第5章全同粒子及二次量子化

1 N! boson Pi1 (r1s1 )i 2 (r2 s2 ) iN (rN s N ) N! P 1
(10) 其中P为对换算符, 这里假定单粒子波函数正交.
26
反对称波函数最好的表示形式是行列式---Slater 行列式---它由N个单粒子波函数组成
fermion
x ( x),
x1 , x2
( x1 ) ( x2 ) ( x1 ) ( x2 )
2
.

30
一、费 米 子
首先, 由下列关系定义产生算符:
C 0 , C C C 0 , C C C C 0 ,
11
粒子到达D1的概率 = |f() + f()|2
因为, 此时(以粒子替代O原子), 我们无法再 区分图1a和图1b, 且粒子对于置换是对 称的, 故而应为几率幅相加.
He3 + He4 ?
复合粒子呢?
12
D1
e

e
D2
图3: 在质心系中观察电子 对电子的散射
13
电子到达D1的概率 = |f() f()|2
(12)

31
这些矢量在置换时是反对称的, 因此

下面为了方便我们将称函数x为一轨道, 而 对于矢量则说 被占据, 同时其他轨 道未被占据. 如果 轨道未被占据, 则表示为: ~
32
方程(12)的无穷序列可总结为下述表达式
C ~ 0, if 0.
(15a) (15b)
从(14)式, 我们有
C 0.
(15c)
34
从(15)的三个关系式可以分别得到
~ C 1, ~ C 0, if
C 0.
(16)

综上, 我们看到产生算符C† 增加一个粒子于 轨道(如果它是空的), 而湮灭算符从 轨道(如 果它被占据)移走一个粒子; 否则, 结果为零.
39
算符方程 1. 考虑算符C† C† ,
C C 0, 对任意成立

C C 0,


(23) (24)
40
考虑N个全同粒子, 体系的Schrodinger 方程为
( H1 H 2 H N ) (r1s1 , r2 s2 ,, rN s N ) E (r1s1 , r2 s2 ,, rN s N )
其中Hi(ri, si)作用于粒子 i 上.
(6)
23
如果粒子k 的本征函数为(rk, sk), 即单粒 子本征值问题是
6
如果发生相互作用的是两个全同 粒子, 将会如何呢?
7
首先, 这时, a, b 两图的过程将不能分别;
8
其次, 当我们交换两个粒子时, 我们必须 在振幅上乘以某个相位因子ei , 而如果 把两个粒子再交换一次, 应该回到了第一 个过程, 故而
ei = +1 或 1 即两个全同粒子交换前后的振幅要么具有 相同的符号, 要么具有相反的符号.
这两种情况在自然界确实都存在!
9
原理5：
描写全同粒子系统的态矢量, 对于任意一对 粒子的对调, 是对称的或反对称的. 服从前者 的粒子称为玻色子, 服从后者的粒子称为费 米子. 玻色子: 如光子、介子和引力子; 费米子: 如电子、子、中微子、核子.
10
D1



D2
图2: 在质心系中观察 粒子 对 粒子的散射
(r1s1 , r2 s2 ,, rN sN , t )
(1)
19
用Pij表示粒子i 与粒子j 间的置换算符, 由 于粒子全同, 交换使得系统物理状态不变, 即
Pij (r1s1 ,, ri si ,, r j s j ,, rN s N , t ) (r1s1 ,, r j s j ,, ri si ,, rN s N , t )
0,
(17) (18)
0 (~ )
(17), (18) (18), (16)
(17), (18)
35
若令, 从(17)及(18)式我们可以看出 C|0与任意基矢正交, 故而
C 0 0.
(19)
36
另外, 由(18)令, 可得C与任意 轨道被占据的态正交; 同时, 由(16) C与, 除了C=1, 任意 轨道未被占据的其 它态正交. 因此
N C C

(28)

45
基的变换

上面已经对一特定的单粒子基函数的集合, C† (对应于函数x) 定义了产生和湮 灭算符.
46
现若作一基变换, 则需要考虑新的产生和 湮灭算符与原有的算符之间的关系. 设 bj†和bj为相应于基函数 fjx 的产生和 湮灭算符, 这里 bj† j, fjx = xj.
j


49
作为例子, 我们考虑如下的一组产生位置 本征矢的算符
x 0 x .

应用上述结果, 有
x C x , x x C .


