热点02 函数及其性质(解析版)
函数的概念与性质(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：()=x f 奇函数+常数模型（()()常数⨯=+-2x f x f ）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，()()()中f x f x f 2min max =+，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数()f x =的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4答案：C解析：对于函数()f x =，有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 1f x -=的定义域为()1,4.故选：C.【例2】函数()21log (3)f x x =-的定义域为【答案】()()3,44,⋃+∞【详解】由题意知()230log 30x x ->⎧⎨-≠⎩，得()223log 3log 1x x >⎧⎨-≠⎩，所以331x x >⎧⎨-≠⎩，所以()()3,44,x ∈⋃+∞．【例3】(2020·集宁期中)已知函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，则函数)21(x f -的定义域（）A ．]12[，-B ．]21[，C ．]32[，-D ．]31[，-【答案】C【详解】因为函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，所以41≤≤-x ，所以5325≤-≤-x ，函数)(x f 的定义域为]55[，-，令5215≤-≤-x ，解得32≤≤-x 【例4】若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。
专题1.3 二次函数的图象与性质(二)【八大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题1.3 二次函数的图象与性质（二）【八大题型】【浙教版】【题型1 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】 (1)【题型2 利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】 (4)【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】 (6)【题型4 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数取值范围】 (9)【题型5 根据二次函数的性质求最值】 (11)【题型6 二次函数的对称性的运用】 (13)【题型7 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】 (16)【题型8 利用二次函数的图象与系数的关系判断结论】 (19)【题型1利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】【例1】（2023春·天津滨海新·九年级校考期中）已知点A(−2,y1)，B(1,y2)，C(5,y3)在二次函数y=−3x2+k 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y3<y1<y2D．y1<y3<y2【答案】C【分析】根据题意可得二次函数y=−3x2+k的图象的对称轴为y轴，从而得到点A(−2,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，再由当x>0时，y随x的增大而减小，即可求解．【详解】解：∵二次函数y=−3x2+k的图象的对称轴为y轴，∴点A(−2,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，∵−3<0，∴当x>0时，y随x的增大而减小，∵1<2<5，∴y3<y1<y2．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【变式1-1】（2023春·九年级单元测试）若点C(x1,m)、D(x2,n)在抛物线y=−2(x−3)2的图象上，且x1>x2 >3，则m与n的大小关系为______．【答案】m<n【分析】根据二次函数解析式，求得二次函数的对称轴，开口方向，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：由抛物线y=−2(x−3)2可得，a<0，开口向下，对称轴为x=3，∴当x>3时，y随x的增大而减小，又∵x1>x2>3，∴m<n故答案为：m<n【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）已知点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都在二次函数y=ax2−2ax−3a(a≠0)的图像上，若−1<x1<0,1<x2<2,x3>3，则下列关于y1，y2，y3三者的大小关系判断一定正确的是（）A．y1可能最大，不可能最小B．y3可能最大，也可能最小C．y3可能最大，不可能最小D．y2不可能最大，可能最小【答案】B【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分a>0和a<0两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，结合开口方向分析即可．【详解】解：在y=ax2−2ax−3a(a≠0)中，=1，对称轴为直线x=−−2a2a令ax2−2ax−3a=0，解得：x1=−1，x2=3，∴函数图像与x轴交于(−1,0)，(3,0)，∵−1<x1<0,1<x2<2,x3>3，∴(x3,y3)离对称轴最远，(x2,y2)离对称轴最近，当a>0时，开口向上，∴y3>y1>y2；当a<0时，开口向下，∴y3<y1<y2；∴y2和y3可能最大，也可能最小，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴交点，利用性质进行分析．【变式1-3】（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数y =x 2−2x 的图象过A (a,y 1),B (2a,y 2)两点，下列选项正确的是（ ）A ．若a <0，则y 1>y 2B ．若0<a <23，则y 1<y 2C ．若23<a <1，则y 1<y 2D ．若a >1，则y 1>y 2【答案】C【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线x =1，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．【详解】解：∵二次函数y =x 2−2x 的图象过A (a,y 1),B (2a,y 2)两点，∴二次函数的顶点式为：y =x 2−2x =(x−1)2−1，∴当x <1时，y 随x 的增大而减小，当x >1时，y 随x 的增大而增大；∵a <0，∴2a <0，∴a >2a ，∴y 1<y 2，故A 错误；∵二次函数的顶点式为：y =x 2−2x =(x−1)2−1，∴抛物线的对称轴为直线x =1，若a 2a 2=1，∴解得：a =23，∴当a =23时，a 和2a 关于x =1对称，∴当0<a <23时，y 1>y 2；当23<a <1时，y 1<y 2，故B 错误，C 正确；当a >1时，y 随x 的增大而增大，∵a <2a ，∴y 1<y 2，故D 错误；故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键．【题型2利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】【例2】（2023·江苏苏州·模拟预测）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为___________．【答案】4【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．【详解】解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，掌握求二次函数对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．【变式2-1】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线y=−x2+4x−n的顶点在x轴的下方，则实数n的取值范围是______．【答案】n>4【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在x轴下方，即可求出n的范围．【详解】解：y=−x2+4x−n，化为顶点式为：y=−(x−2)2+4−n，∵4−n<0，∴n>4，故答案为：n>4．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于0时，顶点位于x轴下方．【变式2-2】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过第二象限内的定点A．设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，则k 的取值范围是______．【答案】0<k<1或−1<k<0【分析】先计算二次函数过两个定点，确定m=2，根据函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，分k>0和k<0两种情况列不等式即可解答．【详解】解：∵y=kx2−x−4k=k(x2−4)−x，∴x2−4=0，∴x=±2，当x=2时，y=−2，当x=−2时，y=2，∴二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过定点−2，2，2，−2，∴m=2，∵函数y=kx2−x−4k的图象与y=2在1<x<3内没有交点，∴分两种情况：①当k>0时，x=3时，y<2，即9k−3−4k<2，∴k<1，∴0<k<1，②当k<0时，当x=1时，y<2，即k−1−4k<2，∴k>−1，∴−1<k<0，综上所述，k的取值范围是0<k<1或−1<k<0，故答案为：0<k<1或−1<k<0．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，计算定点A的坐标．【变式2-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(0,−1)，则a+b+c的取值范围是（）A ．−2<a +b +c <0B ．−2<a +b +c <−1C ．−32<a +b +c <0D ．−32<a +b +c <−1【答案】A【分析】由函数图象的开口方向可知a >0，由抛物线与y 轴的交点判断c 的值，当x =1时，二次函数的值小于零，由此可求出a 的取值范围，将a +b +c 用a 表示即可得出答案．【详解】由图象开口向上，可得a >0，∵图象过点(0,−1)，∴c =−1，∵图象过点(−1,0)，∴a−b−1=0，∴b =a−1，∵对称轴在y 轴的右侧，∴当x =1时，y =a +b +c =a +a−1−1=2a−2<0，∴a <1，∴0<a <1，∴−2<2a−2<0，即−2<a +b +c <0，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函表达式系数符号的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】【例3】（2023春·九年级单元测试）二次函数y =ax 2−4x +1有最小值−3，则 a 的值为（ ）A ．1B ．−1C ．±1D ．2【答案】A【分析】把二次函数y =ax 2−4x +1变成顶点式，根据二次函数的图象性质，得出结论．【详解】∵y=ax2−4x+1∴y=ax2−4x+1=ax−−4a+1∵二次函数y=ax2−4x+1有最小值−3,∴a>0−4a+1=−3∴a=1故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，把二次函数的一般式变成顶点式，求二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的相关性质是解本题的关键．【变式3-1】（2023春·浙江·九年级校联考期中）已知函数y=−x2+bx−3（b为常数）的图象经过点(−6,−3)．当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为（）A．−2或−3+B．−2或−4C．−2或D．【答案】C【分析】将点(−6,−3)代入y=−x2+bx−3即可求得b的值，进而求得抛物线的最大值，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．【详解】把(−6,−3)代入y=−x2+bx−3，得b=−6，∴y=−x2−6x−3，∵y=−x2−6x−3=−(x+3)2+6∴当x=−3时，y有最大值为6；①当−3<x≤0时，当x=0时，y有最小值为−3，当x=m时，y有最大值为y=−m2−6m−3∵y的最大值与最小值之和为2，∴−m2−6m−3+(−3)=2，∴m=−2或m=−4(舍去)。
部编数学九年级上册专题22.1二次函数的图象和性质(基础)(解析版)含答案
专题22.1 二次函数的图象和性质目录二次函数的定义 (1)二次函数求参数 (3)二次函数一般式................................................................................................................................42y ax =性质.....................................................................................................................................42y ax =图像开口.............................................................................................................................62y ax =图像问题.............................................................................................................................7()2y a x h k =-+顶点坐标...........................................................................................................9()2y a x h k =-+性质.................................................................................................................10()2y a x h k =-+图像平移 (13)二次函数一般式配凑顶点式 (14)二次函数图像问题 (15)二次函数比较大小 (19)二次函数性质综合..........................................................................................................................21二次函数的定义【例1】下列函数中，属于二次函数的是( )A ．23y x =-B ．22(1)y x x =+-C ．2(1)y x x =+D ．22y x =-【解答】解：A ．不含有x 的二次项，所以A 不符合题意；B ．化简后21y x =+，不含有x 的二次项，所以B 不符合题意；C ．符合题意；D ．22y x -=-，不含有x 的二次项，所以D 选项不符合题意．一般的，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。
二次函数的图象与性质大题(五大题型)—2024年中考数学(全国通用)解析版
二次函数的图象与性质大题（五大题型）通用的解题思路：题型一．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．题型二．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．题型三．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．题型四．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．题型五．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．题型一．二次函数的性质（共3小题）1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x h =． （1）若抛物线经过点(2,0)，求h 的值；（2）若对于11x h =−，22x h =，都有12y y >，求h 的取值范围；（3）若对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，直接写出h 的取值范围． 【分析】（1）根据对称轴2bx a=−进行计算，得2b h =，再把(2,0)代入2(0)y x bx b =−+≠，即可作答．（2）因为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上的点，所以把11x h =−，22x h =分别代入，得出对应的1y ，2y ，再根据12y y >联立式子化简，计算即可作答；（3）根据121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，得出当221h −<−<−或者211h −<+<−，即可作答． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x h =， 22b bh ∴=−=−， 即2b h =，∴抛物线22y x hx =−+，把(2,0)代入22y x hx =−+， 得0422h =−+⨯， 解得1h =；（2）由（1）知抛物线22y x hx =−+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，221(1)2(1)1y h h h h ∴=−−+−=−，22(2)220y h h h =−+⨯=，对于11x h =−，22x h =，都有12y y >， 210h ∴−>，解得1h >或1h <−；（3）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，且1(2,)h y −关于直线x h =的对称点为1(2,)h y +，1(1,)h y +关于直线x h =的对称点为1(1,)h y −，∴当221h −<−<−时，存在12y y <，解得01h <<，当221h −<+<−时，存在12y y <， 解得43h −<<−，当211h −<+<−时，存在12y y <， 解得32h −<<−，当211h −<−<−时，存在12y y <， 解得10h −<<，综上，满足h 的取值范围为41h −<<且0h ≠．【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数223y x tx =−++． （1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴． （2）若04x ……时，y 的最小值为1，求出t 的值．（3）如果(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，则12x x +是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把(1,3)代入解析式求出12t =，再根据对称轴公式求出对称轴； （2）根据抛物线开口向下，以及0x =时3y =，由函数的性质可知，当4x =时，y 的最小值为1，然后求t 即可；（3）(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出1m t −=，再令2232x tx mx a −++=+，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出122x x +=−．【解答】解：（1）将(1,3)代入二次函数223y x tx =−++，得3123t =−++， 解得12t =， ∴对称轴直线为21122t x t =−==−⨯； （2）当0x =时，3y =，抛物线开口向下，对称轴为直线x t =， ∴当x t =时，y 有最大值，04x ……时，y 的最小值为1，∴当4x =时，16831y t =−++=，解得74t =； （3）12x x +是定值，理由：(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上， 212m mx t m −+∴===−， 1m t ∴−=，令2232x tx mx a −++=+， 整理得：22()30x m t x a +−+−=，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点， 1x ∴，2x 是方程22()30x m t x a +−+−=的两个根，122()2()21m t x x m t −∴+=−=−−=−是定值． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,)A t −，(,)B m p ． （1）若0t =，①求此抛物线的对称轴；②当p t <时，直接写出m 的取值范围；（2）若0t <，点(,)C n q 在该抛物线上，m n <且5513m n +<−，请比较p ，q 的大小，并说明理由． 【分析】（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，将其代入函数解析式中解得1a =−，则函数解析式为抛物线的解析式为22y x x =−−+，再根据求对称轴的公式2bx a=−即可求解； ②令0y =，求出抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，由题意可得0p <，则点B 在x 轴的下方，以此即可解答； （2）将点A 坐标代入函数解析式，通过0t <可得a 的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B ，C 到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,0)A −， 42(2)20a a ∴+++=，1a ∴=−，∴抛物线的解析式为22y x x =−−+， ∴抛物线的对称轴为直线112(1)2x −=−=−⨯−；②令0y =，则220x x −−+=， 解得：11x =，22x =−，∴抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，点(2,0)A −，(,)B m p ，且0p <， ∴点(,)B m p 在x 轴的下方，2m ∴<−或1m >．（2）p q <，理由如下：将(2,)t −代入2(2)2y ax a x =−++得42(2)266t a a a =+++=+，0t <， 660a ∴+<， 1a ∴<−，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线(2)1122a x a a −+=−=+， 1a <−，110a∴−<<， 1111222a ∴−<+<， m n <且5513m n +<−，∴1312102m n +<−<−， ∴点(,)B m p 到对称轴的距离大于点(,)C n q 到对称轴的距离，p q ∴<．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）4．（2023•南京）已知二次函数223(y ax ax a =−+为常数，0)a ≠． （1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）若1a =−，求证：当10x −<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，则a 的取值范围是 ．【分析】（1）证明240b ac −>即可解决问题． （2）将1a =−代入函数解析式，进行证明即可． （3）对0a >和0a <进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a −−⨯⨯=−， 又因为0a <，所以40a <，30a −<， 所以24124(3)0a a a a −=−>，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）将1a =−代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下． 则当10x −<<时，y 随x 的增大而增大， 又因为当1x =−时，0y =， 所以0y >．（3）因为抛物线的对称轴为直线212ax a−=−=，且过定点(0,3)， 又因为该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<， 所以当0a >时，230a a −+<， 解得3a >， 故3a >．当0a <时，230a a ++<，解得1a <−， 故1a <−．综上所述，3a >或1a <−． 故答案为：3a >或1a <−．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上． （1）求抛物线的顶点(,0)m ； （2）若12y y <，求m 的取值范围；（3）若点0(x ，0)y 在抛物线上，若存在010x −<<，使102y y y <<成立，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案； （2）由12y y <，得到221296m m m m −+<−+，解不等式即可； （3）由题意可知012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线222()y x mx m x m =−+=−． ∴抛物线的顶点坐标为(,0)m ．故答案为：(,0)m ；（2）点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上，且12y y <， 221296m m m m ∴−+<−+，2m ∴<；（3）点0(x ，0)y 在抛物线上，存在010x −<<，使102y y y <<成立， ∴012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解得302m <<． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −． （1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．【分析】（1）将点(2,3)a −代入抛物线23y ax bx =++中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；（2）分类讨论当0a >和0a <，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出a 的取值范围． 