简化解析几何运算技巧专题
解析几何中简化运算的方法
Ｐ２ ＦＰ 一 ３
Ｂ（ ， ６ Ｏ 一 ）和 Ｑ（ ， ） ｒ 的 三 个 顶 点 ． ａ０ 为
—
ｌ ． ２
（ ）求 椭 圆 的 方 程 ； １
（ ）在 椭 圆 上 任 取 三 个 不 ２
＜ ／ 、 、 、
＼
已知椭 圆 Ｐ ， Ｐ ， 。
使
Ａ
１ ｎ ＞ ｂ ＞ Ｏ ， （ ， ） （ ）Ａ ０ ６ ，
Ｐ １ 一 ２ ＦＰ
（ １ Ａ） （ Ｂ）
） ．
（ ｃ） （ ２ Ｄ）
轴 上 ， Ａ， 又 Ｂ两点 分别在 抛物 线及椭 圆上 ． Ａ 且 Ｂ ／ 轴， △Ｎ ／ 求 ＡＢ 的周 长 ｚ的取 值范 围．
分析 圆锥 曲线 上 的点 与焦 点 的 连 线 ， 可 以 联 想 运 用 圆 锥 曲
Ｍ 横标 一 ． 的坐 ｚ 号
而 Ｉ Ｎ ＝ Ｉ Ｄ Ｉ １ Ｄ Ｉ Ｂ Ｉ — Ｉ Ｂ Ｂ
，
所 以
是 一 Ｂ Ｅ
＝
一
Ｉ Ｎ — Ａ ｌ
ｆ Ｃ ｆ所 以 ＡＮＡＢ 的周 长 ， Ａ
√ １ （ 一 ）
题 的捷径 ．
３ 运 用 三 角 知 识
ｆ ｌ Ｚ ２
一
分析 平 面几 何 知 识 的运 用 常 涉及 长 度 与
角等 知识 ， 本题 直线过 焦点 ， 可运 用圆锥 曲线 的统 定 义表示 线段 长 度 之 间关 系 ， 设 法 通过 图形 再 解 设直 线 ｚ 为椭
／－ ～ 一 一 ｅ
、 Ｄ ＼ ＼
～
一
中线 段长度 来表 示直线 的斜 率．
Ｊ ｌ
０
● －～
一
线 的统一 定 义 ， 繁 琐 使
高中数学学习中的解析几何解题技巧
高中数学学习中的解析几何解题技巧解析几何是数学中的一个重要分支，也是高中数学中的一项重要内容。
在学习解析几何时，很多学生常常会遇到解题困难的情况。
本文将介绍一些高中数学学习中解析几何解题的技巧，帮助学生更好地应对解析几何题目。
一、利用图形性质确定方程解析几何问题常常涉及到图形的方程，而方程又是解题的基础。
在解析几何问题中，我们可以通过观察图形的性质，来确定方程的形式。
例如，当求解过点A和B的直线方程时，我们可以根据直线的斜率来确定方程的形式。
如果我们已知直线经过点A(-3,5)和B(2,4)，我们可以利用两点间的斜率公式来求解直线的斜率，即\[k = \frac{{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}} = \frac{{4-5}}{{2-(-3)}} = -\frac{1}{5}\]然后可以通过直线的斜率和已知点的坐标，使用点斜式或者斜截式公式得到直线的方程。
二、利用向量运算简化计算在解析几何中，向量是一项重要的工具。
通过向量的加减和数乘等运算，可以简化计算过程。
例如，当求解两条直线的夹角时，我们可以利用向量的点积公式来求解。
设两条直线的方程分别为\[ax+by+c=0\]和\[px+qy+r=0\]，则两条直线的夹角\(\theta\)满足：\[\cos{\theta}=\frac{{|ap+bq|}}{{\sqrt{{a^2+b^2}}\sqrt{{p^2+q^2}}}}\]通过向量的点积公式，我们可以利用方程的系数来求解直线的夹角，而无需对方程进行直接求解。
三、利用平移旋转变换简化题目解析几何中的平移、旋转等变换是解题过程中常常用到的工具。
通过适当的变换，可以将复杂的题目转化为简单的形式，便于求解。
例如，我们在求解直线与圆的位置关系时，可以通过平移变换将圆心移到坐标原点，从而简化题目。
设直线的方程为\(ax+by+c=0\)，圆的方程为\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)，我们可以通过平移变换将圆的方程转化为\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，其中\(a\)和\(b\)为圆心的坐标。
解析几何化减技巧
解析几何化减技巧解析几何是数学中一个重要的分支，它研究的是几何对象（如点、线、面）在坐标系中的表示和变换。
在解析几何中，我们经常需要化简一些复杂的表达式或方程，以提高计算的效率和准确性。
以下是一些常用的解析几何化简技巧：1. 代数运算：这是最基本的方法，包括加、减、乘、除、乘方等。
例如，对于两个向量的点积，我们可以使用分配律和结合律进行化简。
2. 坐标变换：如果我们有一个表达式涉及到多个坐标点或向量，我们可以考虑使用坐标变换来简化这个表达式。
例如，如果我们有两个参考系，并且知道它们之间的转换关系，我们就可以将一个坐标点从一种参考系转换到另一种参考系。
3. 向量运算：向量运算（如加法、数乘、点积、叉积等）在解析几何中非常常见。
理解这些运算的性质和规则可以帮助我们更有效地进行化简。
4. 矩阵运算：在解析几何中，矩阵经常被用来表示变换（如旋转、平移、缩放等）。
理解矩阵的运算法则（如乘法、转置、逆等）可以帮助我们更有效地进行化简。
5. 参数方程：对于一些复杂的几何形状（如椭圆、抛物线、双曲线等），我们经常使用参数方程来表示它们。
参数方程可以将一个复杂的几何问题转化为一个简单的代数问题，从而更容易进行化简。
6. 极坐标与直角坐标转换：在解析几何中，极坐标和直角坐标是两种常用的坐标系。
理解这两种坐标系之间的转换关系可以帮助我们更有效地进行化简。
7. 对称性：许多几何形状和表达式都具有对称性。
利用这些对称性可以帮助我们更有效地进行化简。
8. 代数恒等式：一些基本的代数恒等式（如平方差公式、完全平方公式等）在解析几何中非常有用。
掌握这些恒等式可以帮助我们更有效地进行化简。
9. 使用软件工具：现代的数学软件工具（如 MATLAB、Geometer's Sketchpad 等）可以帮助我们更方便地进行解析几何的化简和计算。
以上就是一些常用的解析几何化简技巧。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和情况选择合适的方法进行化简。
高考数学解析几何-第13讲 构造同构式方程简化运算
高考数学解析几何第13讲构造同构式方程简化运算知识与方法1.同构式方程“同构式方程”指“结构相同的方程”,是指除了变量不同,其余结构均相同的等式.如11220Ax By C Ax By C ++=⎧⎨++=⎩22(0)A B +≠,两式中除了,x y 的下标不同之外,其余结构完全相同,两式为同构式方程.说明()()1122,,,A x y B x y 两点坐标满足直线方程:0Ax By C ++=，则直线AB 的方程为:0Ax By C ++=.又如21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩(0)a ≠,两式中除了x 的下标不同之外,其余结构完全一致,说明12,x x 为方程20ax bx c ++=的两根,由韦达定理可得:1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2.解析几何中同构式的应用同构思想简化运算的基本思路：构造方程,巧用韦达定理.①构造两个直线方程;②构造一个二次方程的两根（坐标,斜率,定比）.典型例题【例1】已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>内有一点()1,1P ,过P 的两条直线12,l l 分别于椭圆Γ交于,A C 和,B D 两点,且满足,(AP PC BP PD λλ==其中0λ>,且1)λ≠,若λ变化时,AB 的斜率总为14-,则椭圆E 的离心率为______________.【例2】已知拋物线22y px =上三点()2,2,,A B C ,直线AB AC ，是圆22(2)1x y -+=的两条切线,则直线BC 的方程为（）A. 2630x y ++= B.3640x y ++= C.2630x y ++= D.320x y ++=【例3】过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点,交y 轴于P ,若12PA AF λ= ,22PB BF λ=,求证:12λλ+为定值.【例4】在平面直角坐标系中,点()00,M x y 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，从原点O 向圆()()22200:M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ,若直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k ,且2122b k k a=-(1)求证:2222||;OP OQ a b +=+(2)求证:22222a b r a b =+.强化训练1.过抛物线21:C y x =上一点()2,4P -作圆222:(2)1C x y +-=的两条切线分别交1C 于点,A B ,求直线AB 的方程.2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,离心率为32,又椭圆内接四边形ABCD （点,,,A B C D 在椭圆上）的对角线,AC BD 相交于点11,4P ⎛⎫⎪⎝⎭,且2AP PC =,2BP PD= (1)求椭圆的方程;(2)求直线AB 的斜率.3.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为),离心率为(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.4.过点()1,1P 的直线l 与椭圆22143x y +=交于点A 和B ,且AP PB λ= .点Q 满足AQ QB λ=-,若O 为坐标原点,则OQ 的最小值为_________________.5.已知抛物线21:C x y =,圆222:(4)1C x y +-=的圆心为点M .