50
其中x = x正是原有基函数在坐标 表象中的表示, 因此
x x C , x x C . *

C C



C C C C I


43
C C C C I

(27)
44
容易验证, 所有Fock基矢皆为算符C† C 的本征矢, 更严格地, 为其本征值为 0 ( 轨道空) 、或为 1 ( 轨道被占据)的本征矢, 因此C† C的功能相当于 轨道的占有数 算符; 而总粒子数算符是:
28




新的理论形式中, 态空间(称之为Fock 空间)的 正交基矢包括: 真空或无粒子态； 单粒子态的完备集,{ :(=1,2,3…)}； 双粒子态的完备集{ }； 三粒子态的完备集{ } ； …… 这些完备集皆具有正确的置换对称性.
29
在坐标表象中, 这些矢量将为:
(2) 其中, 是任意常数因子.
20
如果对二个粒子再交换一次, 则恢复到原有 状态, 故而
P
2 ij 2
1
(3)
21
(3)式意味着可以有两种粒子体系, 对称 波函数:
Pij s s
或者反对称波函数:
(4)
Pij a a
(5)
22
交换简并
第5章 全同粒子及二次量子化
§5.1 全同粒子 量子力学的特征之一是不能区分亚原子 范围内的全同粒子. 将一群具有相同质量、 相同电荷、相同自旋, 且在相同物理条件 下具有相同物理行为的粒子称为全同粒 子.
2
D1


O
D2
(假设能量足够低!)
图1: 在质心系中观察 粒子 在O原子核上的散射
3
令f()表示探测器放在 角度上 粒子散射到其中的几率振幅:
C C 0.
2.

考虑算符C† C† + C† C†,
C C



C C

0.
C C C C 0,




(25) (26)
41
C C C C 0.
3.
考虑算符C C† + C† C :
D1


O
D2
图1a 几率振幅 f( )
4
f()表示 粒子散射到 () 角 度上其中的几率振幅, 或探测器在 角度上探测到O原子的振幅.
D1

O
D2
图1b 几率振幅 eif( )
5
若所用探测器既能对粒子也能对O原 子做出反应, 则
在D1中探测到某种粒子的概率 = |f()|2+|f()|2
C 0 .
(20)
37
又由(16),
C ~ .
若在(17),(18)中(~), 则知
(21)
C ~ 0.
(22)
38


因此我们看到C 的作用效果是:
如果 轨道被占据, 则清空 轨道； 如果 轨道未被占据, 则结果为零. 故而C 被称作湮灭算符.
C ,

(13)
当然如果 轨道已被占据, 则
C 0.

因此Pauli不相容原理自动得到满足. 于是
C 0.
(14)
33
产生算符C+由(13)、(14)式而完全被定义, 而且其伴随算符C= (C+)+ 的性质也可从 中推出：
C ~ 1,


这些在空间某点产生和湮灭的新算符被称 之为场算符(field operators). 积 †(x)(x) 称为数密度算符, 而类似于(28) 式的总粒子数算符等于

~ ~ 0.
42
若 = ,
则分别考虑 轨道被占据或空的情况:
C C




C C 0 C ~ ,
C C ~ C 0 ~ .
E ni百度文库Ei
i
N ni i
(9)
由于粒子不可区分, 不能指明某个粒子具体处 于何态, 故有 N! (n1!n2!) 种由单粒子波函数 乘积形成的具有相同能量值E的(8)式. 这就是 所谓的交换简并.
25
对称波函数与反对称波函数
对于玻色子, 对称波函数由(8)式中全部可能的N! 种单粒子波函数变量交换后的和构成, 即
上述有关全同粒子的对称性假设将不同种类的 粒子的态限制为对称、或者反对称. 这极大地简 化了多粒子态理论, 从而允许我们引进一种包含 产生和湮灭算符的更简洁的理论形式, 即所谓的 二次量子化. 这种形式将不限制于固定粒子数的系统, 而是将 粒子数作为一动力学变量处理. 进而, 这种理论 形式可以较容易的推广到描述高能情况下粒子 的产生和湮灭.
i1 (r1s1 ) i 2 (r2 s2 ) iN (rN s N ) 1 i1 (r1s1 ) i 2 (r2 s2 ) iN (rN s N )
N!
i1 (r1s1 ) i 2 (r2 s2 ) iN (rN s N ) (11)
27
§5.3 产生和湮灭算符
若 ,
则当 轨道空、或 轨道已被占据, 则上述 算符作用结果必定为0. 因此只需考虑其作 用于~形式的态矢情况
C C



C C ~ C C ~ , ~ C C ~ , ~
因为, 电子对于置换是反对称的.
14
D1
e

e
D2
图4: 在质心系中观察电子 对电子的散射
15
e
D1
e
e
D2
e
图 4a
16
e
D1
e
e
D2
e
图 4b
17
图4 电子到达D1的概率 = |f()|2 + |f()|2
18
§5.2 N 个全同粒子的状态
在N个有自旋的粒子体系中, 体系的波函 数是4N个坐标的函数(3N个空间和N个 自旋坐标):
47
两组函数集合{x}和{fjx}都既是完备 的又是正交的, 于是
f j ( x) ( x) j ,

或等价的
b 0 C 0 j. j

48
新的产生和湮灭算符当然也必须(25),(26) 及(27)式. 上述要求经下面的线性变换都将得到满足:
b C j , b j j C .
H k (rk sk ) E (rk sk )
(7)
k 1,2,, N ;
1,2,.
则(6)式的解是单粒子波函数之积
(r1s1 , r2 s2 ,, rN s N ) i1 (r1s1 )i 2 (r2 s2 ) iN (rN s N )
(8)
24
如果有ni个粒子在态i中, 则总能量的本征值为