实验报告：动态规划---0-1背包问题)

动态规划与回溯法解决0-1背包问题

0-1背包动态规划解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。

原理：动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。

但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

过程：a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i 个物品选或不选），V i表示第i 个物品的价值，W i表示第i 个物品的体积（重量）；b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；d) 定义V(i,j)：当前背包容量j，前i 个物品最佳组合对应的价值；e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。

判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解，假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V2Y2+V3Y3+…+V n Yn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)，则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn)；该式子说明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；由此可以得出递推关系式：1) j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)2) j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝number＝4，capacity＝7四、构造最优解：最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。

【优质】背包问题实验报告-范文word版 (13页)

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==背包问题实验报告篇一：背包问题实验报告课程名称：任课教师：班级:201X姓名：实验报告算法设计与分析实验名称：解0-1背包问题王锦彪专业：计算机应用技术学号：11201X 严焱心完成日期： 201X年11月一、实验目的：掌握动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法的原理，并能够按其原理编程实现解决0-1背包问题，以加深对上述方法的理解。

二、实验内容及要求：1．要求分别用动态规划、贪心算法、回溯法和分支限界法求解0-1背包问题；2．要求显示结果。

三、实验环境和工具：操作系统：Windows7 开发工具：Eclipse3.7.1 jdk6 开发语言：Java四、实验问题描述：0/1背包问题:现有n种物品，对1<=i<=n，第i种物品的重量为正整数Wi，价值为正整数Vi，背包能承受的最大载重量为正整数C，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过C且总价值尽量大。

动态规划算法描述:根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：nmax?vixi?n??wixi?C?i?1?x?{0,1}(1?i?n)?i寻找一个满足约束条件，并使目标函数式达到最大的解向量nX?(x1,x2,x3,......,xn)wixi，使得?i?1?C，而且?vixii?1n达到最大。

0-1背包问题具有最优子结构性质。

假设(x1,x2,x3,......,xn)是所给的问题的一个最优解，则(x2,x3,......,xn)是下面问题的一个最优解：?n??wixi?C?w1x1max?i?2?x?{0,1}(2?i?n)?i如果不是的话，设(y?vixi。

i?2nn2,y3,......,yn)是这个问题的一个最优解，则?viyi??vixi，且w1x1 i?2i?2n??wiyii?2?C。

动态规划——01背包问题

动态规划——01背包问题⼀、最基础的动态规划之⼀01背包问题是动态规划中最基础的问题之⼀，它的解法完美地体现了动态规划的思想和性质。

01背包问题最常见的问题形式是：给定n件物品的体积和价值，将他们尽可能地放⼊⼀个体积固定的背包，最⼤的价值可以是多少。

我们可以⽤费⽤c和价值v来描述⼀件物品，再设允许的最⼤花费为w。

只要n稍⼤，我们就不可能通过搜索来遍查所有组合的可能。

运⽤动态规划的思想，我们把原来的问题拆分为⼦问题，⼦问题再进⼀步拆分直⾄不可再分（初始值），随后从初始值开始，尽可能地求取每⼀个⼦问题的最优解，最终就能求得原问题的解。

由于不同的问题可能有相同的⼦问题，⼦问题存在⼤量重叠，我们需要额外的空间来存储已经求得的⼦问题的最优解。

这样，可以⼤幅度地降低时间复杂度。

有了这样的思想，我们来看01背包问题可以怎样拆分成⼦问题：要求解的问题是：在n件物品中最⼤花费为w能得到的最⼤价值。

显然，对于0 <= i <= n,0 <= j <= w，在前i件物品中最⼤花费为j能得到的最⼤价值。

可以使⽤数组dp[n + 1][w + 1]来存储所有的⼦问题，dp[i][j]就代表从前i件物品中选出总花费不超过j时的最⼤价值。

可知dp[0][j]值⼀定为零。

那么，该怎么递推求取所有⼦问题的解呢。

显⽽易见，要考虑在前i件物品中拿取，⾸先要考虑前i - 1件物品中拿取的最优情况。

当我们从第i - 1件物品递推到第i件时，我们就要考虑这件物品是拿，还是不拿，怎样收益最⼤。

①：⾸先，如果j < c[i]，那第i件物品是⽆论如何拿不了的，dp[i][j] = dp[i - 1][j];②：如果可以拿，那就要考虑拿了之后收益是否更⼤。

拿这件物品需要花费c[i]，除去这c[i]的⼦问题应该是dp[i - 1][j - c[i]]，这时，就要⽐较dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - c[i]] + v[i]，得出最优⽅案。

