八年级数学勾股定理易错点与重难点复习(一)
勾股定理知识点易错点
勾股定理知识点易错点一、知识体系：二、知识点：1、直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。
即：a 2＋b 2=c 2（a 、b 为直角边，c为斜边）.如图所示，我国古代把直角三角形的较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。
注意：（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种关系。
（2）勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。
2、勾股定理的验证验证勾股定理的有效方法，一般遵循以下几个步3、勾股定理的逆定理：（重点）如果三角形的三边长a 、b 、c 且a 2＋b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
注意：（1）证明时不能说成“在直角三角形中”，因为还没有确定是直角三角形，当然也不能说成“斜边、直角边”（2）a 2＋b 2=c 2它只是一种表现形式，不能因为a 2＋b 2≠c 2就说这个三角形不是直角三角形。
如a=5，b=3,c=4. a 2＋b 2≠c 2但此三角形是直角三角形。
a 为斜边。
利用勾股定理判别一个三角形是不是直角三角形的方法：求出三角形中较小两边的平方和与较大边的平方进行比较，如果相等，可判断这个三角形是直角三角形，否则不是。
勾股数：满足a 2＋b 2=c 2的3个正整数，且满足a 2＋b 2=c 2。
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么?222a b c +=。
强调说明：勾——最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边2、勾股定理的逆定理：如果三角形三边a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形就为直角三角形。
3、3、定理的证明方法勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 易错点1,,,勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是，只有在直角三角形中才有两边（较小的两边）的平方和等于第三边（最长的边）的平方，非直角三角形不具备这种关系。
勾股定理经典易错题及学习知识点类题总结计划
人教版八年级下册勾股定理全章米，此刻要在河畔建一自来水厂，向A、 B 两镇供水，类题总结铺设水管的花费为每千米 3 万，请你在河流CD上选择水厂的地点M，使铺设水管的花费最节俭，并求出种类一：等面积法求高 B总花费是多少？【例题】如图，△ ABC 中，∠ACB=90 0 ，AC=7 ， BC=24 ， CD⊥ AB 于 D。
C A（ 1）求 AB 的长；C DL （ 2）求 CD 的长。
A D B种类二：面积问题【例题】以下左图，全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，此中最大的正方形的边和长为7cm,2则正方形A， B， C， D 的面积之和为 ___________cm 。
CDBA7cm【练习 1】如上右图，每个小方格都是边长为 1 的正方形，（1）求图中格点四边形 ABCD的面积和周长。
（2）求∠ ADC的度数。
【练习 1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为 4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短行程．【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河畔去饮水，而后回家 . 他要达成这件事情所走的最短行程是多少？小河【练习 2】如图，四边形ABCD是正方形，A 北A D 牧童东AE ⊥ BE ，且 AE =3， BE =4，暗影 EB 小屋部分的面积是 ______.B C【练习 3】如图字母B所代表的正方形的面25积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194B169种类四：判断三角形的形状种类三：距离最短问题【例题】假如ABC的三边分别为 a、b、 c，且满【例题】如图， A、 B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。
别到河的距离为AC=10千米， BD=30 千米，且 CD=30千2 2种类六：结构应用勾股定理【练习 1】已知△ABC的三边分别为m－n ,2mn,2 2m+n (m,n 为正整数 , 且 m＞n), 判断△ ABC能否为直【例题】如图，已知：在中，，角三角形 . ，. 求： BC 的长 .【练习 2】若△ABC的三边a、b、c知足条件22 2a ＋b ＋c ＋338＝ 10a＋24b＋26c，试判断△ ABC的已知 a，b，c 为△ ABC三边，且知足【练习】四边形 ABCD 中，∠ B=90 °， AB=3 ， BC=4 ，CD=12 ，AD=13 ，求四边形 ABCD 的面积。
(完整版)八年级勾股定理题型总结
《勾股定理》典型例题解析一、知识重点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：假如直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理假如三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且知足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意办理好以下几个重点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②知足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③获得的结论：这个三角形是直角三角形，而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数知足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数一定是正整数，不可以是分数或小数。
②一组勾股数扩大同样的正整数倍后，还是勾股数。
常有勾股数有：（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 )( 7，24， 25 ) ( 8，15， 17 )(9 ， 12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依照是两点之间线段最短。
二、考点解析考点一：利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积：（1）暗影部分是正方形；（ 2）暗影部分是长方形；（ 3）暗影部分是半圆．2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，尝试究三个半圆的面积之间的关系．3、以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S 3S 1S 24、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
AB C a b c 弦股勾A BD 5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
初二年级数学上册每章节重难点及易错点整理
初二年级数学上册每章节重难点及易错点整理
第一章
教学内容：勾股定理
重点：勾股定理的内容及应用，判断怎样得到直角三角形难点：勾股定理的应用，圆柱的展开，勾股定理的逆定理易错点：侧面展开图后直角三角形的理解与应用
第二章
教学内容：实数
重点：平方根，立方根的概念，实数的定义，计算器的应用
难点：理解无理数是无限不循环小数，实数运算的某些技巧掌握，分母有理化
易错点：无限不循环小数是无理数，无限循环或者有限小数是有理数，理解平方根有两个
第三章
教学内容：图形的平移与旋转
重点：平移的特征，简单的平移作图，旋转特征的了解
难点：旋转作图，图案的设计
易错点：简单的平移作图与旋转作图
第四章
教学内容：平行四边形性质的探索
重点：特殊平行四边形的性质多边形内角和的推导
难点：特殊平行四边形的性质与判断，多边形外角和的推导过程
易错点：平行四边形的判定，特殊平行四边形的判定
第五章
教学内容：位置的确定
重点：平面直角坐标系的理论，坐标的变化
难点：物体位置变化的确定，坐标变化后物体的变化
易错点：平面直角坐标系中坐标的表示，坐标变化的情况第六章
教学内容：一次函数
重点：一次函数的【解析】式及其图像，一次函数的感念及其性质，待定系数法
难点：变量与函数对应关系的了理解，一次函数图像的应用。
易错点：一次函数的表达式及其用待定系数法确定一次函数的表达式
第七章
教学内容：二元一次方程组
重点：用代入法和加减消元法解二元一次方程组
难点：二元一次方程组的应用题，二元一次方程组及一次函数
易错点：二元一次方程组的解法及其应用题。
2024八年级数学上册期末复习1勾股定理2易错专项训练习题课件新版北师大版
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m.
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易错点4 没有明确直角顶点，考虑不全面出错
4. 同一平面内有 A ， B ， C 三点， A ， B 两点之间的距离为
5 cm，点 C 到直线 AB 的距离为2 cm，且△ ABC 为直角三
角形，则满足上述条件的点 C 有
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个.
易错点5 不证明直角直接应用其性质缺少步骤出错
5. 如图，在△ ABC 中， D 是△ ABC 内一点，连接 AD ，
BD ，且 AD ⊥ BD . 已知 AD ＝4， BD ＝3， AC ＝13，
BC ＝12.求图中阴影部分的面积.
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解：因为 AD ⊥ BD ，
所以 AB2＝ AD2＋ BD2，
因为 AD ＝4， BD ＝3，
所以 AB ＝5.
BD － DC ＝4. 综上所述， BC 的长为14或4.
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易错点3 求立体图形中两点之间的最短距离时无法找到正确
的展开方式出错
3. 【新考法·展开法】如图是一个长8 m，宽7 m，高5 m的
仓库，在其内的点 A 处有一只壁虎， B 处有一只蚊子，已
知 CA ＝2 m， PB ＝4 m，则壁虎沿仓库内爬到蚊子处的
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在Rt△ ABD 中， AB ＝15， AD ＝12，由勾股定理得 BD2
＝ AB2－ AD2＝81，所以 BD ＝9.