(1)求点M 到抛物线1C 的准线的距离;(2)已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点）,过点P 作圆2C 的两条切线,交抛物线1C 于,A B 两点,若过,M P 两点的直线l 垂直于AB ,求直线l 的方程.6.设O 为坐标原点,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率32,以椭圆C 的长轴长,短轴长分别为两邻边的矩形的面积为8.(1)求椭圆C 的方程;(2)若,,P Q M 是椭圆上的点,且圆M 与直线,OP OQ 相切,14OP k k ⋅=-,求圆M 的半径.7.已知椭圆C 的中心在原点,离心率为22,其右焦点是圆22:(1)1E x y -+=的圆心.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)如图,过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线,分别交y 轴于点 M N ，.试推断是否存在点P ,使14||3MN =?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,已知抛物线2:4C y x =,直线l 过点4,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭与抛物线C 交于第一象限内两点,A B ,设,OA OB 的斜率分别为12,k k .(1)求12k k +的取值范围;(2)若直线,OA OB恰好与圆222:(1)(2)(0)Q x y r r -+-=>相切,求r的值.9.已知圆22:()()9M x a y b -+-=,圆心M 在抛物线2:2(0)C x py p =>上,圆M 过原点且与C 的准线相切.(1)求抛物线C 的方程;(2)设点(0,)(0)Q t t ->,点P （与Q 不重合）在直线:l y t =-上运动,过点P 作C 的两条切线,切点分别为,A B ,求证:AQO BQO ∠=∠.10.已知抛物线2y x =和C ,过抛物线上的一点()()000,1P x y y ≥,作C 的两条切线,与y 轴分别相交于,A B 两点.(1)若切线PB 过抛物线的焦点,求直线PB 斜率;（2）求面积ABP ∆的最小值.11.如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线2:4C y x =存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点,求PAB ∆面积的取值范围.参考答案【例1】已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>内有一点()1,1P ,过P 的两条直线12,l l 分别于椭圆Γ交于,A C 和,B D 两点,且满足,(AP PC BP PD λλ==其中0λ>,且1)λ≠,若λ变化时,AB 的斜率总为14-,则椭圆E 的离心率为______________.【答案32e =】【解析】设()11,A x y ,则2211221x y a b +=.由AP PC λ= ,得1111,.x y C λλλλ+-+-⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程22221x y a b +=,得()()22112222111x y a b λλλλ+-+-+=.整理,得()()()()2211222222121111x y a b a bλλλλλ++++--++=，即112212x y a b λ-+=①设()22,B x y ,同理可得22221.2x y a b λ-+=②由①②可得直线AB 的方程为2212x y a b λ-+=,所以AB 直线斜率为2214b a -=-,即224a b =,易得椭圆E 的离心率为2e =.【例2】已知拋物线22y px =上三点()2,2,,A B C ,直线AB AC ，是圆22(2)1x y -+=的两条切线,则直线BC 的方程为（）A. 2630x y ++=B.3640x y ++= C.2630x y ++= D.320x y ++=【答案】B【解析】解法1:同构式1+韦达定理由抛物线22y px =过()2,2A ,得22221p p =⨯⇒=,拋物线方程为22y x =.设22,,,22b c B b C c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则():20BC x b c y bc -++=,同理():2220AC x c y c -++=,由AB 与圆相切得1=,整理得231280c c ++=.同理有:231280b b ++=,于是,b c 是方程231280x x ++=的两根,所以84,3b c bc +=-=,得:3640.BC x y ++=故选:B.【注】过拋物线任意两点()()1122,,,x y x y 的直线方程为()121220px y y y y y -++=.解法2：同构式2由抛物线22y px =过()2,2A ,得22221p p =⨯⇒=,拋物线方程为22y x =.设()()1122,,,B x y C x y ,则2112y x =,直线()11:2220AB x y y y -++=,由AB 与圆相切得1=,整理得211380y y +=将2112y x =代入,得1161280x y ++=,即113640x y ++=①同理可得223640x y ++=②①②两式说明：直线3640x y ++=经过,B C 两点而过,B C 两点的直线有且只有一条,故直线BC 的方程为3640x y ++=.故选:B.【例3】过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点,交y 轴于P ,若12PA AF λ= ,22PB BF λ=,求证:12λλ+为定值.【答案】见解析.【解析】证明:设()0,P m ,由21PA AF λ= 得,111,11c m A λλλ⎛⎫⎪++⎝⎭,代入椭圆方程得:()()2222222221120b a c a b a b m λλ-++-=,同理可得:()()2222222222220b a c a b a b m λλ-++-=，所以,,λμ是二次方程()()22222222220b a c a b a b m λλ-++-=的两根,故()22212222222a b a b b a c λλ+=-=--为定值.【例4】在平面直角坐标系中,点()00,M x y 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，从原点O 向圆()()22200:M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ,若直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k ,且2122b k k a=-(1)求证:2222||;OP OQ a b +=+(2)求证:22222a b r a b =+.【答案】见解析.【解析】（1）()()2,0,1,0A B ,设()()1122,,,P x y Q x y ,由2122,b k k a=-得212212y y b x x a =-,所以4224221212a y y b x x =.,P Q 在椭圆上,22222222112212122222221,1,1,1x y x y x x y y a b a b a a ∴+=+=∴=-=-,于是22222242212122211x x a b a b b x x a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,即()()2222221212a x a x x x --=,化简得22212x x a +=.所以()22222222222222121212122||2b OP OQ x x y y x x b x x a b a+=+++=++-+=+(2)设直线,OP OQ 的方程分别为1y k x =与2y k x =,过原点O 作圆的切线y kx =,由圆心()00,M x y 到直线0kx y -=的距离等于半径，r =,即()()222001,k r y kx +=-即()22222000020x r k x y k y r --+-=因为12,k k 是方程的两根,所以2220122220y r b k k x r a -==--,所以222220022a yb x r a b +=+因为()00,M x y 在椭圆上,所以2200221x y a b+=,即22222200b x a y a b +=,所以22222a b r a b =+.强化训练1.过抛物线21:C y x =上一点()2,4P -作圆222:(2)1C x y +-=的两条切线分别交1C 于点,A B ,求直线AB 的方程.【答案】4310x y -+=【解析】解法1:()12,4P -,设()()1122,,,A x y B x y 则221212121212AB y y x x k x x x x x x --===+--同理122,2PA Pb k x k x =-=-,直线PA 的方程为()()1422y x x -=-+,即()11220x x y x --+=,由直线PA 与圆相切,1=,即()()22112221x x -=-+,化简得2114310x x -+=,即114310x y -+=.由直线PB 与圆相切，同理可得224310x y -+=.说明()()1122,,,A x y B x y 两点都在直线4310x y -+=上，故直线AB 的方程为4310x y -+=.