弦图的应用例１ （２０１４年重庆中考数学试题）如图３所示，正方形ＡＢＣＤ的边长为６，点Ｏ是对角线ＡＣ、ＢＤ的交点．点Ｅ在ＣＤ上，且ＤＥ＝２ＣＥ，连接ＢＥ．过点Ｃ作ＣＦ⊥ＢＥ，垂足是Ｆ，连接ＯＦ，则ＯＦ的长为．此题是２０１４年重庆中考的填空题的第１８题，为填空题的压轴题，难度大，在原证明中要利用四点共圆，相似三角形等知识才能证明，我们观察到Ｒｔ△ＢＣＦ是以正方形ＡＢＣＤ的边为斜边的直角三角形，从而想到应用赵爽弦图．解 如图３，添加辅助线，构造弦图，易知点Ｏ为小正方形ＦＧＩＨ的中心，于是ＯＦ应是为小正方形对角线的一半．下面的步骤是先求出小正方形的边长ＦＧ，后确定ＯＦ的长．图３在Ｒｔ△ＢＣＥ中，∵ ＣＥ＝２，ＢＣ＝６，∴ ＢＥ＝ＢＣ２＋ＣＥ槡２＝６２＋２槡２槡＝２ １０．∵ ＣＦ⊥ＢＥ，∴ ＢＥ·ＣＦ＝ＢＣ·ＣＥ．∴ ＣＦ３ ＝槡１０５．∵ ＥＦ∥ＧＤ，∴ ＣＥＤＥ＝ＣＦＧＦ＝１２．∴ ＧＦ＝２ＣＦ６ ＝槡１０５．数学竞赛之窗从而 ＯＦ＝ＦＧ槡２＝６槡１０５槡２＝６槡５５．例２ （２００７年浙江省初中数学竞赛题）如图４所示，以Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边ＢＣ为一边，在△ＡＢＣ的同侧作正方形ＢＣＥＦ，设正方形的中心为Ｏ，连结ＡＯ，若ＡＢ＝４，ＡＯ＝６槡２，那么ＡＣ的长等于（ ）．图４（Ａ）１２ （Ｂ）１６ （Ｃ）４槡３ （Ｄ）８槡２我们看到的解答要用到四点共圆，添加辅助线方法奇特，考生不易想到，依然是Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边为正方形ＢＣＥＦ的一边，构造弦图可简解之．解 如图４所示，构造弦图，易知大正方形ＢＣＥＦ的中心Ｏ也为小正方形ＡＧＨＫ的中心，ＯＡ为小正方形对角线的一半．因此 ＡＫ＝槡２ＯＡ＝槡２×６槡２＝１２．又可知 ＣＫ＝ＡＢ，所以 ＡＣ＝ＡＫ＋ＫＣ＝１２＋４＝１６．故选（Ｂ）．因为是选择题，添出弦图后，心算即可．得正确答案，这是解选择题的上策．例３ （２００４年河北省初中数学竞赛试题）如图５所示，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，ＢＤ是中线，ＡＥ⊥ＢＤ交ＢＣ于点Ｅ，求证：ＢＥ＝２ＥＣ．这是一道非常优秀的几何题，把ＢＥ＝２ＥＣ变化为ＥＣＢＥ＝１２有多种证法，并且有种种推广，我们应用弦图再一次证明它．证明 如图５所示，把等腰直角△ＡＢＣ补全为正方形ＡＢＮＣ，∵ ＡＥ⊥ＢＤ，设垂足为Ｆ，图５∴ Ｒｔ△ＡＦＢ是以正方形ＡＢＮＣ一边ＡＢ为斜边．因此作赵爽弦图．∵ Ｄ为ＡＣ的中点，∴ Ｐ、Ｒ、Ｑ分别为ＣＮ、ＮＢ、ＢＡ的中点．在△ＣＭＮ中，ＰＥ∥ＮＭ，Ｐ为ＣＮ的中点，从而 ＣＥ＝ＥＭ．在△ＢＡＥ中，ＱＭ∥ＡＥ，Ｑ为ＢＡ的中点，又有 ＢＭ＝ＭＥ．所以 ＢＥ＝２ＥＣ．总而言之，凡正方形中，有以其一边为斜边的直角三角形问题，不妨画出赵爽弦图，观察弦图是否有功效，这样的数学活动经验我们应当掌握，往往能事半功倍．（责审 周春荔櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒毃毃毃毃）智慧窗《剪剪拼拼》参考答案。
专题12 正方形三弦图的应用-中考数学几何考点解题策略研究
H F
N
M
G
A
E
B
图3
【分析】 （1）∵∠ABF +∠CBG=90°，∠BCE +∠CBG=90°，∴∠ABF =∠BCE ，
在△ABF 和△BCE 中，
AG
D
E M
B
F
C
（3）若 CM=3，B E=6，∵CG⊥BE，∴CG=6，
考虑四边形
GMCE
对角线互相垂直，∴ S四边形GMCE
1 ME CG 2
1 36 2
9．
故四边形 GMCE 是面积为 9．
5.（2019·广西）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一个动点（点 E 与点 A ， B 不重合），连接 CE ，过点 B 作 BF CE 于点G ，交 AD 于点 F ．
（1）求证：△ABF ≌△BCE ； （2）如图 2，当点 E 运动到 AB 中点时，连接 DG ，求证： DC DG ； （3）如图 3，在（2）的条件下，过点 C 作CM DG 于点 H ，分别交 AD ，BF 于点 M 、
N ，求 MN 的值． NH
D
C
D
C
D
C
F G
A
E
图1
F
B
A
G
E
B
图2
中物理
三弦图的应用
在勾股定理的证明中，我们学习过赵爽弦图，如下，有△A ED≌△BFA≌△CGB ≌DHC．
A E
D H
F B
G C
稍作变形，若 DE⊥AF ，则可得：△DAE ≌△ABF ．（证明思路类似三垂直模型）
A
D
H E
B
F
C
第13讲巧解弦图与面积
第13讲巧解“弦图”与面积巧点睛——方法和技巧三国时期，吴国数学家赵爽在为数学巨著《周髀算经》注释时，就得用“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。
“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小下方形，如图所示。
“弦图”的特点：（1）小长方形长宽之各=大正方形边长；（2）小长方形长宽之差=小正方形边长。
根据“弦图”中大、小正方形与长方形的关系，我们可以得到一些面积问题的解题思路。
巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点睛【例1】如右图，正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为10，阴影长方形的面积为6，那么图中四边形ABCD的面积是。
解由题给条件“正方形与阴影长方形的边分别平行”（或直观上观察）知，正方形四角处的四个四边形都为长方形，而四边形ABCD的各边都分别平分这四个长方形，所以，四边形ABCD的面积=四角处四个长方形面积和的一半+6=（10×10-6）÷2+6=47+6=53。
做一做1 四个一样的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方图1图2形（如右图），大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。
问：长方形的短边是几米？【例2】如图1，有一大一小两个正方形，对应边之间的距离都是1厘米。
如果夹在两正方形之间的面积是12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？分析 要求出大正方形的面积，只要先求出大正方形或小正方形的边长即可。
下面设法求这两个量中的某个量。
图2与图1有类似之处，添辅助线将图1变成图2，就成了一人“弦图”。
图2中小正方形外围的四个长方形的形状和面积都一样，这样其中一个的面积为12÷4=3（厘米2）。
又因为这个长方形的宽为1厘米，所以长方形的长为3÷1=3（厘米）。
大正方形的边长为4厘米，这样就可以求出面积了。
解法1 一个长方形的面积：12÷4=3（厘米2）， 长方形的长：3÷1=3（厘米）， 大下正方形的边长：3+1=4（厘米）， 大正方形的面积：4×4=16（厘米2）。
《区间图弦图和完美》课件
完美图的绘制方法
使用区间图和弦图绘制完美图
