用解析法进行机构的运动分析资料
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2
cosθ3=（1－t2）/ (1+ t2) sinθ3 = 2t / (1+ t2)
代入(3)式，整理得：(C－B) t2+2A t+(B+C)=0
t1、2=
A
A2 B2 C2 BC
∴ θ3=2arctg t1、2 =2arctg
A A2B2C2 BC
同理可求θ2=？
θ3=2arctg t1、2 =2arctg
L4
分离虚、实部： L 1 cosθ1 + L c2 osθ2 = cL o3 sθ3+ L 4 L 1 sinθ1 + L 2sinθ2 = Ls3inθ3
令a= L 4 － L 1 cosθ1，b= L s1 inθ1，则：
L 2 cosθ2= L c3 osθ3 + a (1)
L 2 sinθ2= L 3sinθ3－b (2)
•
3θ 3
) i eiθ3
(**)
欧拉公式展开：
•
•
L 1 θ 1 i (cosθ1+isinθ1)+ L 2 θi(2cosθ2+isinθ2) =
•
Li(3 cθo3sθ3+isinθ3)
分离虚、实部：-
L
•
2 θsi2nθ2 +
•
L 3siθn3θ3 =
•
sLin1 θθ 11
•
•
•
L 2 θ 2 cosθ2 - L c3 θos3 θ3 = - cosL θ1 1θ 1
杆组法的主要特点：
不要针对每一个具体的机构列方程，而是对组成机构的杆组列 方程（杆组的类型是有限的，可先编好子程序）。所以此法具有较 大的通用性和适用性，且简便。但采用此法的前提条件是要利用计 算机。
二）杆组法运动分析的数学模型
1、构件（或原动件）的运动分析——同一构件上点的运动分析 已知该构件上一点的运动参数（位置、速度、加速
§3—3 用解析法进行机构的运动分析
用解析法作平面机构的运动分析的关键是建立机构位 置矢量封闭方程式。随着计算机的普及，解析法得到了越 来越广泛的采用。
常用的解析法有：矢量方程解析法、矩阵法、复数矢 量法、杆组法。
一、复数矢量法 复数矢量法是先写出机构的封闭矢量方程式，然后将
它对时间求一次和二次导数即得速度和加速度矢量方程式， 最后用复数矢量运算法求出所需的运动参数。
A A2B2C2 BC
说明：
1）“±”——取决于机构的初始安装模式： “+”号适用于图示机构ABCD位置的安装方案； “-”号适用于机构ABC′D位置的安装方案。 2）θ31、θ32——取决于从动件运动的连续性：
若|θ31－θ3 | < |θ32－θ3 |（θ3为前一个位置计算出来的值） ，则取 当前的θ3=θ31，否则取θ3=θ32。
3）若A2+B2-C2<0（如θ1=120°代入时），即没有θ3，说明机构不能 运动到此位置——可用来判断机构的可动范围。
+ = + L 1 eiθ 1 L 2 eiθ 2 L 3 eiθ 3 L 4 （*）
速度分析：
对（*）式求导：( L
1
θ
• 1
)
i
e iθ1
+
(
L
2
•
θ2
) i eiθ2
=( L
下面以图示的铰链四杆机构为例来 详细推导位移、速度、加速度方程：
已知：杆长L1，L2，L3，L4，θ1，ω1。
求：θ2，
•
θ
2，
•
θ
•
2，θ3
，
θ •，3
••
θ3
解：建立如图所示直角坐标系，并将
各杆以矢量形式表示出来。为方便起见，取x轴与机架重
合且L4的方向沿x轴正向。
以L1，L2 ，L3 ，L4 分别表示各杆的向量，则向量方程式为：
iθ
其中：θ• 为ω； r•对于定长矢量，为0，对于变长矢量，表 示相对移动速度。
对上式再求导，可用来加速度分析：
(
••
re iθ
) = -(
r
•
θ
2)
e iθ+(
••
rθ
)i e
iθ
+
••
r
e
iθ
+
••
(2 r θ
)i e
iθ
物理意义：rω2 (向心) rα(切向Fra Baidu bibliotek ar(相对) 2ωV(哥氏加速度ak)
(1)2+(2) 2 得：L 22 =( L 3 cosθ3 + a)2+( L s3 inθ3－b)2
整理得方程：A sinθ3+B cosθ3+C=0 (3)
其中：A=2b L 3 ，B=－2a L 3 ，
C=
L
2
2－L