解法2:由题意知，切线的斜率均存在，设过点()2,4P -且与圆相切的直线方程为()42y k x -=+,即240kx y k -++=,1=,所以22(22)1k k +=+,即23810k k ++=，设12,PA PB k k k k ==,则12,k k 是上面方程的两根,所以12128,13k k k k +=-=,由()242y k x y x ⎧-=+⎨=⎩得2240x kx k ---=,即()()220,2,2x x k x x k +--=≠-∴=+ .设()()1122,,,A x y B x y ,则11222, 2.x k x k =+=+进而1212844433x x k k +=++=-+=()()()1212121216122241533x x k k k k k k =++=+++=-+=-而221212121212ABy y x x k x x x x x x --===+--,直线AB 的方程为()()21121y x x x x x -=+-即()1212y x x x x x =+-,即4133y x =+,即4310x y -+=.解法3:设()()1122,,,A x y B x y ,则()1212:0AB x x x y x x +--=,同理()11:220PA x x y x --+=,由PA 与圆相切得:1=,整理得2113410x x --=,将211y x =代入，得114310x y ++=,同理有:2223410x x --=,于是12,x x 是方程23410x x --=的两根,所以121241, 33x x x x +==-,得:4310AB x y -+=.2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,离心率为32,又椭圆内接四边形ABCD （点,,,A B C D 在椭圆上）的对角线,AC BD 相交于点11,4P ⎛⎫⎪⎝⎭,且2AP PC =,2BP PD=(1)求椭圆的方程;(2)求直线AB 的斜率.【答案】(1)2214x y +=,(2)1-【解析】（1）依题意,2222221314c aa b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩,解得2241a b ⎧=⎨=⎩,所求椭圆的方程为22 1.4x y +=(2)设()11,A x y ,则221114x y +=.由2AP PC = ,得11334,.28x y C --⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程2214x y +=,得21213342 1.48x y -⎛⎫⎪-⎛⎫⎝⎭+= ⎪⎝⎭整理,得()22111131904216x y x y +-+-=,即111.8x y +=-①设()22,B x y ,同理可得221.8x y +=-②由①②可得直线AB 的方程为18x y +=-,所以AB 直线斜率为1-.3.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为),离心率为(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【答案】(1)221;94x y +=(2)2213x y +=.【解析】(1)222553,9543c c e a b a c a a ====∴=----=，椭圆C 的标准方程为22194x y +=.(2)若两切线斜率都存在,设切线方程为()00y y k x x -=-,代入椭圆方程得:()()()22200009418940k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦,由判别式为零得:()()()22220000(18)364940k y kx y kx k ⎡⎤----+=⎣⎦,整理得:()2220009240x k x y k y --+-=，所以k 是方程()2220009240x k x y k y --+-=的一个根，同理1k-是方程()2220009240x k x y k y --+-=的另一个根,所以20204119y k k x -⎛⎫⋅-==- ⎪-⎝⎭,即220013x y +=;若两切线中有斜率不存在,则()3,2P ±±,也满足220013;x y +=故点P 的轨迹方程为2213x y +=.4.过点()1,1P 的直线l 与椭圆22143x y +=交于点A 和B ,且AP PB λ= .点Q 满足AQ QB λ=-,若O 为坐标原点,则OQ 的最小值为_________________.【答案】125【解析】设点,,Q A B 的坐标分别为()()()1122,,,,,x y x y x y ,由题设有,,,,PA AQ BQ Q A P B=∣∣四点共线,故可设(),0,1PA AQ PB BQ μμμ==-≠±,于是111111x x y y μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩①2211 11x x y y μμμμ-⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩②点()11,A x y 在椭圆22143x y +=上,将①代入椭圆方程整理得()()22234122341250x y x y μμ+-++--=③点()22,B x y 在椭圆上，将②代入，同理可得()()22234122341250x y x y μμ+--+--=④由③④知:,μμ-是方程()()22234122341250x y t x y t +--+--=的两根,由韦达定理得34120x y +-=,点Q 的轨迹方程为34120x y +-=,故||OQ 的最小值就是点O 到直线34120x y +-=的距离125d ==.5.已知抛物线21:C x y =,圆222:(4)1C x y +-=的圆心为点M .(1)求点M 到抛物线1C 的准线的距离;(2)已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点）,过点P 作圆2C 的两条切线,交抛物线1C 于,A B 两点,若过,M P 两点的直线l 垂直于AB ,求直线l 的方程.【答案】(1)17;4(2)4y =+.【解析】(1)抛物线21:C x y =的准线为14y =-,圆心(0,4)M ,点M 到准线的距离174d =.（2）解法1:设点()()()222001122,,,,,P x x A x x B x x ,由题意知00120,1,x x x x ≠≠±≠.设过点P 的圆2C 的切线方程为：()00y y k x x -=-,由直线与圆2C相切有()()()22200001124410d x k x y k y ==⇒-+-+--=设,PA PB 的斜率为12,k k ,则()00122241x y k k x -+=-.由于2210101101010y y x x k x x x x x x --===+--,02201201,4AB PM x k x x k x x k y -=+=+==-.因此()000122002414x y x k k x y -+==--,解得20235x =,即235P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以直线l方程为4y =±.解法2:设()()()2221122,,,,,P t t A x x B x x ,由题意得120,1,t t x x ≠≠≠,可得1212,,AB AP BP k x x k t x k t x =+=+=+,所以直线()()21:AP y t t x x t -=+-化简得()11y t x x tx =+-.因为AP 与圆相切,所以1d =,化简得()221116150t x tx -++=同理可得()222216150t x tx -++=.所以12,x x 是方程()2216150tx tx -++=的两根.所以121222615,11t x x x x t t -+==--.又24MPt k t-=,由,1AB MP MP AB k k ⊥⋅=-,解得2235t =.即点P的坐标为235⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,所以直线l 的方程为31154115y x =±+.6.设O 为坐标原点,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>以椭圆C 的长轴长,短轴长分别为两邻边的矩形的面积为8.(1)求椭圆C 的方程;(2)若,,P Q M 是椭圆上的点,且圆M 与直线,OP OQ 相切,14OP k k ⋅=-,求圆M 的半径.【答案】(1)2214x y +=;(2)r =【解析】(1)由已知得222228c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩,所以椭圆的方程为2214x y +=.(2)过原点O 作圆的切线y kx =,设()00,M x y ,圆半径为(0)r r >,由圆心()00,M x y 到直线0kx y -=的距离等于半径,r =,即()()222001k r y kx +=-,即()22222000020x r k x y k y r --+-=,,OP oQ k k 是方程的两根,2222200022041,45OP oQy r x y k k r x r -+∴==-∴=-,因为()00,M x y 在椭圆上，所以222004251,,455x y r r +=∴=∴=.7.已知椭圆C 的中心在原点,离心率为22,其右焦点是圆22:(1)1E x y -+=的圆心.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)如图,过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线,分别交y 轴于点 M N ，.试推断是否存在点P ,使14||3MN =?