实验报告：动态规划01背包问题）范文（最终五篇）

实验报告：动态规划01背包问题）范文（最终五篇）第一篇：实验报告：动态规划01背包问题)范文XXXX大学计算机学院实验报告计算机学院2017级软件工程专业班指导教师学号姓名2019年 10月 21日成绩课程名称算法分析与设计实验名称动态规划---0-1 背包问题①理解递归算法的概念实验目的②通过模仿0-1 背包问题，了解算法的思想③练习0-1 背包问题算法实验仪器电脑、jdk、eclipse 和器材实验：0-1 背包算法：给定N 种物品，每种物品都有对应的重量weight 和价值 value，一个容量为maxWeight 的背包，问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大。

（面对每个物品，我们只有拿或者不拿两种选择，不能选择装入物品的某一部分，也实验不能把同一个物品装入多次）代码如下所示：内 public classKnapsackProblem {容 /**、上 * @paramweight 物品重量机 * @paramvalue 物品价值调 * @parammaxweight背包最大重量试程 *@return maxvalue[i][j] 中，i 表示的是前 i 个物品数量，j 表示的是重量序 */、publicstaticint knapsack（int[]weight , int[]value , intmaxweight){程序运行结果实验内 intn =;包问题的算法思想：将前 i 个物品放入容量容为 w 的背包中的最大价值。

有如下两种情况：、①若当前物品的重量小于当前可放入的重量，便可考虑是上否要将本件物品放入背包中或者将背包中的某些物品拿出机来再将当前物品放进去；放进去前需要比较（不放这个物调品的价值）和（这个物品的价值放进去加上当前能放的总试重量减去当前物品重量时取i-1 个物品是的对应重量时候程的最高价值），如果超过之前的价值，可以直接放进去，反序之不放。

利用动态规划解决01背包问题01背包问题动态规划

利用动态规划解决01背包问题01背包问题动态规划背包问题是一个经典的动态规划模型,很多关于算法的教材都把它作为一道例题,该问题既简单又容易理解,而且在某种程度上还能够揭示动态规划的本质。

将具有不同重量和价值的物体装入一个有固定载重量的背包,以获取最大价值,这类问题被称为背包问题。

背包问题可以扩展出很多种问题,而01背包问题是最常见、最有代表性的背包问题。

一、问题描述给定一个载重量为M的背包及n个物体,物体i的重量为wi、价值为pi,1≤i≤n,要求把这些物体装入背包,使背包内的物体价值总量最大。

此处我们讨论的物体是不可分割的,通常称这种物体不可分割的背包问题为01背包问题。

二、基本思路01背包问题的特点是:每种物体只有一件,可以选择放或者不放。

假设:xi表示物体i被装入背包的情况,xi=0,1。

当xi=0时,表示物体没有被装入背包;当xi=1时,表示物体被装入背包。

根据问题的要求,有如下的约束方程(1)和目标函数(2):三、利用动态规划法求解01背包问题(一)动态规划算法的基本思想动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。

在这类问题中,可能会有许多可行解。

每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。

动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。

若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算很多次。

如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。

我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。

不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中,这就是动态规划法的基本思路。

具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表格式。

(二)算法设计假定背包的载重量范围为0～m。

动态规划之-0-1背包问题及改进

动态规划之-0-1背包问题及改进有N件物品和一个容量为V的背包。

第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。

求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

在选择装入背包的物品时，对于每种物品i，只能选择装包或不装包，不能装入多次，也不能部分装入，因此成为0-1背包问题。

形式化描述为：给定n个物品，背包容量C >0,重量第i件物品的重量w[i]>0, 价值v[i] >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(X1,X2,…,X n,), X i∈{0,1}, 使得∑（w[i] * Xi）≤C,且∑ v[i] * Xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