【解答】解（1）抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −， ∴把(2,3)a −代入23y ax bx =++得2(2)233a a ab ⨯−−+=，22b a ∴=，2223y ax a x ∴=++，∴抛物线的对称轴222a x a a=−=−，答：抛物线的对称轴为：x a =−；（2）①当0a >时，抛物线开口方向向上，对称轴0x a =−<，在x 轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小， ∴当0t <时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去， ∴当0t >时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；②当0a <时，抛物线开口方向向下，对称轴0x a =−>，在x 轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大， ∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴同侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+， .m n p >>，∴此时02a t <−<−，即20t a −<<，2t ∴>，∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，p m n ∴>>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，∴当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴同侧时， (2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，答：a 的取值范围为20(2)t a t −<<>．7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式2y x bx c =++，通过输入不同的b ，c 的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．（1）若输入2b =，3c =−，得到如图①所示的图象，求顶点C 的坐标及抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）已知点(1,10)P −，(4,0)Q ．①若输入b ，c 的值后，得到如图②的图象恰好经过P ，Q 两点，求出b ，c 的值；②淇淇输入b ，嘉嘉输入1c =−，若得到二次函数的图象与线段PQ 有公共点，求淇淇输入b 的取值范围．【分析】（1）将2b =，3c =−，代入函数解析式，进行求解即可； （2）①待定系数法进行求解即可；②将1c =−代入解析式，得到抛物线必过点(0,1)−，求出1x =−和4x =的函数值，根据抛物线与线段PQ 有公共点，列出不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）2y x bx c =++，解：当2b =，3c =−时，2223(1)4y x x x =+−=+−， ∴顶点C 的坐标为：(1,4)−−；当0y =时，2230x x +−=，即(3)(1)0x x +−=， 解得：13x =−，21x =， (3,0)A ∴−，(1,0)B ；（2）①抛物线恰好经过P ，Q则：1101640b c b c −+=⎧⎨++=⎩，解得：54b c =−⎧⎨=⎩；②当1c =−时，21y x bx =+−， 当0x =时，1y =−， ∴抛物线过(0,1)−，当1x =−时，11y b b =−−=−，当点(1,)b −−在点P 上方，或与点P 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：10b −…， 解得：10b −…；当4x =时，1641415y b b =+−=+，当点(4,154)b +在点Q 上方，或与点Q 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：1540b +…，154b ≥−； 综上：10b −…或154b ≥−． 【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2024•浙江模拟）设二次函数24(y ax ax c a =−+，c 均为常数，0)a ≠，已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：（1）判断m ，n 的大小关系，并说明理由； （2）若328m n −=，求p 的值；（3）若在m ，n ，p 这三个数中，只有一个数是负数，求a 的取值范围．【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线2x =，据此可解决问题． （2）根据（1）中发现的关系，可求出m 的值，据此即可解决问题． （3）根据m 和n 相等，所以三个数中的负数只能为p ，据此可解决问题． 【解答】解：（1）m n =．因为二次函数的解析式为24y ax c =+， 所以抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=， 又因为1522−+=， 所以点(1,)m −与(5,)n 关于抛物线的对称轴对称， 故m n =．（2）因为m n =，328m n −=， 所以8m =．将(0,3)和(1,8)−代入函数解析式得：348c a a c =⎧⎨++=⎩，解得13a c =⎧⎨=⎩所以二次函数的解析式为243y x x =−+．将2x =代入函数解析式得，224231p =−⨯+=−．（3）由（1）知，m n =， 所以m ，n ，p 中只能p 为负数． 将(0,3)代入函数解析式得，3c =， 所以二次函数解析式为243y ax ax =−+． 将1x =−代入函数解析式得，53m a =+． 将2x =代入函数解析式得，43p a =−+．则430530a a −+<⎧⎨+≥⎩，解得34a >，所以a 的取值范围是34a >． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +．（1）若13y y =，求抛物线的对称轴； （2）若231y y y <<，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；（2m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +，13y y =， ∴该抛物线的对称轴为：直线22m m x −++=，即直线1x =； （2）当0m >时，可知点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +从左至右分布， 231y y y <<，∴232232m m m m m m ++⎧−<⎪⎪⎨−++⎪−>⎪⎩，解得12m <<； 当0m <时，3m m m ∴<−<−+，21y y ∴>，不合题意，综上，m 的取值范围是12m <<．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠经过(2,4)A −−和(3,1)B 两点．（1）求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过(23,)C m n −，(72,)D m n −两点，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）已知点(6,5)M −，(2,5)N ，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）先求出对称轴为：直线2x =，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解； （3）分0a >时，0a <时，结合图象即可求解．【解答】解：（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，得：424931a b c a b c −+=−⎧⎨++=⎩，解得：162b a c a =−⎧⎨=−−⎩；（2）抛物线经过(23,)C m n −，2,)m n −两点， ∴抛物线的对称轴为：直线237222m mx −+−==，抛物线开口向下，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，32k ∴−…，即5k …； （3）①当0a >时，6x =−，5y …，即2(6)(1)(6)625a a a ⨯−+−⨯−−−…， 解得：1336a …，抛物线不经过点N ，如图①，抛物线与线段MN 只有一个交点，结合图象可知：1336a …；②当0a <时，若抛物线的顶点在线段MN 上时，则2244(62)(1)544ac b a a a a a−−−−−==，解得：11a =−，2125a =−， 当11a =−时，111112222(1)a −=−=⨯−， 此时，定点横坐标满足116222a−−……，符合题意； 当11a =−时，如图②，抛物线与线段MN 只有一个交点，如图③，当2125a =−时，11111312222()25a −=−=⨯−，此时顶点横坐标不满足116222a−−……，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N 时，把(2,5)N 代入2(1)62y ax a x a =+−−−，得：252(1)262a a a =⨯+−⨯−−， 解得：54a =−，当54a =−时，如图④，抛物线和线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N ，结合图象可知：54a <−时，抛物线与线段MN 有一个交点，综上所述：a 的取值范围为：1336a …或1a =−或54a <−．【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)，1(6,)y 在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上． （1）当13y =时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,1)−−，当自变量x 的值满足12x −……时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0a >时，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上．若21y y c <<，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；（2）把(0,3)，(1,1)−−代入抛物线解析式得出a ，b 的关系，然后求出对称轴，再分0a >和0a <，由函数的增减性求出a 的取值范围；（3）先画出函数图象，再根据21y y c <<确定m 的取值范围． 【解答】解：（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点， 0632x +∴==， ∴抛物线的对称轴为直线3x =；（2）2(0)y ax bx c a =++≠过(0,3)，(1,1)−−，3c ∴=，31a b −+=−， 4b a =+，∴对称轴为直线422b a x a a+=−=−，①当0a >时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴412a a+−−…， 解得4a …，04a ∴<…；②当0a <时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴422a a+−…， 解得45a −…， ∴405a −<…，综上：a 的取值范围是405a −<… 或04a <…；（3）点(0,3)在抛物线2y ax bx c =++上，3c ∴=，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上， ∴对称轴为直线422m mx m −+==−， ①如图所示：21y y c <<，6m ∴<且06232m +−>=， 56m ∴<<；②如图所示：21y y c <<，46m ∴−>， 10m ∴>，综上所述，m 的取值范围为56m <<或10m >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）12．（2024•保山一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过(2,0)A −，(3,0)B ，(0,6)C 三点；点P 是第一象限内抛物线上的动点，点P 的横坐标是m ，且132m <<． （1）试求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN x ⊥轴并交BC 于点N ，作PM y ⊥轴并交抛物线的对称轴于点M ，若12PM PN =，求m 的值．【分析】（1）将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）用m 表示出PM 和PN ，建立关于m 的方程即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知，将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式得，4209306a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得116a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的表达式为26y x x =−++．（2）将x m =代入抛物线得表达式得，26y m m =−++， 所以点P 的坐标为2(,6)m m m −++． 令直线BC 的函数解析式为y px q =+，则306p q q +=⎧⎨=⎩，解得26p q =−⎧⎨=⎩，所以直线BC 的函数解析式为26y x =−+． 因为132m <<，且抛物线的对称轴为直线12x =，所以12PM m =−． 又因为点N 坐标为(,26)m m −+，所以226(26)3PN m m m m m =−++−−+=−+． 因为12PM PN =， 所以211(3)22m m m −=−+，解得m =， 又因为132m <<，所以m =． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线28y x =−+与抛物线2y x bx c =−++交于A ，B 两点，点B 在x 轴上，点A 在y 轴上． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点C 是直线AB 上方抛物线上一点，过点C 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AB 于点D ，E ．当38DE AB =时，求点C 的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A ，B 两点坐标，再将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．（2）根据AOB ECD ∆∆∽得到CD 与OB 的关系，建立方程即可解决问题． 【解答】解：（1）令0x =得，8y =， 所以点A 的坐标为(0,8)； 令0y =得，4x =， 所以点B 的坐标为(4,0)；将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式得，81640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线的函数表达式为228y x x =−++． （2）因为//CD x 轴，//CE y 轴， 所以AOB ECD ∆∆∽， 则CD DEOB AB=． 因为38DE AB =，4OB =， 所以32CD =． 令点C 坐标为2(,28)m m m −++， 则点D 坐标为21(2m m −，228)m m −++所以2211()222CD m m m m m =−−=−+，则213222m m −+=，解得1m =或3．当1m =时，2289m m −++=； 当3m =时，2285m m −++=； 所以点C 的坐标为(1,9)或(3,5)．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0,3)A −，(3,0)B ．点P 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当23x −<<时，求y 的取值范围；（3）当抛物线2y x bx c =++上P 、A 两点之间部分的最大值与最小值的差为34时，求m 的值； （4）点M 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为1m −．过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM ∆与PNM ∆的面积相等时，直接写出m 的值． 【分析】（1）依据题意，将A 、B 两点代入解析式求出b ，c 即可得解；（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由23x −<<可以判断得解； （3）依据题意，分类讨论计算可以得解；（4）分别写出P 、Q 、M 、N 的坐标，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，所以Q 到PM 的距离等于N 到PM 的距离，可得m 的值．【解答】解：（1）由题意，将(0,3)A −，(3,0)B 代入解析式2y x bx c =++得，3c =−，930b c ++=，2b ∴=−，3c =−，∴抛物线的解析式为223y x x =−−；（2）由题意，抛物线2223(1)4y x x x =−−=−−，∴抛物线223y x x =−−开口向上，当1x =时，y 有最小值为4−，当2x =−时，5y =；当3x =时，0y =， ∴当23x −<<时，45y −<…；（3）由题意得，2(,23)P m m m −−，(0,3)A −，①当0m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为3−， 2323(3)4m m ∴−−−−=，解得：1m =−②当02m ……时，P 、A 两点之间部分的最大值为3−，最小值为223m m −−或4−， 显然最小值是4−时不合题意， ∴最小值为223m m −−， 233(23)4m m ∴−−−−=， 解得：32m =或12m =， 32m =时，P 、A 两点之间部分的最小值为4−，故舍去， ③当2m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为4−， 2323(4)4m m ∴−−−−=，解得：1m =+，12+<，故舍去，综上，满足题意得m 的值为：1或12； （4）由题意得，2(1,4)M m m −−，(1,0)N m −，2(0,23)Q m m −−， 设PM y kx b =+，代入P 、M 两点， 2223(1)4mk b m m m k b m ⎧+=−−⎨−+=−⎩， 解得：1k =−，23b m m =−−，23PM y x m m =−+−−，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，Q ∴到23PM y x m m =−+−−的距离与N 到23PM y x m m =−+−−的距离相等，Q 到23PM y x m m =−+−−的距离=，N 到23PMy x m m =−+−−的距离=， 2|||4|m m ∴−=−+，当2m <−时，24m m −=−，解得：m =，当20m −……时，24m m −=−，解得：m =，当02m <…时，24m m =−，解得：m =当2m <时，24m m =−，解得：m =综上，满足题意得m ． 【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论． 题型四．抛物线与x 轴的交点（共14小题）15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数2(2)2(y mx m x m =−−−为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）不论m ． （3）在22x −……的范围中，y 的最大值是2，直接写出m 的值． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；（2）当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，即可得到定点坐标；（3）利用抛物线过两个定点，得到函数y 随x 增大而增大，代入解析式求出m 值即可． 【解答】解：（1）①当0m =时，函数解析式为22y x =−，此一次函数与x 轴有交点； ②当0m ≠时，函数解析式为2(2)2y mx m x =−−−，令0y =，则有2(2)20mx m x −−−=，△2222(2)4(2)44844(2)0m m m m m m m m =−−⨯−=−++=++=+…． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）222(2)222()22y mx m x mx mx x m x x x =−−−=−+−=−+−， 当1x =时，0y =， 当0x =时，2y =−，∴不论m 为何值，该函数的图象经过的定点坐标是(1,0)．(0,2)−故答案为：(1,0)，(0,2)−，（3）若0m =，函数22y x =−，y 随x 增大而增大，当2x =时，2y =，与题干条件符； 当0m ≠时，函数2(2)2y mx m x =−−−是二次函数，①当0m >时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，当22x −……的范围中时，y 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，2y =，即242(2)2m m =−−−，解得0m =（舍去）．②当0m <时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，其增减性依旧是y 随x 的增大而增大和①相同．综上分析，0m =．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C −，点D 为抛物线的顶点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求ABD ∆的面积【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A 和点D 坐标，再根据||2D ABD AB y S ∆⋅=解析求解即可．【解答】解：（1）将(3,0)B ，(0,3)C −代入2y x bx c =++得0933b c c =++⎧⎨=−⎩，解得23b c =−⎧⎨=−⎩，∴二次函数的解析式为：223y x x =−−；（2）将223y x x =−−配方得顶点式2(1)4y x =−−， ∴顶点(1,4)D −，在223y x x =−−中，当2230y x x =−−=时， 解得1x =−或3x =， (1,0)A ∴−，4AB ∴=， ∴||44822D ABD AB y S ∆⋅⨯===． 【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，且与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)．直线2y kx =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，交抛物线2y ax bx c =++于点C ，D （点C 在点D 的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线2y kx =+上方抛物线上的任意一点，当2k =时，求PCD ∆面积的最大值； （3）若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；（2）求出直线与抛物线的交点C ，D 坐标，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，设点P坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<，则点(,22)H m m +，求出PH ，由三角形的面积公式求出关于m 的函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）分0k >和0k <两种情况讨论即可．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，1a ∴=−，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)， ∴抛物线的解析式为2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++；（2）当2k =时，联立方程组22234y x y x x =+⎧⎨=−++⎩，解得10x y =−⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩， (1,0)C ∴−，(2,6)D ，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，如图，设点P 坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<， ∴点(,22)H m m +，2234(22)2PH m m m m m ∴=−++−+=−++，221331273(2)()22228PCD S PH m m m ∆∴=⨯=−++=−−+， 302−<，12m −<<， ∴当12m =时，S 有最大值，最大值为278． PCD ∴∆面积的最大值为278； （3）令0x =，则2y =， ∴点B 坐标为(0,2)，令0y =，则20kx +=， 解得2x k=−，∴点A 坐标为2(k−，0)， 若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点， 当0k >时，如图所示，则21k−<−， 解得02k <<； 当0k <时，如图所示：则24k−>， 解得102k −<<；综上所述，k 的取值范围为02k <<或102k −<<．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．18．（2024•西湖区校级模拟）已知21()y ax a b x b =+++和22()(y bx a b x a a b =+++≠且0)ab ≠是同一直角坐标系中的两条抛物线．（1）当1a =，3b =−时，求抛物线21()y ax a b x b =+++的顶点坐标； （2）判断这两条抛物线与x 轴的交点的总个数，并说明理由；（3）如果对于抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…．当20y …时，求自变量x 的取值范围．【分析】（1）把a ，b 的值代入配方找顶点即可解题；（2）分别令10y =，20y =，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；（3）现根据题意得到0a <，且24()224ab a b a b a−+=+，然后得到30b a =−>，借助图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）当1a =，3b =−时，2221()23(1)4y ax a b x b x x x =+++=−−=−−， ∴顶点坐标为(1,4)−；（2）3个，理由为：令10y =，则2()0ax a b x b +++=， 即()(1)0ax b x ++=， 解得：1bx a=−，21x =−， 令20y =，则2()0bx a b x a +++=， 即()(1)0bx a x ++=， 解得：1ax b=−，21x =−， 又a b ≠且0ab ≠，∴两条抛物线与x 轴的交点总个数为3个；（3）抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…，0a ∴<，且24()224ab a b a b a−+=+，整理得：30b a =−>，∴22()y bx a b x a =+++的开口向上，且抛物线与x 轴交点的横坐标为113x =，21x =−， 如图所示，借助图象可知当13x …或1x −…时，20y …．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．19．（2024•三元区一模）抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴正半轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是抛物线上不同的两点． ①当1x ，2x 满足什么数量关系时，12y y =； ②若12122()x x x x +=−，求12y y −的最小值． 【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若12y y =，则M 、N 关于抛物线对称轴对称，即可求解；②22121122121212(43)(43)()()4()y y x x x x x x x x x x −=−+−−+=+−+−，而12122()x x x x +=−，得到12y y −的函数表达式，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =−−， 即2(1)(3)(43)y a x x a x x =−−=−+， 即33a =， 解得：1a =，故抛物线的表达式为：243y x x =−+；（2）如图，。
