线性代数教材讲解

线性变换与矩阵之间关系:存在着一一对应关系.
若线性变换为
y1 x1,

y2
x2,
y n x n
称之为恒等变换.
y1 x1,

y2
x2,
y n x n
对应
1 0 0 1 0 0
例如:
A


1 2 3
2 5 4
643
B320
2 0
4
043
A为对称矩阵, B为反对称矩阵.
(7) 同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵.
例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
A
B
C
D
A B
C D
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
4. 田忌赛马
田忌
1
2
3
4
5
6
的策略 上
上
中
中
下
下
齐王 的策略
中
下
上
下
中
上
下
中
下
上
上
中
1上 中 下 2上 下 中 3中 上 下 4中 下 上 5下 中 上 6下 上 中
3
1
1
1
1
-1
1
an1x1an2x2annxnbn
若常 b 1,b 2, 数 ,b n 不 项 全 ,则称为 此方程组零 为非 齐次线性方程组; 若常 b 1 ,b 2 , 数 ,b n 全 项 ,为 此时称方程组为齐次线性方程组.
a11x1 a12x2 a1nxn b1 2. 线性方程组 a21x1a22x2a2nxnb2
3. 某航空公司在A,B,C,D四 城市之间开辟了若干航线 ,
如图所示表示了四城市间的 A 航班图,如果从A到B有航班, 则用带箭头的线连接 A 与B.
B
C D
四城市间的航班图情况常用表格来表示:
到站
A
B
C
D
A
发站 B C
D
其中 表示有航班.
为了便于计算,把表中的 0,就得到一个数表:
改成1,空白地方填上

0
0
0
0.
0 0 0 0
对于 n 阶方阵A A＝O
|A| = 0
|A| = 0
A＝O
若 |A| = 0, 称 A 为奇异矩阵；
若 |A| = 0, 称 A 为非奇异矩阵；
(6) 设A = ( aij )为 n 阶方阵, 对任意 i, j, 如果aij = aji 都成立, 则称A为对称矩阵; 如果aij = –aji 都成立, 则称 A为反对称矩阵;
m , n 元
简记为 A A m n a im j n a i. j
这 m n 个数 A 的 称 ,元 简 为 素 称 . 为元
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 24实矩阵,
13 2
三、特殊矩阵及与矩阵有关的概念
(1)行数与列数都等于 n的矩阵 A，称为 n阶 方阵.也可记作 An .
例如
13 2
6 2
2 i 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
对于方阵，可以计算其行列式，但要注意：
方阵和方阵的行列式是不同的含义.
(2）只有一行的矩阵
A a 1 ,a 2 , ,a n ,
间的关系式
y1 a11x1 a12x2 a1nxn,

y2
a21x1 a22x2 a2nxn,
ym am1x1 am2x2 amnxn.
表示x 1 ,一 x 2 , ,x n 到 个y 1 变 ,从 y 2 , ,y m 的 量 变 线性变换. 其中aij为常数 .
0
0

单位阵.
1
线性变换
xy11 scion sxxcsion syy,.
对应
cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P 1x1,y1
Px,y

O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
2.两个矩阵 A a ij 与 B b ij 为同型矩阵,并
且对应元素相等,即
a i j b i i j 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n ,
则称矩阵 A与B相等,记作 AB.
(8)线性变换与矩阵之间关系:
例1 n 个 x 1 , x 2 , 变 , x n 与 m 个 量 y 1 , y 2 , 变 , y m 之
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n


am1 am 2 amn
称为 m n 矩阵.简称 m n矩阵. 记作
a11 a12 a1n
A


a21
a22

a2n
am1 am1 amn
矩阵 A的
3
1
1
-1
1
1
-1
3
1
1
1
-1
1
1
3
1
1
1
1
-1
1
3
1
1
1
1
-1
1
3
3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1
A
1
1
3
Байду номын сангаас
1
1
1

1 1 1 3 1 1

1 1
1 1 1 3 1 1 1 1
1 3

二、矩阵的定义
由 mn个数 a i j i 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n
第二章 矩阵及其运算
矩阵的概念 矩阵的运算 逆矩阵 矩阵分块法
第一节 线性方程组和矩阵
矩阵概念的引入（线性方程组） 矩阵的定义 小结、思考题
一、矩阵概念的引入－线性方程组
1、非齐次与齐次线性方程组的概念
a11x1a12x2a1nxnb1
设线性方程组 a 21x1 a 2 2x2 a2n xn b2
a11
A


a21
am1
a12 a22 am1
a1n a2n amn
方阵 mn;
a 1
(2) 特殊矩阵
行矩阵与列矩阵;
单位矩阵; 11 00
对角矩阵;
A 0102 a B 1 , a 2 0000, aa n2.,,a n ,
称为行矩阵(或行向量).
只有一列的矩阵
a 1
B


a2

,
a n
称为列矩阵(或列向量).
（3）
不全为0
1 0
形如 0 2


0
O
0
0

O0

的方阵,称为对角

n
矩阵(或对角阵）.
记作
A d 1 i ,2 , a ,n . g
an1x1 an2x2 annxn bn
的解取决于
系数 a iji,j 1 ,2 , ,n ,
常数项 b ii 1 ,2 , ,n
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a12 a1n b1 对线性方程组的 a21 a22 a2n b2 研究可转化为对 这张表的研究. an1 an2 ann bn
零矩阵.
00 00 1 n
思考题
矩阵与行列式的有何区别?
思考题解答
矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而 矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.
y1 a11x1 a12x2 a1nxn,

y2 a21x1 a22x2 a2nxn,
ym am1x1 am2x2 amnxn.

a11
A


a21
am1
a12 a22 am1
a1n a2n 系数矩阵 amn
6 2
2 i 2
是一个
33复矩阵,
2 2 2
1 2 是一个 31矩阵,
4
2359
4
是一个 14矩阵,
是一个 11矩阵.
矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同.
(4)方阵
1 0

E

En

0
1 O
0 0

O
0 0


1
称为单位矩阵（或单位阵）.
全为1
（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n零
矩阵记作 omn 或 o.
注意 例如
不同阶数的零矩阵是不相等的.
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0