在Rt△ ADC 中， AC ＝13， AD ＝12，由勾股定理得 DC2
＝ AC2－ AD2＝25，所以 DC ＝5.所以 BC ＝ BD ＋ DC ＝
人教版八年级数学下学期期末重难点知识专题02勾股定理重难点知识(解析版).doc
学校班级姓名1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】2专题02 勾股定理期末总复习重难点知识一遍过一、基础知识点综述知识点1. 勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方之和等于斜边的平方.2. 勾股定理逆定理：三角形中两边的平方之和等于第三边的平方，这个三角形为直角三角形.3. 勾股数：若三个正整数a ，b ，c 满足a ²+b ²=c ²，则称a ，b ，c 是勾股数. 常见勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,40,41……（1）设n 为正整数，由a =2n +1，b =2n （n +1），c =2n （n +1）+1，可得许多组互质的勾股数； （2）设n 为不小于4的偶数，由a =2n ，b =n 2-1，c = n 2+1，可得许多组互质的勾股数. 4. 含特殊角的三角形的小结论图 形结 论222233312333268c a b a a b S abS a b c=======222221214c a a c S aS c ====【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】323333=4c a a c S a==△2323=4h a S a=△ 5. 勾股定理应用（1n （n 为正整数）的点； （2）平面直角坐标系中点与点之间的距离； （3）格点三角形（顶点都在方格点）的三边上的高； （4）动点问题（等腰三角形、直角三角形存在性问题等）； （5）最短路径求解（立体问题转化为平面问题） 6. 勾股定理的证明方法（需掌握的）毕达哥拉斯证明方法A BDC A'D'C'赵爽弦图证明法ab c总统证明法ac bb ac【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】4刘徽证明法ac b ac b上述四种证明过程均是采用的面积法，同学们可对照图形自己完成证明过程.二、精选题型精讲题1. 基础题型（1）三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A ．a :b :c =13∶5∶12 B ．a 2-b 2=c 2 C ．a 2=(b +c )(b -c ) D ．a :b :c =8∶16∶17（2）如图1-1，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ,CD ,EF ,GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）图1-1A ．CD ,EF ,GHB .AB ,EF ,GHC .AB ,CD ,GH D .AB ,CD ,EF（3）如图1-2，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2， 则S 1+S 2值为图1-2【答案】（1）D ;（2）B ；（3）68.【解析】解：（1）A ：22213512=+，所以A 正确； B ：a 2-b 2=c 2，即a 2 = b 2+c 2，所以B 正确；C：a2=(b+c)(b-c)，即b2 =a2+c2，所以C正确；D：82+162≠172，故D错误.（2）由图可知：AB2=8；CD2=20；EF2=5；GH2=13；∴AB2 +EF2 =GH2故答案为B；（3）如图1-3所示.因为四边形ABCD是正方形，所以∠ACD=∠CAD=45°，图1-3因为四边形DEFG是正方形，所以DE=EF=EC=6，即S1=36；如图1-4，图1-4由正方形性质，得：∠ACB=∠BAC=45°，即△AEH及△CFG是等腰直角三角形，所以AE=CF=EF，因为正方形边长为12，所以AC2，所以EF2,即S2=32，故S1+S2=68.5【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6题2. 基础强化探究（1）如图2-1所示，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A (8，0)、C （0,1）、D 为OA 的中点，P 是BC 边上一点. 若△POD 为等腰三角形，则满足条件的所有的P点坐标为图2-1【答案】(3,1)、 (2－3,1)、(2+3,1)；【解析】解：因为D 是OA 的中点，A (8，0)，所以OD =4，①当OD 为底时，P 在线段OD 的垂直平分线上，即P 点横坐标为2， 即P 点坐标为（2,1）；②当OD 为腰时，分别以O 、D 为圆心，以OD 的长为半径画弧，与线段BC 的交点即为P ，如图2-2所示.图2-2∵OP 1=2，OC =1，在Rt △COP 1中，由勾股定理得：CP 13，即P 13,1)； 过D 作DH ⊥BC 与H ， ∵DP 2=OD =2，在Rt △DHP 2中，由勾股定理得：HP 13，即P 2(23,1)； 同理，得P 33【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】7（2）如图2-3是赵爽弦图变化而得的，由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD 、EFGH 、MNKT 的面积分别为a 、b 、c . 若a +b +c =15，则b=图2-3【答案】5.【解析】解：设八个直角三角形的面积为S ， a =4S +b ，c =b －4S ， ∵a +b +c =15， ∴4S +b +b + b －4S =15， 解得：b =5.（3）如图2-4所示，在矩形ABCD 的对称轴l 上找一点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有个；图2-4【答案】5.【解析】解：因为P 在ABCD 的对称轴上，所以PB =PC ，即△PBC 为等腰三角形（l 与BC 交点除外） 当AB 为底时，P 是AB 的垂直平分线与l 的交点，有一个；当AB 为腰时，分别以A 、B 为圆心以AB 的长为半径画弧，与直线l 的交点有4个，均符合要求 综上，符合条件的P 点有5个. 如下图2-5所示.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】8图2-5题3. （1）尺规作图：如图1，请在x 轴上作出表示（，0）的点（保留清晰作图痕迹，不写作法）．（2）如图2，已知点A （4，2），点B 在x 轴上，若∠OAB =90°，试求点B 的坐标；（3）如图3，已知点A （4，2），点P 在x 轴上，若△OAP 为等腰三角形，试求点P 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图3-4所示，图3-4找到点A (4,2)，连接OA ，由勾股定理得：OA =25以O 为圆心，以OA 的长为半径画弧，交于x 正半轴于点M ，即为所求. （2）如图3-5所示，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】9图3-5过A 点作AC ⊥x 轴于C ，设B 点坐标为（m ，0） 则OC =4，CA =2，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AO 2+AB 2=OB 2, 在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AO 2 =20,在Rt △ACB 中，由勾股定理得：AC 2+CB 2=AB 2，即4+（m -4）2=AB 2 ∴20+4+（m -4）2=m 2解得：m =5，即B 点坐标为（5,0）；（3）①以O 为圆心，以OA 为半径画弧，交x 轴于点P 1，P 2，如图3-6所示，图3-6由（1）知，P 1（25，0），P 2（－25，0）；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧，交x 轴于点P 3，如图3-7所示，图3-7【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】10由对称性可得：P 3（8,0）；③当OA 为底时，作OA 的垂直平分线交x 轴于点P 4，过A 作AH ⊥x 轴于H ，如图3-8所示，图3-8设P 4坐标为（m ，0），则AP 4=OP 4=m ，HP 4=4－m ，AH =2， 在Rt △AHP 4中，由勾股定理得： m 2=(4－m )2+22，解得：m =52，即P 4（52，0）. 综上所述，△OAP 为等腰三角形时，P 点坐标为（25，0），（－25，0），（8,0），（52，0）. 题4. 小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高.小明说:“这楼起码20层!”小华却不以为然:“20层?我看没有，数数就知道了!”小明说:“有本事,你不用数也能明白!”小华想了想说:“没问题!让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各选A ,B 两点,测量数据如图4-1所示,其中矩形CDEF 表示楼体, AB =150m , CD =10m , ∠A =30°, ∠B =45°(A ,C ,D ,B 四点在同一直线上).问:(1)楼高多少米?(2)若每层楼按3m 计算,你支持小明还是小华的观点呢?请说明理由.图4-1【答案】见解析.【解析】解：(1)设楼高为x m , 则CF =DE =x ,【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】11∵∠A =30°,∠B =45°,∠ACF =∠BDE =90°,∴AF =2CF =2x ,在Rt △ACF 中,根据勾股定理得AC =3x , ∵∠BDE =90°,∠B =45°,∴BD =x ,∴3x +x =150－10,解得x =703－70(m ),即楼高为703－70(m ).(2)x =703－70≈70(1.73－1)=70×0.73=51.1(m )<3×20(m )，∴我支持小华的观点,这楼不到20层.题5. 如图5-1，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB 为3.2m ，在入口的一侧安装了停止杆CD ，其中AE 为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C 恰好与地面接触．此时CA 为0.7m ．在此状态下，若一辆货车高3m ，宽2.5m ，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据：3≈1.7）图5-1【答案】见解析.【解析】解：在线段AB 之间找一点F ，使BF=2.5 m ，过点F 作GF ⊥AB 交CD 于点G ，如图5-2【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】12图5-2∵AB=3.2 m ，CA=0.7 m ，BF=2.5 m ，∴CF=AB －BF+CA=1.4 m ，∵∠ECA=60°，∴GF= CA=≈2.38m ，∵2.38<3∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．题6. 如图6-1所示，A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点，且A 、B 、C 三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；（2）在△ABC 中，试求出AB 边上的高．【答案】见解析.【解析】解：（1）（5,1）、（1,5）、（7，7）；（2）求得△ABC 的面积为：9－1.5－2－1.5=4，由勾股定理得，线段AB 10，所以AB 45510=.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
中考数学复习指导：勾股(逆)定理应用中的易错点