二次函数的图象和性质(解析版)
第04讲 二次函数的图象和性质(重点题型方法与技巧)目录类型一：二次函数的定义 类型二：二次函数的图象与性质 类型三：二次函数的解析式 类型四：二次函数的平移问题类型一：二次函数的定义函数y =ax 2+bx +c 为二次函数的前提条件是a ≠0．在解二次函数的相关问题时，一定不能忽视“二次项系数不为0”这一隐含条件，尤其是二次项系数含字母的二次函数，应特别注意．典型例题例题1．（2022·浙江丽水·九年级期中）下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．y ＝21x ＋x ＋1 B ．y ＝x 2－(x ＋1)2C ．y ＝－12x 2＋3x ＋1 D ．y ＝3x ＋1【答案】C 【详解】A. y ＝21x ＋x ＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； B. y ＝x 2－(x ＋1)221x ，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；C. y ＝－12x 2＋3x ＋1，是二次函数，故该选项正确，符合题意；D. y ＝3x ＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选C点评：例题1考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c 、、是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．例题2．（2022·安徽宿州·九年级期末）如果()()221y m x m x =-+-是关于x 的二次函数，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≠B ．2m ≠C ．2m ≠且1m ≠D ．全体实数【答案】B【详解】∵()()221y m x m x =-+-是关于x 的二次函数，∴20m -≠， ∴2m ≠， 故选B ．点评：例题2主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题的关键．例题3．（2022·全国·九年级课时练习）下列实际问题中的y 与x 之间的函数表达式是二次函数的是（ ） A ．正方体集装箱的体积3m y ，棱长x mB ．小莉驾车以108km h 的速度从南京出发到上海，行驶x h ，距上海y kmC ．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y 斤，单价为x 元/斤D ．高为14m 的圆柱形储油罐的体积3m y ，底面圆半径x m 【答案】D【详解】A.由题得：3y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意； B.由题得：108y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意； C.由题得：86y x=，不是二次函数，故此选项不符合题意； D.由题得：214y x π=，是二次函数，故此选项符合题意． 故选：D ．点评：例题3考查二次函数的定义，形如2(0)y ax bx c a =++≠的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．例题4．（2021·广西南宁·九年级期中）若12m y x x -=+是关于x 的二次函数，则m ＝_______ 【答案】3【详解】解：∵函数12m y x x -=+是关于x 的二次函数， ∴12m -=， 解得：3m =． 故答案为：3．点评：例题4考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．例题5．（2021·北京市宣武外国语实验学校九年级期中）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x ，那么十月份医用防护服的产量y （万件）与x 之间的函数表达式为______． 【答案】()2501=+y x【详解】解：十月份医用防护服的产量y （万件）与x 之间的函数表达式为 ()2501=+y x故答案为：()2501=+y x点评：例题5考查的是列二次函数关系式，掌握“两次变化后的量=原来量⨯（1+增长率）2”是解本题的关键.某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，月平均增长率为x ，则九月份的产量为()501x +万件，十月份医用防护服的产量为()2501x +万件，从而可得答案.例题6．（2021·全国·九年级专题练习）已知函数()()221y m m x mx m =-+++，m 是常数．()1若这个函数是一次函数，求m 的值；()2若这个函数是二次函数，求m 的值．【答案】（1）1m =；()20m ≠且1m ≠．【详解】（1）依题意得200m m m ⎧-=⎨≠⎩∴010m m m ==⎧⎨≠⎩或 ∴1m =；()2依题意得20m m -≠，∴0m ≠且1m ≠．点评：例题6主要考查了一次函数及二次函数的定义，关键是掌握一次函数y=kx+b 的定义条件是：k 、b 为常数，k≠0，自变量次数为1；二次函数y=ax2+bx+c 的定义条件是a≠0，b 、c 为常数，自变量的最高次数是2．同类题型演练1．（2022·全国·九年级单元测试）下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．2832y x x =++B ．81y x =+C ．8y x=D ．28y x =【答案】A【详解】A 、2832y x x =++是二次函数，符合题意； B 、81y x =+是一次函数，不合题意； C 、8y x=是反比例函数，不合题意； D 、28y x =不是二次函数，不合题意； 故选A ．2．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）若函数()1334m y m x x -=++-是二次函数，则m 的值为（ ）A ．－3B ．3或－3C ．3D ．2或－2【答案】C【详解】解：∵函数()1334m y m x x -=++-是二次函数，∴12m -=且m ＋3≠0， 解得：m =3， 故选：C ．3．（2022·全国·九年级课时练习）下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；②圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝13πr 2h （h 为定值）；③物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝12gt 2（g 为定值）；④导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【详解】形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是二次函数，故选C ．4．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y =（m ﹣2）x 2+mx ﹣3（m 为常数）． （1）当m _______时，该函数为二次函数； （2）当m _______时，该函数为一次函数． 【答案】 ≠2 =2【详解】解：（1）∵函数y =（m ﹣2）x 2+mx ﹣3为二次函数， ∴m ﹣2≠0， ∴m ≠2．（ 2 ）∵函数y =（m ﹣2）x 2+mx ﹣3为一次函数， ∴m ﹣2=0，m ≠0， ∴m =2．故答案为：（1）≠2；（2）=25．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x 元，则可卖出()35010x -件，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为________．【答案】2105607350y x x =-+-【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：()21x -元， 所以：()()2135010y x x =--2102103507350x x x =-++-2105607350x x =-+-故答案为：2105607350y x x =-+-6．（2022·全国·九年级课时练习）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数： (1)如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p 是较大的数m 的函数；(2)一个半径为10cm 的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S （cm 2）是方孔边长x （cm ）的函数；(3)有一块长为60m 、宽为40m 的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S （cm 2）是草坪宽度a （m ）的函数． 【答案】(1)p = m 2﹣5m ，是二次函数 (2)S =100π﹣4x 2，是二次函数(3)S =4a 2﹣200a +2400；是二次函数【详解】(1)解：这两个数的乘积p 与较大的数m 的函数关系为：p =m （m ﹣5）=m 2﹣5m ，是二次函数； (2)解：剩余的面积S （cm 2）与方孔边长x （cm ）的函数关系为：S =100π﹣4x 2，是二次函数；(3)解：郁金香的种植面积S （cm 2）与草坪宽度a （m ）的函数关系为：S =（60﹣2a ）（40﹣2a ）=4a 2﹣200a +2400，是二次函数；7．（2019·湖北·黄州区宝塔中学九年级阶段练习）已知函数()()24323mm y m x m x +-=++++（其中0x ≠）．()1当m 为何值时，y 是x 的二次函数？()2当m 为何值时，y 是x 的一次函数？【答案】()1当m 为2时，y 是x 的二次函数；()2当m 为3-117-±121-±y 是x 的一次函数．【详解】()1根据题意得30m +≠且242m m +-=，解得2m =， 即当m 为2时，y 是x 的二次函数；()2当30m +=时，即3m =-时，y 是x 的一次函数；当240m m +-=且20m +≠时，y 是x 的一次函数，解得117m -±=； 当241m m +-=且320m m +++≠时，y 是x 的一次函数，解得121m -±=； 即当m 为3-117-±121-±时，y 是x 的一次函数． 类型二：二次函数的图象与性质二次函数的解析式中，a 决定抛物线的形状和开口方向，h 、k 仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a 必相等．典型例题例题1．（2022·浙江湖州·九年级期末）对于二次函数y ＝x 2-4x -1的图象，下列叙述正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴为直线x ＝2C ．顶点坐标为（-2，-5）D ．当x ≥2时，y 随x 增大而减小【答案】B【详解】解：∵224125y x x x =--=--（）， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为（2，-5）， ∴当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，故选项B 符合题意， 故选：B ．点评：例题1考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 例题2．（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）抛物线()2235y x =--的顶点坐标是（ ） A ．(3,5)-- B ．(3,5)- C ．(3,5)- D ．(3,5)【答案】C【详解】解：抛物线()2235y x =--的顶点坐标是()3,5-，故选：C ．点评：例题2考查了求抛物线的顶点坐标，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标的求法．例题3．（2022·甘肃·张掖市第一中学九年级期末）如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c ＞1；（3）20a b -<；（4）0a b c ++<．你认为其中错误的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个【答案】D【详解】解：（1）根据图示知，该函数图象与x 轴有两个交点， ∴240b ac ∆=->； 故本选项正确；（2）由图象知，该函数图象与y 轴的交点在点（0，1）以下， ∴1c <；故本选项错误； （3）由图示，知对称轴12bx a=->-；又函数图象的开口方向向下， ∴0a <，∴2b a -<-，即20a b -<， 故本选项正确；（4）根据图示可知，当x ＝1，即0y a b c =++<，∴0a b c ++<；故本选项正确；综上所述，其中错误的是（2），共有1个； 故选：D ．点评：例题3主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题的关键．由抛物线与x 轴交点情况判断24b ac -与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与1的关系，然后根据对称轴及a 的范围推理2a b -的符号，根据当x ＝1的函数值判断a b c ++的符号．例题4．（2022·全国·九年级专题练习）若点A （﹣1，y 1）、B （1，y 2）、C （4，y 3）为二次函数y ＝﹣x 2＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是____（用“＞”号连接）． 【答案】y 2＞y 3＞y 1【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+4x +5中a ＝﹣1， ∴函数图象开口向下，∵y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9， ∴函数的对称轴为直线x ＝2，∵A （﹣1，y 1）、B （1，y 2）、C （4，y 3），∴A 点到对称轴的距离为3，B 点到对称轴的距离为1，C 点到对称轴的距离为2， ∴y 2＞y 3＞y 1， 故答案为：y 2＞y 3＞y 1．点评：例题4考查了二次函数的图象性质，由解析式求出对称轴是解题关键．求出函数的对称轴为直线x ＝2，由于函数开口向下，则函数图象上的点离对称轴越远所对应的函数值越小，由此即可求解． 例题5．（2021·福建漳州·模拟预测）已知抛物线25y x bx =-++与x 轴交于A ，B 两点． (1)若抛物线的对称轴是直线x ＝2． ①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P ，使点B 关于直线OP 的对称点B '恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)当b ≥4，0≤x ≤2时，函数y 的最大值满足5≤y ≤13，求b 的取值范围． 【答案】(1)①245y x x =-++；②存在，点P （2，217）或P （2，2217-） (2)4≤b ≤6【详解】（1）解：①抛物线25y x bx =-++的对称轴为直线()212b bx =-=⨯-，抛物线的对称轴是直线x ＝2， ∴22b=，解得b ＝4， ∴抛物线的解析式为245y x x =-++； ②存在．理由如下：抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，若点P 在x 轴上方，点B 关于OP 对称的点B '在对称轴上，连结OB ′、PB ，则OB '＝OB ，PB '＝PB ，如图所示：对于245y x x =-++，令y ＝0，则2450x x -++=，即2450x x --=， 解得125,1x x ==-， ∴A （﹣1，0），B （5，0）， ∴OB '＝OB ＝5，∴在Rt B OC '∆中，90B CO '∠=︒，5,2OB OC '==，则22225221B C B O OC ''--= ∴(21B '，设点P （2，m ），由22BP B P '=，得()2222921mm +=-，即(22921m m +=，解得217m =， ∴P （2221）， 同理，当点P 在x 轴下方时，P （2，221， 综上所述，点P （2，2217）或P （2，217-； （2）解：∵抛物线25y x bx =-++的对称轴为直线2bx =， ∴当b ≥4时，22bx =≥， ∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大， ∴当0≤x ≤2时，取x ＝2，y 有最大值，即y ＝﹣4+2b +5＝2b +1，∵5≤y≤13，∴5≤2b+1≤13，解得2≤b≤6，又∵b≥4，∴4≤b≤6．点评：例题5考查二次函数的综合应用，涉及到二次函数的图像与性质，勾股定理的应用，轴对称性质，二次函数最值问题，二次函数增减性应用等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像与性质、轴对称性质等相关知识，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题．（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；②如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，根据轴对称的性质得到OB'＝OB，PB'＝PB，求出点B的坐标，利用勾股定理得到B′（2，21），再根据PB'＝PB，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；（2）当b≥4时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当0≤x≤2时，函数的增减性，从而得到当x＝2时，函数取最大值，再根据函数值y的最大值满足5≤y≤13，列出不等式解答即可．同类题型演练1．（2022·全国·九年级课时练习）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（－1，－2）B．它的图象的对称轴是直线x＝2C．当x＜0时，y随x的增大而增大≤≤2时，y有最大值为8，最小值为0D．当－1x【答案】D【详解】解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A不合题意；二次函数y=2x2的图象的对称轴是直线y轴，故选项B不合题意；当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不合题意；二次函数y=2x2，在-1≤x≤2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，y有最小值为0，故选项D 符合题意；故选：D．2．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）抛物线2314y x的顶点坐标是()A．（1，4）B．（1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（﹣1，﹣4）【详解】解：根据题意得：抛物线2314y x 的顶点坐标是（﹣1，﹣4）．故选：D3．（2021·福建·平潭翰英中学九年级期中）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a ＋c ＜2b ；③3b ＋2c ＜0；④m （am ＋b ）＋b ＜a （m ≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．①②B ．①③④C ．②③④D ．①④【答案】B【详解】解：∵函数图象与x 轴有两个交点， ∴方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根， ∴b 2−4ac >0， ∴4ac −b 2<0， 故①正确；∵函数图象与x 轴的一个交点的横坐标在0至1之间， ∴函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标在-2至-3之间， 由图象可知：当x =−2时，y >0， ∴4a −2b +c >0， ∴4a +c >2b ， 故②错误； ∵12ba-=-， ∴b =2a ，∵当x =1时，y <0， ∴a +b +c <0，∴102b bc ++<，3b +2c <0，∵由函数图象可知x =−1时，该二次函数取得最大值， ∴a −b +c >am 2+bm +c (m ≠−1)， ∴m (am +b )<a −b ， 故④正确；∴正确的有①③④三个， 故选：B ．4．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）已知抛物线21y x x =--与经过点（m ，1），则代数式m ²-m +2019的值为_____． 【答案】2021【详解】解：∵抛物线2=1y x x +-经过点(,1)P m ∴21=1m m --，即22m m -=∴²2019m m -+=2+2019=2021． 故答案为：2021．5．（2022·全国·九年级课时练习）已知点A （-1，y 1），B （2 ，y 2），C （5，y 3）在二次函数y ＝x 2﹣6x +c 的图象上，则y 1， y 2， y 3的大小关系是_____________ （按照从小到大用＜连接）． 【答案】231y y y <<【详解】解：∵二次函数y =x 2-6x +c 中a =1＞0， ∴抛物线开口向上，有最小值． ∵63221b x a -=-=-=⨯， ∴离对称轴水平距离越远，函数值越大， ∵3(1)5332-->->-， ∴231y y y <<； 故答案为：231y y y <<．6．（2022·福建三明·九年级期末）平面直角坐标系中，抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）的顶点为A ． (1)当抛物线经过点（1，2），求抛物线的函数表达式；(2)求顶点A 的坐标（用含字母a 的代数式表示），判断顶点A 是在x 轴上方还是下方，并说明理由； (3)当x ≥0时，抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）的最高点到直线y ＝3a 的距离为5，求a 的值． 【答案】(1)241y x x =-+-(2)()2,1a a a -+，顶点A 在x 轴上方，理由见解析(3)222+-1【详解】（1）解：当抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）经过点（1，2）， ∴2121a a =-++-， 整理得2a =．将2a =代入221y x ax a -++-＝中， ∴抛物线的函数表达式为241y x x =-+-；（2）解：∵抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）的顶点为A ， ∴()2221b ax a a =-=-=⨯-， 将x a =代入221y x ax a -++-＝中， 得到222211y a a a a a =-++-=-+，∴顶点为A 的坐标为()2,1a a a -+；顶点A 在x 轴上方，理由如下：∵2213124a a a ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，2102a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴2314a a -+≥， ∴顶点A 在x 轴上方．（3）解：由（2）可知，抛物线221y x ax a -++-＝的对称轴为x a =，顶点坐标为()2,1a a a -+，①当0a ＞时，对称轴在y 轴右侧，如图所示，∵x ≥0时图象的最高点是顶点()2,1a a a -+，且最高点到直线y ＝3a 的距离为5，∴2135a a a -+-=，即2415a a -+=，若2415a a -+=，解得12222,222a a =+=-（不合题意，舍去）， 若2415a a -+=-，()222a -=-，原方程无解； ②当0a =时，对称轴是y 轴，如图所示，∵x ≥0时图象的最高点是顶点0,1，最高点到直线y ＝3a 的距离不可能为5， ∴此种情况不存在；③当0a ＜时，对称轴在y 轴左侧，如图所示，∵x ≥0时图象的最高点是()0,1a -，且最高点到直线y ＝3a 的距离为5， ∴135a a --=，解得1a =-． 综上所述，a 的值为222+或-1．类型三：二次函数的解析式用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法：（1）设一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0），若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y =ax 2+bx +c ，将已知条件代入解析式，得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组，解方程组求出a ，b ，c 的值，解析式便可得出． （2）设顶点式：y =a （x -h ）2+k ，若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为y =a （x -h ）2+k ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．（3）设交点式：y =a （x -x 1）（x -x 2）（a ≠0），若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为（x 1，0），（x 2，0)，设所求二次函数为y =a （x -x 1）（x -x 2），将第三个点的坐标（m ，n )（其中m ，n 为已知数）或其他已翻条件代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式．