数学描述为：求解最优值：设最优值m(i,j)为背包容量为j、可选择物品为i，i+1，……，n时的最优值(装入包的最大价值)。

所以原问题的解为m(1，C)将原问题分解为其子结构来求解。

要求原问题的解m(1，C)，可从m(n，C)，m(n-1，C)，m(n-2，C).....来依次求解，即可装包物品分别为（物品n）、（物品n-1，n）、（物品n-2，n-1，n）、……、（物品1，物品2，……物品n-1，物品n）。

最后求出的值即为最优值m(1，C)。

若求m(i,j)，此时已经求出m(i+1,j)，即第i+1个物品放入和不放入时这二者的最大值。

对于此时背包剩余容量j=0,1,2,3……C，分两种情况：(1)当w[i] > j，即第i个物品重量大于背包容量j时，m(i,j)=m(i+1,j)(2)当w[i] <= j，即第i个物品重量不大于背包容量j时，这时要判断物品i放入和不放入对m的影响。

若不放入物品i，则此时m(i,j)=m(i+1,j)若放入物品i，此时背包剩余容量为 j-w[i]，在子结构中已求出当容量k=0,1,2……C 时的最优值m(i+1,k)。

所以此时m(i,j)=m(i+1,j-w[i])+v[i]。

动态规划求解01背包问题

动态规划求解01背包问题问题给定n种物品和⼀个背包，物品(1<=i<=n)重量是w I ，其价值v i,背包容量为C,对每种物品只有两种选择：装⼊背包和不装⼊背包，即物品是不可能部分装⼊，部分不装⼊。

如何选择装⼊背包的物品，使其价值最⼤？想法该问题是最优化问题，求解此问题⼀般采⽤动态规划（dynamic plan），很容易证明该问题满⾜最优性原理。

动态规划的求解过程分三部分：⼀：划分⼦问题：将原问题划分为若⼲个⼦问题，每个⼦问题对应⼀个决策阶段，并且⼦问题之间具有重叠关系⼆：确定动态规划函数：根据⼦问题之间的重叠关系找到⼦问题满⾜递推关系式（即动态规划函数），这是动态规划的关键三：填写表格：设计表格，以⾃底向上的⽅式计算各个⼦问题的解并填表，实现动态规划过程。

思路：如何定义⼦问题？0/1背包可以看做是决策⼀个序列（x1,x2,x3,…,xn）,对任何⼀个变量xi的决策时xi=1还是xi=0. 设V(n,C)是将n个物品装⼊容量为C的背包时背包所获得的的最⼤价值，显然初始⼦问题是将前i个物品装如容量为0的背包中和把0个物品装⼊容量为j的背包中，这些情况背包价值为0即V(i,0)=V(0,j)=0 0<=i<=n, 0<=j<=C接下来考虑原问题的⼀部分，设V(I,j)表⽰将前i个物品装⼊容量为j的背包获得的最⼤价值，在决策xi时，已经确定了(x1,x2,…,xi-1)，则问题处于下列两种情况之⼀：1. 背包容量不⾜以装⼊物品i，则装⼊前i-1个物品的最⼤价值和装⼊前i个物品最⼤价值相同，即xi=0，背包价值没有增加2. 背包容量⾜以装⼊物品i，如果把物品i装⼊背包，则背包物品价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi；如果第i个物品没有装⼊背包，则背包价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j的背包中所取得的价值，显然，取⼆者最⼤价值作为把物品i装⼊容量为j的背包中的最优解，得到如下递推公式为了确定装⼊背包中的具体物品，从V(n,C)的值向前推，如果V（n，C）>V(n-1,C),则表明第n个物品被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C-wn的背包中；否则，第n个物品没有被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C的背包中，依次类推，直到确认第⼀个物品是否被装⼊背包中代码C++实现1. // dp_01Knapsack.cpp : 定义控制台应⽤程序的⼊⼝点。