勾股（逆）定理应用中的易错点勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，且∠C＝90°，如果已知一个三角形的三条边长，则可以利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是不是直角三角形．由于勾股定理及其逆定理形式上都比较简单，因而在运用这两个定理时，同学们往往因不够重视而出现这样那样的错误．现将几种典型错解列举如下，并作简要的剖析，供同学们参考．一、忽视应用的前提例1 △ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，a＝3，b＝4，c为质数，求c．错解由勾股定理得：c2＝a2＋b2＝32＋42＝25，故c＝5．分析不注意定理的成立条件，而盲目使用勾股定理，这样便出现了错解．其实，只有在直角三角形中，勾3股4弦5才是成立的，但本题条件中并没有说△ABC是直角三角形，故只能用一般三角形三边之间的关系来解．正解由三角形的三边关系知：b－a<c<b＋a，即1<c<7，又c为质数，故c＝2，或c＝3，或c＝5．例2 如图1，在△ABC中，AB＝10，BC＝16，BC边上的中线AD＝6，试说明AB＝AC．错解∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BC＝8，又∵AD＝6，∴在△ADC中，由勾股定理，得而AB＝10，故AB＝AC．分析由于受题目题设、结论及图形的影响，在没有进行推证说明的情况下，就先行认为△ADC是直角三角形，忽视了运用勾股定理的前提，导致解题过程错误．正解∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝BC＝8．又∵AB＝10，AD＝6，且有62＋82＝102，即AD2＋BD2＝AB2，则△ADB是直角三角形，且AD⊥BC．∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：∴AB＝AC．友情提示：勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是：只有在直角三角形中才有两边（较小的两边）的平方和等于第三边（最长的边）的平方，在非直角三角形中不具备这种关系，因此，在非直角三角形中或者是不知道三角形是否是直角三角形的情况下，不能盲目地使用勾股定理．二、忽视直角所对的边是斜边例3 在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a，b，c，且a＝b，b＝8，求c的长．错解∵△ABC为直角三角形．由勾股定理得：a2＋b2＝c2，且c＝＝10.分析错解未抓住题目实质，受勾股定理的表达式：a2＋b2＝c2的影响而理所当然的认为c是斜边，其实，由∠B＝90°，知道斜边应该是b（如图2）．因此，我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行解题．正解因为∠B＝90°，则在Rt△ABC中，由勾股定理得：友情提示：在使用勾股定理时，要注意直角所对的边才是斜边，而并不一定是我们所习惯的c为斜边．三、忽视隐含情形例4 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边长，错解第三边长为：分析同学们都知道3.4.5是最小的勾股数，在我国古代就已有“勾三、股四、弦五”的说法，这意味着当两直角边分别为3和4时，斜边长为5，部分学生在解这道题时，由于思考不周全，忽略隐含情形，误认为一边是3，一边是4，第三边长也就是斜边长为5．实际上，题目中包含着两种情况：一种是已知的两边之长3，4都是直角边长，这时的第三边即斜边长为5；另一种是已知的两边中较长的边（长）4为斜边长，长为3的边为直角边，此时的第三边（另一条直角边）长为．正解(1)当两直角边为3和4时，第三边长为：；(2)当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为：∴第三边的长为5或．友情提示：在给出直角三角形两条边长，并且没有确定它们都是直角边时，第三边既可能是斜边，也可能是直角边．四、忽视分类讨论例5 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12．求BC的长．错解如图3，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：分析由于题目并没有给出对应的图形，所以根据习惯画出了图3，认为三角形的高在三角形的内部，忽视了三角形的高也可能在三角形的外部（即图4所示），此时BC＝BD－CD．错解忽视了分类讨论思想的运用.正解如图3，当△ABC的高AD在三角形内部时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：如图4，当△ABC的高AD在三角形外部时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：友情提示：在题目没有给出相应图形时，我们一定要周密思考，根据题意画出所有符合条件的图形进行解答．五、忽视区别应用勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理则是直角三角形的判定定理．在已知直角三角形中，需要用到三边的关系时用勾股定理；而已知三边想用直角三角形的性质定理进行有关计算或推理时，则需先用勾股定理的逆定理判断它是否是直角三角形．在使用时要特别注意区别对待，例6 △ABC的三边长分别为7，24，25，试判断△ABC的形状．错解∵72＋242＝252，∴由勾股定理可知△ABC是直角三角形．分析虽然最终判断的结果是对的，但是判断的根据是错误的．因为勾股定理是直角三形的性质定理，故只有在直角三角形中才能使用，而本题需对三角形形状作出判断，判断的依据是勾股定理的逆定理，错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念和区别，导致错误运用．正解∵72＋242＝252，∴由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形．友情提示：勾股定理是直角三形的性质，可以用它来解决直角三角形的三边的等量关系．而勾股定理的逆定理是根据三边的一个等量关系来判断三角形的形状的.六．忽视定理实质例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)（a－b）＝c2，则( )(A)∠A为直角(B)∠C为直角(C)∠B为直角(D)不是直角三角形错解选B．分析因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为∠C，因而有同学就习惯性的认为∠C就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误，该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，应根据这一等式进行判断．正解∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2．故选A．例8 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是( )(A)1.2.3 (B)32，42，52(C)，，(D)，，错解选B．分析对勾3股4弦5的形式根深蒂固，对概念的理解流于表面形式，判断一个三角形是不是直角三角形时，应将所给三边的长进行平方看是否满足a2＋b2＝c2的形式．正解因为，故选C．友情提示：在使用勾股定理及其逆定理时，既要看是否满足a2＋b2＝c2的形式，更要看这个定理中字母a，b，.c的实质．七、忽视最大边所对的角是直角例9 一个三角形的三边的长分别是a＝，b＝，c＝2．问这个三角形是直角三角形吗？所以这个三角形不是直角三角形．分析以上解答是错误的，因为根据三角形的边角关系可知，最大的角所对的边最大，而直角三角形中直角是最大的角，直角所对的边才是它的最大边即斜边，直角三角形中最大的边所对的角是直角．所以要判断一个三角形是不是直角三角形，先得找到它的最大边，而错解中并没有判断哪条边是最大边，却受a2＋b2＝c2的影响，认为c为最大边．实际上本题中b才是最大边．所以应判断a2＋c2与b2之间的关系．根据勾股定理逆定理可知由a，b，c为边组成的三角形为直角三角形．例10 已知△ABC的三边的长分别是BC＝41，AC＝40，AB＝9．试说明△ABC是直角三角形．错解∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，∴BC2＝AC2＋AB2，∴∠C＝90°．∴△ABC是直角三角形．分析以上解题思路是对的，但∠C＝90°是不对的．直角三角形中哪个角是直角，应以最大边所对的角来确定，这里的最大边为BC，其所对的角为∠A，所以这里的∠A＝90°．而不是∠C＝90°．正解∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，∴BC2＝AC2＋AB2，∴∠A＝90°．∴△ABC是直角三角形．友情提示：在判断所给的线段能否组成直角三角形时，要先确定最大边，然后再通过计算，判断最大边的平方是否等于其它两边的平方和，应用勾股逆定理时，一定要注意最长边对的角为直角．勾股定理及其逆定理是初中几何中的重要工具，因此熟练掌握它们的使用方法是十分重要的，我们要加深理解这两个定理的本质意义，把“忽视”变为“重视”，尽量减少错误的发生．。
八上数学 第一章勾股定理知识点归纳+易错题精选(含答案)
八年级数学上册 第一章 勾股定理知识点+易错题精选1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
勾股定理 易错题精选一．选择题1．以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．6，8，10C ．5，8，13D ．12，13，142．用四个边长均为a 、b 、c 的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（ ）A ．c 2=a 2+b 2B ．c 2=a 2+2ab+b 2C ．c 2=a 2﹣2ab+b 2D ．c 2=（a+b ）2．3．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都是矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ）A．360 B．400 C．440 D．4844．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（）A．3 B．4 C．5 D．65．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c26．如图，在正方形网格中，每个小正方形的方格的边长均为1，则点A到边BC的距离为（）A． B．C． D．37．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2=a2 B．a：b：c=3：4：5C．∠C=∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C=9：12：158．某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗（如图）．已知三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定9．长方形门框ABCD中，AB=2m，AD=1.5m．现有四块长方形薄木板，尺寸分别是：①长1.4m，宽1.2m；②长2.1m，宽1.7m；③长2.7m，宽2.1m；④长3m，宽2.6m．其中不能从门框内通过的木板有（）A．0块 B．1块 C．2块 D．3块10．如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A 和B，DA=24千米，CB=16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A．20千米B．16千米C．12千米D．无法确定二．填空题11．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x= ．12．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为．14．观察下列式子：当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a= ，b= ，c= ．15．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．16．已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的最大内角的大小为度．17．如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12cm，BC=3cm，CD=4cm，AD=13cm．求四边形ABCD的面积= cm2．18．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向150米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为米（精确到0.1m）．19．上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B 处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是海里．20．如图是一段楼梯，∠A=30°，斜边AC是4米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯米．二．解答题21．如图，你能用它验证勾股定理吗？（提示：以斜边为边长的正方形的面积+四个三角形的面积=外正方形的面积）22．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13．试判断△ACD的形状，并说明理由．23．