2
1
－L
3
2
－L
2
4
+2
L
1
L
4 cosθ1
A sinθ3+B cosθ3+C=0 (3) 令：t=tgθ 3 ，则：
L1 +L 2 = L 3 +L 4
用复数表示为：L 1 eiθ 1 + L = 2 eiθ 2 L 3 + eiθ 3 L 4 （*）
按欧拉公式展开：
L 1 (cosθ1+isinθ1)+ L (2cosθ2+isinθ2) = (cLos3 θ3+isinθ3) +
L4
L 1 (cosθ1+isinθ1)+ L (2cosθ2+isinθ2) = (cLos3 θ3+isinθ3) +
缺点：对每一个机构都要列具体方程，对于多杆机构 用起来很复杂，有时甚至方程的解解不出来，所以对复杂 机构，我们多采用杆组法。
机构中的杆可用矢量来表示，而矢量又可用复数表示。
OP=
r
e
iθ
=
r(cosθ+isinθ)（欧拉公式）
对上式求导，可用来速度分析：
(
•
re iθ
)=
(
r
•
θ )i
e
iθ
+
•
re
求B点的（xB、yB、x•B 、y• B
、 、 • • • •
xB
y B
度），构件的角位置、角速度、角加速度，以及已知点到 所求点的距离。求同一构件上任意点的位置、速度、加速 度。
如 图 b-1 所 示 的 构 件 AB ， 已 知 ：
运动副A的（xA、yA、x•A
、y•A
、x• • A
、• •
yA
）和
构件AB的（ψ i 、ψ • i、ψ• • ）i 及AB的长度Li。
解得：θ •2 =?
•
θ 3 =?
加速度分析：对（**）式再求导，可解得:
•
θ
• 2
=?
••
θ 3 =?
通过上述对四杆机构进行运动分析的求解可见，用解析法作机
构运动分析的关键是位置方程的建立和求解，至于速度和加速度分
析只不过是其位置方程对时间t求一次、二次导数。
二、杆组法 一）基本思路
由机构组成原理可知，任何平面机构都可以分解为原动件、机 架和若干个杆组。因此，我们只要分别对原动件和常见的基本杆组 进行运动分析并编成相应的子程序，那么在对机构进行运动分析时， 就可以根据机构组成情况的不同，依次调用这些子程序，从而完成 对整个机构的运动分析，这就是杆组法的基本思路。
cosθ3=（1－t2）/ (1+ t2) sinθ3 = 2t / (1+ t2)
代入(3)式，整理得：(C－B) t2+2A t+(B+C)=0
t1、2=
A
A2 B2 C2 BC
∴ θ3=2arctg t1、2 =2arctg
A A2B2C2 BC
同理可求θ2=？
θ3=2arctg t1、2 =2arctg
L4
分离虚、实部： L 1 cosθ1 + L c2 osθ2 = cL o3 sθ3+ L 4 L 1 sinθ1 + L 2sinθ2 = Ls3inθ3
令a= L 4 － L 1 cosθ1，b= L s1 inθ1，则：
L 2 cosθ2= L c3 osθ3 + a (1)
L 2 sinθ2= L 3sinθ3－b (2)
•
3θ 3
) i eiθ3
(**)
欧拉公式展开：
•
•
L 1 θ 1 i (cosθ1+isinθ1)+ L 2 θi(2cosθ2+isinθ2) =
•
Li(3 cθo3sθ3+isinθ3)
分离虚、实部：-
L
•
2 θsi2nθ2 +
•
L 3siθn3θ3 =
•
sLin1 θθ 11
•
•
•
L 2 θ 2 cosθ2 - L c3 θos3 θ3 = - cosL θ1 1θ 1
杆组法的主要特点：
不要针对每一个具体的机构列方程，而是对组成机构的杆组列 方程（杆组的类型是有限的，可先编好子程序）。所以此法具有较 大的通用性和适用性，且简便。但采用此法的前提条件是要利用计 算机。
二）杆组法运动分析的数学模型
1、构件（或原动件）的运动分析——同一构件上点的运动分析 已知该构件上一点的运动参数（位置、速度、加速
§3—3 用解析法进行机构的运动分析
用解析法作平面机构的运动分析的关键是建立机构位 置矢量封闭方程式。随着计算机的普及，解析法得到了越 来越广泛的采用。
常用的解析法有：矢量方程解析法、矩阵法、复数矢 量法、杆组法。
一、复数矢量法 复数矢量法是先写出机构的封闭矢量方程式，然后将