典型例题例题1．（2021·江苏·九年级专题练习）已知二次函数的图象的顶点是(1,2)-，且经过点(0,5)-，则二次函数的解析式是（ ）． A ．23(1)2y x =-+- B ．23(1)2y x =+- C ．23(1)2y x =--- D ．23(1)2=--y x【答案】C【详解】解：设该抛物线解析式是：y ＝a （x -1）2﹣2（a ≠0）． 把点（0，-5）代入，得 a （0-1）2﹣2=-5， 解得a=-3．故该抛物线解析式是23(1)2y x =---． 故答案选：C点评：例题1主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，难度不大，需要掌握抛物线的顶点式． 例题2．（2020·内蒙古·乌海市海南区教育局教研室九年级期中）若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（ ） A ．y=4（x -2）2 -3 B ．y=-2（x -2）2+3C ．y=-2（x -2）2-3D ．y= -225(x -2）2+3 【答案】B【详解】∵抛物线的顶点为（2，3）， ∴设抛物线的解析式为y=a （x -2）2+3， ∵经过点（3，1）， ∴代入得：1=a （3-2）2+3， 解得：a=-2， 即y=-2（x -2）2+3， 故选B ．点评：例题2考查了求抛物线的解析式的应用，解题的关键是注意抛物线解析式的设法．设抛物线的解析式为y=a （x-2）2+3，把点（3，1）代入得出1=a （3-2）2+3，求出a 即可．例题3．（2020·吉林·九年级阶段练习）将二次函数2y x x =+的图象沿x 轴翻折后，所得图象的函数解析式是（ ） A ．2y x x =+ B ．2y x xC ．2y x x =-+D ．2y x x =--【答案】D【详解】∵2211()24y x x x =+=+-，∴二次函数2y x x =+的图象顶点坐标为（-12，-14），∴将二次函数2y x x =+的图象沿x 轴翻折后，所得图象的顶点坐标为（-12，14），且图形开口方向相反，开口大小相等，故a=1，∴翻折后图象的函数解析式为2211()24x y x x =-++=--，故选：D.点评：例题3考查翻折的性质，求函数解析式，将二次函数的一般形式化为顶点式.先求出二次函数2y x x =+的图象顶点坐标，利用翻折得到所得函数的顶点坐标为（-12，14），a=1，由此得到函数的解析式. 例题4．（2022·湖北襄阳·九年级期末）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为()0,5-，那么这个二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）． 【答案】25y x =-（答案不唯一）【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴二次函数()()20=-+≠y a x h k a 中0a >， ∵顶点坐标为()0,5-，∴这个二次函数的解析式可以是25y x =- 故答案为：25y x =-（答案不唯一）点评：例题4主要考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．根据二次函数的图象开口向上，可得0a >，再由顶点坐标为()0,5-，即可求解例题5．（2022·河南新乡·九年级期末）小刚在用描点法画抛物线C 1：2y ax bx c =++时，列出了下面的表格：x … 0 1 2 3 4 … y…36763…请根据表格中的信息，写出抛物线C 1的解析式：______． 【答案】243y x x =-++【详解】解：把（0，3）（1，6）（2，7）代入y =ax 2+bx +c 中得： 36427c a b c a b c ⎧⎪++⎨⎪++⎩＝＝＝， 解得：143a b c -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴抛物线C 1的解析式为：y =-x 2+4x +3， 故答案为：y =-x 2+4x +3．点评：例题5考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是准确熟练地进行计算． 例题6．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学九年级期末）在下图的平面直角坐标系中，已知抛物线22y x mx =-与x 轴的一个交点为A （4，0）．(1)求抛物线的表达式及顶点B 的坐标；(2)将05x ≤≤时函数的图象记为G ，点P 为G 上一动点，求P 点纵坐标的取值范围；(3)在（2）的条件下，若经过点C （4，-4）的直线0y kx b k =+≠（）与图象G 有两个公共点，结合图象直接写出b 的取值范围．【答案】(1)24y x x =-，B （2，-4） (2)45P y -≤≤ (3)40b -<≤【详解】（1）解：∵A （4，0）在抛物线22y x mx =-上 ∴1680m -=，解得2m =．∴24y x x =-，即()224y x =-- ∴顶点坐标为B （2，-4）． （2）解：如图所示， 当2x =时，y 有最小值-4； 当5x =时，y 有最大值5∴点P 纵坐标的P y 的取值范围是45P y -≤≤．（3）解：如图所示： b 的取值范围为−4＜b ≤0，直线0y kx b k =+≠（）与图象G 有两个公共点．点评：例题6主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．（1）根据待定系数法可求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）根据二次函数的增减性和对称性可求P 点纵坐标P y 的取值范围； （3）先画出函数图象，再结合图象写出b 的取值范围．同类题型演练1．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线与二次函数y ＝2x 2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（ ） A ．y ＝﹣2（x ﹣1）2 +2021B ．y ＝2（x ﹣1）2 +2021C ．y ＝﹣2（x +1）2+2021D ．y ＝2（x +1）2+2021【答案】C【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021）， ∴设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）2+2021，∵抛物线y ＝a （x +1）2+2021与二次函数y ＝2x 2的图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴a ＝﹣2，∴抛物线的解析式为y ＝﹣2（x +1）2+2021． 故选：C ．2．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线()()213y x x =+-关于y 轴对称后所得到的抛物线解析式为（ ） A ．()()213y x x =-+- B ．()()213y x x =-- C ．()()213y x x =-+ D ．()()213y x x =--+【答案】C【详解】∵拋物线()()()2213=2-1-8y x x x =+-，∴顶点坐标为（1，－8），关于y 轴对称后顶点坐标为（－1，－8），且开口向上， ∴该抛物线的解析式为()()()221-823-1y x x x =+=+； 故选：C ．3．（2021·江苏·九年级专题练习）已知点()2,3在抛物线22y ax ax c =-+上，则下列四个点中，一定也在该抛物线上的是（ ） A ．()0,3 B ．()0,3-C ．()3,2D ．()2,3--【答案】A【详解】解：将点（2，3）代入抛物线22y ax ax c =-+， 可得y=c=3， ∴223y ax ax =-+． 当x=0时，y=c=3；当x=3时，y=9a -6a+3=3a+3； 当x=-2时，y=4a+4a+3=8a+3；故（0，3）一定在该抛物线上， 故选：A ．4．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）抛物线2y ax bx =+经过点A （2，0），该抛物线顶点在直线2y x =-+上，则该抛物线解析式为______． 【答案】22y x x =-+【详解】∵抛物线2y ax bx =+经过点()0,0 ，A （2，0）， ∴顶点横坐标为1， ∵顶点在直线y =-x +2上， ∴y =-1+2=1， ∴顶点坐标（1，1），∵y =ax 2+bx 过点A （2，0），（1，1），∴1420a b a b +=⎧⎨+=⎩，∴12a b =-⎧⎨=⎩，∴22y x x =-+． 故答案为：22y x x =-+．5．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(x ，y )的坐标值：x … ﹣1 0 1 2 3 … y…343…则这条抛物线的解析式为_______． 【答案】2y x 2x 3=-++【详解】根据表格可得到点（-1,0）、（0，3）、（3,0） 设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+- 将（0，3）代入解析式得33a =- 解得1a =-∴解析式为2(1)(3)23y x x x x =-+-=-++故答案为：2y x 2x 3=-++．6．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）如图，抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与直线y =x +1相交于A （-1，0），B （4，n ）两点，且抛物线经过点C （5，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点（不与点A 、点B 重合），过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E ，设点P 的横坐标为m ．①求线段PE 长的最大值，并求此时P 点坐标；②是否存在点P 使BEC △为等腰三角形？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)245y x x =-++ (2)①PE 有最大值254，点P 的坐标为335,24⎛⎫⎪⎝⎭；②存在，413或0或34 【详解】（1）解：由题意，抛物线2y ax bx c =++的解析式可化为(1)(5)y a x x =+-， 将点()4,B n 代入直线1y x =+ 得：415n =+=，将点(4,5)B 代入(1)(5)y a x x =+- 得：(41)(45)5a +⨯-=， 解得1a =-，则抛物线的解析式为2(1)(5)45y x x x x =-+-=-++， 即245y x x =-++；（2）①由题意：设2(,45)P m m m -++，(,1)E m m +， 点P 在点E 的上方，则()2223254513424PE m m m m m m =-++-+=-++=-⎫ ⎪⎭+⎛⎝-∵ -1＜0∴当m =32时，PE 有最大值，最大值为254当m =32时，235454m m -++=，此时点P 的坐标为（32，354）；②存在，m 的值为4130或34．(4,5),(5,0),(,1)B C E m m +，222(54)(05)26BC ∴=-+-=，2222(4)(15)2(4)BE m m m =-++-=-，22222(5)(10)(5)(1)CE m m m m =-++-=-++，由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（ⅰ）当BC BE =时，BEC △为等腰三角形，则22BC BE =，即22(4)26m -=， 解得413m =413m =（ⅰ）当BC CE =时，BEC △为等腰三角形，则22BC CE =，即22(5)(1)26m m -++=， 解得0m =或4m =（舍去）；（ⅰ）当BE CE =时，BEC △为等腰三角形，则22BE CE =，即2222(4)(5)(1)m m m -=-++，解得34m =；综上，m 的值为4130或34．类型四：二次函数的平移问题（1）抛物线在平移的过程中，a 的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关． （2）涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y =a （x -h ）2+k 的形式．（3）抛物线的移动主要看顶点的移动，y =ax 2的顶点是（0，0），y =ax 2+k 的顶点是（0，k ），y =a （x -h ）2的顶点是（h ，0），y =a （x -h ）2+k 的顶点是（h ，k ）．我们只需在坐标系中画出这几个顶点，即可轻松地看出平移的方向．（4）抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．典型例题例题1．（2021·黑龙江·兰西县第三中学九年级期中）将抛物线2y x 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）A ．2(2)1y x =++B ．2(2)1y x =+-C ．22()1y x =-+D ．2(2)1y x =--【答案】C 【详解】∵抛物线2y x 的顶点坐标为（0，0），∴2yx 向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的图象的顶点坐标为（2，1），∴得到新抛物线的解析式是22()1y x =-+， 故选：C ．点评：例题1考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．例题2．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）将抛物线()2325y x =++向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的顶点坐标是（ ） A ．（－4，4） B ．（0，4） C ．（0，6） D ．（－4，－6）【答案】B【详解】解：将抛物线()2325y x =++向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的解析式为： ()232251,y x =+-+- 即234,y x =+∴抛物线的顶点坐标为：()0,4, 故选:B点评：例题2考查二次函数图象的平移，解题关键是掌握二次函数图象的平移规律，掌握二次函数的顶点式．例题3．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）要得到抛物线22(4)1y x =-+，可以将抛物线22y x =（ ）A ．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C【详解】解：∵y =2(x -4)2+1的顶点坐标为（4，1），y =2x 2的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线y =2x 2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y =2(x -4)2+1．故选：B ．点评：例题3考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标． 例题4．（2022·天津滨海新·九年级期末）抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x 先向左平移2个单位，再向下平移___________个单位得到的． 【答案】3 【详解】解：抛物线2y x 向左平移2个单位，向下平移3个单位得到的函数图象的解析式为：()223y x =+-． 故答案为：3．点评：例题4考查的是二次函数的图象平移变换，熟知函数图象平移变换的法则是解答此题的关键． 例题5．（2022·江苏·九年级专题练习）已知抛物线2(1)y a x h =-+，经过点(0,3)-和(3,0)． (1)求a 、h 的值；(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式． 【答案】(1)14a h =⎧⎨=-⎩；(2)242y x x =-+【详解】（1）解：将点(0,3)-和(3,0)代入抛物线2(1)y a x h =-+得：22(01)3(31)0a h a h ⎧-+=-⎨-+=⎩解得：14a h =⎧⎨=-⎩，∴1a =，4h =-；（2）解：∵原函数的表达式为：2(1)4y x =--，向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得∴平移后的新函数表达式为：22(11)42=42y x x x =---+-+即242y x x =-+；点评：例题5考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键同类题型演练1．（2021·福建·平潭翰英中学九年级期中）将抛物线y = x 2先向左平移5个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线的解析式是（ ） A ． y =()25x +-4 B ． y =()25x ++4 C ． y =()25x --4 D ． y =()25x -+4【答案】A。
专题02 二次函数的性质及其应用(教学案)
【热身训练】1. 已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域是[1，＋∞)，则1a ＋9c的最小值是________．答案: 32. 已知函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________．解析：①当a ＝0时，f (x )＝2x －3，符合条件；答案: ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 3. 已知奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________．4. 若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个正根，则实数a 的取值范围是________．答案: a ＜0【热点追踪】二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延．作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系．这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.（一）函数在给定区间上的最值问题例1. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1(a ≠0)在x ∈[－3,2]上有最大值4，求实数a 的值．答案: a ＝38或a ＝－3 变式1 已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋1，求函数f (x )在区间[－1,1]上的最值．答案:f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )min ＝f (－1)＝－a .变式2 求二次函数f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上的最大值． 答案:f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a －124a －3，a ＜－1－34a －32，－1≤a ＜25且a ≠0.8a －5，a ≥25（二）二次方程的根的分布问题例2. 已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a ＋2(a ∈R )．(1)若f (x )的两个零点均小于2，求实数a 的取值范围；(2)方程f (x )＝0在(1,2)上有且只有一个实根，求实数a 的取值范围．变式1 已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a ＋2(a ∈R )，若f (x )有一个小于1与一个大于2的两个零点，求实数a 的取值范围．答案: 187变式2 已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a ＋2(a ∈R )，方程f (x )＝0在(1,2)上有实根，求实数a 的取值范围．答案: 2＜a ＜187（三）可转化为二次函数的问题例3. 已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数．(1)求实数k 的值；(2)设函数g (x )＝log 4⎝⎛⎭⎪⎫a ·2x －4a 3，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．变式1 函数f (x )＝4x －2x ＋1＋4－x ＋2－x ＋1在[0,2]上的值域为________．答案: ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，13716 变式2 函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案: －14【乘热打铁】1． 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案: (－2,2]2． 若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是________．答案: 12＜k ＜233． 若关于x 的不等式m ≤lg x 3·lg x 12恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案: m ≤－lg 224． 已知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋3(m ∈R )，若关于x 的方程f (x )＝0有实数根，且两根分别为x 1，x 2，则(x 1＋x 2)·x 1x 2的最大值为________．答案: 2。
备战中考数学分点透练真题二次函数的图像与性质(解析版)
第十一讲二次函数的图像与性质命题点1 二次函数的基本性质类型一开口方向、对称轴及顶点的确定（含解析式转化）1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2B．x＝4C．x＝﹣2D．x＝﹣4【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．故选：C．2．（2020•哈尔滨）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为．【答案】（1，8）【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，∴顶点坐标是（1，8）．故答案为：（1，8）．3．（2021•贵阳）二次函数y＝x2的图象开口方向是（填“向上”或“向下”）．【答案】向上【解答】解：由y＝x2得：a＞0，∴二次函数图象开口向上．故答案为：向上．4．（2019•金昌）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．【答案】y＝（x﹣2）2+1【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，所以，y＝（x﹣2）2+1．故答案为：y＝（x﹣2）2+1．类型二与增减性、最值有关的问题5．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，故选：D．6．（2021•雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（）A．0B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或x＝2．∴y＝，把x＝2代入y＝x+1得y＝3，∴函数最大值为y＝3．故选：C．7．（2021•泰州）在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而．（填“增大”或“减小”）【答案】增大【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2，∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．类型三二次函数图像上点的坐标特征8．（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C （2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0【答案】C【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．9．（2021•益阳）已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：x…﹣2﹣101234…y…11a323611…由此判断，表中a＝．【答案】6【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），∴对称轴为x＝＝1，∴x＝﹣1时的函数值等于x＝3时的函数值，∵当x＝3时，y＝6，∴当x＝﹣1时，a＝6．故答案为：6．10．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A 作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为．【答案】﹣2+2【解答】解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝x2，设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，∴点E坐标为（m，4﹣2m），∴m2＝4﹣2m，解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．∴CD＝2m＝﹣2+2．故答案为：﹣2+2．类型四与坐标轴交点有关的问题11．（2021•湖北）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（）A．（2，4）B．（﹣2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（2，﹣4）【答案】A【解答】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，﹣＝2，∴（﹣）2﹣4×＝16，b＝﹣4，解得c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点P的坐标为（2，﹣4），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（2，4），故选：A．12．（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5B．﹣1C．5或1D．﹣5或﹣1【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，即m的值为5或1．故选：C．13．（2021•成都）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝．【答案】1【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，解得k＝1，故答案为1．命题点2 与二次函数图像有关的判段14．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；故选：A．15．