八年级数学勾股定理易错点与重难点复习(一)

勾股定理易错点与重难点复习（一）
1、已知实数a 满足100822018a a a －＋－＝，那么221008a －＝ 。

2018
2、已知571x x ＋－－＝
，则57x x ＋＋－＝ 。

12 3、已知a ＋b ＝4，ab ＝1，则a b
b a
＋
＝ 。

4 4、已知2510x x -+= （1）求1x x +
的值； （2）求221
x
x +的值； （3）求441x x +的值； （4）直接写出551x x +＝_________，6
6
1x x +＝_________。

解：1x x +
＝5 221
x x +＝3 331x x +＝25 441x x +＝7 551x x +＝55 66
1
x x +
＝18
知识点 勾股定理及其逆定理 【知识梳理】
1、勾股定理的基础概念
（1）勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾（a ）和股（b ）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c ）来表示斜边。

（2）勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：2勾＋2股＝2
弦。

（3）勾股定理的表示方法：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则2
a ＋2
b ＝
2c 。

（1）勾股定理的前提是，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系。

（2）利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边。

尤其在记忆2a＋2b＝2c时，此关系式只有当c是斜边时才成立。

若b是斜边，则关系式是2a＋2c＝2b；若a是斜边，则关系式是2b＋2c＝2a。

（3）勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由2a＋2b＝2c，得2a＝，2b＝等。

熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助。

2、勾股定理的验证
方法1：用四个相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的正方形。

方法2：用四个相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的正方形（赵爽弦图）。

方法3：用两个完全相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的梯形。

3、勾股数
满足2a＋2b＝2c的三个正整数，称为勾股数。

（1）由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足2a＋2b＝2c；②都是正整数。

两者缺一不可。

（2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足2a＋2b＝2c（但不一定是勾股数），以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3cm、0.4cm、0.5cm为边长的三角形是直角三角形。

4、勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a、b、c满足2a＋2b＝2c，那么这个三角形是直角三角形。

（1）不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直角边”。

（2）当满足2
a ＋2
b ＝2
c 时，c 是斜边，∠C 是直角。

5、逆命题与互逆定理
（1）如果一个命题的题设、结论与另一个命题的题设、结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题。

把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。

想一想：原命题成立时，逆命题一定成立吗？
（2）一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

【例题精讲一】勾股定理的理解运用
例1. 1、在直角三角形中，斜边＝2，则＝______。

2、已知直角三角形两边x 、y 的长满足24x －＋
652+-y y ＝0，则第三边长为__________。

3、如图1，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 上的一点，BE ∥AC ，且DE ⊥AD 。

若BD ＝2，CD ＝4，则BE 的长为________。

（图1） （图2）
【课堂练习一】
1、直角三角形的斜边比一直角边长2cm ，另一直角边长为6cm ，则它的斜边长是__________。

2、一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边长为_________。

3、如图2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BD ＝8，AD ＝6，ABC S △＝42，则AB
AC
＝_________。

4、已知一直角三角形的两直角边长为1、2，则斜边上的高线长为________。

【例题精讲二】用勾股定理求面积
例 2. 1、如图1，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为___________cm 2。

ABC AB 222AB AC BC ++
（图1） （图2） （图3）
2、如图2，分别以等腰Rt △ABC 的边AB 、AC 、BC 为直径在AB 的同侧画半圆，若AB ＝4，则图中两阴影部分面积之和是_________。

3、如图3，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AD ∥BC ，∠ABC ＝60°，∠BCD ＝30°，BC ＝6，那么△ACD 的面积是________。

【课堂练习二】
1、如图4，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 。

（图4） （图5）
2、如图5，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE 于点E ，且AE ＝5，BE ＝12，阴影部分的面积是 。

3、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝ 。

【例题精讲三】勾股方程的应用
例3. 1、如果一个三角形三条边长分别为4、5、6，求这个三角形的面积。

A
B
C
D
7cm
2、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分面积。

【课堂练习三】
1、如果一个等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，那么它的面积为。

2、如图所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C`处，BC`交AD于E，AD＝8，AB＝4，那么△BED 面积是多少？
【例题精讲四】勾股定理求立体图形中的最短路径
例4. 1、已知，如图1是一个封闭的正方形纸盒，E是CD中点，F是CE中点，一只蚂蚁从一个顶点A爬到另一个顶点G，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是（）
A．A⇒B⇒C⇒G B．A⇒C⇒G C．A⇒E⇒G D．A⇒F⇒G
（图1）（图2）（图3）
2、如图2，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm。

若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）
A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm
3、如图3，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点，且PC＝BC。

一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）
A．
6
4
⎛⎫
⎪
⎝⎭
＋
π
cm B．5cm C．35cm D．7cm
【课堂练习四】
1、如图4所示，有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（）
A．3米B．4米C．5米D．6米
（图4）（图5）
2、如图5，为了庆祝春节，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m，高为3m。

如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处（线段AB与地面垂直），那么应购买彩带的长度为。

【例题精讲五】勾股定理的实际应用
例1. 1、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。

如图所示，据气象观测，距沿海城市A的正南方向240千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向往C运动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称受台风影响。

（1）该城市是否受到这次台风的影响？请说明理由；
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
2、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
【课堂练习五】
1、如图1为某楼梯，测得楼梯的宽为2米，斜坡长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的面积至少为______。

（图1）（图2）
2、如图2，一个梯子AB长2.5 m，顶端A靠在墙AC上（AC⊥CD），这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下滑了多少m？
3、如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域。

运用所学知识判断A市是否受影响，如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
1、Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，AB长是（）
A．4 B．1 C．
33
2
D．
33
4
2、如图所示，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是（）A．S1＋S2＝S3 B．S12＋S22＝S32C．S1＋S2＞S3D．S1＋S2＜S3
（第2题）（第3题）
3、如图，将一个边长分别为
4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）A．3B．3
2C．5D．5
2
4、平面直角坐标系中，点P(－3，2)到坐标原点的距离是__________。

5、一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高_______米。

6、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，CD是斜边AB的高，则CD的长为________。

7、一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行。

20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为。

（第7题）（第8题）
8、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC且AD＝6cm，CE⊥AB且CE＝8cm，则△ABC的周长
为。

9、一根70cm的木棒，（“能”或“不能”）放在长、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的长方体木箱中。

10、在直角三角形中，自锐角顶点所引的两条中线长为10和35，那么这个直角三角形的斜边长为。

11、如图，在等边三角形△ABC中，射线AD四等分∠BAC交BC于点D，其中∠BAD＞∠CAD，求CD
BD
的值。

（第11题）（第12题）
12、如图，有一张直角三角形状纸片ABC，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。

CD＝AD·BD。

13、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，求证：2
14、如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝15千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
逆命题与勾股定理的逆定理
1、将命题“对顶角相等”的题设、结论互相交换后得到的命题为：。

2、下列四组数中，其中有一组与其他三组规律不同，这一组是（）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．4，5，7。