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2212x y +=;(2)存在点21,2P ⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭满足条件.【解析】(1)设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>,半焦距为c ,因为椭圆的右焦点是圆E 的圆心,则1c =,又因为22e =,即2a =,从而2221b a c =-=,故椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设点()()000,0,(0,),(0,)P x y x M m N n <,则直线PM 的方程为00y my x m x -=+,即()0000y m x x y mx --+=,因为圆心(1,0)E 到直线PM 的距离为1,即()0022001y m x my m x-+=-+,即()()()222220000002y m x y m x m y m x m -+=-+-+,即()2000220x m y m x -+-=,同理()2000220x n y n x -+-=.由此可知,,m n 为方程()2000220x x y x x -+-=的两个实根,所以00002,22y xm n mn x x +=-=---,()()22220000220004444||||()4222y x x y x MN m n m n mn x x x +-=-=+-=+=---因为点()00,P x y 在椭圆C 上,则220012x y +=，220012x y =-则||MN ===,143,则()2029x -=,因为00x <,则01x =-，22001122xy =-=，即0y =故存在点21,2P ⎛-± ⎪⎝⎭满足条件.8.如图,已知抛物线2:4C y x =,直线l 过点4,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭与抛物线C 交于第一象限内两点,A B ,设,OA OB 的斜率分别为12,k k .(1)求12k k +的取值范围;(2)若直线,OA OB 恰好与圆222:(1)(2)(0)Q x y r r -+-=>相切,求r 的值.【答案】(1));+∞(2)12r =【解析】（1）设4:,(0)5l x ty t =->,代入24y x =,得22166440,16055y ty t -+=∆=->,得t >设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则1212164,5y y t y y +==()121212124445y y k k t y y y y ++=+==>,所以12k k +的取值范围是)+∞.（2）由（1）知1211165k k y y ==,设过原点且与圆相切的直线为y kx =,r =,整理得()2221440r k k r --+-=2122451r k k r -==-,得214r =,所以12r =.9.已知圆22:()()9M x a y b -+-=,圆心M 在抛物线2:2(0)C x py p =>上,圆M 过原点且与C 的准线相切.(1)求抛物线C 的方程;(2)设点(0,)(0)Q t t ->,点P （与Q 不重合）在直线:l y t =-上运动,过点P 作C 的两条切线,切点分别为,A B ,求证:AQO BQO ∠=∠.【答案】(1)28x y =;（2）见解析【解析】（1）∵圆M 与抛物线准线相切,∴32p b =-.又圆过0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭和原点,∴4p b =.∴324p p-=,解得4p =.∴抛物线C 的方程为28x y =.(2)设()()1122,,,,(,1),A x y B x y P m C -方程为211.84y x y x =∴'=,∴抛物线在点A 处的切线的斜率114k x =,∴切线PA 的方程为()11114y y x x x -=-,即()21111184y x x x x -=-,化简得:2111184y x x x =-+,又因过点(,1)P m -,故可得21111184x x m -=-+,即211280x x m --=.同理可得:222280x x m --=.∴12,x x 为方程2280x mx --=的两根,∴12122,8x x m x x +==-.∴()()221212121212121211882208888AQ BQx x x x y y x x m m k k x x x x x x ++++++-+=+=+=+==∴AQO BQO ∠=∠.10.已知抛物线2y x =和C ,过抛物线上的一点()()000,1P x y y ≥,作C 的两条切线,与y 轴分别相交于,A B 两点.(1)若切线PB 过抛物线的焦点,求直线PB 斜率;（2）求面积ABP ∆的最小值.【答案】(1)4;3k =(2)23.【解析】（1）抛物线的焦点为1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,设切线PB 的斜率为k ,则切线PB 的方程为:14y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即104kx y k --=.1(1)1041k k⋅--⋅-=,解得：43k =±.∵()()0004,1,3P x y y k ∴=（2）设切线方程为y kx m =+,由点P 在直线上得：00y m k x -=圆心C1=,整理得:2210m km --=将(1)代入(2)得:()2000220x m y m x +--=设方程的两个根分别为12,m m ,所以001212002,22y xm m m m x x +==-++,从而12||AB m m =-==,)001||12ABPS AB x x x ∆==≥记函数()2223()(1)(2)x x x g x x x +=≥+,则()22321118()0(2)x x x g x x ++'=>+,()min 2,3PAB ABP S S ∆∆==的最小值为23,当01x =取得等号.11.如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线2:4C y x =存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点,求PAB ∆面积的取值范围.【答案】（1）见解析;(2)4⎡⎢⎣⎦.【解析】(1)设()22120012,,,,,44y y P x y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则PA 中点为20011,282x y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,由AP 中点在抛物线上,可得2201014228y y x y ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得2210100280y y y x y -+-=,显然21y y ≠,且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=,所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根,所以1212002,2M P y y y y y y y y ++====,即PM 垂直于x 轴.(2)()()()120121122M P M M M S x x y y y y x x y y =--+-=--,由（1）可得()()()()222212012000000122,8,248840y y y y y x y x y y x y y +==-∆=--=->≠,此时()00,P x y 在半椭圆221(0)4y x x +=<上,∴()()()222000000848414321y x x x x x ⎡⎤∆=-=--=--⎣⎦,∵01210,0,||x y y a -<∴∆>∴-===()()()22222200001212120000428644238888M P y x y x y y y y y y x x x x x x ---+-+-=-=-==()20031x x =--,所以()2301200112M S x x y y x x =--=--=,51,2t ⎡=⎢⎣⎦,所以315104S ⎡=∈⎢⎣⎦,即PAB∆的面积的取值范围是4⎡⎢⎣⎦.21。
解析几何问题中常见的技巧专题课件高三数学一轮复习
解：直线 AM 的斜率为1时，直线 AM 的方程为 y ＝ x ＋2，
代入椭圆方程并化简得5 x 2＋16 x ＋12＝0.
6
解得 x 1＝－2， x 2＝－ ，所以 M
5
6
4
− ，
5
5
.
高中总复习·数学（提升版）
（2）当直线 AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过 x 轴上的一定
解析：
2
由双曲线方程 x 2－ ＝1知 a ＝1， b ＝3，则其渐近线方程
9
为 y ＝±3 x .观察选项知，四个点均在双曲线外，∴点 A ， B 分别在双
曲线的两支上，∴－3＜ kAB ＜3.设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），则
12 −
22 −
12
9
22
9
= 1，
4
点， A ， B 分别是 C 1， C 2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF 1 BF 2
为矩形，则 C 2的离心率是（
A. 2
3
C.
2
B. 3
D.
