高中物理公式证明

2015年安徽省高三物理公式证明题总复习 在安徽省近三年的高考中都出现了证明题，所以毕当引起考生的重视。

在物理考试说明的题型示例中，也出现了公式证明题。

在解这类问题时，要有一定的文字说明，首先必须交待所用的每个物理量的含义，其次要分析过程，并说明所用的物理概念或规律。

下面给出的是高中物理公式证明题总复习的示例，希望各位同学能够自己仔细去推敲。

【例1】证明运动学中的几个推论设物体做匀变速运动，初速度为v 0，末速度为v t ，加速度为a ，运动时间为t ，中间时刻的速度为v t/2，中间位置的速度为v s/2，证明：1． 2.2v v v 2t 202s +=3.v t 2-v o 2=2as4.Δs=aT 2[证明]1．根据运动学公式：v t =v o +at, s=v o t+at 2/2,中间时刻的速度：v t/2=v o +at/2平均速度：2/at v t2/at t v t s v 020+=+== 又(v 0+v t )/2=(v 0+v 0+ at )/2= v o +at/2,所以 2．v t 2-v o 2=2as ......（1） v s/22-v o 2=2a(s/2) (2)(1)/(2):v s/22=(v o 2+v t 2)/2,所以有2v v v 2t 202s +=3.根据v t =v o +at, 得：t=(v t -v o )/a,把t 代入s=v o t+at 2/2, 得：v t 2-v o 2=2as4.从第一个T 秒开始时计时，在该时刻t=0,速度为v 0，有：s 1=v 0T+aT 2/2, s 2=（v 0+aT ）T+aT 2/2, s 3=（v 0+2aT ）T+aT 2/2,……s n =[v 0+（n-1）aT]T+aT 2/2,s 2 -s 1= s 3 –s 2=……=Δs=aT 2【例2】证明机械能守恒定律：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但总的机械能保持不变．证明：如图所示，取地面为零势能点，设物体只受重力作用，向下做自由落体运动。

在位置1时速度为v 1，高度为h 1，在位置2时速度为v 2，高度为h 22/)v v (v v t 02/t +==2/)v v (v v t 02/t +==由匀加速运动公式可得：v22-v12 = 2g(h1-h2)v12+2gh1 = v22+2gh2mv12/2+mgh1 = m v22/2+mgh2【例3】证明动能定理：合外力对物体所做的功等于物体动能的增加．证明：设一个质量为m的物体原来的速度为v1，动能为mv12/2，在恒定的合外力F的作用下，发生一段位移s，速度为v2，动能增加到mv22/2，设合外力方向与运动方向相同.由运动学公式v22-v12 =2as得：s = (v22-v12)/2a合外力F做的功W = Fs，根据牛顿第二定律F = ma所以Fs = ma(v22-v12)/2a = mv22/2- mv12/2或W = E K2- E K1【例4】证明：导体切割磁感线产生的电动势ε= BLv.证明一：如图所示，假设垂直水平轨道放置的导体棒长L，以速度v在轨道上向右运动，设在Δt 时间内棒由原来的位置ab移到cd，这时线框的面积变化量ΔS = LvΔt穿过闭合电路的磁通量变化量：ΔΦ= BΔS = BLvΔt由法拉第电磁感应定律：ε=ΔΦ/Δt,将上式代入得：导体切割磁感线产生的电动势：ε= BLv证明二：如图所示，假设导体棒长L，以垂直导体棒的速度v水平向右运动，有一垂直纸面向里的匀强磁场磁感应强度大小为Bv 由左手定则可知：棒中自由电子e受洛仑兹力f = evB作用向下运动，使棒上下端产生电势差ε，形成的电场强度大小为E =ε/L当f = eE 时，棒中产生稳定的电动势：ε= BLv【例5】求证：电流与自由电子定向移动速率的关系式I=neSv．证明：如图所示,设对一段导线通以强度为I的电流，导线截面积为S，电子定向移动速率为v，单位体积内自由电子数为n，通电时间为t则在这段时间内，自由电子定向移动的距离为L = vt通过导线截面的电量为q = enV = enSL = neSvt所以电流为I = q/t = neSv【例6】证明：洛仑兹力公式f = qvB.证明：设导线中单位体积内含有的自由运动电荷数是n，每个自由电荷的电量是q，自由电荷的平V 1 V 2 F F均定向移动速率是v ，导线的横截面积是S ，那么通过导线的电流就是 I = nqvS磁场对电流的作用力是F=ILB ．这个力可看作是作用在每个自由运动电荷上的洛仑兹力的合力，设洛仑兹力为f ，这段导线内自由运动电荷的总数为N ，则Nf = F ，即Nf = ILB代入I = nqvS ，得到Nf = nqvSLB又N 等于单位体积内的运动电荷数跟体积的乘积，即N = nSL因此上式简化为f = qvB【例7】证明：万有引力定律F = GMm/r 2证明：设有两个孤立物体质量分别为M 、m ，相距较远间距为r ，m 绕M 作匀速圆周运动周期为TM 对m 的万有引力F 提供向心力：F = m(2π/T)2r ①由开普勒第三定律： r 3/ T 2 = 常数 ②由①②得：F = (2π)2m( r 3/ T 2) /r 2 即F ∝m/r 2 ③由牛顿第三定律可知：m 对M 的万有引力大小也为F ，且具有相同的性质所以，m 对M 的万有引力F ∝M/r 2 ④综合③④得：F ∝Mm/r 2万有引力定律F = GMm/r 2 (其中G 为引力常量)【例8】(1)试在下述简化情况下，由牛顿定律和运动学公式导出动量定理表达式：一个运动质点只受到一个恒力作用，沿直线运动。