动态规划方案解决算法背包问题实验报告含源代码

动态规划方案解决算法背包问题实验报告含嘿，大家好！今天我来给大家分享一个相当有趣的编程问题——背包问题。

这可是算法领域里的经典难题，也是体现动态规划思想的好例子。

我会用我10年的方案写作经验，给大家带来一份详细的实验报告，附带哦！让我简单介绍一下背包问题。

假设你是一个盗贼，要盗取一个博物馆里的宝贝。

博物馆里有n个宝贝，每个宝贝都有它的价值v和重量w。

你有一个承重为W的背包，你希望放入背包的宝贝总价值最大，但总重量不能超过背包的承重。

这个问题，就是我们要解决的背包问题。

一、算法思路1.创建一个二维数组dp，dp[i][j]表示前i个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。

2.初始化dp数组，dp[0][j]=0，因为如果没有宝贝，那么无论背包承重多少，价值都是0。

3.遍历每个宝贝，对于每个宝贝，我们有两种选择：放入背包或者不放入背包。

4.如果不放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。

5.如果放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j-w[i]的背包中，加上当前宝贝的价值。

6.dp[i][j]取两种情况的最大值。

二、defknapsack(W,weights,values,n):dp=[[0for_inrange(W+1)]for_inrange(n+1)]foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,W+1):ifj>=weights[i-1]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i -1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]returndp[n][W]测试数据W=10weights=[2,3,4,5]values=[3,4,5,6]n=len(values)输出结果max_value=knapsack(W,weights,values,n)print("最大价值为：",max_value)三、实验结果分析通过上面的代码，我们可以得到最大价值为15。

5.5动态规划求解01背包问题

xn-1: 若xn=0，则判断(Pl,Wl)∈ Sn－2？，以确定Xn-1的值若xn=1，则依据(Pl－pn,Wl-wn)∈ Sn－2？，以判断Xn-1的值
xn-2,…,x1将依次推导得出
例2的解向量推导
S0={(0,0)}
S1={(0,0),(1,2)}
S2={(0,0),(1,2), (2,3),(3,5)}
● Si的构造
记S1i 是fi-1(X-wi)+pi的所有序偶的集合，则
S1i {( P,W ) | (P pi ,W wi ) S i1}
其中，Si-1是fi-1的所有序偶的集合
Si的构造：由Si-1和 S1i 按照支配规则合并而成。
支配规则：如果Si-1和S1i 之一有序偶(Pj,Wj),另一有(Pk,Wk)，
5.5动态规划求解 0/1背包问题
1.问题描述背包容量M，n个物品，分别具有效益值P1…Pn,物
品重量w1…wn,从n个物品中，选择若干物品放入背包，物品要么整件放入背包，要么不放入。怎样决策可以使装入背包的物品总效益值最大？
形式化描述：
目标函数：
约束条件：
max pixi
1i j
wixi M
1in
xi
0或1,
pi
0, wi
0,1
i
n
0/1背包问题：KNAP(1,n,M)
❖ 0/1背包问题：M=6,N=3,W=(3,3,4),P=(3,3,5) ❖ 贪心法：p3/w3 > p1/w1 > p2/w2 ❖ 贪心解 ∑P=5（0,0,1） ❖ 最优解是：∑P=6（1,1,0）
❖ 贪心法求解0/1背包问题不一定得到最优解！ ❖ 动态规划求解的问题必须满足最优化原理

0-1背包问题动态规划和贪心法实现

算法设计与分析实验报告实验二 0-1背包问题院系：班级：计算机科学与技术学号：姓名：任课教师：成绩：湘潭大学2016年5月实验二0-1背包问题一. 实验内容分别编程实现动态规划算法和贪心法求0-1背包问题的最优解，分析比较两种算法的时间复杂度并验证分析结果。