（2019•葫芦岛）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由二次函数图象，得出a＜0，﹣＜0，b＜0，A、一次函数图象，得a＞0，b＞0，故A错误；B、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故B错误；C、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故C错误；D、一次函数图象，得a＜0，b＜0，故D正确；故选：D．16．（2019•阿坝州）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解答】解：由图象可知：∵对称轴在y轴右侧，∴对称轴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴一次函数y＝bx+c的图象过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．命题点3 与系数a、b、c有关的判定17．（2021•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①＞0；②﹣2＜b＜﹣；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：①∵函数图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，a与b异号，∴b＜0，∵函数图象与y轴交负半轴，∴c＜0，故，正确②∵顶点坐标（1，n），对称轴x＝＝1，∴b＝﹣2a＜0，a＝﹣，∴B点（3，0）关于对称轴x＝1对称点为（﹣1，0），∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，得c＝b，∵﹣3＜c＜﹣2，∴﹣3＜＜﹣2，∴﹣2＜b＜，错误．③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，正确．④当x＝1，时，y＝a+b+c＝n，∵a＝﹣，c＝b，∴n＝2b，∴2c﹣a＝，∵b＜0，∴＞4b，即2c﹣a＞2n，错误．故选：B．18．（2021•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：把点A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c，可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∵该函数图象开口方向向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，c＝﹣3a＞0，∴ac＜0，3a+c＝0，①错误，③正确；∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小；②错误；∴当x＝1时，函数取得最大值，即对于任意的m，有a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正确．综上，正确的个数有2个，故选：B．19．（2021•枣庄）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）．正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，∵对称轴x＝﹣＝，即b＝﹣a，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），∴0＝4a+2b+c，故③不正确；又可知b＝﹣a，∴0＝﹣4b+2b+c，即﹣2b+c＝0，故②正确；∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，且＝1，＝2，∴y1＞y2，故选④不正确；∵抛物线开口向下，对称轴是x＝，∴当x＝时，抛物线y取得最大值y max＝＝，当x＝m时，y m＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠，∴y max＞y m，故⑤正确，综上，结论①②⑤正确，故选：B．命题点4 二次函数解析式的确定20．（2021•杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0；A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x2+b1x+c1，把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，，解得a1＝；设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，，解得a＝，即a最大的值为，也可以根据a的绝对值越大开口越小直接代入ABD三点计算，即可求求解．故选：A．命题点5 二次函数与一元二次方程的关系21．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5【答案】A【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），∴可画出上图，∵抛物线对称轴x＝＝1，∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），∴当x＝2时，y的值为﹣5．故选：A．22．（2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0【答案】C【解答】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；若h＝6，则a＝﹣，故C正确；若h＝7，则a＝﹣，故D错误；故选：C．23．（2021•乐山）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．【答案】（1）m＞﹣（2）x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即1+4m＞0，∴m＞﹣，∴m的取值范围为m＞﹣；（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），∴另一个交点为（﹣2，0），∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．命题点6 二次函数与不等式（组）24．（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3【答案】D【解答】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，如图所示：∵A（﹣3，y1），B（1，y2），∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故选：D．25．（2021•宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故错误；③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，∴4a+b＝1，故正确；④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；故选：C．26．（2021•大庆）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（）①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；③若＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：①当a＝0时，y＝﹣x+1，此时函数图象与x轴交点为（1，0），故①错误；②当a＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1；当a≠0时，ax2﹣（a+1）x+1＝（x﹣1）（ax﹣1）＝0，解得x＝1或x＝，故②正确；③当a＞0时，函数图象开口向上，若＜x＜1，则y＜0；当a＜0时，函数图象开口向下，若＜x＜1，则y＞0；故③错误；④当a≠0时，y＝ax2﹣（a+1）x+1，Δ＝（a﹣1）2≥0，此时ax2﹣（a+1）x+1≤0函数与x至少有一个交点，不能使ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立；当a＝0时，﹣x+1≤0，不能使ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立；故④正确；故选：C．命题点7 二次函数图像的变换类型一平移27．（2021•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2+1C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣1【答案】B【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．故选：B．28．（2021•苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．﹣5或2B．﹣5C．2D．﹣2【答案】B【解答】解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，∴x＝﹣＞0，∴k＜0．∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+）²﹣．∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+﹣3）²﹣+1，∴将（0，0）代入，得0＝（0+﹣3）²﹣+1，解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．故选：B．29．（2020•百色）将抛物线y＝（x+1）2+1平移，使平移后得到抛物线y＝x2+6x+6．则需将原抛物线（）A．先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度C．先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度D．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度【答案】D【解答】解：抛物线y＝（x+1）2+1的顶点坐标是（﹣1，1），抛物线y＝x2+6x+6＝（x+3）2﹣3的顶点坐标是（﹣3，﹣3）．所以将点（﹣1，1）向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点（﹣3，﹣3）．所以需要将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线y ＝x2+6x+6．故选：B．≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．故选：D．30．（2021•黔东南州）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：如图所示，过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，则四边形OCDA是矩形，∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B （0，2），∴OB＝2，OA＝1，将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA•AD＝1×2＝2．故选：B．31．（2021•安徽）设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝；（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是．【答案】0,2【解答】解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a，得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．故答案为：0．（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，∴y＝（x+）2﹣（a﹣1）2+2，∴抛物线顶点的纵坐标n＝﹣（a﹣1）2+2，∵﹣＜0，∴n的最大值为2．故答案为：2．类型二轴对称（折叠）32．（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，则m，n的值为（）A．m＝﹣6，n＝﹣3B．m＝﹣6，n＝3C．m＝6，n＝﹣3D．m＝6，n＝3【答案】D【解答】解：∵抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，∴﹣y＝﹣mx2﹣2x+n，∴y＝﹣mx2﹣2x+n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n相同，∴﹣m＝﹣6，n＝m﹣n，解得m＝6，n＝3，故选：D．33．（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）A．或﹣3B．或﹣3C．或﹣3D．或﹣3【答案】A【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，∴3+b＝0，解得b＝﹣3；当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，所以b的值为﹣3或﹣，故选：A．类型三中心对称或旋转34．（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5B．y＝x2+4x+5C．y＝﹣x2+4x﹣5D．y＝﹣x2﹣4x﹣5【答案】A【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．故选：A．。
2022年中考数学二次函数(解析版)
热点05 二次函数在中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。
而考察的内容主要有：二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。
其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。
1. 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的解析式：根据已知条件，选择合适的表达式求解；一般情况下：①当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）求其表达式；②当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式y ＝a （x-m ）2+h （a ≠0）求其表达式；③若（x 1，0）(x 2，0)是抛物线与x 轴的两个交点坐标，故知道抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式y ＝a （x-x 1）(x-x 2)（a ≠0）求其表达式；2.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象及其性质：牢记顶点公式、注意识别图象与系数的关系、注意抛物线的对称性及其性质的应用；其中：二次函数符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶①a 、b 、c 单个字母的判断，a 由开口判断，b 由对称轴判断（左同右异），c 由图象与y 轴交点判断;②含有a 、b 两个字母时，考虑对称轴;③含有a 、b 、c 三个字母，且a 和b 系数是平方关系，给x 取值，结合图像判断， 另：含有 a 、b 、c 三个字母，a 和b 系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶④含有b 2和 4ac ，考虑顶点坐标，或考虑△.⑤其他类型，可考虑给x 取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
3.二次函数的简单应用：认真审题、分清问题类型、注意计算；利润最大化问题与二次函数模型：两公式：①单位利润=售价-进价；②总利润=单位利润×销量；两转化：①销量转化为售价的一次函数；②总利润转化为售价的二次函数；函数性质：利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；二次函数在中考中单独出题和结合出题的形式都比较常见，和实际应用结合时，多考察现实生活中的“生意问题”或者“省钱问题”；数学模型考察热点有：一次函数与二次函数结合问题、二次函数图象与性质、二次函数与几何图形结合的面积最值问题、二次函数与其他几何图形结合的点在坐标特征问题等。
专题01 二次函数的图像与性质(30题)(解析版)
专题第01讲二次函数的图像与性质（30题）1．（2023•怀集县一模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c，点A（﹣2，y1），B（4，y2）是抛物线上两点，若a＜0，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法比较【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x＝2，得出a＜0，得出抛物线开口向下，则抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，最后求出结果即可．【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵a＜0，∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离为2﹣（﹣2）＝4，点B（4，y2）到对称轴的距离为4﹣2＝2，又∵2＜4，∴点B（4，y2）到对称轴的距离近．∴y1＜y2，故选：B．2．（2023•南湖区校级开学）若点A（﹣3，y1），B（，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【分析】根据抛物线的对称轴和开口方向，再由A，B，C三个点离对称轴的远近，即可解决问题．【解答】解：由题知，抛物线y＝x2+2x+1的开口向上，且对称轴是直线x＝﹣1，所以函数图象上的点，离对称轴越近，函数值越小．又，所以y2＜y1＜y3．故选：A．3．（2022秋•华容区期末）若点A（2，y1）、B（3，y2）、C（﹣1，y3）三点在二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2，y3的值，比较后即可得出结论（利用二次函数的性质解决问题亦可（离对称轴越远，y值越大））．【解答】解：∵点A（2，y1）、B（3，y2）、C（﹣1，y3）三点在二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象上，∴y1＝﹣4﹣m，y2＝﹣3﹣m，y3＝5﹣m．∵5﹣m＞﹣3﹣m＞﹣4﹣m，∴y3＞y2＞y1．故选：D．4．（2023•宝鸡一模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【分析】首先求出抛物线开口方向和对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解决问题．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，故选：B．5．（2022秋•法库县期末）已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（2，y1）、B（﹣1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0【分析】依据抛物线的对称性可知：（﹣2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2（a＞0），∴A（2，y1）关于y轴对称点的坐标为（﹣2，y1），∵a＞0，∴x＜0时，y随x的增大而减小，∵﹣2＜﹣1＜0，∴y1＞y2＞0；故选：C．6．（2023•温州模拟）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y1）是抛物线y＝﹣x2+2x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y2＞y1D．y2＞y1＞y3【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣x2+2x的开口向下，对称轴为直线x＝1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，而A（﹣3，y1）离直线x＝1的距离最远，B（1，y2）在直线x＝1上，∴y1＜y3＜y2．故选：B．7．（2023•西安二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a为常数，且a＞0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B （2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y1【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性解答即可．【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a为常数，且a＞0），∴开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，∴当x＝﹣2与x＝6的函数值相同，即抛物线经过（6，y1），∵2＜3＜6，∴y2＜y3＜y1．故选：D．8．（2023•上城区模拟）已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣1上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x2﹣x1＝3，则下列结论正确的是（ ）A．若x1＜，则y1＞y2＞0B．若＜x1＜2，则y2＞y1＞0C．若x1＜，则y1＞0＞y2D．若＜x1＜2，则y2＞0＞y1【分析】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，将x＝代入解析式可得y的值，通过抛物线的对称性及x2﹣x1＝3求解．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，当x1＝时，x2＝3+＝，∴＝2，即点P，Q关于对称轴对称，此时y1＝y2，将x＝代入y＝（x﹣2）2﹣1得y＝0，当x1＜时，当x2＞时，y1＞0＞y2，当x2＜时，y1＞y2＞0，故选项A，C不符合题意，∵x2﹣x1＝3，∴x2＝x1+3，∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴y1＝（x1﹣2）2﹣1，y2＝（x1+1）2﹣1，当＜x1＜2时，﹣＜x1﹣2＜0，＜x1+1＜3，∴﹣1＜（x1﹣2）2﹣1＜0，0＜（x1+1）2﹣1＜3，∴y2＞0＞y1．故选：D．9．（2023春•灌云县期中）已知y＝x2+（m﹣1）x+1，当0≤x≤5且x为整数时，y随x的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A．m＜﹣8B．m≤﹣8C．m＜﹣9D．m≤﹣9【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案．【解答】解：∵y＝x2+（m﹣1）x+1，∴对称轴为x＝﹣，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，∵当0≤x≤5且x为整数时，y随x的增大而减小，∴﹣≥5，解得m≤﹣9，故选：D．10．（2023•西湖区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞n时，x的取值范围是m﹣3＜x＜1﹣m，且该二次函数的图象经过点P（3，t2+5），Q（d，4t）两点，则d的值可能是（ ）A．0B．﹣1C．﹣4D．﹣6【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出d范围，进而选出符合条件的选项．【解答】解：如图，根据题意可知，该二次函数开口向下．对称轴为x＝＝﹣1，∵t2+5﹣4t＝（t﹣2）2+1＞0，∴与点Q相比，点P更靠近对称轴，即3﹣（﹣1）＜|d﹣（﹣1）|，整理得|d+1|＞4．∴当d+1≥0时，有d+1＞4，解得d＞3；当d+1＜0时，有﹣（d+1）＞4，解得d＜﹣5．综上，d＞3或d＜﹣5．故选：D．11．（2023春•鼓楼区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，t），B（3，t），C（4，2），D（6，4），那么a﹣b+c的值是（ ）A．2B．3C．4D．t【分析】根据抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，即可得到D（6，4）关于对称轴对称的点为（﹣1，4），故当x＝﹣1时可求得y值为4，即可求得答案．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，t），B（3，t），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝，∴D（6，4）对称点坐标为（﹣1，4），∴当x＝﹣1时，y＝4，即a﹣b+c＝4，故选：C．12．（2023•全椒县一模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．故选：B．13．（2023春•青秀区校级期末）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+1与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】根据一次函数的b＝1和二次函数的a＝1即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过y轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨m的情况，即可求出答案．【解答】解：∵二次函数为y＝x2+m，∴a＝1＞0，∴二次函数的开口方向向上，∴排除C选项．∵一次函数y＝﹣mx+1，∴b＝1＞0，∵一次函数经过y轴正半轴，∴排除A选项．当m＞0时，则﹣m＜0，一次函数经过一、二、四象限，二次函数y＝x2+m经过y轴正半轴，∴排除B选项．当m＜0时，则﹣m＞0一次函数经过一、二、三象限，二次函数y＝x2+m经过y轴负半轴，∴D选项符合题意．故选：D．14．（2022秋•滨城区校级期末）在同一坐标系中一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）A．B．C．D．【分析】可先由一次函数y＝ax﹣b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，矛盾，不合题意；B、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，一致，符合题意；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，矛盾，不合题意；D、由y＝ax2+bx可知，抛物线经过原点，不合题意；故选：B．15．（2023•濉溪县模拟）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的图象大致为（ ）A．B．C．D．