它对时间求一次和二次导数即得速度和加速度矢量方程式， 最后用复数矢量运算法求出所需的运动参数。
A A2B2C2 BC
说明：
1）“±”——取决于机构的初始安装模式： “+”号适用于图示机构ABCD位置的安装方案； “-”号适用于机构ABC′D位置的安装方案。 2）θ31、θ32——取决于从动件运动的连续性：
若|θ31－θ3 | < |θ32－θ3 |（θ3为前一个位置计算出来的值） ，则取 当前的θ3=θ31，否则取θ3=θ32。
3）若A2+B2-C2<0（如θ1=120°代入时），即没有θ3，说明机构不能 运动到此位置——可用来判断机构的可动范围。
+ = + L 1 eiθ 1 L 2 eiθ 2 L 3 eiθ 3 L 4 （*）
速度分析：
对（*）式求导：( L
1
θ
• 1
)
i
e iθ1
+
(
L
2
•
θ2
) i eiθ2
=( L
下面以图示的铰链四杆机构为例来 详细推导位移、速度、加速度方程：
已知：杆长L1，L2，L3，L4，θ1，ω1。
求：θ2，
•
θ
2，
•
θ
•
2，θ3
，
θ •，3
••
θ3
解：建立如图所示直角坐标系，并将
各杆以矢量形式表示出来。为方便起见，取x轴与机架重
合且L4的方向沿x轴正向。
以L1，L2 ，L3 ，L4 分别表示各杆的向量，则向量方程式为：
iθ
其中：θ• 为ω； r•对于定长矢量，为0，对于变长矢量，表 示相对移动速度。
对上式再求导，可用来加速度分析：
(
••
re iθ
) = -(
r
•
θ
2)
e iθ+(
••
rθ
)i e
iθ
+
••
r
e
iθ
+
••
(2 r θ
)i e
iθ
物理意义：rω2 (向心) rα(切向Fra Baidu bibliotek ar(相对) 2ωV(哥氏加速度ak)
(1)2+(2) 2 得：L 22 =( L 3 cosθ3 + a)2+( L s3 inθ3－b)2
整理得方程：A sinθ3+B cosθ3+C=0 (3)
其中：A=2b L 3 ，B=－2a L 3 ，
C=
L
2
2－L
2
1
－L
3
2
－L
2
4
+2
L
1
L
4 cosθ1
A sinθ3+B cosθ3+C=0 (3) 令：t=tgθ 3 ，则：
L1 +L 2 = L 3 +L 4
用复数表示为：L 1 eiθ 1 + L = 2 eiθ 2 L 3 + eiθ 3 L 4 （*）
按欧拉公式展开：
L 1 (cosθ1+isinθ1)+ L (2cosθ2+isinθ2) = (cLos3 θ3+isinθ3) +
L4
L 1 (cosθ1+isinθ1)+ L (2cosθ2+isinθ2) = (cLos3 θ3+isinθ3) +
缺点：对每一个机构都要列具体方程，对于多杆机构 用起来很复杂，有时甚至方程的解解不出来，所以对复杂 机构，我们多采用杆组法。
机构中的杆可用矢量来表示，而矢量又可用复数表示。
OP=
r
e
iθ
=
r(cosθ+isinθ)（欧拉公式）
对上式求导，可用来速度分析：
(
•
re iθ
)=
(
r
•
θ )i
e
iθ
+
•
re
求B点的（xB、yB、x•B 、y• B
、 、 • • • •
xB
y B
度），构件的角位置、角速度、角加速度，以及已知点到 所求点的距离。求同一构件上任意点的位置、速度、加速 度。
如 图 b-1 所 示 的 构 件 AB ， 已 知 ：
运动副A的（xA、yA、x•A
、y•A
、x• • A
、• •
yA
）和
构件AB的（ψ i 、ψ • i、ψ• • ）i 及AB的长度Li。
解得：θ •2 =?
•
θ 3 =?
加速度分析：对（**）式再求导，可解得:
•
θ
• 2
=?
••
θ 3 =?
通过上述对四杆机构进行运动分析的求解可见，用解析法作机
构运动分析的关键是位置方程的建立和求解，至于速度和加速度分
析只不过是其位置方程对时间t求一次、二次导数。
二、杆组法 一）基本思路
由机构组成原理可知，任何平面机构都可以分解为原动件、机 架和若干个杆组。因此，我们只要分别对原动件和常见的基本杆组 进行运动分析并编成相应的子程序，那么在对机构进行运动分析时， 就可以根据机构组成情况的不同，依次调用这些子程序，从而完成 对整个机构的运动分析，这就是杆组法的基本思路。