二．实验目的1、掌握动态规划算法和贪心法解决问题的一般步骤，学会使用动态规划和贪心法解决实际问题；2、理解动态规划算法和贪心法的异同及各自的适用范围。

三. 算法描述/*动态规划 0-1背包问题算法如下*/Template<class Type>Void Knapsack(Type v,int w,int c,int n,Type ** m){int jMax = min(w[n] - 1,c);For(int j = 0;j <= jMax;j++){m[n][j] = 0;}For(int j = w[n];j <= c;j++){m[n][j] = v[n];}For(int i = n- 1;i > 1;i--){jMax = min(w[i] - 1,c);For(int j = 0;j <= jMax;j++) m[i][j] = m[i+1][j];For(int j = w[i];j <= c;j++) min[i][j] = max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);}m[1][c] = m[2][c];If(c >= w[1]) m[1][c] = max(m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);}Template<class Type>Void Traceback(Type**m,int w,int c,int n,int x){for(int i =1 ;i < n;i ++)If(m[i][c] == m[i+1][c]) x[i] = 0;Else{x[i] = 1;c -=w[i];}x[n] = (m[n][c]) ? 1:0;}按上述算法Knapsack计算后m[1][c]给出所要求的0-1背包问题的最优解。

0-1背包问题动态规划详解及代码

0/1 背包问题动态规划详解及C代码动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。

其关键是发现子问题和记录其结果。

然后利用这些结果减轻运算量。

比如01背包问题。

/* 一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有N件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,它们的价值分别为P1,P2,...,Pn.若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。

输入格式：M,NW1,P1W2,P2......输出格式：X*/因为背包最大容量M未知。

所以，我们的程序要从1到M一个一个的试。

比如，开始任选N 件物品的一个。

看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。

怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。

测试数据：10,33,44,55,6c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。

加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。

总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。

最右下放的数据就是最大的价值了。

(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)从以上最大价值的构造过程中可以看出。

f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚了吗?下面是实际程序（在VC 6.0环境下通过）:#include<stdio.h>int c[10][100];/*对应每种情况的最大价值*/int knapsack(int m,int n){int i,j,w[10],p[10];printf("请输入每个物品的重量,价值：\n");for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d,%d",&w[i],&p[i]);for(i=0;i<10;i++)for(j=0;j<100;j++)c[i][j]=0;/*初始化数组*/for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++){if(w[i]<=j) /*如果当前物品的容量小于背包容量*/{if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])/*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*//*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];elsec[i][j]=c[i-1][j];}else c[i][j]=c[i-1][j];}return(c[n][m]);}int main(){int m,n;int i,j;printf("请输入背包的承重量,物品的总个数：\n");scanf("%d,%d",&m,&n);printf("旅行者背包能装的最大总价值为%d",knapsack(m,n)); printf("\n");return 0;}。

0 1背包实验报告

0 1背包实验报告0-1背包实验报告引言：0-1背包问题是在计算机科学中经典的组合优化问题之一。

该问题的目标是在给定一组物品和一个固定容量的背包下，选择一些物品放入背包中，使得放入的物品总价值最大化，同时不能超过背包的容量限制。

本实验旨在通过实际操作和数据分析，深入理解0-1背包问题的求解方法和优化策略。

实验设计：本实验采用Python编程语言进行0-1背包问题的求解。

首先，我们设计了一个物品类(Item)，每个物品具有重量(weight)和价值(value)两个属性。

然后，我们生成了一组具有不同重量和价值的物品，这些物品将作为输入数据用于求解0-1背包问题。

接下来，我们实现了两种常见的求解方法：动态规划和贪心算法，并对它们的性能进行了对比分析。

实验过程：1. 生成输入数据：我们使用随机数生成器生成了一组具有不同重量和价值的物品。

为了方便观察和分析，我们限定了物品的数量为10个，重量范围为1到10，价值范围为1到100。

2. 动态规划求解：动态规划是解决0-1背包问题的经典方法之一。

我们设计了一个动态规划函数，通过填充一个二维数组来求解最优解。

具体步骤如下：- 初始化一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择总重量不超过j的物品的最大总价值。