【分析】根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），从而判断出二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，即可得出答案．【解答】解：由二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可知，a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c 与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，故B正确．故选：B．16．（2023春•鼓楼区校级期末）一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】可先由一次函数y ＝ax +c 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象相比较看是否一致．【解答】解：由，解得或，∴一次函数y ＝ax ﹣1（a ≠0）与二次函数y ＝ax 2﹣x （a ≠0）的交点为（1，a ﹣1），（，0），A 、由抛物线可知，a ＞0，由直线可知，a ＜0，故本选项错误，不符合题意；B 、由抛物线可知，a ＞0，由直线可知，a ＞0，由一次函数y ＝ax ﹣1（a ≠0）与二次函数y ＝ax 2﹣x （a ≠0）可知，两图象交于点（1，a ﹣1），则交点在y 轴的右侧，故本选项错误，不符合题意；C 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，a ＜0，两图象的一个交点在x 轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意；D 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，a ＞0，a 的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；故选：C ．17．（2023春•惠民县期末）如图所示，二次函数y ＝ax 2+bx +c 和一次函数y ＝ax +b 在同一坐标系中图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】分别根据两个函数的图象得出系数的取值范围，一致的就是符合题意，否则就是不符合题意的．【解答】解：A：根据一次函数的图象得：a＞0，b＜0，根据二次函数的图象得：a＞0，b＜0，故A符合题意；B：根据一次函数的图象得：a＜0，b＞0，根据二次函数的图象得：a＞0，b＞0，故B不符合题意；C：根据一次函数的图象得：a＜0，b＜0，根据二次函数的图象得：a＜0，b＞0，故C不符合题意；D：根据一次函数的图象得：a＞0，b＞0，根据二次函数的图象得：a＜0，b＜0，故D不符合题意；故选：A．18．（2023•盘龙区校级开学）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称轴为直线x＝﹣1和开口向下，即可解决问题．【解答】解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，所以abc＞0．故①错误．因为抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，所以x＝﹣2时与x＝0时的函数值相等．又由图象可知，x＝0时，函数值大于0．所以x＝﹣2时，函数值也大于0．即4a﹣2b+c＞0．故②正确．因为抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝﹣1，所以当x＝﹣1时，函数有最大值a﹣b+c．则当x＝m（m为任意实数）时，总有a﹣b+c≥am2+bm+c，即a﹣b≥m（am+b）．故③错误．因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0．故④正确．故选：B．19．（2022秋•玉泉区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点、点在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与y轴的交点，可得a＜0，b＞0，c＞0，由对称轴为直线x＝2，可得b＝﹣4a，当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c；由经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c＝0，c＝﹣5a；再由a＜0，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大；再结合所给选项进行判断即可．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，所以（1）正确；∵对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴b+4a＝0，∴b＝﹣4a，∵经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，∴4a+c﹣2b＝4a﹣5a+8a＝7a，∵a＜0，∴4a+c﹣2b＜0，∴4a+c＜2b，故（2）不正确；∵3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故（3）正确；∵|﹣2﹣2|＝4，|﹣﹣2|＝，|﹣2|＝，∴y1＜y2＜y3，故（4）正确；当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c，∴4a+2b+c≥am2+bm+c，4a+2b≥m（am+b）（m为常数），故（5）正确；综上所述：正确的结论有（1）（3）（4）（5），共4个，故选：B．20．（2023春•青秀区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝4．其中正确结论的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，c＞0，，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在（3，0）左边，∴二次函数与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，∴a﹣b+c＜0，故②正确；③∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，∴x＝1时，函数最大值是a+b+c；∴m为任意实数，则a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故③错误；④∵，∴b＝﹣2a由②得a﹣b+c＜0，∴3a+c＜0，故④正确；⑤∵，∴，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，∵x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，∵，b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤错误；故正确的有3个，故选：C．21．（2022秋•丰都县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若ax+bx1＝+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0．抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，所以abc＜0．故①错误；②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；③∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最小值为：a+b+c，∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c，故③正确；④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确；⑤∵+bx1＝+bx2，∴+bx1﹣﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤正确．综上所述，正确的有②③④⑤．故选：D．22．（2022秋•建昌县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致如图所示．下列说法正确的是（ ）A．2a﹣b＝0B．当﹣1＜x＜3时，y＜0C．a+b+c＞0D．若（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2【分析】根据二次函数的系数与图象的关系解答即可．【解答】解：根据对称轴为直线x＝1可得：，故2a+b＝0，故A错误；根据函数图象可得当﹣1＜x＜3时，y＜0，故B正确；当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故C错误；若（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，只有当1＜x1＜x2时，y1＜y2，故D错误；故选：B．23．（2022秋•新抚区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤b2﹣4a2＞2ac．其中正确结论的个数是（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，可得a＞0，c＜0，再由对称轴是直线x＝﹣1，可得abc＜0，故①正确；再根据抛物线与x轴有2个交点，可得b2＞4ac，故②正确；观察图象得：当x＝﹣2时，y＜0，可得4a﹣2b+c＜0，故③错误；观察图象得：当x＝1时，y＞0，再由b＝2a，可得a+b+c＞0，故④正确；再由b2﹣4a2＝（b+2a）（b﹣2a）＝0，可得⑤正确，即可求解．【解答】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴，即b＝2a＞0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；观察图象得：当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故③错误；观察图象得：当x＝1时，y＞0，∵b＝2a，∴a+b+c＝3a+c＞0，故④正确；∵b＝2a，∴b﹣2a＝0，∴b2﹣4a2＝（b+2a）（b﹣2a）＝0，∴2ac＜0，∴b2﹣4a2＞2ac，故⑤正确；故选：C．24．（2022秋•莲池区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示．下列结论：①abc＞0；②当﹣3＜x＜1时，y＞0；③4a+2b+c＞0；④关于x的一元二次方程的解是x1＝﹣4，x2＝2．其中正确的有（ ）x…﹣41…y…0…A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】观察图表可知，开口向下，a＜0，二次函数y＝ax2+bx+c在与时，y值相等，得出对称轴为直线x＝﹣1，即可得出b＜0，在根据图象经过点（1，0），得出c＞0由此判断①；根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的交点，即可判断②；根据x＝2，y＜0即可判断③；根据抛物线的对称性求得点关于直线x＝﹣1的对称点是，即可判断④．【解答】解：①由于二次函数y＝ax2+bx+c有最大值，∴a＜0，开口向下，∵对称轴为直线，∴b＜0，∵图象经过点（1，0），∴c＞0，∴abc＞0，故①说法正确；②∵对称轴为直线x＝﹣1，∴点（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∵a＜0，开口向下，∴当﹣3＜x＜1时，y＞0，故②说法正确；③当x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故③说法错误；④∵点关于直线x＝﹣1的对称点是，∴关于x的一元二次方程的解是x1＝﹣4，x2＝2，故④说法正确．故选：C．25．（2023•扎兰屯市一模）如图，函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为，下列判断正确个数为（ ）①ab＜0；②b﹣3a＝0；③ax2+bx≥m﹣2；④点（﹣4.5，y1）和点（1.5，y2）都在此函数图象上，则y1＝y2；⑤9a＝8﹣4m．A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据抛物线的开口方向得a＜0，由顶点坐标可得b＝3a＜0，b﹣3a＝0，以此可判断①②；再根据二次函数的性质可得当x＝时，y取得最大值为m，以此可判断③；根据离抛物线对称轴距离相等点的函数值相等可判断④；将顶点坐标代入函数解析式中，化简即可判断⑤．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴b＝3a＜0，∴ab＞0，故①错误；由上述可知，b＝3a，∴b﹣3a＝0，故②正确；∵抛物线开口向下，∴当x＝时，y取得最大值为m，∴无论x取何值都有ax2+bx+2≤m，∴ax2+bx≤m﹣2，故③错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1.5，﹣1.5﹣（﹣4.5）＝1.5﹣（﹣1.5），∴y1＝y2，故④正确；∵函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为，∴，整理得：9a﹣6b+8＝4m，∵b＝3a，∴9a﹣18a+8＝4m，∴9a＝8﹣4m，故⑤正确．综上，正确的结论有②④⑤，共3个．故选：C．26．（2023•深圳模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ）①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最大（小）值，对称性进行判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴x＝﹣＝﹣1＜0，∴a、b同号，而a＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，因此①正确；由于抛物线过点（1，0）点，∴a+b+c＝0，又∵对称轴为x＝﹣1，即﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，而a＞0，∴2a+c＜0，因此②正确；由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），而对称轴为x＝﹣1，由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，因此③正确；由二次函数的最小值可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，最小值当x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即am2+bm﹣a+b≥0，因此④不正确；综上所述，正确的结论有①②③，共3个，故选：C．27．（2023•镜湖区校级二模）如图所示，点A，B，C是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）（x为任意实数）上三点，则下列结论：①﹣＝2 ②函数y＝ax2+bx+c最大值大于4 ③a+b+c＞2，其中正确的有（ ）A．①B．②③C．①③D．①②【分析】抛物线与x轴交于C'和C，C'介于0～1之间，设C'（t，0）其中0＜t＜1．①﹣＝，0＜t＜1，．因此①错误；②由图象可知，图象顶点纵坐标在4的上方，所以函数最大值大于4．因此②正确③由图象可知，x＝1时，y＞2，即a+b+c＞2．因此③正确．【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图．抛物线与x轴交于C'和C，C'介于0～1之间，设C'（t，0）其中0＜t＜1．①﹣＝，∵0＜t＜1，∴．因此①错误；②由图象可知，图象顶点纵坐标在4的上方，所以函数最大值大于4．因此②正确③由图象可知，x＝1时，y＞3，即a+b+c＞3＞2．因此③正确．故选：B．28．（2023•丰顺县一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，有如下结论：①abc＞0：②a+b+c＜0：③4a+b＜0；④4a＞c．其中正确的结论有（ ）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据二次函数图象与系数的关系分别判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，∴a＞0，c＞0，∵抛物线对称轴为x＝﹣＞0，∴b＜0，∴abc＜0，∴①错误；∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②正确；∵抛物线对称轴为x＝﹣＜2，a＞0，∵b＞﹣4a，∴4a+b＞0，∴③错误；∵抛物线对称轴为x＝﹣＜2，a＞0，∴b＞﹣4a，∵a+b+c＜0，∴a﹣4a+c＜0，∴﹣3a+c＜0，∴3a＞c，∵a＞0，∴4a＞c，∴④正确．故选：B．29．（2022秋•合川区期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，下列结论：①abc＞0；②a+2b＝0；③a﹣b+c＞0；④；⑤若P（﹣4，y1），Q（8，y2）是该函数图象上两点，则y1＝y2．正确结论的个数是（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及对称性逐个进行判断即可．【解答】解：抛物线开口向上得a＞0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＜0，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，因此c＜0，所以abc＞0，因此①符合题意；由﹣＝2，可知b＝﹣4a，所以a+2b＝﹣7a＜0，因此②不符合题意；由对称轴和抛物线的对称性，可得当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故③符合题意；由图象可知x＝3时，y＜0，故9a+3b+c＜0，即3a+b＜﹣，因此④不符合题意；由对称轴和抛物线的对称性，可得P（﹣4，y1），Q（8，y2）是该函数图象上两点，则y1＝y2．因此⑤符合题意；综上所述，正确的结论有3个，故选：B．30．（2023春•惠民县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有如下6个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；⑥b2＞4ac；其中正确的结论有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线对称轴方程x＝﹣＞0，∴a、b异号，∴b＞0；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0；故①错误；②∵当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴b＞a+c，故②错误；③根据抛物线的对称性知，当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；故③正确；∵对称轴方程x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴＝﹣a，根据抛物线的对称性知，当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，∴9a+3b+c＝﹣b+c＜0，∴2c＜3b．故④正确；⑤∵x＝1时函数取得最大值，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b），故⑤正确；⑥∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac．故⑥正确．综上所述，正确的有4个．故选：C．。
2020年高考数学(理)函数与导数 专题02 函数的基本性质(解析版)
函数与导数02函数函数的基本性质【考点讲解】一、具体目标：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.会用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.2.理解函数的单调性及其几何意义.会用基本函数的图象分析函数的性质.3. 了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．二、知识概述：1．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4.判断函数的奇偶性的常用方法：(1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y 轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性． (3)组合函数奇偶性的判定方法①两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数，一奇一偶之和为非奇非偶函数．②奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数，奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为0)为奇函数． ③复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． (4)分段函数的奇偶性判定分段函数应分段讨论，注意奇偶函数的整体性质，要避免分段下结1．已知函数的奇偶性求函数的解析式． 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．5．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．6．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 7．增函数与减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__增函数__.(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__减函数__.8．单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D 叫做y ＝f (x )的__单调区间__. 9．函数的最大值与最小值：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≤M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最 大值．(2)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≥M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．10．函数单调性的常用结论11．对勾函数的单调性对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的递增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；递减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数． 12.函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个__非零常数__T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__f (x ＋T )＝f (x )__，那么函数f (x )就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__最小__正周期． 13.函数周期性的常用结论： 对f (x )定义域内任一自变量x 的值： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．14.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期 T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b,0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．15．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【解析】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【答案】3-2.【2019优选题】已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)f a f -<（4），则a 的取值范围为 ．【解析】：()f x Q 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，∴不等式(3)f a f -<（4）等价为 (|3|)f a f -<（4），即|3|4a -<，即434a -<-<，得17a -<<，即实数a 的取值范围是17a -<<， 【真题分析】故答案为：17a -<< 【答案】17a -<<．3.【2017课标II 】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+, 则(2)f = ________．【解析】本题考点奇函数的性质解决求函数值的问题. 法一：(2)(2)[2(8)4]12=--=-⨯-+=f f .法二：由题意可知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以有()()()232x x x f x f +-=-=-，而因为()0,∞-∈x ，()∞+∈-，0x ，()232x x x f --=-所以有()⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=0,20,22323x x x x x x x f ，()12222223=-⨯=f【答案】124. 【2017山东】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6xf x -=,则f (919)= 【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,()()6=+f x f x 是周期函数,且6T =,所以(919)(66531)(1)f f f =⨯+=(1)6f =-=.【答案】65. 【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 . 【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f x x =--1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1),(0,2]f x x x =--∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1211k =+，解得2(0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴1234k ≤<，综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为123⎡⎢⎣⎭，. 【答案】123⎡⎢⎣⎭6.【2017山东理15】若函数()e x f x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+【解析】①()e =e e 22xx x xy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e xxy f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+， 则()()()22e 2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.【答案】①④7.【2017天津理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A.a b c << B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<【解析】 因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，于是()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.【答案】C8.【2018新课标II 卷11】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【解析】本题考点是函数的性质的具体应用，根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 由题意可知原函数的定义域为()∞+∞-，的奇函数，并且有()()x f x f +=-11，所以有()()()111--=-=+x f x f x f ，所以有()()()113-=+-=+x f x f x f ，即有()()4+=x f x f ，所以函数是以周期为4的周期函数.因此有()()()()()()()()[]()()2143211250321f f f f f f f f f f +++++=++++Λ.因为()()()()2413f f f f -=-=，，()()()()04321=+++f f f f ，由()()()113-=+-=+x f x f x f 可得()()()00112==+--=f f f从而()()()()()2150321==++++f f f f f Λ，选C .【答案】C9. .已知定义在错误!未找到引用源。