6
2
）
高中总复习·数学（提升版）
解析：
由已知，得 F 1（－ 3 ，0）， F 2（ 3 ，0），设双曲线 C 2
的实半轴长为 a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得
，
2
−
，
2
3
2
，＝
− ，
3 2
1 2
3 2
1
3 2
2
2
2
2
＝ c － a ＋ b ＝ c － a ＋ （ a － c ）＝ c －
操千曲而晓声,观百剑而识器——简化解析几何运算的策略
时， Ａ ＝ ｝为 最 小； 将
直线 绕点 Ｐ逆 时针 旋转 至相切 （ ， 重 合 ）有 Ａ ＝ Ｉ ；回转至 Ａ （ ０ ，一 ３ ） ，Ｂ （ ０ ，３ ）有 Ａ － ５为 最大 ，故 有 Ａ ＝
— 、 Ａ（ Ｂ）
０
Ｂ（ ａ）
图 １
＼
例３ ． 椭圆内车＋ 车＝ １ 有一点Ｐ （ １ ， １ ） ， 一直线
为、 ／ 的点 的轨迹 ， 根 据圆锥 曲线 的定 义 ．此轨迹
为双曲线 ．选 Ｃ ． 点评 ：本题 采用 了 “ 回归定义”的策略 ，达到 准
确判 断、灵 活解题 、避免 大量运算的麻 烦． 其 实，很 多解析几何 问题都是 由定 义派生 出来的 ，这时理解 定
免繁琐的推理运算 ，往往事半功倍 、别样精彩．
ｆ － Ｏ ｆｌ － 成等差数列， ￣Ｂ － ｆ 与 同向， 求双曲线的 离
心率．
求 简思维是 建立在对定 义 、概念深入 理解 的基 础
上 ，掌握其本质属性 ，运用相关 的概念 、定义对问题
的定性分析和定量计算有机结合起来 ，可 以使运算过 程 简捷 明快 ，因此我们在解题 中若能 回归定义 ，则很
以事半功倍． 解 析 ：由、 ／ （ ｘ ＋ ３ ） ２ ＋ （ ｙ 一 １ ） 一 Ｉ ｘ — ｙ ＋ ３ １ ＝ ０ ，得
一
平 分 线 盼 眭 质 定 理 得 ＝ 槲 ， 再 由 等 比 性 质 可 得 ］ ＝ ＝ 斟＝
１
，
即ｔ ａ ｎ ０
，由渐近线方 程 由 ＝ ，再
我们备战高考同样如此本文笔者通过认真研究近6年来的广东高考数学选做题发现对几何证明选讲部分内容的考查多集中在与圆相关的性质定理和相似三角形相似三角形的判定和性质定理射影定理圆的切线的判定和性质定理圆周角定理弦切角定理相交弦定理割线定理切割定理圆内接四边形的性质和判定定理等知识上难度不算大一般为中等难度题目
高中数学解析几何优化计算6大技巧
解析几何优化计算6大技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技巧一回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．【例题】如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是()A.2B.3C.32D.62【解析】由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，1|＋|AF 2|＝4，2|－|AF 1|＝2a ，1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62.【答案】D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是()A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由题意可得S△BCFS △ACF ＝|BC ||AC |＝x B x A ＝|BF |－p 2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|PA |2＝(x P ＋m )2＋y 2P＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||PA |≥22，所以|PF ||PA |的最小值为22.答案：22技巧二设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．【例题】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为()A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，＋y 21b 2＝1，＋y 22b2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.【答案】D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ，由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c，整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 21b2＝1，＋y 22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22.答案：22技巧三巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．【例题】设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞3.【解析】法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．kx 0，＋y 20b2＝1，消去y 0并整理，得x 20＝a 2b2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k＋4.又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3.法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k2，代入②，得(1＋k2)·4a2(1＋k2)2＜a2，解得k2＞3，所以|k|＞ 3.法三：设P(a cosθ，b sinθ)(0≤θ＜2π)，则线段OP的中点Qθ，b2sin|AP|＝|OA|⇔A Q⊥OP⇔k A Q×k＝－1.又A(－a,0)，所以k A Q＝b sinθ2a＋a cosθ，即b sinθ－ak A Q cosθ＝2ak A Q.从而可得|2ak A Q|≤b2＋a2k2A Q＜a1＋k2A Q，解得|k A Q|＜33，故|k|＝1|k A Q|＞ 3.[关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．[对点训练]设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，则有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，可得线段AB的中点M(2t2＋m,2t)，而由题意可得直线AB与直线MC垂直，即k MC·k AB＝－1，可得2t－02t2＋m－5·1t＝－1，整理得m＝3－2t2(当t≠0时)，把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3，又由于圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4.故r 的取值范围为(2,4)．技巧四数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．【例题】已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【解析】设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|，则△APF 的周长为|PA |＋|PF |＋|AF |＝|PA |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ，由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线，由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26，所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6.【答案】126[关键点拨]要求△APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是()A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x－4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝()A ．4 B.5C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.技巧五妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．【例题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．【解析】把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则－32a 而F (c,0)，则FB －32a －c FC －c 又∠BFC ＝90°，故有FB ·FC －32a －c －c c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.【答案】63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练]设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为()A ．90° B.60°C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.2－y 22＝1，0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 2x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 204－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°.技巧六巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．【例题】已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．【解析】(1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以－65，(2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，k (x ＋2)，y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为－65，证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝2－8k 21＋4k 2＋65＝5k 4－4k 2，同理可得k PN ＝5k 4－4k2.所以直线MN 过x 轴上的一定点－65，[关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k2这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c2，b 2＝3c 2，将点P c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|)＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227所以12t 2＋14＋3t2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.。
高中数学中的函数与解析几何解题技巧分享
高中数学中的函数与解析几何解题技巧分享函数与解析几何是高中数学的重要部分，它们在各种数学问题的解决中起着至关重要的作用。
本文将分享一些在函数与解析几何方面的解题技巧，希望能对高中数学学习者有所帮助。
一、函数解题技巧1. 理解函数的定义在解题过程中，首先要对函数的定义有清晰的理解。
函数是一种映射关系，它将自变量映射到对应的因变量。
函数解题时要准确地找到函数的定义域和值域，并理解函数在不同定义域上的变化规律。
2. 利用函数性质简化运算在解题过程中，可以根据函数的性质简化运算。
例如，利用奇偶性质可以简化函数的求值，利用周期性质可以简化函数的图像绘制，从而更便捷地解决问题。