在区间图中，每个节点表示一个区间，如果两个区间有公共部分，则它们之间有一条边相连。在弦图中，每个 节点表示一个弦，如果两个弦有公共部分，则它们之间有一条边相连。通过将区间图和弦图结合起来，可以绘 制出完美图。
使用其他图形绘制完美图
除了使用区间图和弦图外，还可以使用其他图形来绘制完美图。例如，可以使用圆形来表示节点，如果两个圆 形有公共部分，则它们之间有一条边相连。
01
02
03
连通性
弦图中的所有节点都是连 通的，即任意两个节点之 间都存在一条路径。
路径长度
弦图中的任意两个节点之 间的路径长度最多为O(n) ，其中n为节点数目。
算法复杂度
对于一些特定的弦图问题 ，如最短路径、最小生成 树等，存在高效的算法和 数据结构。
弦图的绘制方法
基于规则的绘制
根据一定的规则和参数生 成弦图，并使用绘图软件 进行绘制。
三种图形的发展趋势与未来研究热点
1
区间图的发展趋势
随着大数据和人工智能技术的不断发展 ，区间图的应用场景将更加广泛。未来 ，区间图可能会与机器学习算法相结合 ，用于更准确地预测和决策。同时，区 间图的可视化效果和交互性也将得到进 一步优化。
2
弦图的发展趋势
弦图作为一种表示数据关系的图形，未 来研究将更加注重挖掘数据之间的潜在 规律和模式。通过结合机器学习和人工 智能技术，弦图可能会在诸如社交网络 分析、生物信息学等领域发挥更大的作 用。此外，弦图的可视化效果和交互性 也将得到进一步研究和改进。
04
区间图、弦图和完美图的应用场景
区间图的应用场景
区间图常用于展示数据的变化范围和 分布情况，例如股票价格波动、气温 变化等。
三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型(学生版)
三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。
弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。
弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。
一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。
广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。
模型1、弦图模型(1)内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。
图1图2图3(2)外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。
(3)内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH =S正方形ABCD+S正方形PQMN.1(2023秋·湖北·九年级校联考开学考试)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2=ab+10，那么图中小正方形的面积是()A.2B.3C.4D.52(2022·安徽安庆·八年级期末)汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD =45，则△ADE的面积为()A.24B.6C.25D.2103(2023·山西八年级期末)如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.24B.52C.61D.764(2022·杭州九年级月考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是()A.S1=2B.S2=3C.S3=6D.S1+S3=85(2023·广东·九年级专题练习)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”(如图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2S1>S2，则下列四个判断：①S1+S2=14S四边形MNPQ②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S1=3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1=4S2，其中正确的序号是模型2. 勾股树模型6(2022·福建·八年级期末)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是．7(2022·浙江·乐清市八年级期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是()A.S 甲=S 丁B.S 乙=S 丙C.S 甲-S 乙=S 丁-S 丙D.S 甲+S 乙=S 丙+S 丁8(2022·河南八年级期末)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，⋯按照此规律继续下去，则S 9的值为()A.126B.127C.128D.1299(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为．10(2023·浙江八年级期中)如图，以Rt △ABC 的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为S 1、S 2，Rt △ABC 的面积S 3．若S 1=4，S 2=8，则S 3的值为．11(2022春·浙江温州·九年级校考开学考试)如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC ，DB 分别交GF ，AH 于点N ，K ，连接KN 交AG 于点M ，若S 1S 2=916，则tan ∠ACB 为()A.12B.23C.34D.51212(2023·贵州遵义·统考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB =90°，分别以Rt △ABC 的三条边为边向外作正方形，连接BE ，DG 、BE ，交AC 于点Q ，若∠BAC =30°，BC =2，则四边形EQGD 的面积是．13(2023秋·浙江·八年级专题练习)【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】(1)请叙述勾股定理；(2)验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：(以下图形均满足验证勾股定理所需的条件)【探索发现】(3)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(4)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．