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ；△ABC的面积为．解决问题：（2）已知△ABC中，AB=，BC=2，AC=5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．24．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．25．某研究性学习小组进行了探究活动．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB=13m，梯子底端离墙角的距离BO=5m．（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD=4m吗？为什么？（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O 的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？26．如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？参考答案一．选择题1．【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．【解答】解：A、22+32=13≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误；B、62+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项正确；C、52+82=89≠132，不能构成直角三角形，故本选项错误；D、122+132=313≠142，不能构成直角三角形，故本选项错误；故选：B．2．【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式．【解答】解：由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为c，里边的小四边形也为正方形，边长为b﹣a，则有c2=ab×4+（b﹣a）2，整理得：c2=a2+b2．故选：A．3．【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=6+8=14，所以，KL=6+14=20，LM=8+14=22，因此，矩形KLMJ的面积为20×22=440．故选：C．4．【分析】OA1=1，OA2==，OA3==，找到OA n=的规律即可计算OA1到OA25中长度为正整数的个数．【解答】解：找到OA n=的规律，所以OA1到OA25的值分别为，，……，故正整数为=1， =2， =3， =4， =5．故选：C．5．【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；故选：C．6．【分析】首先利用勾股定理求出三角形的边长，然后得到三角形是等腰三角形，进而利用勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：根据勾股定理可知：AB==，AC==，BC==，则△ABC是等腰三角形，过点A作AD⊥BC，垂足为D，即BD=CD=BC=，AD===，即点A到BC的距离为．故选：C．7．【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．【解答】解：b2﹣c2=a2则b2=a2+c2△ABC是直角三角形；a：b：c=3：4：5，设a=3x，b=4x，c=5x，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形；∠C=∠A﹣∠B，则∠B=∠A+∠C，∠B=90°，△ABC是直角三角形；∠A：∠B：∠C=9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x=180°，解得，x=5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．8．【分析】根据三边上的树苗的数分别求得三边的长为13、47、49，根据三边的长判断三角形的形状即可．【解答】解：∵三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，∴三边的长分别为13米、47米、49米，假设为直角三角形且直角三角形的最长边为x，则：x2=132+472=2378，∵492=2401＞2378，∴该三角形为钝角三角形．故选：B．9．【分析】求出长方形门框的对角线长，宽小于或等于长方形门框的对角线的长的木板就可通过．【解答】解：门框的对角线长是： =2.5m．宽小于或等于2.5m的有：①②③．故选：B．10．【分析】根据题意利用勾股定理得出AD2+AE2=BE2+BC2，进而求出即可．【解答】解：设AE=xkm，则BE=（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，∴AD2+AE2=BE2+BC2，故242+x2=（40﹣x）2+162，解得：x=16，则煤栈E应距A点16km．故选：B．二．填空题11．【分析】根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答．【解答】解：分两种情况进行讨论：①两直角边分别为6，8，由勾股定理得x==10，②一直角边为6，一斜边为8，由勾股定理得x==2；故答案为：10或2．12．【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，∴AF=AB﹣BF．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=•AF•BC=10．故答案为：10．13．【分析】根据∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=，在Rt△ADC中，DC===1，∴BC=+1．故答案为： +1．14．【分析】由n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5；n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1，满足勾股数．【解答】解：∵当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…∴勾股数a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1．故答案为：2n，n2﹣1，n2+1．15．【分析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．【解答】解：∵2ab=（a+b）2﹣c2，∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2，∴a2+b2=c2，∵三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，∴此三角形是直角三角形，故答案为：直角．16．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形，进而可得答案．【解答】解：∵（）2+（）2=（）2，∴三角形为直角三角形，∴这个三角形的最大内角度数为90°，故答案为：9017．【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出△CBD是直角三角形，分别求出△ABD和△CBD的面积，即可得出答案．【解答】解：连结BD，在△ABD中，∵∠A=90°，BC=3cm，DC=4cm，∴BD==5（cm），S△BCD=BC•DC=×3×4=6（cm2），在△ABD中，∵AD=13cm，AB=12cm，BD=5cm∴BD2+AB2=AD2，∴△ABD是直角三角形，∴S△ABD=AB•BD=×12×5=30（cm2），∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=6+30=36（cm2）．故答案为：36．18．【分析】根据已知条件得到∠BAC=90°，AB=150米，AC=120米，由勾股定理即可得到结论．【解答】解：根据题意得：∠BAC=90°，AB=150米，AC=120米，在Rt△ABC中，BC=≈192.2米，故答案为：192.219．【分析】根据方位角可知船与海岛、灯塔的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，再根据勾股定理，即可求得海岛B与灯塔C之间的距离．【解答】解：因为∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，所以△ABC是直角三角形，∵AB=15×2=30海里，∠BAC=60°，∴AC=60海里，∴BC==30（海里）故答案为：3020．【分析】利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，再根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，斜边AC是4米，∴BC=AC=2米，∴AB===2（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=（2）米．故答案为：2+2三．解答题（共6小题）21．【分析】根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．【解答】解：根据题意，中间小正方形的面积；化简得a2+b2=c2，即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．22．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，在△ACD中，再由勾股定理的逆定理，判断三角形的形状．【解答】解：△ACD是直角三角形．理由是：∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴AC2=AB2+BC2=9+16=25，∴AC=5，又∵AC2+CD2=25+144=169，AD2=169，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形．23．【分析】根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算．【解答】解：（1）AB==5，BC==，AC==，△ABC的面积为：4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1=，故答案为：5；；；；（2）△ABC的面积：7×2﹣×3×1﹣×4×2﹣×7×1=5．24．【分析】如图，本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB 的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得AB=500米，∵AB•CD=BC•AC，∴CD=240米．∵240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．25．【分析】（1）在Rt△AOB中利用勾股定理求得AO的长即可；（2）在梯子长度不变的情况下，求出DO的长后减去BO的长求得BD即可作出判断；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质回答问题．【解答】解：（1）∵AO⊥DO，∴AO=，=，=12m，∴梯子顶端距地面12m高；（2）滑动不等于4m，∵AC=4m，∴OC=AO﹣AC=8m，∴OD=，=，∴BD=OD﹣OB=，∴滑动不等于4m．（3）AB上的中点到墙角O的距离总是定值，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．26．【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．【解答】解：（1）如图所示，∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，∴AD=12cm，∴AB===12（cm）．答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是12cm；（2）∵AD=12cm，∴蚂蚁所走的路程==20，∴蚂蚁的平均速度=20÷4=5（cm/s）．。
勾股定理重难点知识总结
在Rt△ABC中
BC2 AC2 AB2
52 122 169 132
∴BC=13(千米) 即甲乙两人相距13千米
在我国古代数学著作《九章 算术》中记载了一道有趣的问 题，这个问题的意思是：有一 个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池的中央有 一根新生的芦苇，它高出水面1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向 岸边，它的顶端恰好到达岸边 的水面，请问这个水池的深度 和这根芦苇的长度各是多少？
A3 O
B
A’ 3π
B
’
12
12
侧面展开图
你学会了吗?