高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质教学案(理)
专题02 函数的图象与性质【2019年高考考纲解读】(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。
【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T ＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况．5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用. 【题型示例】题型一、函数的性质及其应用【例1】 (2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 【举一反三】【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2【举一反三】(1)(2015·重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1] B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋3，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1 (1)答案：D解析：要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0，即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． (2)答案：D解析：f (1)＝lg 1＝0，所以f (a )＝0.当a >0时，则lg a ＝0，a ＝1；当a ≤0时，则a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【变式探究】 (1)(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．【命题意图】(1)本题主要考查函数的定义域求法以及不等式的解法．通过定义域的求法考查考生的运算求解能力及转化意识．(2)本题主要考查分段函数和不等式恒成立问题，可结合函数图象进行分析求解． 【答案】(1)C (2)(－∞，2]【解析】(1)将求函数的定义域问题转化为解不等式问题． 要使f (x )＝ln(x 2－x )有意义，只需x 2－x ＞0， 解得x ＞1或x ＜0.∴函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． (2)结合图形，由f (f (a ))≤2可得f (a )≥－2，解得a ≤ 2. 【方法技巧】1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的真数x ＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y ＝tan x 中，x ≠k π＋π2(k ∈Z )．如果f (x )是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合．根据函数求定义域时：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域． 题型二、函数的图象及其应用【例2】(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )答案 B【方法技巧】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值． 【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】函数f(x)=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除A 、B选项；当[]0,2x ∈时，()=4e xf x x '-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D 。
【中考压轴之满分集训】专题02 函数图像与性质综合题(四大类)(解析版)
冲刺中考数学压轴之满分集训专题02函数图像与性质综合题（四大类）【类型一：分析函数图像】【典例1】（锦州）已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A 地出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y（千米）与甲所用的时间x（分）之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为．【答案】9：20【解答】解：因为甲30分走完全程10千米，所以甲的速度是千米/分，由图中看出两人在走了5千米时相遇，那么甲此时用了15分钟，则乙用了（15﹣10）分钟，所以乙的速度为：5÷5＝1千米/分，所以乙走完全程需要时间为：10÷1＝10分，因为9：10乙才出发，所以乙到达A地的时间为9：20；故答案为9：20．【变式1-1】（2022•潍坊）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点F作FH⊥AB于H，当0≤x≤1时，如图1，在Rt△FAH中，AF＝x，∠A＝60°，则FH＝AF•sin A＝x，∴线段EF扫过区域的面积y＝x•x＝x2，图象是开口向上的抛物线，当1＜x≤2时，如图2，过点D作DP⊥AB于P，则DP＝AD•sin A＝，∴线段EF扫过区域的面积y＝×（x﹣1+x）×＝x﹣，图象是y 随x的增大而增大的线段，当2＜x≤3时，如图3，过点E作EG⊥CD于G，则CE＝CF＝3﹣x，∴EG＝（3﹣x），∴线段EF扫过区域的面积y＝2×﹣×（3﹣x）×（3﹣x）＝﹣（3﹣x）2，图象是开口向下的抛物线，故选：A．【变式1-2】（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（）A．AF＝5B．AB＝4C．DE＝3D．EF＝8【答案】B【解答】解：由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∴AB＝4．∵×AF•AB＝12，∴AF＝6，∴A选项不正确，B选项正确；由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，∴BC＝2，由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，∴CD＝6，由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，∴DE＝4．∴C选项不正确；∵图①中各角均为直角，∴EF＝AB+CD＝4+6＝10，∴D选项的结论不正确，故选：B．【变式1-3】（2022•宜昌）如图是小强散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：min）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（）A．50m/min B．40m/min C．m/min D．20m/min【答案】D【解答】解：由函数图象知，从30﹣70分钟时间段小强匀速步行，∴这一时间段小强的步行速度为＝20（m/min），故选：D．【变式1-4】（2022•辽宁）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF 中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，＝BC•AM＝4，∴S△ABC①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DG＝x∴S＝CD•DG＝x2；②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），∴S＝S△ABC∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣x在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），∴S＝（x﹣8）2，综上，选项A的图像符合题意，故选：A．【类型二：判断函数图像】【典例2】（2020•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意当0≤x≤4时，y＝×AD×AB＝×3×4＝6，当4＜x＜7时，y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故选：D．【变式2-1】（2022•湖北）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意得：当0≤t＜1时，S＝4﹣t，当1≤t≤2时，S＝3，当2＜＜t≤3时，S＝t+1，故选：A．【变式2-2】（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象顶点在x轴下方，开口向上，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，∴一次函数y＝ax+b2﹣4ac的图象位于第一，二，三象限，由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象可知，点（2，4a+2b+c）在x轴上方，∴4a+2b+c＞0，∴y＝的图象位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B，故选：B．【变式2-3】（2022•广西）已知反比例函数y＝（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵反比例函数y＝（b≠0）的图象位于一、三象限，∴b＞0；∵A、B的抛物线都是开口向下，∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，故A、B都是错误的．∵C、D的抛物线都是开口向上，∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0由a＞0，c＜0，排除C．故选：D．【类型三：反比例函数综合】【典例3】（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B【变式3-1】（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为．【答案】8【解答】解：连接OA、OB，∵AC⊥x轴，∴AC∥y轴，＝S△APB，∴S△AOB＝2，∵S△APB＝2，∴S△AOB由反比例函数系数k的几何意义可得：S△AOC＝6，S△BOC＝，∴6﹣＝2，解得：k＝8，故答案为8．【变式3-2】（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为．【答案】S1＝4S4【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S 是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案为：S1＝4S4．【变式3-3】（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点C，E．若点A（3，0），则k的值是．【答案】4【解答】解：设C（m，），∵四边形ABCD是正方形，∴点E为AC的中点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝上，∴，∴m＝1，作CH⊥y轴于H，∴CH＝1，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OBA＝∠HCB，∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA＝3，OB＝CH＝1，∴C（1，4），∴k＝4，故答案为：4．【变式3-4】（2022•雁塔区校级模拟）如图，正方形ACBE的边长是，点B，C分别在x轴和y轴正半轴上，BO＝2，ED⊥x轴于点D，ED的中点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k＝．【答案】3【解答】解：∵正方形ACBE的边长是，BO＝2，∴BC＝BE＝，∴OC＝＝＝1，∵∠ABC＝90°，∴∠OBC+∠EBD＝90°，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBD，在△OBC和△DEB中，，∴△OBC≌△DEB（AAS），∴BD＝OC＝1，DE＝OB＝2，∴OD＝3，∴E（3，2），∵点F是ED的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3，故答案为3．【变式3-5】（2021•广元）如图，点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM＝ON＝5．点P（x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，＜S△OPE时，x的取值范围是．连接OA、OP．当S△OAD【答案】1＜x＜4【解答】解：过点B作BF⊥ON于F，连接OB，过点C作CG⊥OM于点G，连接OC，如图，∵点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣4．∴y＝．∵点A（﹣2，2），∴AD＝OD＝2．∴．设B（a，b），则ab＝﹣4，OF＝﹣b，BF＝a．∴＝＝2．＝2．同理：S△OCG＞S△OBF，从图中可以看出当点P在线段BC上时，S△OPE＜S△OPE．即当点P在线段BC上时，满足S△OAD∵OM＝ON＝5，∴N（0，﹣5），M（5，0）．设直线MN的解析式为y＝mx+n，则：，解得：．∴直线MN的解析式为y＝x﹣5．∴，解得：，．∴B（1，﹣4），C（4，﹣1）．∴x的取值范围为1＜x＜4．【变式3-6】（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为．【答案】（，1）【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，∵∠AOB＝30°，∴OE＝AE＝，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝1×＝，∴y＝，∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，∴∠DOM＝60°，∴∠MOF＝30°，∴OF＝MF，设MF＝n，则OF＝n，∴M（n，n），∵点M在函数y＝的图象上，∴n＝，∴n＝1（负数舍去），∴M（，1），故答案为（，1）．【变式3-7】（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝．【答案】﹣12【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FN＝MN＝1又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，设OA＝a，则OB＝a+1，∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），又∵反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），解得，a＝3，∴k＝﹣4a＝﹣12，故答案为：﹣12．【类型4：二次函数综合】【典例4】（2021•广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣1，即，∴b＝2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x轴的另一个交点在﹣2和﹣3之间，∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，∴a﹣b≥ax2+bx，即a﹣b≥x（ax+b），故③正确；∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，b＝2a，∴a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确；故选：C．【变式4-1】（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，b＜0．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴①的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴9a﹣3×2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函数y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①④，故选：A．【变式4-2】（2022•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．②③【答案】D【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝﹣，∴b＝a，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合题意．④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D．【变式4-3】（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x ＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（）A．b2＞﹣8aB．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bmC．3a﹣2＞0D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0【答案】C【解答】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b2＞0，﹣8a＜0，∴b2＞﹣8a．故A正确，不符合题意；∵函数的最小值在x＝﹣1处取到，∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故B正确，不符合题意；∵l∥x轴，∴y1＝y2，令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），∴当y1＝y2＞﹣2时，x1＜0，x2＞0．∴当y1＝y2＞﹣2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意；∵a＞0，∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故C错误，符合题意；故选：C．【变式4-4】（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：①2a+b＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），∴a+b+c＝0，∵a＜c，∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，∴b＜0，∴对称轴x＝﹣＞1，∴当1＜x＜﹣时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；③∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；故选：C．【变式4-5】（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0【答案】C【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，如图1中，则y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，如图2中，则y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，如图3中，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，如图4中，则y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．【变式4-6】（2021•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故结论①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，∴x＝，∴b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：ax2+2ax+c＝c，∴x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，故结论③正确；④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，∴b＝，∵b＝2a，∴a＝，∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝，∴b+c＝，故选：B．。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性(解析版)
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第08讲函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精练）【A组在基础中考查功底】．．．．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，再代入计算)π和2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值即可得到正确答案【详解】因为()()2cos cos sin f x x x x x f x -=+=，且函数定义域为R ，关于原点对称，所以是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.【详解】因为()1f x -为偶函数，所以()1f x -的图像关于y 轴对称，则()f x 的图像关于直线=1x -对称．因为()f x 在[)1,-+∞上单调递增，所以()f x 在(],1-∞-上单调递减．因为()()127(5)xf f f -<-=，所以7125x -<-<，解得3x <．故选：A.11．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）设()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，又当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则()25.5f 的值为______.【答案】1【分析】由已知可得函数的周期为4，然后根据函数解析式结合周期性奇偶性可求得结果.【详解】因为()()2f x f x +=-，所以()()42f x f x +=-+，所以()()4f x f x +=，所以()y f x =的周期为4，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，所以()()25.546 1.5f f =⨯+()1.5f =()0.52f =-+()0.5f =--()0.5f =20.51=⨯=，故答案为：112．（2023·全国·高三对口高考）已知函数()y f x =，x ∈R ，()y f x =是奇函数，且当0x ≥【B 组在综合中考查能力】A ．()sin 2e e x xx xf x -=-C ．()cos 2e ex xx xf x -=-的取值范围是（1)=12．（2023·河北·高三学业考试）已知二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=且()01f =．(1)求()f x 的解析式；(2)若方程()f x ax =，[]2,3x ∈时有唯一一个零点，且不是重根，求a 的取值范围；(3)当[]1,1x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的范围．【答案】(1)()21f x x x =-+【C 组在创新中考查思维】一、单选题1．（2023·辽宁·校联考二模）设函数()f x 在(),-∞+∞上满足()()22f x f x -=+，()()55f x f x -=+，且在闭区间[]0,5上只有()()130f f ==，则方程()0f x =在闭区间[]2020,2020-上的根的个数（）．A ．1348B ．1347C ．1346D ．13455．（2023·全国·模拟预测）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足在。
专题05 二次函数的图象和性质(解析版)
专题五二次函数的图象和性质【专题导航】目录【考点一二次函数定义】【考点二二次函数y=ax2的图像性质】【考点三二次函数y=ax2+k的图像性质】【考点四二次函数y=a（x-p）2的图像性质】【考点五二次函数y=a（x-p）2+k的图像性质】【聚焦考点1】二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数且a≠0）的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项（区别于二次项，一次项）注意点：A.强调未知数最高次幂为2；B.二次项系数不等于零； C.先化简，再判断是否为二次函数。