课后专项训练1(2022·云南九年级一模)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图(1)中共有3个正方形，图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形，图(3)在图(2)的基础上增加了8个正方形，⋯⋯，照此规律“生长”下去，图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数是()A.12B.32C.64D.1282(2022·浙江初三期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC=8，则BC的长为()图1图2A.42B.6C.254D.1323(2023·浙江·杭州八年级阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1-S2=12，S△ABC=4，则正方形BCFG的面积为()A.16B.18C.20D.224(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF 的长为()A.9B.92C.32D.35(2022·四川成都·模拟预测)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.最大正方形与直角三角形的面积和D.较小两个正方形重叠部分的面积6(2023春·广东潮州·九年级校考期末)我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD 的面积的大小为()A.144B.100C.49D.257(2023春·湖北武汉·八年级统考期末)大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD ，中空的部分是小正方形EFGH ，连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ，若GO =GP ，则直角三角形的边CG 与BG 之比是()A.12B.25C.2-1D.3-28(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC 为等边三角形，AD 、BE 、CF 围成的△DEF 也是等边三角形．已知点D 、E 、F 分别是BE 、CF 、AD 的中点，若△ABC 的面积为14，则△DEF 的面积是()A.1B.2C.3D.49(2023·河北石家庄·校考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB=90°，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，连接BE，DG，BE交AC于点Q．若∠BAC=30°，BC=2，则四边形EQGD的面积是()B.23C.53+3D.3A.53+3210(2023·江苏扬州·统考中考真题)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b-a=4，c=20，则每个直角三角形的面积为．11(2022秋·四川成都·八年级校考期中)“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票(如图1)，欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形，连接EB,CM,DG,CM分别与AB,BE相交于点P,Q．若∠ABE=30°，则DGQM的值为.12(2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中)如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题：(1)S1、S2、S3满足的数量关系是．(2)现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则S△ACB=．13(2023·湖北孝感·统考三模)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为．14(2022·山东临沂·统考二模)中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1(如图1)，则正方形的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形A n B n C n D n的面积为(用含n的式子表示，n为正整数)．15(2023·浙江台州·八年级校考期中)如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB=90°，AC=6，BC=8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．(1)如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为；(2)如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O(正方形两条对角线的交点)，则Ⅱ中有水部分的面积为．16(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，连接AE,BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2=．17(2023·江苏徐州·统考二模)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接AC，若AG平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为2，则正方形ABCD的面积为．18(2023·陕西渭南·统考二模)魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形ABCD、四边形BFGH和四边形AFMN都是正方形，BF交CD于E，若DE=2，CE=4，则BF的长为．19(2022·宁夏吴忠·统考一模)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，则图2中最大的正方形的面积为31．试求图1中小正方形的面积是为．20(2023·山东济宁·统考二模)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．(1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①a2+b2+c2+d2=；②b与c的关系为，a与d的关系为．21(2022·湖南·八年级课时练习)如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(粗线)的周长24，OC=3，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3，若S1+S2+S3=40，求S2．22(2023·广东深圳·校联考三模)中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．问题发现：如图①，若直角三角形的直角边BC=3，斜边AB=5，则中间小正方形的边长CD=，连接BD，△ABD的面积为．知识迁移：如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC=90°，BP=10时，△PAB的面积为．拓展延伸：如图③，已知∠MBN=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．(1)已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使EF=BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．(2)在(1)的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当AB=10，CF=2时，直接写出线段DE的长．。