A
A
练习
有一个圆柱,它的
B
高等于12厘米,底面
半径等于3厘米,在
圆柱下底面上的A 点有一只蚂蚁,它想 从点A爬到点B , 蚂
我怎么走 会最近呢?
蚁沿着圆柱侧面爬
行的最短路程是多
A
少? (π的值取3)
B
9cm
B
高 12cm
A
A
长18cm (π的值取3)
A
A
20
12 13
20 13 12
C
16
┓
D5 B C
16 B 5 D
在一个圆柱石凳上，若小
明在吃东西时留下了一点食物
在B处，恰好一只在A处的蚂蚁
B
捕捉到这一信息，于是它想从A
处爬向B处，你们想一想，蚂蚁
怎么走最近？
A以小组Biblioteka 单位,B研究蚂蚁爬行的最
短路线
A
A’
d
B
A’
B
A
A
蚂蚁A→B的路线
勾股定理重难点
第十八章 勾股定理§18．1 勾股定理（一） 一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
三、学案（一）阅读课本第64页，并完成思考题： 1、毕达哥拉斯在地板上的发现：（1）图中线条加黑的三个小正方形围成了一个 ；（2）若设两个较小正方形边长均为a ，则它们的面积都为 ， 设较大的正方形边长为c ，则它的面积为 。
（3）再次观察，可以发现两个小正方形的面积和 较大的正方形面积，即有 ＋ = 。
（4）因为三个正方形边长恰好是围成的等腰直角三角形的三条边，由 ＋ = 可知，等腰直角三角形的两条 边的平方 等于 边的平方。
2、由第1题知等腰三角形具有上述性质，是否一般的直角三角形也具有这样的性质呢？观察下图，尝试探究.（如图，每个小方格的面积均为1）观察图（1）正方形A 中含有____个小方格， 即A 的面积是_____个单位面积；正方形B 中 含有_____个小方格，即B 的面积是_____个单位面积；正方形C 中含有______个小方格，即 C 的面积是________个单位面积．2）正方形A 中含有____个小方格，即A 的面积是_____个单位面积；正方形B 中 含有_____个小方格，即B 的面积是_____个单 位面积；正方形C 中含有______个小方格，即 ________个单位面积．四个直角三角形的面积．）（二）归纳：直角三角形三边关系：勾股定理： ；用公式表示为 。
变式：① ② 。
直角三角形性质归纳：如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： ；（2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（3）直角三角形斜边上的 等于斜边的 。
八年级上册数学勾股定理20个常考知识点归纳
八年级上册数学勾股定理20个
常考知识点归纳
八年级上册数学《勾股定理》20个常考知识点归纳_直线_内错角_三角形
八年级上册数学
《勾股定理》20个常考知识点归纳
1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9、同位角相等，两直线平行
10、内错角相等，两直线平行
11、同旁内角互补，两直线平行
12、两直线平行，同位角相等
13、两直线平行，内错角相等
14、两直线平行，同旁内角互补
15、定理三角形两边的和大于第三边
16、推论三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180"
18、推论1直角三角形的两个锐角互余
19、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角八年级上册数学解题方法+技巧，暑假熟练掌握，开学无忧！【人教版】七年级数学上册基础知识归纳，暑期预习必备！初中数学30个“知识点记忆口诀”，暑假提前预习背诵！
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八年级初二数学第二学期勾股定理单元 易错题难题质量专项训练试题
八年级初二数学第二学期勾股定理单元 易错题难题质量专项训练试题一、解答题1．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E .（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；（2）设,BC m AC n ==①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由.②若线段2AD EC =，求m n的值.2．如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG ≌△BDF ；(2)请你连结EG,并求证:EF=EG ；(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； (4)求线段EF 长度的最小值.3．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝3ABCD 的面积．4．（已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB 方向运动，到达点B时运动停止．（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AC，BC上的点，且满足DE⊥EF，垂足为点E，连接DF．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE交AB于点G，连接FG，如图2，猜想AG，GF，FC三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G是AB的中点，求△BFG的面积；②设AG=a，CF=b，△BFG的面积记为S，试确定S与a，b的关系，并说明理由．6．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M 运动的时间为t （秒），①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．图1 图2 备用图7．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.（1）求CD 的长.（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)9．如图，,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ︒∆∠===是边上的两点，点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 沿B C A →→运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求线段PQ 的长；（2）求点Q 在BC 上运动时，出发几秒后，PQB 是等腰三角形；（3）点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．10．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.11．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.12．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．（1）则BC =____________cm ；（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．13．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．14．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，（1）求证：ABD ACE ≅；（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；②若3BD =，4CF =，求AD 的长，15．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．16．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．17．（1）计算：1312248233⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝； （2）已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．18．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .（1）求证:CED ADB ∠=∠；（2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .19．（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+； 勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝ 弦25＝（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式． （4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37．20．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512m n = 【分析】（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案； ②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.【详解】（1）解：作图，如图所示：（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.理由如下：依题意得， BD BC m ==，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒222BC AC AB ∴=+22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+222AD m AD n ∴+-)()2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-0=；∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ==== 2AD EC =2233AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=222BC AC AB ∴+=22223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 22224493m n n mn m +=++ 25493n mn = 512m n ∴= 【点睛】本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．2．(1)见解析(2) 见解析(3) 见解析（4）5【解析】【分析】（1）由D 是AB 中点知AD =BD ，结合DG =DF ，∠ADG =∠BDF 即可得证； （2）连接EG ．根据垂直平分线的判定定理即可证明．（3）由△ADG ≌△BDF ，推出∠GAB =∠B ，推出∠EAG =90°，可得EF 2=（8-x ）2+y 2，EG 2=x 2+（6-y ）2，根据EF =EG ，可得（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2，由此即可解决问题． （4）由EF =22EC CF +=2247(8)()33x x -+-=225(4)259x -+知x =4时，取得最小值．【详解】解：（1）∵D 是边AB 的中点，∴AD =BD ，在△ADG 和△BDF 中， ∵AD BD ADG BDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△BDF （SAS ）；（2）如图，连接EG ．∵DG =FD ，DF ⊥DE ，∴DE 垂直平分FG ．∴EF =EG ．（3）∵D 是AB 中点，∴AD =DB ，∵△ADG ≌△BDF ，∴∠GAB =∠B∵AB =10,BC =6,AC =8.∴2AB = 2BC + 2AC∴∠ACB =90°，∴∠CAB +∠B =90°，∠CAB +∠GAB =90°，∴∠EAG =90°，∵AE =x ，AC =8，∴EC =8-x ，∵∠ACB =90°，∴EF 2=（8-x ）2+y 2，∵△ADG ≌△BDF ，∴AG =BF ，∵CF =y ，BC =6，∴AG =BF =6-y ，∵∠EAG =90°，∴EG 2=x 2+（6-y ）2，∵EF =EG ，∴（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2，∴y =473x -，（74＜x ＜254）． （4）∵EC =8-x ，CF =y =43x -73，∴EF=== ∵（x -4）2≥0， ∴225(4)259x -+≥25， ∴当x =4时，EF 取得最小值，最小值为5．故线段EF 的最小值为5．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（1）∠BGD ＝120°；（2）见解析；（3）S 四边形ABCD ＝【解析】【分析】（1）只要证明△DAE ≌△BDF ，推出∠ADE=∠DBF ，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；（2）如图3中，延长GE 到M ，使得GM=GB ，连接BD 、CG ．由△MBD ≌△GBC ，推出DM=GC ，∠M=∠CGB=60°，由CH ⊥BG ，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH ，由CG=DM=DG+GM=DG+GB ，即可证明2GH=DG+GB ；（3）解直角三角形求出BC 即可解决问题；【详解】（1）解：如图1﹣1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝DB ，∠A ＝∠FDB ＝60°，在△DAE 和△BDF 中，AD BD A BDF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAE ≌△BDF ，∴∠ADE ＝∠DBF ，∵∠EGB ＝∠GDB+∠GBD ＝∠GDB+∠ADE ＝60°，∴∠BGD ＝180°﹣∠BGE ＝120°．（2）证明：如图1﹣2中，延长GE 到M ，使得GM ＝GB ，连接CG ．