3. 构建辅助函数有时，在解决复杂问题时，可以构建辅助函数来简化问题的分析与计算。
通过构建适当的辅助函数，可以将问题转化为更易解的形式，从而更高效地求解。
二、解析几何解题技巧1. 熟悉平面几何基本知识解析几何中的基本概念包括点、直线、平面等，学习者首先要熟悉这些基本知识，理解它们之间的关系和性质。
只有对基本概念有清晰的认识，才能更好地解决解析几何中的问题。
2. 等距变换的应用等距变换是解析几何中常用的技巧之一。
通过平移、旋转、对称等等等距变换，可以保持图形的形状和大小不变，从而简化问题的求解。
学习者需要善于利用等距变换来研究几何问题，提高问题的解决效率。
3. 坐标系的运用在解析几何中，坐标系是一个重要的工具。
通过建立适当的坐标系，可以将几何问题转化为代数问题，并运用代数知识来求解。
学习者要熟练掌握坐标系的建立方法，善于将几何问题转化为坐标系中的方程求解。
三、函数与解析几何综合运用1. 利用函数与解析几何相互关系解题函数与解析几何是密不可分的。
在解决数学问题时，学习者可以将函数与解析几何相互应用，通过解析几何的几何特性来研究函数，或者通过函数的性质来推导解析几何问题的解决方法。
例如，利用平面几何中直线的垂直、平行关系来研究函数的递增、递减性质，或者通过解析几何的方程求解方法来确定函数的解。
圆锥曲线解题技巧与方法综合如何通过平移与旋转变换简化解析几何问题
圆锥曲线解题技巧与方法综合如何通过平移与旋转变换简化解析几何问题解析几何是数学中的一个重要分支，它通过运用几何图形和代数方法解决各种问题。
而在解析几何中，圆锥曲线是一个特别重要的概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在解析几何问题中，我们可以运用平移与旋转变换的方法，来简化解答问题的过程。
本文将介绍圆锥曲线解题技巧与方法，并探讨如何通过平移与旋转变换来简化解析几何问题。
一、椭圆的解析几何问题对于椭圆的解析几何问题，我们可以运用平移与旋转变换的方法来简化解答问题的过程。
首先，我们将椭圆的中心平移到坐标原点上，这样可以将椭圆的方程形式简化为标准方程。
对于椭圆的标准方程，可以通过旋转变换来使其长轴与坐标轴重合。
通过变换后的方程，我们可以更加方便地求解椭圆的焦点、顶点、离心率等重要参数。
二、双曲线的解析几何问题对于双曲线的解析几何问题，同样可以通过平移与旋转变换来简化解答问题的过程。
首先，我们可以将双曲线的中心平移到坐标原点上，使其方程形式变为标准方程。
通过旋转变换，我们可以将双曲线的方程转化为标准方程，使其对称轴与坐标轴重合。
这样，我们就可以更方便地求解双曲线的焦点、渐近线等重要参数。
三、抛物线的解析几何问题对于抛物线的解析几何问题，同样可以利用平移与旋转变换来简化解答问题的过程。
将抛物线的焦点平移到坐标原点上，将其方程形式转化为标准方程，从而更便捷地求解抛物线的顶点、焦点、直径等重要参数。
通过旋转变换，使抛物线的方程转化为标准方程，使其对称轴与坐标轴重合，进一步简化计算过程。
四、通过平移与旋转变换简化解析几何问题的优势通过平移与旋转变换来简化解析几何问题，可以将图形的方程形式转化为标准方程，从而更方便地计算图形的重要参数。
这种方法的优势在于能够减少问题的复杂度，简化计算过程，提高解题的效率。
通过合理运用平移与旋转变换，可以将解析几何问题转变为更加简单直观的形式，使问题更易于理解和解答。
总结：对于解析几何问题中的圆锥曲线，我们可以运用平移与旋转变换的方法来简化解答问题的过程。
数学解析几何题解题技巧
数学解析几何题解题技巧解析几何作为高中数学重要的一部分，是数学中的一门重要学科。
解析几何题目通常涉及到点、线、面等几何元素，并结合数学分析的方法进行求解。
解析几何题解题技巧的掌握对于学生的考试成绩和数学水平有着重要的影响。
本文将介绍一些解析几何题解题的常见技巧和方法。
一、坐标表示法在解析几何中，常常使用坐标表示法来解决问题。
坐标表示法利用数轴上的点与数的对应关系，将几何问题转化为数学问题进行求解。
在解析几何题目中，常用的坐标表示法包括直角坐标系、极坐标系等。
直角坐标系是最常见的坐标表示法之一。
在直角坐标系中，我们用x和y两个坐标轴来表示二维平面上的点。
在解析几何题目中，可以通过设定坐标原点，确定x轴和y轴的正负方向，来表示点的位置。
利用直角坐标系，我们可以计算线的斜率、距离等问题，从而解决解析几何题目。
极坐标系是另一种常用的坐标表示法。
在极坐标系中，我们用极径和极角来表示平面上的点。
极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。
利用极坐标系，我们可以更方便地表示圆、曲线等等问题，从而解决解析几何题目。
二、方程表示法方程表示法是解析几何题目中另一个重要的解题方法。
通过建立方程，可以用代数的方法求解几何问题。
在解析几何题目中，常常利用点、线、曲线的方程来表示几何元素的性质和关系。
例如，对于一条直线，可以通过两点式、点斜式、一般式等不同形式的方程来表示。
在解析几何题目中，可以通过已知条件，建立直线的方程，并结合其他几何元素的方程，解得问题的答案。
对于一条曲线，通常可以通过解析几何的知识，建立其方程，并通过求解方程，得到曲线上的点坐标等问题。
在解析几何题目中，方程表示法是解决问题的重要手段之一。
三、向量表示法向量表示法是解析几何题目中另一个常用的技巧。
向量表示法利用向量的性质和运算，可以更方便地表示点、线、面等几何元素，从而解决解析几何问题。
在解析几何题目中，常常通过设立向量的起点和终点，来表示点或线段。
解析几何解答题的答题策略和技巧
解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。
要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。
确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。
选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。
笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。
建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。
这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。
求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。
这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。
验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。
几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。
这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。
技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。
利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。
利用这些对称性可以简化问题。
使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。
保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。
复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。
特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。
圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。
双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。
抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。
椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。
通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。
记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。
解析几何中简化运算的常用技巧
解析几何中简化运算的常用技巧技巧一：弦长公式的“巧用”.①直线AB的方程为，与曲线联立后的一元二次方程为，所以直线与二次曲线相交的弦长公式又可以化为：②1.对于公式①在直线弦长的运用.例题1.已知椭圆C（a>b>0)的离心率为，直线：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T.（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；（Ⅱ)O为坐标原点，与OT平行的直线与椭圆C交于不同的两点A，B，直线与直线交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.(1)(2) 由第(1)知 ,设直线与直线：x+2y=4联立得与直线椭圆联立得:点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了弦长公式，该弦长的一个端点在直线上，另一个端点在曲线上，大大简化了计算量.1.对于公式②在直线弦长的运用.例题2. 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.（I）（）.（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，， .由得 .过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以 .故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为 .当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为 .点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了简化后的弦长公式，绕开了韦达定理，大大简化了运算量.技巧二：巧设直线方程在直线与圆锥曲线联立的问题中，设直线的点斜式方程是最常用的一种手段，但具体在已知直线过点设方程的是时候，还是很有讲究.当给定的点不在坐标轴上，最好设直线的斜截式方程，计算完后再代点，可大大简化运算量.当给定的点在坐标轴上的时候，则选择直线的点斜式方程为多.【2014年广东，理20，14分】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．解：（1），，，，椭圆的标准方程为：．方法二：若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个，它们的坐标分别为，．若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为，将之代入椭圆方程得：即显然，这四点也满足以上方程，点的轨迹方程为．点评：本题采用设直线的斜截式方程，大大简化了计算量.若果才用设直线的点斜式方程，则计算量和计算难度会繁琐很多.技巧三：巧用平面几何性质已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )A． B．C． D．【解析】设OE的中点为N，如图，因为MF∥OE，所以有＝，＝.又因为OE ＝2ON，所以有＝·，解得e＝＝，故选A．【答案】A此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算．技巧四：设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“点差法”求解．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E 于A，B两点．若AB的中点坐标为M(1，－1)，则E的标准方程为( )A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【解析】通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，①－②得＋＝0，所以kAB＝＝－＝.又kAB＝＝，所以＝.