要求说明推导过程中每步的根据．．．．．．．．．．，以及最后结果中各项的意义．．．．．．．．．．． 解：(1)如图所示,一物体放在光滑的水平面上,设在恒力F 的作用下,开始时物体的初速度为V 1,经过t 时间后,物体的速度变为V 2由牛顿第二定律得：F a m = ① 由运动学公式得: 21v v a t-= ② 由①②可得: 21v v F t m-=,由此式变形得: 21Ft mv mv =- 式中:Ft 表示物体在t 时间内物体受到合外力的冲量；2mv 表示物体在这段时间的末动量；1mv 表示物体在这段时间的初动量【例8】．求证：半径公式r=mv/Bq ，周期公式T=2πm/Bq证明：如图所示，设一带电粒子质量为m ，带电量为q ，匀强磁场的磁感强m 度为B ，粒子做匀速圆周运动的向心力为洛仑兹力，即 F n =qvB=mv 2/r所以运动半径为r=mv/Bq ． 根据周期公式T=2πr/v,将r=mv/Bq 代入得带电粒子的运动周期为T=2πm/Bq ．【例9】如图所示，弹簧的一端固定在墙上.另一端连结一质量为m 的木块，今将木块向右拉开一位移L 后释放，木块在有摩擦的水平地面上减幅振动.弹簧第一次恢复原长时，木块速度为0v ，试讨论：木块在整个振动过程中出现速度为0v 的位置有几个.分析和证明：在整个振动过程中出现速度为0v 的位置有且只有2个.释放木块后，木块在水平方向上的弹力和摩擦力同时作用下，先向左作加速度变小的加速运动.后向左作加速度变大的减速运动.在弹簧原长位置的右侧0x 处（mg kx μ=0），一定存在一加速度为零的位置（平衡位置），此位置向左的速度最大.根据速度变化必须是连续的原理可知，既然左侧有一0v ，其右侧也一定存在一0v 的位置.在弹簧第一次恢复原长，木块速度为0v 时，系统振动的能量2021mv E E k ==，此后的运动由于摩擦的作用，系统振动能量不断减小，E E <'，设此后振动中任一时刻的速率为x v即2022121mv E mv p x <+ 所以x v ＜0v ，且不断变小，直至停止振动为止.【例10】如图1 所示：一根导体棒oa 长度为L ，电阻不计，绕o 点在垂直于匀强磁场B 的平面内以角速度ω做匀速圆周运动，求其产生的电动势。

解法一：假想电路法假想导体棒与一个定值组成闭合回路（如图2 所示），利用法拉第电磁感应定律公式 求解。

此公式在高中阶段一般用于求感应电动势的平均值，不用来求瞬时值，但本题中棒切割磁感线的角速度恒定，产生的感应电动势大小也是定值，故平均值与瞬时值相同，可以用此公式求金属棒产生电动势的瞬时值。

假设棒与某个电阻R 组成了一个闭合回路，经过时间△t ，棒转过了角度θ，则闭合电路的磁通量增加量为：由楞次定律可知，闭合电路的磁通量在增大，感应电流的磁场应垂直纸面向外。

如果形成感应电流，则方向由o→a ，故电动势的方向o→a ，a 点电势高于o 点电势，a 点相当于电源的正极。

解法二：利用法拉第电磁感应公式的导出公式E=Blv 求解。

由于杆上各点的线速度都不相同，并且各点的线速度大小正比于该点到o 点的距离。

o 点速度为零，a 点速度最大，为ωl ，则整个杆的平均速度为2ωl ，相当于棒中点瞬时速度的大小。

产生的电动势由右手定则可以判断电动势的方向为o→a ，a 点的电势高于o 点的电势，即a 点相当于电源的正极。

由于解法二比较简洁，故以下拓展在不涉及能量转化问题时均用解法二。

【例11】质量为m 的物体与地心的距离为r 时，物体和地球间引力势能可表示为P GMm E r=-（设物体在离地球无限远处的势能为零），其中G 为引力常量，M 为地球质量。

当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，这个速度叫做第二宇宙速度。

证明：第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系为v 2=2v 1。

【例12】：设计物理情境用牛顿运动定律推导动量守恒公式。

如下图所示，在光滑的水平面上做匀速直线运动的两个小球，质量分别为1m 和2m ，沿着同一个方向运动，速度分别为1v 和2v （且12v v >），则它们的总动量(动量的矢量和)2211v m v m p +=。

当第二个球追上第一个球并发生碰撞，碰撞后的速度分别为'1v 和'2v ，此时它们的动量的矢量和，即总动量'22'11'2'1'v m v m p p p +=+=。

下面从动量定理和牛顿第三定律出发讨论p 和p ′有什么关系。

【推导过程】：根据牛顿第二定律，碰撞过程中两球的加速度分别是：111m F a =， 222m F a =根据牛顿第三定律，F1、F2大小相等、方向相反，即：F1= - F2所以：2211a m a m -=碰撞时两球之间力的作用时间很短，用t ∆表示，这样，加速度与碰撞前后速度的关系就是：t v v a ∆-'=111， t v v a ∆-'=222把加速度的表达式代入2211a m a m -=，并整理得：22112211v m v m v m v m '+'=+ 上述情境可以理解为：以两小球为研究对象，系统的合外力为零，系统在相互作用过程中，总动量是守恒的——即动量守恒表达式。