∵∠MGB ＝60°，GM ＝GB ，∴△GMB 是等边三角形，∴∠MBG ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠GBC ，在△MBD 和△GBC 中，MB GB MBD GBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBD ≌△GBC ，∴DM ＝GC ，∠M ＝∠CGB ＝60°，∵CH ⊥BG ，∴∠GCH ＝30°，∴CG ＝2GH ，∵CG ＝DM ＝DG+GM ＝DG+GB ，∴2GH ＝DG+GB ．（3）如图1﹣2中，由（2）可知，在Rt △CGH 中，CH ＝GCH ＝30°， ∴tan30°＝GH CH， ∴GH ＝4，∵BG ＝6，∴BH ＝2，在Rt △BCH 中，BC=∵△ABD ，△BDC 都是等边三角形，∴S 四边形ABCD ＝2•S △BCD ＝×（2＝． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 4．（1）S=24(06)464(616)t t t <⎧⎨-+<<⎩（2）10,103⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）存在，(6,6)或(6,10-，(6,2)【解析】【分析】（1）当P 在AC 段时，△BPD 的底BD 与高为固定值，求出此时面积；当P 在BC 段时，底边BD 为固定值，用t 表示出高，即可列出S 与t 的关系式；（2）当点B 的对应点B ′恰好落在AC 边上时，设P （m ，10），则PB=PB ′=m ，由勾股定理得m 2=22+（6-m ）2，即可求出此时P 坐标；（3）存在，分别以BD ，DP ，BP 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P 坐标即可．【详解】解：（1）∵A ，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），∴OA=6，OB=10，当点P在线段AC上时，OD=2，BD=OB-OD=10-2=8，高为6，∴S=12×8×6=24；当点P在线段BC上时，BD=8，高为6+10-t=16-t，∴S=12×8×（16-t）=-4t+64；∴S与t之间的函数关系式为：240t6S4t64(6t16)<≤⎧=⎨-+<<⎩（）；（2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图1，∵OB′=OB=10，OA=6，∴AB′=22OB OA-＇=8，∴B′C=10-8=2，∵PC=6-m，∴m2=22+（6-m）2，解得m=103则此时点P的坐标是（103，10）；（3）存在，理由为：若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图2，①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8，在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP1228627-=∴AP1＝10−7，即P1（6，10-27），②当BP2=DP2时，此时P2（6，6）；③当DB=DP3=8时，在Rt△DEP3中，DE=6，根据勾股定理得：P3E=22-=，8627∴AP3=AE+EP3=27+2，即P3（6，27+2），综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，10-27），（6，27+2）．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用．=，理由见解析.5．(1)45°；(2)GF=AG+CF，证明见解析；(3)①6；②s ab【解析】【分析】（1）如图1中，连接BE．利用全等三角形的性质证明EB=ED，再利用等角对等边证明EB=EF即可解决问题．（2）猜想：GF=AG+CF．如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，证明△GDH≌△GDF（SAS）即可解决问题．（3）①设CF=x，则AH=x，BF=6-x，GF=3+x，利用勾股定理构建方程求出x即可．②设正方形边长为x，利用勾股定理构建关系式，利用整体代入的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图1中，连接BE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠ECD=∠ECB=45°，∵EC=EC，∴△ECB≌△ECD（SAS），∴EB=ED，∠EBC=∠EDC，∵∠DEF=∠DCF=90°，∴∠EFC+∠EDC=180°，∵∠EFB+∠EFC=180°，∴∠EFB=∠EDC，∴∠EBF=∠EFB，∴EB=EF，∴DE=EF，∵∠DEF=90°，∴∠EDF=45°故答案为45°．（2）猜想：GF=AG+CF．如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，∴∠CDF=∠ADH，DF=DH，CF=AH，∠DAH=∠DCF=90°，∵∠DAC=90°，∴∠DAC+∠DAH=180°，∴H、A、G三点共线，∴GH=AG+AH=AG+CF，∵∠EDF=45°，∴∠CDF+∠ADG=45°，∴∠ADH+∠ADG=45°∴∠GDH=∠EDF=45°又∵DG=DG∴△GDH≌△GDF（SAS）∴GH=GF，∴GF=AG+CF．（3）①设CF=x，则AH=x，BF=6-x，GF=3+x，则有（3+x）2=（6-x）2+32，解得x=2∴S△BFG=12•BF•BG=6．②设正方形边长为x，∵AG=a，CF=b，∴BF=x-b，BG=x-a，GF=a+b，则有（x-a）2+（x-b）2=（a+b）2，化简得到：x2-ax-bx=ab，∴S=12（x-a）（x-b）=12（x2-ax-bx+ab）=12×2ab=ab．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．6．（1）见详解；（2）①t值为：103s或6s；②t值为：4.5或5或4912．【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；②根据题意得出当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，在Rt△ACD中，AC=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，∴S△ABC=12×5x×4x=40cm2，而x＞0，∴x=2cm，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．由运动知，AM=10-2t，AN=t，①当MN∥BC时，AM=AN，即10-2t=t，∴103t ；当DN∥BC时，AD=AN，∴6=t，得：t=6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为103s或6s．②存在，理由：Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形Ⅲ、当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，∴DE=12AC=5当DE=DM，则2t-4=5，当ED=EM，则点M运动到点A，∴t=5s；当MD=ME=2t-4，如图，过点E作EF垂直AB于F，∵ED=EA，∴DF=AF=12AD=3，在Rt△AEF中，EF=4；∵BM=2t，BF=BD+DF=4+3=7，∴FM=2t-7在Rt△EFM中，（2t-4）2-（2t-7）2=42，∴t=49 12．综上所述，符合要求的t值为4.5或5或49 12．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．7．（1）CD=8；（2）t=4；（3）12-=tvt(26t≤<)【分析】（1）作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=12BC，然后利用勾股定理求出AE，再用等面积法可求出CD的长；（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.【详解】解：（1）如图，作AE⊥BC于E，∵AB=AC，∴BE=12BC=25在Rt△ABE中，()2222AE=AB BE=1025=45--∵△ABC的面积=11BC AE=AB CD 22⋅⋅∴BC AE4545 CD===8AB10⋅⨯（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，∵△ABC的面积=11AC BF=AB CD22⋅⋅，AB=AC∴BF=CD在Rt△CPD和Rt△BQF中∵CP=BQ，CD=BF，∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）∴PD=QF在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10∴22AD=AC CD=6-同理可得AF=6∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t 由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，∵t＞0，∴此种情况不符合题意，舍去；当Q 点在FC 之间时，如图所示，此时PD=6-t ，QF=2t-6由PD=QF 得6-t=2t-6，解得t=4，综上得t 的值为4.（3）同（2）可知v ＞1时，Q 在AF 之间不存在CP=BQ ，Q 在FC 之间存在CP=BQ ，Q 在F 点时，显然CP ≠BQ ，∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ，∴PD=6-t ，QF=vt-6，由PD=QF 得6-t=vt-6， 整理得12-=t v t， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC∴610<≤vt ，代入12-=t v t得 61210<-≤t ，解得26t ≤< 所以答案为12-=t v t (26t ≤<) 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.8．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD 的周长为m+2 【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB ，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，再在Rt △CDB 中利用勾股定理可得x 2+62=（8-x ）2，再解方程可得x 的值，进而得到AD 的长；（3）根据三角形ACB 的面积可得112AC CB m =+， 进而得到AC •BC=2m+2，再在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x= 74，AD=8-74=164；（3）∵△ABC 的面积为m+1，∴12AC•BC=m+1，∴AC•BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．9．（1）出发2秒后，线段PQ的长为2132）当点Q在边BC上运动时，出发83秒后，△PQB是等腰三角形；（3）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.【分析】（1）由题意可以求出出发2秒后，BQ 和PB 的长度，再由勾股定理可以求得PQ 的长度； （2）设所求时间为t ，则可由题意得到关于t 的方程，解方程可以得到解答；（3）点Q 在边CA 上运动时，ΔBCQ 为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答．【详解】(1)BQ=2×2=4cm ，BP=AB−AP=8−2×1=6cm ，∵∠B=90°，由勾股定理得：PQ=22224652213BQ BP +=+==∴出发2秒后，线段PQ 的长为213；(2)BQ=2t ，BP=8−t由题意得：2t=8−t解得：t=83∴当点Q 在边BC 上运动时，出发83秒后，△PQB 是等腰三角形； (3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，∴AC=2268+=10.①当CQ=BQ 时(图1)，则∠C=∠CBQ ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ ，∴BQ=AQ ，∴CQ=AQ=5，∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒；②当CQ=BC 时(如图2)，则BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒③当BC=BQ 时(如图3)，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，∴BE=6824105AB BC AC ⋅⨯==， 所以CE=22BC BE -=185=3.6， 故CQ=2CE=7.2，所以BC+CQ=13.2，∴t=13.2÷2=6.6秒.由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形.【点睛】本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键．10．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，∵CD 平分∠ACB ，∴A′点落在CB 上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，∴A′D=A′B ，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC 平分∠BAD ，∴D′点落在AB 上，∵BC=10，∴D′C=BC ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则D′E=BE ，设D′E=BE=x ，在Rt △CEB 中，CE 2=CB 2-BE 2=102-x 2，在Rt △CEA 中，CE 2=AC 2-AE 2=172-（9+x ）2．