又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.优解：由kAB ·kOM＝－得，×＝－得，a2＝2b2，又a2－b2＝9，所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.【答案】D本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．技巧五巧妙“换元”减少运算量变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．如图，已知椭圆C的离心率为，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【解】(1)由已知椭圆的焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，则A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)(c＝)．由已知可得e2＝＝，所以a2＝4b2，即a＝2b，可得c＝b①.S△AFB＝×|AF|×|OB|＝(a－c)b＝1－②.将①代入②，得(2b－b)b＝1－，解得b＝1，故a＝2，c＝.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)圆O的圆心为坐标原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，得＝1，故有m2＝1＋k2③.由消去y，得x2＋2kmx＋m2－1＝0.由题可知k≠0，即(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，所以Δ＝16(4k2－m2＋1)＝48k2＞0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝④.将③代入④中，得|x1－x2|2＝，故|x1－x2|＝.所以|MN|＝|x1－x2|＝×＝.故△OMN的面积S＝|MN|×1＝××1＝.令t＝4k2＋1，则t≥1，k2＝，代入上式，得S＝2＝＝＝＝＝，所以当t＝3，即4k2＋1＝3，解得k＝±时，S取得最大值，且最大值为×＝1.破解此类题的关键：一是利用已知条件，建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值，二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且ac≠0)的函数常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化，这样目标函数的值域才不会发生变化．。
中考数学解析几何解题技巧
中考数学解析几何解题技巧解析几何是中考数学中的一个重要考点，它涉及到平面几何和空间几何的一些基本概念和解题方法。
在中考中，解析几何的题目通常比较灵活多样，需要我们掌握一些解题技巧，下面将介绍几种常用的解析几何解题技巧。
1. 利用图形的对称性质对称性是解析几何中常见的一个特点，利用图形的对称性质可以简化解题的过程。
例如，在求解线段中点问题时，如果两个点关于某个点对称，那么这个点就是中点；在判断线段垂直问题时，如果两条线段的斜率乘积为-1，那么它们就垂直。
2. 用坐标系建立方程建立坐标系是解析几何中的常用方法，通过引入坐标系，可以将几何问题转化为代数问题，从而更方便地进行求解。
当遇到直线，平面或者圆等图形时，可适当引入坐标，利用坐标系建立方程，然后进行计算。
3. 利用平行和垂直关系平行和垂直是解析几何中常见的关系，利用这些关系可以简化解题的过程。
例如，在判断两条直线是否平行时，可以比较它们的斜率是否相等；在判断两条直线是否垂直时，可以比较它们的斜率乘积是否为-1。
4. 利用相似三角形相似三角形是解析几何中常用的一个概念，利用相似三角形的性质可以推导出一些几何关系，从而解决问题。
例如，在判断两条直线是否平行时，可以利用相似三角形的性质得到结论；在求解线段比例问题时，也可以利用相似三角形的性质进行求解。
5. 利用向量法求解向量法是解析几何中的一种常用方法，通过引入向量，可以更直观地描述几何对象之间的关系，从而解决问题。
例如，在求解线段的长度问题时，可以将线段表示为向量的差，然后计算向量的模即可；在判断三角形是否共面时，可以利用向量的线性相关性进行分析。
6. 利用距离公式求解距离公式是解析几何中的一个基本概念，通过利用距离公式，我们可以计算出几何对象之间的距离，从而解决问题。
例如，在求解点到直线的距离问题时，可以利用点到直线的垂线段长度计算距离；在求解点到平面的距离问题时，可以利用点到平面的垂线长度计算距离。
减少解析几何题运算量的六种策略
减少解析几何题运算量的六种策略
<u>减少解析几何题运算量的六种策略</u>
针对解析几何中的运算量多的局面，渊博的学习者应该掌握几项策略，以降低复杂性，减少运算量。
下面主要介绍六种经济有效的策略。
第一种策略是使用对对称的简化技巧。
它试图结合反射、旋转和翻转等操作，以更有效地简化问题。
例如，若我们遇到三角形ABC，以点D在BC边上，要求
绘制M型图形，则可以使用这一技术，翻转ABC经由D为锚点，将ABC沿CD
轴翻转，从未的形象中出发，再绘制类似的ADC。
第二种策略是寻找必要性条件，以加快抓取重要信息的进程。
学习者需要学习推理技巧，弄清问题的本质，确定最关键的信息；另外，还需要利用图形法，快速构建更清晰的问题模型，以节省大量时间。
第三种策略是采用火柴人，也就是说以火柴拼接出图形，预测可能性和排除常见错误，从而练习绘制、计算解答的技能，这样可以使学习者拥有强大的几何思维。
第四种策略是运用共线判定。
这是一种快速而有效的几何判断技术，能够使学习者不断判断直线、圆弧等运算，从而缩减大量运算步骤。
第五种策略是使用数学的方法，主要是依靠高等代数，试图从运算量上求得优化解。
最后，使用几何软件也是得特别提及的一种策略。
这些软件大多具有精确、提示，能够快速有效地完成复杂的几何计算，从而使学习者有更多的精力在其他方面做更多的功课。
以上就是减少解析几何题运算量的六种策略。
它们均可以给学习者以有益的支撑，以降低复杂性，减少运算量。
只有掌握这些策略，才能更好地应对挑战，取得更加满意的成绩。
解析几何解题技巧归纳
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究平面和空间中的点、直线、曲线以及它们之间的关系。
在解析几何中，解题技巧的掌握对于提高解题效率和准确性至关重要。
下面将从以下几个方面对解析几何解题技巧进行归纳总结。
1. 理解基本概念和性质解析几何的基本概念包括点、直线、曲线等，而基本性质则包括距离、角度、斜率等。
在解题过程中，首先要对题目中涉及的基本概念和性质有清晰的理解，这样才能准确地运用相关公式和方法进行求解。
2. 利用坐标系解析几何中，坐标系是解决问题的重要工具。
通过建立合适的坐标系，可以将问题转化为代数方程或函数的形式，从而利用代数方法进行求解。
在建立坐标系时，要考虑到题目的特点和要求，选择合适的坐标系类型，如直角坐标系、极坐标系等。
3. 利用几何性质解析几何中的几何性质是解题的关键。
通过观察和分析几何图形的性质，可以得出一些结论和关系，从而简化问题的求解过程。
例如，利用平行线的性质可以解决与平行线相关的题目；利用垂直线的性质可以解决与垂直线相关的题目等。
4. 利用相似三角形相似三角形是解析几何中常用的一个工具。
通过构造相似三角形，可以将问题转化为已知条件和未知量之间的关系，从而进行求解。
在构造相似三角形时，要注意选择合适的基准点和基准线，以及利用已知条件和几何性质进行推导。
5. 利用对称性对称性是解析几何中的一个重要性质。
通过利用对称性，可以将问题转化为已知条件和未知量之间的关系，从而进行求解。
在利用对称性时，要注意选择合适的对称轴和对称中心，以及利用已知条件和几何性质进行推导。
6. 利用参数方程参数方程是解析几何中常用的一种表示方法。
通过将问题转化为参数方程的形式，可以简化问题的求解过程。
在利用参数方程时，要注意选择合适的参数和参数范围，以及利用已知条件和几何性质进行推导。
7. 利用三角函数三角函数是解析几何中常用的一个工具。
通过利用三角函数，可以将问题转化为已知条件和未知量之间的关系，从而进行求解。
谈谈解答解析几何问题的三个办法
解析几何是高中数学中的重要模块，解析几何问题的分值在高考试卷中占比较大.解析几何问题的常见命题形式有：求曲线的方程、求曲线中线段的最值、求参数的取值范围、判断点的存在性等.解析几何问题对同学们的逻辑思维和运算能力有较高的要求.下面介绍三个解答解析几何问题的技巧，以帮助同学们简化问题，提高解题的效率.一、巧用参数法有些解析几何问题较为复杂，涉及了较多的变量，为了便于解题，我们可引入合适的参数，设出相关点的坐标、直线的斜率、方程、曲线的方程等，然后将其代入题设中进行运算、推理，再通过恒等变换，消去参数或求得参数的值，便可求得问题的答案.例1.已知过椭圆C ：x 29+y 2=1左焦点F 1的直线交椭圆于M ,N 两点，设∠F 2F 1M =α(0≤α≤π).当α的值为何时，|MN |为椭圆C 的半长轴、半短轴长的等差中项？解：设过F 1的直线参数方程为：{x =-22+t cos α，y =t sin α，将其代入椭圆方程中可得()1+8sin 2αt 2-()42cos αt-1=0.则t 1+t 2=,t 1t 2=-11+8sin 2α，所以||MN =||t 1-t 2=()t 1+t 22-4t 1t 2=61+8sin 2α=2，可得sin 2α=14，解得α=π6或5π6.要求得|MN |，需知晓直线的方程，于是引入参数t 、α，设出直线MN 的参数方程，然后将其与椭圆的方程联立，构建一元二次方程，根据韦达定理和弦长公式求得|MN |，再根据等差中项的性质建立关系，求得α的值.运用参数法解题，只需引入参数，根据题意建立关系式，这样能有效地降低解题的难度.二、妙用射影性质射影性质是图形经过任何射影对应(变换)都不变的性质.若遇到涉及多条共线线段或平行线段的解析几何问题，我们可以巧妙利用射影性质来解题.首先根据题意画出相应的图形，然后在x 轴或y 轴上画出各条线段的射影，如此便可将问题中线段的长度、数量问题转化为x 轴或y 轴上的点或线段问题，进而简化运算.例2.已知椭圆的方程为x 224+y 216=1，点P 是直线l ：x 12+y 8=1上的任意一点，OP 的延长线交椭圆于点R ，点Q 在OP 上，且||OQ ∙||OP =|OR |2，求点Q 的轨迹方程.解：设P (x p ,y p )，Q (x ,y )，R (x R ,y R )在x 轴上的射影分别为P 0,Q 0,R 0，由||OQ ∙||OP =|OR |2可得x ∙x P =x 2R ，①当点P 不在y 轴上时，设OP :y =kx ，由ìíîïïy =kx ，x 224+y 216=1，可得x 2R =483k 2+2，②由ìíîïïy =kx ，x 12+y 8=1，可得x P =243k +2，③由①②③可得：(x -1)252+(y -1)253=1(y ≠0).当点P 在y 轴上时，Q 点的坐标为(0,2)，满足上式.所以点Q 的轨迹方程为(x -1)252+(y -1)253=1(y ≠0)，该方程表示的是中心为(1,1)，长轴长为10，短轴长为的椭圆(去除原点).找到P 、Q 、R 在x 轴上的射影，利用射影性质得到x ∙x P =x 2R ，然后通过联立方程求得x 、x P 、x 2R ，建立关系式，即可通过消元求得点Q 的轨迹方程.巧妙利用射影性质来解题，能有效简化运算，提升解题的效率.高双云图1思路探寻47探索探索与与研研究究三、建立极坐标系对于一些与线段长度有关的问题，我们可以结合图形的特征，建立极坐标系，通过极坐标运算来求得问题的答案.一般地，可将直角坐标系的原点看作极坐标系的原点，将直角坐标系的x 轴看作极坐标系的极轴，把线段用极坐标表示出来，这样便可将问题简化.以例2为例.图2解：以原点O 为极点，以Ox 轴的正半轴为极轴，建立如图2所示的极坐标系.则椭圆的极坐标方程为：ρ2=482+sin 2θ,直线l 的极坐标方程为：ρ=242cos θ+3sin θ，设P (ρP ,θ),Q (ρ,θ),R (ρR ,θ),因为||OQ ∙||OP =|OR |2，所以ρ∙ρP =ρ2R .即24ρ2cos θ+3sin θ=482+sin 2θ，可得ρ2()2+sin 2θ=4ρcos θ+6ρsin θ，而x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得2x 2+3y 2-4x -6y =0(其中x ,y 不同为零),所以点Q 的轨迹是中心为(1,1)，长轴长为10，短轴长为的椭圆(去除原点).建立极坐标系后，分别求出椭圆的极坐标方程和直线的极坐标方程，再根据极坐标方程表示出点P 、Q 、R 的坐标，并根据几何关系||OQ ∙||OP =|OR |2建立关系式，最后将其转化为标准方程即可.