历年中考数学易错题汇编-锐角三角函数练习题附答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．

（1）求∠BPQ的度数；

（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，

【答案】（1）∠BPQ=30°；

（2）该电线杆PQ的高度约为9m．

【解析】

试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；

（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．

试题解析：延长PQ交直线AB于点E，

（1）∠BPQ=90°-60°=30°；

（2）设PE=x米．

在直角△APE中，∠A=45°，

则AE=PE=x米；

∵∠PBE=60°

∴∠BPE=30°

在直角△BPE中，BE=

3

3

PE=

3

3

x米，

∵AB=AE-BE=6米，

则3

，

解得：3

则BE=（33+3）米．

在直角△BEQ中，QE=

3

3

BE=

3

3

（33+3）=（3+3）米．

∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．

答：电线杆PQ的高度约9米．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

2．已知：如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，连接BC交圆于点D，过点D作⊙O的切线交AC于E．

（1）求证：AE＝CE

（2）如图，在弧BD上任取一点F连接AF，弦GF与AB交于H，与BC交于M，求证：∠FAB+∠FBM＝∠EDC．

（3）如图，在（2）的条件下，当GH＝FH，HM＝MF时，tan∠ABC＝3

4

，DE＝

39

4

时，N

为圆上一点，连接FN交AB于L，满足∠NFH+∠CAF＝∠AHG，求LN的长．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

4013 NL

【解析】

【分析】

（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADC＝90°，由切线长定理得EA＝ED，再由等角的余角相等，得到∠C＝∠EDC，进而得证结论.

（2）由同角的余角相等，得到∠BAD＝∠C，再通过等量代换，角的加减进而得证结论.

（3）先由条件得到AB＝26，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝4

3

a，再由相交弦定理

得到GH•HF＝BH•AH，从而求出FH，BH，AH，再由角的关系得到△HFL∽△HAF，从而求出HL，AL，BL，FL，再由相交弦定理得到LN•LF＝AL•BL，进而求出LN的长.

【详解】

解：

（1）证明：如图1中，连接AD．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵EA、ED是⊙O的切线，

∴EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∵∠C+∠EAD＝90°，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠C＝∠EDC，

∴ED＝EC，

∴AE＝EC．

（2）证明：如图2中，连接AD．

∵AC是切线，AB是直径，

∴∠BAC＝∠ADB＝90°，

∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠BAD＝∠C，

∵∠EDC＝∠C，

∴∠BAD＝∠EDC，

∵∠DBF＝∠DAF，

∴∠FBM+∠FAB＝∠FBM+∠DAF＝∠BAD，∴∠FAB+∠FBM＝∠EDC．

（3）解：如图3中，

由（1）可知，DE＝AE＝EC，∵DE＝39

4

，

∴AC＝39

2

，

∵tan∠ABC＝3

4

＝

AC

AB

，

∴

39 32 4AB =,

∴AB＝26，

∵GH＝FH，HM＝FN，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝4

3

a，∵GH•HF＝BH•AH，

∴4a2＝4

3a（26﹣

4

3

a），

∴a＝6，

∴FH＝12，BH＝8，AH＝18，

∵GH＝HF，

∴AB⊥GF，

∴∠AHG＝90°，

∵∠NFH+∠CAF＝∠AHG，

∴∠NFH+∠CAF＝90°，

∵∠NFH+∠HLF＝90°，

∴∠HLF＝∠CAF，

∵AC∥FG，

∴∠CAF＝∠AFH，

∴∠HLF＝∠AFH，

∵∠FHL＝∠AHF，

∴△HFL∽△HAF，

∴FH2＝HL•HA，

∴122＝HL•18，

∴HL＝8，

∴AL

＝10，BL＝16，FL＝

∵LN•LF＝AL•BL，

∴

LN＝10•16，

∴LN

【点睛】

本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识有：切线的性质；切线长定理；圆周角定理；相