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用 (1)
学校：海子滩初级中学 教师：单春
（1）边角之间的关系:
A
b
c
Ca
B
（2）三边之间的关系：
（勾股定理）
（3）两锐角之间的关系: ∠A＋∠B＝90°
A C (1)
1：如图（1）在Rt△ABC中,∠A= 60°
（1）若AC= 2求:AB和BC 22 6
（2）斜边AB=6,求:BC 3 3
课堂小结
28.1:正弦、余弦、正切函数的简单应用有两种类型： 1.特殊角（30度/60度的三角形和45度的三角形）的应用：
直接按照边与边之间的数量关系计算 2.非特殊角的应用： 选择函数类型
换算
若图中有两个直角三角形且有公共边，则入手点为公共边
（sin33º≈0.545,cos33º≈0.837，tan33º≈0.650 ）
AB=BC·tanC=20×tan33°=20×0.65 =13 思路：1 选函数类型 2 换算。
例2.为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公 路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离 为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长（参考 数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38， 3 ≈1.73， 精确到个位）．
课堂小结
28.1:正弦、余弦、正切函数的简单应用有两种类型： 1.特殊角（30度/60度的三角形和45度的三角形）的应用：
直接按照边与边之间的数量关系计算 2.非特殊角的应用： 选择函数类型
换算
若图中有两个直角三角形且有公共边，则入手点为公共边
直击中考
如图：放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长 42cm，灯罩BC长为32cm ，底座的厚度是2cm ，灯 臂与底座构成的∠BAD =60°，使用发现光线最佳 时灯罩BC与水平线所成的角是60°，此时灯罩的顶 端C到桌面的高度CE是多少？（保留根号）
弦图在全等中的应用
弦图模型1.弦图基本模型模型一： c b a模型二：1. 弦图模型之变形60°60°60° ααα探究重难点： 例1. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且BE=CF,连接AE 、BF 交于点H 。
c ab（1）求证：AE=BF(2)求证：AE⊥BF变式练习1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接AE、BF交于点H，且AE⊥BF.求证：AE=BF变式练习2如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P（1）求证：CE=BF；（2）求∠BPC的度数．例2. 如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D 为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为为多少例3. 如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少变式练习1．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）C.（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）变式练习2.：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4为变式练习3.如图,直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将梯形的腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE，CE，若△ADE的面积为3，那么BC的长为多少变式练习4.在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M.下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC.其中正确结论的是变式练习5.如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为______。
推荐高中数学必修5优质课件：正、余弦定理在实际中的应用 精品
解：在△ABC 中，根据余弦定理，有 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°， 可得(10 3t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°， 整理得 2t2－t－1＝0，解得 t＝1 或 t＝－12(舍去)． 舰艇需 1 小时靠近货船． 此时 AB＝10 3，BC＝10， 又 AC＝10，所以∠CAB＝30°， 所以护航舰航行的方位角为 75°.
[解] 设缉私船用t h在D处追上走私船，
则有CD＝10 3t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC
＝( 3－1)2＋22－2·( 3－1)·2·cos 120°＝6，
∴BC＝ 6，
且sin
部 C 处的仰角为 α＝30°，测得乙楼底部 D 的俯
角 β＝60°，已知甲楼高 AB＝24 米，则乙楼高
CD＝________米． 解析：过 A 作 AE⊥CD，垂足为 E，ED＝AB＝24 米，则 AE
＝taEn D60°＝ 243＝8 3(米)
在 Rt△ACE 中，CE＝AE·tan 30°＝8 3·33＝8(米)
从指定方向线到目标方向 线的水平角(指定方向线 方向角 是指正北或正南或正东或 正西，方向角小于90°)
南偏西60°(指 以正南方向为始 边，转向目标方 向线形成的角
从正北的方向线按顺时针 方位角 到目标方向线所转过的水
平角
【常考题型】
测量高度问题
[例1] 如图，为了测量河对岸的塔高AB，有 不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平 面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点 和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠ CBD＝30°，求塔高AB.