∴102-x 2=172-（9+x ）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B 不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.11．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°， ∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ， ∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．12．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【详解】（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =-=-=(cm )．故答案为：12；（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，∴PC = PA =t ，PB =16-t ． 在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +-=（， 解得：t =252． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132⨯-=(cm )；（3）分三种情况讨论：①当CQ =BQ 时，如图1所示，则∠C =∠CBQ ．∵∠ABC =90°，∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，∴∠A =∠ABQ ，∴BQ =AQ ，∴CQ =AQ =10，∴BC +CQ =22，∴t =22÷2=11(s )．②当CQ =BC 时，如图2所示，则BC +CQ =24，∴t =24÷2=12(s )．③当BC =BQ 时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯===， ∴CE 2222483612()55BC BE =-=-==7.2．∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，∴CQ =2CE =14.4，∴BC +CQ =26.4，∴t =26.4÷2=13.2(s )．综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．13．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，24l +≤<．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．14．（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②【分析】（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．【详解】解：（1）∵AE AD ⊥∴90DAC CAE ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒∴90DAC BAD ∠+∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴在ABD △和ACE △中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACE △()SAS（2）①结论：222BD FC DF +=证明：连接EF ，如图：∵ABD △≌ACE △∴B ACE ∠=∠，BD CE =∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴222FC CE EF +=∴222FC BD EF +=∵AF 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴在DAF △和EAF △中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌EAF △()SAS∴DF EF =∴222FC BD DF +=即222BD FC DF +=②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：∵由①可知222223425DF BD FC =+=+=∴5DF =∴35412BC BD DF FC =++=++=∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=∴在Rt ADG 中，22223635AD DG AG =+=+=故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．15．（1）213；（2）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可； （2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．【详解】（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，8216BP AB AP cm =-=-⨯=，90B ∠=︒，222246213()PQ BQ BP cm =+=+=；（2）解：根据题意得：BQ BP =，即28t t =-，解得：83t =； 即出发时间为83秒时，PQB ∆是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ BQ =时，如图1所示：则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒，90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=，5CQ AQ ∴==，11BC CQ ∴+=，112 5.5t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示：则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示：过B 点作BE AC ⊥于点E ， 则68 4.8()10AB BC BE cm AC ⨯=== 22 3.6CE BC BE cm ∴=-=，27.2CQ CE cm ∴==，13.2BC CQ cm ∴+=，13.22 6.6t ∴=÷=秒．由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．16．BF 的长为32【分析】先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．【详解】解：连接BF ．∵CA=CB ，E 为AB 中点∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ，∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3 ∴222232BF BD FD BD =+==【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．17．（1）423；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，6【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】 解：（1）1312248233⎛÷ ⎝=÷=÷ ＝423； （2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=，∴a ﹣＝0，﹣b ＝0，c 0，∴a ＝，b ＝，c∵，，∴以a 、b 、c 为边能组成三角形，∵a ＝，b ＝，c∴a 2+b 2＝c 2，∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.18．（1）见解析；（2）BC =.【分析】（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．【详解】（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，∴△ABD 是等边三角形.∴60ADB ∠=︒.∵CE ∥AB ，∴60CED A ∠=∠=︒.∴CED ADB ∠=∠.（2）解：连接AC 交BD 于点O ，∵AB AD =，BC DC =，∴AC 垂直平分BD .∴30BAO DAO ∠=∠=︒.∵△ABD 是等边三角形，8AB =∴8AD BD AB ===，∴4BO OD ==.∵CE ∥AB ，∴ACE BAO ∠=∠.∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.∵60CED ADB ∠=∠=︒.∴60EFD ∠=︒.∴△EDF 是等边三角形.∴2EF DF DE ===,∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.在Rt △COF 中， ∴2223OC CF OF =-=.在Rt △BOC 中， ∴22224(23)27BC BO OC =+=+=【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．。
人教版八年级数学下学期期末重难点知识专题02勾股定理重难点知识(原卷版).doc
专题02 勾股定理期末总复习重难点知识一遍过一、基础知识点综述1. 勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方之和等于斜边的平方.2. 勾股定理逆定理：三角形中两边的平方之和等于第三边的平方，这个三角形为直角三角形.3. 勾股数：若三个正整数a，b，c满足a²+b²=c²，则称a，b，c是勾股数.常见勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,40,41……（1）设n为正整数，由a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1，可得许多组互质的勾股数；（2）设n为不小于4的偶数，由a=2n，b=n2-1，c= n2+1，可得许多组互质的勾股数.4. 含特殊角的三角形的小结论1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】25. 勾股定理应用（1（n 为正整数）的点； （2）平面直角坐标系中点与点之间的距离； （3）格点三角形（顶点都在方格点）的三边上的高； （4）动点问题（等腰三角形、直角三角形存在性问题等）； （5）最短路径求解（立体问题转化为平面问题） 6. 勾股定理的证明方法（需掌握的）上述四种证明过程均是采用的面积法，同学们可对照图形自己完成证明过程.二、精选题型精讲题1. 基础题型（1）三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a:b:c =13∶5∶12 B．a2-b2=c2C．a2=(b+c)(b-c) D．a:b:c=8∶16∶17（2）如图1-1，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）图1-1A．CD,EF,GH B.AB,EF,GH C.AB,CD,GH D.AB,CD,EF（3）如图1-2，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2值为图1-2题2. 基础强化探究（1）如图2-1所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(8，0)、C（0,1）、D为OA的中点，P是BC边上一点. 若△POD为等腰三角形，则满足条件的所有的P点坐标为3【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】4图2-1（2）如图2-3是赵爽弦图变化而得的，由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD 、EFGH 、MNKT 的面积分别为a 、b 、c . 若a +b +c =15，则b =图2-3（3）如图2-4所示，在矩形ABCD 的对称轴l 上找一点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有个；图2-4题3. （1）尺规作图：如图1，请在x 轴上作出表示（，0）的点（保留清晰作图痕迹，不写作法）．（2）如图2，已知点A （4，2），点B 在x 轴上，若∠OAB =90°，试求点B 的坐标； （3）如图3，已知点A （4，2），点P 在x 轴上，若△OAP 为等腰三角形，试求点P 的坐标．【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】5题4. 小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高.小明说:“这楼起码20层!”小华却不以为然:“20层?我看没有，数数就知道了!”小明说:“有本事,你不用数也能明白!”小华想了想说:“没问题!让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各选A ,B 两点,测量数据如图4-1所示,其中矩形CDEF 表示楼体, AB =150m , CD =10m , ∠A =30°, ∠B =45°(A ,C ,D ,B 四点在同一直线上).问:(1)楼高多少米?(2)若每层楼按3m 计算,你支持小明还是小华的观点呢?请说明理由.图4-1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6题5. 如图5-1，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB 为3.2m ，在入口的一侧安装了停止杆CD ，其中AE 为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C 恰好与地面接触．此时CA 为0.7m ．在此状态下，若一辆货车高3m ，宽2.5m ，入口两侧不能通车，≈1.7）图5-1题6. 如图6-1所示，A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点，且A 、B 、C 三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标； （2）在△ABC 中，试求出AB 边上的高．7【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】。