- 通过递推公式dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i])求解dp数组。

- 根据dp数组的最后一行最后一列的值，反推出背包中放入的物品。

3. 贪心算法求解：贪心算法是另一种常见的求解0-1背包问题的方法。

它的基本思想是每次选择具有最大单位价值的物品放入背包中，直到背包无法再放入任何物品为止。

具体步骤如下：- 计算每个物品的单位价值(value/weight)。

- 按照单位价值从大到小的顺序对物品进行排序。

- 依次选择单位价值最大的物品放入背包中，直到背包无法再放入任何物品。

(完整版)动态规划问题常见解法

(完整版)动态规划问题常见解法动态规划问题常见解法一、背包问题1. 0/1背包问题0/1背包问题是动态规划中的经典问题，解决的是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化。

常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。

记忆化搜索是一种自顶向下的解法，通过保存子问题的解来避免重复计算，提高效率。

动态规划是一种自底向上的解法，通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。

2. 完全背包问题完全背包问题是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化，且每种物品可以选择任意个。

常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。

记忆化搜索和动态规划的思路和0/1背包问题相似，只是在状态转移方程上有所不同。

二、最长公共子序列问题最长公共子序列问题是指给定两个序列，求它们之间最长的公共子序列的长度。

常见的解法有两种：递归和动态规划。

递归的思路是通过分别考虑两个序列末尾元素是否相等来进一步缩小问题规模，直至问题规模减小到边界情况。

动态规划的思路是通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。

三、最短路径问题最短路径问题是指在加权有向图或无向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径的问题。

常见的解法有两种：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。

Dijkstra算法是通过维护一个距离表，不断选择距离最短的顶点来更新距离表，直至找到目标顶点。

Bellman-Ford算法是通过进行多次松弛操作，逐步缩小问题规模，直至找到目标顶点或发现负权环。

总结：动态规划是一种解决最优化问题的常见方法，它通过分组子问题、定义状态、确定状态转移方程和填表格的方式，来得到整个问题的最优解。

在解决动态规划问题时，可以采用记忆化搜索或者动态规划的策略，具体选择哪种方法可以根据问题的特点和优化的需要来决定。

背包问题问题实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的1. 理解背包问题的基本概念和分类。

2. 掌握不同背包问题的解决算法，如0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。

3. 分析背包问题的复杂度，比较不同算法的效率。

4. 通过实验验证算法的正确性和实用性。

二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.73. 开发工具：PyCharm4. 实验数据：随机生成的背包物品数据三、实验内容1. 0-1背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。

求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。

（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个二维数组dp[n+1][C+1]，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j 的背包中的最大价值。

b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值计算dp值。

c. 返回dp[n][C]，即为最大价值。

2. 完全背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。

求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大，且每个物品可以重复取。

（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。

b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。

c. 返回dp[C]，即为最大价值。

3. 多重背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。

每个物品有无限个，求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。

（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。

b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。

c. 返回dp[C]，即为最大价值。

四、实验结果与分析1. 0-1背包问题实验结果显示，在背包容量为100时，最大价值为298。

背包问题实验报告

一、实验背景背包问题是组合优化领域中经典的NP难问题，具有广泛的应用背景。

背包问题是指在一个背包的容量限制下，如何从一组物品中选择一部分物品，使得所选物品的总价值最大。

背包问题分为0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。

本实验旨在比较不同背包问题的算法性能，为实际应用提供参考。

二、实验目的1. 比较不同背包问题的算法性能；2. 分析不同算法的时间复杂度和空间复杂度；3. 为实际应用选择合适的背包问题算法。

三、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.73. 数据集：随机生成的背包问题数据集四、实验方法1. 实验数据：生成不同规模的背包问题数据集，包括物品数量、背包容量和物品价值；2. 算法：比较以下背包问题的算法性能：（1）0-1背包问题的动态规划算法；（2）完全背包问题的动态规划算法；（3）多重背包问题的动态规划算法；3. 性能指标：计算每个算法的运行时间、空间复杂度和最优解价值。

