一阶系统的单位阶跃响应

图3－5所示系统。其输入－输出关系为

1

1

111)()(+=

+=Ts s K

s R s C （3-3） 式中K

T 1

=

，因为方程(3-3)对应的微分方程的最高阶次是1，故称一阶系统。 实际上，这个系统是一个非周期环节，T 为系统的时间常数。 一、一阶系统的单位阶跃响应

因为单位阶跃函数的拉氏变换为s 1，将s s R 1)(=代入方程(3-3)，得 s

Ts s C 1

11)(+=

将)(s C 展开成部分分式，有

11()1C s s

s T

=-

+

（3-4）

对方程(3-4)进行拉氏反变换，并用)(t h 表示阶跃响应)(t C ，有 t T e t h 1

1)(--=

0t ≥ (3-5)

由方程(3-5)可以看出，输出量)(t h 的初始值等于零，而最终将趋于1。常数项“1”是由s 1反变换得到的，显然，该分量随时间变化的规律和外作用相似(本例为相同)，由于它在稳态过程中仍起作用，故称为稳态分量 (稳态响应)。方程(3-5)中第二项由1

1/()s T

+反变换得到，

它随时间变化的规律取决于传递函数1/(1)Ts +的极点，即系统特

征方程()10D s Ts =+=的根(1/)T -在复平

面中的位置，若根处在复平面的左半平面

如图3－6(a)所示，则随着时间 t 的增加， 它将逐渐衰减， 最后趋于零 (如图3－6(b) 所示)，称为瞬态响应。可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。 显然，这是一条指数响应曲线，其初始斜率等于1/T ，即

T

e T dt dh t t T t 1

|1|01

0===-= (3-6)

这就是说，假如系统始终保持初始响应速度不变，那么当T t =时，

输出量就能达到稳态值。

实际上从方程(3-6)可以看出，响应曲线)(t h 的斜率是不断下降的，从0=t 时的

T

1

一直下降到∞=t 时的零值。因此，当T t =时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的63.2%；当T t 2=时，响应曲线将上升到稳态值的86.5%；当T t 3=，T 4和T 5时，响应曲线分别达到稳态

值的95%，98.2%和99.3%。

由于一阶系统的阶跃响应没有超调量，所以其性能指标主要是调节时间s t ，它表征系统过渡过程进行的快慢。由于T t 3=时，输出响应已达到稳态值的95%；t=4T 时，输出达到稳态值的98.2%，故一般取

)(3s T t s =，(对应Δ=5%的误差带) 或 )(4s T t s =，(对应Δ=2%的误差带)

显然，时间常数T 是表征系统响应特性的唯一参数，系统时间常数越小，输出响应上升得越快，同时系统调节时间s t 也越小，响应过程的快速性也越好。

由图3-6(b)可以看出，图3－5所示系统的单位阶跃响应在稳态时与输入量之间没有误差，即

011)(1=-=∞-=h e ss 假设，现有一个单位反馈系统，其开环传递函数为1

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)(+=Ts s G ，试自行推导其单位

阶跃响应，并与图3-5系统比较其异同。