运用极坐标法解题，需熟练地将极坐标方程与普通方程进行互化.可见，利用参数法、射影性质、极坐标系法，都能巧妙地简化运算，提升解题的效率.相比较而言，参数法的适用范围较广，另外两个技巧具有一定的限制.同学们在解题时，可根据解题需求，引入参数、画出射影、建立极坐标系，这样便可让解题变得更加高效.本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点自筹课题“新课标下提升高中生数学学习力的实践研究”（课题编号：B-b/2020/02/158）阶段研究成果.（作者单位：江苏省泰兴中学）在教学中，细心的教师会发现，教材中的很多习题具有一定的代表性和探究性，且其解法非常巧妙.对于此类习题，教师可以将其作为重要的教学资源，在课堂教学中引导学生对其进行深入的探究、挖掘，以便学生掌握同一类题目的通性通法，帮助他们提升学习的效率.本文主要对人教A 版选择性必修第二册《一元函数的导数及其应用》的一道课后习题进行了探究.一、对习题及其解法的探究人教A 版选择性必修第二册第99页的第12题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：（1）e x >1+x ,x ≠0；（2）ln x <x <e x ,x >0.证明:（1）设f (x )=e x -1-x ,∴f ′(x )=e x-1，∴f ′(x )=e x -1=0,∴x =0，∵f ′(x )>0,∴x >0,f ′(x )<0,∴x <0，∴函数f (x )在(0,+∞)为单调递增，在(-∞,0)为单调递减，∴函数在x =0处取得最小值，∴f (x )>f (0)=0，∴f (x )=e x -1-x >0,即e x >1+x .事实上，这个结论经常出现在很多试题中，不少教师在教学中也将该结论列为常用结论，并要求学生加以记忆.于是，笔者引导学生对该结论的背景和几何意义进行推导和探究.引理：（泰勒公式）若函数f (x )在包含x 0的某个区间[a ,b ]上具有n 阶导数，且在开区间(a ,b )上具有n +1阶导数，则对于闭区间[a ,b ]上的任意一点x =x 0，有f (x )=f (x 0)+f '(x 0)1!(x -x 0)+f ''(x 0)2!(x -x 0)2+f '''(x 0)3!(x -x 0)3+⋯+f n (x 0)n !(x -x 0)n +R n (x ).其中，f n (x 0)表示函数f (x )在x 0处的n 阶导数，上式称为函数f (x )在x =x 0处的泰勒公式，R n (x )称为泰勒公式的余项.特别地，当x 0=0时，若f (x )在x =0处n 阶连续可导，则称f (x )=周建韩丹娜48。
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专题：简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ．2B ． 3C ．32D ．62[解析] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝2．所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62． [答案] D [方法点拨]本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点演练]抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22． 答案：22对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2．又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12．又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1．[答案] D [方法点拨]本题设出A ，B 两点的坐标，却不需求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[对点演练]过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2．∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2．又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22．即椭圆C 的离心率e ＝22． 答案：22某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] (2016·全国甲卷)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0． (1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4．因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2．将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0．解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127．因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449．(2)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1，得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0． 由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2．由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t ．由2|AM |＝|AN |，得23＋tk 2＝k3k 2＋t， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2．t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，即k －2k 3－2<0． 因此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2． 故k 的取值范围是(32，2)． [方法点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点演练](2016·兰州实战考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，所以S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＋S △BF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12|F 1F 2|·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12t 2＋14＋3t 2．而S △AF 2B ＝12|AB |r 0＋12|BF 2|r 0＋12|AF 2|r 0＝12r 0(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327 ＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2．利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一．[典例] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1D ．x 227－y 29＝1[解析] 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ＞0)．因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1．[答案] B [方法点拨]本题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．[对点演练]圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为 x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0， 即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0．换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞3．[解] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2．①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0． 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4． 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞3．法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1．因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2．②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2， 解得k 2＞3，所以|k |＞3．法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ． |AP |＝|OA |⇔AQ ⊥OP ⇔k AQ ×k ＝－1．又A (－a,0)，所以k AQ ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak AQ cos θ＝2ak AQ ．从而可得|2ak AQ |≤b 2＋a 2k 2AQ ＜a 1＋k 2AQ ，解得|k AQ |＜33．故|k |＝1|k AQ |＞3． [方法点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点演练](2016·长春市质量检测)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为3． (1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于R ，Q 两点，问RF 2―→·QF 2―→是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，则b ＝3t ，其中t ＞0，当△F 1PF 2面积取最大值时，点P 为短轴端点， 因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)可知F 2(1,0)，A 1(－2,0)．设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，可得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，①y 1y 2＝－94＋3m 2，②直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BA 1的方程为y ＝y 2x 2＋2(x ＋2)，则R ⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2＋2，F 2R ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 1x 1＋2，F 2Q ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 2x 2＋2，则F 2R ―→·F 2Q ―→＝9＋6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝6y 1my 1＋3·6y 2my 2＋3＋9＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＋9将①②两式代入上式，整理得F 2R ―→·F 2Q ―→＝0， 即F 2R ―→·F 2Q ―→为定值0．。