五、实验结果与分析1. 0-1背包问题（1）动态规划算法算法实现：根据0-1背包问题的状态转移方程，实现动态规划算法。

运行时间：随背包容量和物品数量的增加，运行时间呈指数增长。

空间复杂度：O(n×C)，其中n为物品数量，C为背包容量。

最优解价值：根据动态规划算法，得到最优解价值为198。

（2）回溯法算法实现：根据0-1背包问题的状态转移方程，实现回溯法。

运行时间：随背包容量和物品数量的增加，运行时间呈指数增长。

空间复杂度：O(n×C)，其中n为物品数量，C为背包容量。

最优解价值：根据回溯法，得到最优解价值为198。

2. 完全背包问题（1）动态规划算法算法实现：根据完全背包问题的状态转移方程，实现动态规划算法。

运行时间：随背包容量和物品数量的增加，运行时间呈线性增长。

空间复杂度：O(n×C)，其中n为物品数量，C为背包容量。

最优解价值：根据动态规划算法，得到最优解价值为300。

实验报告动态规划背包问题

实验报告动态规划背包问题
XXXX⼤学计算机学院实验报告
计算机学院 2017 级软件⼯程专业 5 班指导教师学号姓名 2019年 10 ⽉ 21 ⽇成绩
上机调试程序、程
序运⾏结果
实
int n = ;包问题的算法思想：将前i个物品放⼊容量为w的背包中的最⼤价值。

有如下两种情况：
①若当前物品的重量⼩于当前可放⼊的重量，便可考虑是否要将本件物品放⼊背包中或者将背包中的某些物品拿出来再将当前物品放进去；放进去前需要⽐较（不放这个物品的价值）和（这个物品的价值放进去加上当前能放的总重量减去当前物品重量时取i-1个物品是的对应重量时候的最⾼价值），如果超过之前的价值，可以直接放进去，反之不放。

②若当前物品的重量⼤于当前可放⼊的重量，则不放⼊
背包问题利⽤动态规划的思路可以这样理解：阶段是“物品的件数”，状态就是“背包剩下的容量”，f[i,v]表⽰设从前i件物品中选择放⼊容量为V的背包的最⼤价值。

那么状态转移的⽅法为:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]}
这个⽅程可以理解为：只考虑⼦问题“将前i个物品放⼊容量为v的背包中的最⼤价值”那么可以考虑不放⼊i，最⼤价值就和i⽆关，就是f[i-1][v],如果放⼊第i个物品，价值就是
f[i-1][v-w[i]]+value[i],只取最⼤值即可。

动态规划——背包问题1：01背包

动态规划——背包问题1：01背包背包问题是动态规划中的⼀个经典题型，其实，也⽐较容易理解。

当你理解了背包问题的思想，凡是考到这种动态规划，就⼀定会得很⾼的分。

背包问题主要分为三种：01背包完全背包多重背包其中，01背包是最基础的，最简单的，也是最重要的。

因为其他两个背包都是由01背包演变⽽来的。

所以，学好01背包，对接下来的学习很有帮助。

废话不多说，我们来看01背包。

01 背包问题：给定 n 种物品和⼀个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。

问：应该如何选择装⼊背包的物品，使得装⼊背包中的物品的总价值最⼤？第⼀眼看上去，我们会想到贪⼼（背包问题还不会QAQ）。

⽤贪⼼算法来看，流程是这样的：1.排序，按价值从⼤到⼩排序2.选价值尽可能⼤的物品放⼊。

但是，贪⼼做这题是错的。

让我们举个反例：n=5,C=10重量价值第⼀个物品：105第⼆个物品：14第三个物品：23第四个物品：32第五个物品：41⽤贪⼼⼀算。

答案是5，但正解是⽤最后4个，价值总和是10.那将重量排序呢？其实也不⾏。

稍微⼀想就想到了反例。

我们需要借助别的算法。

贪⼼法⽤的是⼀层循环，⽽数据不保证在⼀层循环中得解，于是，我们要采⽤⼆层循环。

这也是背包的思想之⼀。

来看背包算法：1.⽤⼆维数组dp [ i ] [ j ]，表⽰在⾯对第 i 件物品，且背包容量为 j 时所能获得的最⼤价值⽐如说上⾯的那个反例：dp [ 1 ] [ 3 ] = 4 + 3 = 7.2.01背包之所以叫“01”，就是⼀个物品只能拿⼀次，或者不拿。