八年级数学上册 第一章 勾股定理易错课堂(一)课件
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4．如图，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开 始经过(jīngguò)4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要( ) B A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．15 cm
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5．如图，有一圆柱形物体高18 cm，底面圆的周长(zhōu chánɡ)为60 cm，在外侧距下
底1 cm的S点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的上端外侧距上底1 cm的F点处有一苍蝇，则蜘蛛
捕获苍蝇的最短路线长为______．
34 cm
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内容(nèiróng)总结
第一章 勾股定理。易错分析：没看清条件，错把△ABC当成直角三角形，只注意到勾3，股 4，弦5，应注意只有在直角三角形条件下才能用勾股定理．。解：把圆柱展开(zhǎn kāi)如图所示 ，点B应为展开(zhǎn kāi)图长方形一边的中点，。AC为底面圆周长的一半，AC＝6，在Rt△ABC中 ，。所以红线长为10×2＝20，所以至少需要红线20 cm。34 cm
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3．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针 旋 转 ( x u á n z h u ǎ n ) 90° 到 △ CBE′ 的 位 置 ． 若 AE ＝ 1 ， BE ＝ 2 ， CE ＝ 3. 则 ∠ BE′C ＝ ________． 135°
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勾股定理易错点与重难点复习（一）1、已知实数a 满足100822018a a a －＋－＝，那么221008a －＝ 。
20182、已知571x x ＋－－＝，则57x x ＋＋－＝ 。
12 3、已知a ＋b ＝4，ab ＝1，则a bb a＋＝ 。
4 4、已知2510x x -+= （1）求1x x +的值； （2）求221xx +的值； （3）求441x x +的值； （4）直接写出551x x +＝_________，661x x +＝_________。
解：1x x +＝5 221x x +＝3 331x x +＝25 441x x +＝7 551x x +＝55 661x x +＝18知识点 勾股定理及其逆定理 【知识梳理】1、勾股定理的基础概念（1）勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾（a ）和股（b ）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c ）来表示斜边。
（2）勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即：2勾＋2股＝2弦。
（3）勾股定理的表示方法：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则2a ＋2b ＝2c 。
（1）勾股定理的前提是，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系。
（2）利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边。
尤其在记忆2a＋2b＝2c时，此关系式只有当c是斜边时才成立。
若b是斜边，则关系式是2a＋2c＝2b；若a是斜边，则关系式是2b＋2c＝2a。
（3）勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由2a＋2b＝2c，得2a＝，2b＝等。
熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助。
2、勾股定理的验证方法1：用四个相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的正方形。
方法2：用四个相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的正方形（赵爽弦图）。
方法3：用两个完全相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的梯形。
3、勾股数满足2a＋2b＝2c的三个正整数，称为勾股数。
（1）由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足2a＋2b＝2c；②都是正整数。
两者缺一不可。
（2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足2a＋2b＝2c（但不一定是勾股数），以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3cm、0.4cm、0.5cm为边长的三角形是直角三角形。
4、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a、b、c满足2a＋2b＝2c，那么这个三角形是直角三角形。
（1）不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直角边”。
（2）当满足2a ＋2b ＝2c 时，c 是斜边，∠C 是直角。
5、逆命题与互逆定理（1）如果一个命题的题设、结论与另一个命题的题设、结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题。
把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。
想一想：原命题成立时，逆命题一定成立吗？（2）一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
【例题精讲一】勾股定理的理解运用例1. 1、在直角三角形中，斜边＝2，则＝______。
2、已知直角三角形两边x 、y 的长满足24x －＋652+-y y ＝0，则第三边长为__________。
3、如图1，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 上的一点，BE ∥AC ，且DE ⊥AD 。
若BD ＝2，CD ＝4，则BE 的长为________。
（图1） （图2）【课堂练习一】1、直角三角形的斜边比一直角边长2cm ，另一直角边长为6cm ，则它的斜边长是__________。
2、一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边长为_________。
3、如图2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BD ＝8，AD ＝6，ABC S △＝42，则ABAC＝_________。
4、已知一直角三角形的两直角边长为1、2，则斜边上的高线长为________。
【例题精讲二】用勾股定理求面积例 2. 1、如图1，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为___________cm 2。
ABC AB 222AB AC BC ++（图1） （图2） （图3）2、如图2，分别以等腰Rt △ABC 的边AB 、AC 、BC 为直径在AB 的同侧画半圆，若AB ＝4，则图中两阴影部分面积之和是_________。
3、如图3，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AD ∥BC ，∠ABC ＝60°，∠BCD ＝30°，BC ＝6，那么△ACD 的面积是________。
【课堂练习二】1、如图4，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 。
（图4） （图5）2、如图5，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE 于点E ，且AE ＝5，BE ＝12，阴影部分的面积是 。
3、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝ 。
【例题精讲三】勾股方程的应用例3. 1、如果一个三角形三条边长分别为4、5、6，求这个三角形的面积。
ABCD7cm2、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分面积。
【课堂练习三】1、如果一个等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，那么它的面积为。
2、如图所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C`处，BC`交AD于E，AD＝8，AB＝4，那么△BED 面积是多少？【例题精讲四】勾股定理求立体图形中的最短路径例4. 1、已知，如图1是一个封闭的正方形纸盒，E是CD中点，F是CE中点，一只蚂蚁从一个顶点A爬到另一个顶点G，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是（）A．A⇒B⇒C⇒G B．A⇒C⇒G C．A⇒E⇒G D．A⇒F⇒G（图1）（图2）（图3）2、如图2，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm。
若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm3、如图3，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点，且PC＝BC。
一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．64⎛⎫⎪⎝⎭＋πcm B．5cm C．35cm D．7cm【课堂练习四】1、如图4所示，有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（）A．3米B．4米C．5米D．6米（图4）（图5）2、如图5，为了庆祝春节，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m，高为3m。
如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处（线段AB与地面垂直），那么应购买彩带的长度为。
【例题精讲五】勾股定理的实际应用例1. 1、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。
如图所示，据气象观测，距沿海城市A的正南方向240千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向往C运动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称受台风影响。
（1）该城市是否受到这次台风的影响？请说明理由；（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？2、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？【课堂练习五】1、如图1为某楼梯，测得楼梯的宽为2米，斜坡长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的面积至少为______。
（图1）（图2）2、如图2，一个梯子AB长2.5 m，顶端A靠在墙AC上（AC⊥CD），这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下滑了多少m？3、如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域。
运用所学知识判断A市是否受影响，如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？1、Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，AB长是（）A．4 B．1 C．332D．3342、如图所示，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是（）A．S1＋S2＝S3 B．S12＋S22＝S32C．S1＋S2＞S3D．S1＋S2＜S3（第2题）（第3题）3、如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）A．3B．32C．5D．524、平面直角坐标系中，点P(－3，2)到坐标原点的距离是__________。
5、一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高_______米。
6、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，CD是斜边AB的高，则CD的长为________。
7、一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行。
20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为。
（第7题）（第8题）8、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC且AD＝6cm，CE⊥AB且CE＝8cm，则△ABC的周长为。
9、一根70cm的木棒，（“能”或“不能”）放在长、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的长方体木箱中。
10、在直角三角形中，自锐角顶点所引的两条中线长为10和35，那么这个直角三角形的斜边长为。
11、如图，在等边三角形△ABC中，射线AD四等分∠BAC交BC于点D，其中∠BAD＞∠CAD，求CDBD的值。
（第11题）（第12题）12、如图，有一张直角三角形状纸片ABC，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。