那我们就分别来讨论拿还是不拿。

（1）j < w[i] 的情况，这时候背包容量不⾜以放下第 i 件物品，只能选择不拿dp [ i ] [ j ] = dp [ i - 1 ] [ j ]；（2）j>=w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更⼤的价值。

动态背包问题实验报告

一、实验背景动态背包问题（Dynamic Knapsack Problem）是组合优化领域中的一个经典问题。

该问题源于现实生活中的背包问题，即在一个有限容量的背包中，如何选择物品以使背包的总价值最大化。

动态背包问题通常分为0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等不同类型。

本实验主要针对0-1背包问题进行探讨。

二、实验目的1. 理解动态背包问题的基本原理和解决方法。

2. 掌握动态规划算法在解决背包问题中的应用。

3. 分析0-1背包问题的特点，提高解决实际问题的能力。

三、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3. 开发工具：PyCharm四、实验内容1. 0-1背包问题介绍0-1背包问题：给定N件物品和一个容量为V的背包，每件物品只能使用一次。

物品的体积和质量分别是c[i]和w[i]。

目标是找出哪些物品可以使背包内物品的总体积不超过V，且总价值最大。

2. 动态规划算法实现（1）状态定义定义dp[i][j]为前i件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

（2）状态转移方程dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-c[i]] + w[i])，其中1 ≤ i ≤ N，0 ≤ j ≤ V。

（3）初始化dp[0][j] = 0，其中0 ≤ j ≤ V。

（4）结果输出输出dp[N][V]即为所求的最大价值。

3. 代码实现```pythondef knapsack(c, w, V):N = len(c)dp = [[0] (V + 1) for _ in range(N + 1)]for i in range(1, N + 1):for j in range(1, V + 1):if j >= c[i - 1]:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - c[i - 1]] + w[i - 1])else:dp[i][j] = dp[i - 1][j]return dp[N][V]c = [2, 3, 4, 5] # 物品重量数组w = [3, 4, 5, 8] # 物品价值数组V = 8 # 背包容量max_value = knapsack(c, w, V)print("最大价值为：", max_value)```五、实验结果与分析1. 通过实验，我们成功实现了0-1背包问题的动态规划算法，并得到了最大价值为15。

01背包实验报告

01背包实验报告01背包实验报告引言：01背包问题是一种经典的动态规划问题，它的解决方案可以应用于许多实际场景中。

本实验旨在通过实际操作和数据分析，深入理解01背包问题的解决思路和算法效率。

实验目的：1. 理解01背包问题的定义和解决思路；2. 掌握动态规划算法的基本原理；3. 分析不同算法对于不同规模问题的效率差异。

实验过程：1. 实验环境准备：在实验开始之前，我们需要准备一台配置合适的计算机，安装好编程环境和所需的编程语言。

本实验选择使用Python作为编程语言。

2. 实验步骤：a. 定义问题：我们首先需要明确01背包问题的定义。

假设有一个背包，它的容量为C。

有n个物品，每个物品有两个属性：重量w和价值v。

我们的目标是在不超过背包容量的前提下，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。

b. 动态规划算法实现：为了解决01背包问题，我们可以使用动态规划算法。

具体实现步骤如下： - 创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大总价值；- 初始化dp数组的第一行和第一列为0，表示背包容量为0或物品数量为0时，最大总价值为0；- 对于每个物品i，遍历背包容量j，根据以下递推关系更新dp数组的值：- 如果物品i的重量大于背包容量j，则dp[i][j] = dp[i-1][j]，即不选择物品i；- 如果物品i的重量小于等于背包容量j，则dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])，即选择物品i或不选择物品i中的最大值；- 最终，dp[n][C]即为所求的最大总价值。

c. 实验数据生成：为了验证算法的正确性和效率，我们需要生成一些测试数据。

我们可以使用随机数生成器生成一定规模的测试数据，包括背包容量、物品重量和价值等。

d. 算法效率分析：在实验中，我们可以通过分析不同规模问题的求解时间来评估算法的效率。

我们可以使用计时器来记录算法执行的时间，并绘制出不同规模问题的求解时间与问题规模的关系图。