【典例剖析1】【典例1-1】已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的值．【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：依题意得∴∴m＝1（2）依题意得m2﹣m≠0∴m≠0且m≠1．【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．【典例1-2】函数y＝（kx﹣1）（x﹣3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？【分析】利用一次函数与二次函数的定义分别分析得出即可．【解答】解：∵y＝（kx﹣1）（x﹣3）＝kx2﹣3kx﹣x+3＝kx2﹣（3k+1）x+3，∴k＝0时，y是x的一次函数，k≠0时，y是x的二次函数．【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握有关定义是解题关键．针对训练1【变式1-1】已知函数y＝（m﹣1）+2x﹣m是二次函数，求m的值，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．【分析】根据二次函数的定义列出方程组求解即可．【解答】解：由题意得∴∴m＝﹣2二次项系数为﹣3，一次项系数为2，常数项为2【点评】本题考查二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不等于零，次数是2得出方程组是解题关键．【变式1-2】已知是x的二次函数，求出它的解析式．【分析】根据二次函数的定义得出有关m的方程与不等式解答即可．【解答】解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）所以m＝3故y＝12x2+9．【点评】主要考查了二次函数的定义．【能力提升1】二次函数定义【提升1-1】已知函数y＝（m2+m）x．（1）当函数是二次函数时，求m的值；（2）当函数是一次函数时，求m的值．【分析】（1）这个式子是二次函数的条件是：m2﹣2m+2＝2并且m2+m≠0；（2）这个式子是一次函数的条件是：m2﹣2m+2＝1并且m2+m≠0．【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，解得m＝2或m＝0；又因m2+m≠0，解得m≠0且m≠﹣1；因此m＝2．（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1，解得m＝1；又因m2+m≠0，解得m≠0且m≠﹣1；因此m＝1．【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．【提升1-2】一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．（1）求k值．（2）求当x＝0.5时y的值？【分析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可；（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值．【解答】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，则k2﹣3k+2＝0，（k﹣1）（k﹣2）＝0，解得：k1＝1，k2＝2，∵k﹣1≠0，∴k＝2；（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，当x＝0.5时，y＝（）2+2×﹣1＝．【点评】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件【聚焦考点2】y=ax²的图像的性质小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线y=ax²来说，a越大，抛物线的开口越小【典例剖析2】二次函数y=ax2的图像性质【典例2-1】）抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．有最低点D．对称轴是x轴【答案】B【解析】解：抛物线=22的开口向上，对称轴为轴，有最低点；抛物线=−22开口向下，对称轴为轴，有最高点；故抛物线=22与=−22相同的性质是对称轴都是轴.故答案为：B.【点评】本题考查了二次函数的基本性质，利用二次函数的性质解决问题是关键。
考点07 二次函数的图像与性质(解析版)
考点七二次函数的图像与性质知识点整合一、二次函数的概念一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a （x –h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ）．2．保持y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到（h ，k ）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．考向一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典例引领变式拓展考向二二次函数的图象与性质二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典例引领1x=时有最小值2-，即a-当2x=-时有最大值6，即4解得：89a=，109b=-，∴1118110 333939 a b⎛-=⨯-⨯-⎝②a<0时，如图，1x =时有最大值6，即26a a b -+=当2x =-时有最小值2-，即44a a +解得：89a =-，469b =，∴11181462333939a b ⎛⎫-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为：23或2-．4．定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，抛物线223y x x =-+与直线y x =-【答案】114【分析】此题考查了一次函数，二次函数的性质以及新定义问题，变式拓展【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得在y轴右侧，得0b>，抛物线与x=，即对称轴是直线1【答案】②④/④②【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合的数学思想是解题的关键．【详解】解：将点(11933b c b c ++=⎧⎨++=⎩，。
专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质(解析版)
专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质【知识点梳理】 知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a-+=．① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =， 则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a-+---=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 知识点3：二次函数图像的伸缩变换问题 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 先列表：再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0) 知识点4：二次函数图像的平移变换函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋bx a＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．【题型归纳目录】 题型1：根的判别式题型2：根与系数的关系（韦达定理） 题型3：二次函数图像的伸缩变换 题型4：二次函数图像的平移变换【典型例题】 题型1：根的判别式例1．已知关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-2kx +k +1=0，若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 【答案】2k -＞且2k ≠ 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式大于0即可求解． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22210()k x kx k --++=有两个不相等的实数根， ∴224(2)4(2)(1)480b ac k k k k ∆=-=---+=+>，且20k -≠； 解得，2k -＞且2k ≠． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 例2．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2-4mx +4m 2-9＝0的两实数根． (1)若这个方程有一个根为-1，求m 的值；(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m 的取值范围；(3)已知Rt △ABC 的一边长为7，x 1，x 2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m 的值．【答案】(1)m的值为1或-2 (2)-2＜m＜1(3)m m＝49 24【解析】【分析】（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；（3）首先用m表示出方程的两根，分直角△ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值.(1)解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，∴将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．解得m＝1或m＝-2．∴m的值为1或-2．(2)解：∵x2-4mx+4m2＝9，∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．∴x1＝2m+3，x2＝2m-3．∵2m+3＞2m-3，∴231 231 mm+-⎧⎨--⎩＞＜解得-2＜m＜1．∴m的取值范围是-2＜m＜1．(3)解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．若Rt△ABC的斜边长为7，则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．解得m＝∵边长必须是正数，∴m若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．解得m＝49 24．综上所述，m m ＝4924．【点睛】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.例3．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值． 【答案】(1)94k ≤ (2)32m =【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；（2）根据（1）确定2k =，从而求出方程2320x x -+=的解为121=2x x =，，然后分相同的根为1x =时和2x =时，两种情况讨论求解即可． (1)解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根， ∴()22=4=340b ac k ∆---≥， ∴94k ≤； (2) 解：∵94k ≤， k 是符合条件的最大整数， ∴2k =，∴方程230x x k -+=即为2320x x -+=， 解方程2320x x -+=得：121=2x x =，，∵一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根 当这个相同的根为1x =时， ∴1130m m -++-=， ∴32m =； 当这个相同的根为2x =时，∴()4123m m -++-， ∴1m =，∵当1m =时，方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0即为20x -=不是一元二次方程， ∴32m =． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解等等，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．例4．已知关于x 的一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根． 【答案】(1)14m ＞ 且0m ≠ (2)另一个根为32【解析】 【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可． （2）将x =0代入原方程，求出m ，再解方程即可． (1)解：∵2(21)20mx m x m --+-=是一元二次方程， 0m ∴≠ ，∵一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数，240b ac ＞ ，即：2(21)4(2)0m m m ＞ ，整理得：410m ＞ ， 14m ＞， 综上所述：14m ＞ 且0m ≠． (2)∵方程有一个根是0，将x =0代入方程得：20m -= ，2m ∴= ，则原方程为：2230x x -= ，解得：1230,2x x ==， ∴方程的另一个根为32．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：0＞方程有两个不相等的实数根 ， =0方程有两个相等的实数根，0＜方程没有实数根，方程有实数根．熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0是易错点． 例5．已知关于x 的一元二次方程2240x mx m -+-=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)2x =是方程的一个根吗？若方程有一个实数根为负数，求正整数m 的值． 【答案】(1)见解析(2)x =2是方程的一个根，1m = 【解析】 【分析】（1）证明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可． (1)证明：∵Δ=（-m ）2-4×（2m -4） =m 2-8m +16 =（m -4）2， ∵（m -4）2≥0，∴方程总有两个实数根． (2)解：把x =2代入方程左边，得左边=22-2m +2m -4=0=右边， ∴x =2是方程x 2-mx +2m -4=0的一个根； 用因式分解法解此方程x 2-mx +2m -4=0， 可得（x -2）（x -m +2）=0， 解得x 1=2，x 2=m -2，若方程有一个根为负数，则m -2＜0， 故m ＜2， ∴正整数m =1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．题型2：根与系数的关系（韦达定理）例6．已知关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根1x ，2x ．(1)求m 的取值范围；(2)若120x x ⋅=，求方程的两个根． 【答案】(1)14m <且0m ≠ (2)10x =，232x =-【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，从而到关于m 的不等式，求出m 的范围即可；（2）利用根与系数的关系可得122m x x m+⋅=，根据120x x ⋅=可得关于m 的方程，整理后即可解出m 的值，最后求出方程的根． (1)解：∵关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根，∴0>且0m ≠，即()()221420m m m +-⨯⨯+>且0m ≠， 解得：14m <且0m ≠． (2)∵关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根1x ，2x ，∴122m x x m+⋅=， ∵120x x ⋅=， ∴20m m+=， 解得：2m =-，经检验：2m =-是分式方程的解， ∴当2m =-时，方程为：2230x x --=， 解得：10x =，232x =-．【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程以及分式方程等知识．关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：⑴0>⇔方程有两个不相等的实数根；⑵0=⇔方程有两个相等的实数根；⑶0<⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：1x ，2x 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a⋅=． 例7．已知关于x 的一元二次方程2(31)210ax a x a -+++=． (1)求证：无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根分别为1x 、2x ，且212x x -=，求a 的值． 【答案】(1)见解析；(2)11a =，213a =-【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形求值即可． (1)解：∵一元二次方程2(31)210ax a x a -+++=，2(31)4(21)a a a ∆=+-+，221a a =++2(1)0a =+≥∴无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)解：依题意得，1231a a x x ++=，1221a ax x +=， ∵212x x -=，∴21212()44x x x x +-=，∴2314(21)()4a a a a++-=，即23210a a --=， （3a +1）（a -1）=0，解得11a =，213a =-；【点睛】本题考查了一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-及根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a=．例8．若α=20x x t -+=的根；(1)则方程的另外一个根β=______，t =______；(2)求()()323211ααββ-+-+的值．【答案】1- (2)1【解析】【分析】 （1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）根据,αβ是为一元二次方程210x x --=的根，可得3232αααβββ-=-=，，代入代数式化简，进而根据一元二次方程根与系数的关系代入求解即可．(1)解：∵α=20x x t -+=的根，设方程的另外一个根为β， ∴1βα+=1β∴==1t αβ∴=⋅==-1-； (2) ,αβ是为一元二次方程210x x --=的根210αα∴--=，210ββ--=21αα∴-=，21ββ-=，0α≠，0β≠，32ααα∴-=，32βββ-=，∴()()323211ααββ-+-+()()11αβ=++1αβαβ=+++1αβ+=，1αβ=-，∴原式1111=-+=【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．例9．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m --+=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若此方程的两实数根12,x x 满足()()12117x x --=，求m 的值．【答案】(1)34m <(2)1m =-【解析】【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则0∆>，由此求得m 的取值范围；（2）由12(1)(1)7x x --=得1212()17x x x x -++=，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解．(1) 解：关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m --+=有两个不相等的实数根， ∴22(23)40m m ∆=-->， 解得34m <． (2)解：根据题意得，212x x m =，1223x x m +=-．12(1)(1)7x x --=，∴1212()17x x x x -++=，即2(23)17m m --+=，解得1m =-或3m =， 又34m <， ∴1m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握两根之和与两根之积的表达式是解决本题的关键．例10．已知关于x 的一元二次方程22430x kx k -+=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若0k >，且该方程的两个实数根的差为3，求k 的值．【答案】(1)见解析 (2)32【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出24=b ac ∆-结合偶次方的非负性可得出Δ≥0，进而可证出：无论k 为何实数，方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=4k ，x 1x 2=3k 2，结合（x 1-x 2）2=9，即可得出关于k 的方程，解之即可得出结论．(1)∵222(4)4134k k k ∆=-⨯⨯=，且无论k 为何实数，240k ≥∴Δ≥0∴该方程总有两个实数根；(2)方法一：设该方程两个实数根分别为()1212,x x x x ≥，则有124x x k +=，1223x x k ⋅=123x x -=则()2129x x -= ()2121249x x x x ⋅+-= 2216129k k -=294k = 解得：32k =± ∵0k >． ∴32k 方法二：()()30x k x k --=解得：1x k =，23x k = 由题意得：123x x -=33k k -=，解得：32k =± ∵0k >．∴32k 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ=0时，一元二次方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x 1-x 2）2=1，找出关于k 的方程．题型3：二次函数图像的伸缩变换例11．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．(1)若点A 的坐标为（4，0）、点B 的坐标为（﹣1，0），求a +b 的值；(2)若y ＝ax 2+bx ﹣2的图象的顶点在第四象限，且点B 的坐标为（﹣1，0），当a +b 为整数时，求a 的值．【答案】(1)1a b +=- (2)13,1,22a = 【解析】【分析】（1）代入A 、B 坐标，求出a 、b 的值即可得解；（2）根据抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即a ＞0，根据顶点在第四象限得出02b a-＞，求出a 的取值范围，进而得出a +b 的取值范围，即可求解． (1)代入A 、B 坐标，可得： 1642020a b a b +-=⎧⎨--=⎩， 解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 则a +b =-1；(2)∵抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，∴抛物线的开口向上，即a ＞0，且抛物线对称轴02b xa＞， ∵抛物线过B 点(-1,0)，∴代入B 点坐标可得：a -b -2=0，则有b =a -2，∴2022b a a a --=-＞， 解得a ＜2，∴02a ＜＜，∵a +b =a +a -2=2a -2，∴2222a --＜＜，∵a +b 是整数，∴a +b =a +a -2=2a -2为整数，∴2a -2可以为-1,0,1，∴a 可以为12，1，32． 【点睛】本题考查了求解抛物线与x 轴的交点、抛物线函数图象的坐标特征等知识，根据抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即a ＞0，是解答本题的关键．例12．抛物线212y x bx c =-++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于点C ，对称轴为直线32x =-．(1)如图1，若点C 坐标为(0,2)，则b =_______，c =_________；(2)若点P 为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形ABCP 面积最大时，点P 坐标和四边形ABCP 的最大面积；(3)如图2，点D 为抛物线的顶点，过点O 作MN CD ∥别交抛物线于点M ，N ，当3MN CD =时，求c 的值．【答案】(1)32-，2； (2)点P （-2，3），四边形ABCP 的最大面积为9； (3)94． 【解析】【分析】（1）根据解析式和对称轴可求出b ，根据C 点坐标即可求出ｃ；（2）求出1:22AC l y x =+，过点P 作x 轴的垂线，交AC 于点Q ，设点213(,2)22P x x x --+，(0)x <，求出24(0)APC S x x x =--<△，进一步求出S 四边形ABCP 22=45(2)9APC ABC S S x x x +=--+=-++△△，即可求出结果；（3）求出直线CD 的解析式为：34y x c =-+，进一步可得直线MN 的解析式为：34y x =-，分别过C ，N 作x 轴的平行线，过D ，M 作y 轴的平行线交于点G ，H ，证明MHN DGC ∽△△，即可求出结果． (1)解：由题意可知：∵322b x a =-=-，∴32b =-， ∵点C 坐标为(0,2)，∴2c =；(2) 解：令2130222y x x ==--+，整理得(1)(4)0x x -+=， 解得1x =或4x =-，∴(4,0)A -，(1,0)B ，∵(0,2)C ，∴5AB =，2OC =， ∴152ABC S AB OC =⨯=△， ∵(4,0)A -，(0,2)C ， ∴1:22AC l y x =+， 过点P 作x 轴的垂线，交AC 于点Q ，设点213(,2)22P x x x --+，(0)x <则点1(,2)2Q x x +， 2213112(2)22222PQ x x x x x =--+-+=--，∴21()4(0)2APC APQ PCQ C A S S S PQ x x x x x =+=⨯-=--<△△△， ∴S 四边形ABCP 22=45(2)9APC ABC S S x x x +=--+=-++△△，∵10-<，函数图象开口向下，又0x <，∴当2x =-时，S 四边形ABCP 最大 = 9，此时点(2,3)P -，∴当点(2,3)P -时，四边形ABCP 的最大面积，最大面积为9；(3) 解：∵221313()222298y x x c x c =--+=-+++， ∴39,28D c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－， 又∵(0,)C c ，∴设直线CD 的解析式为1y kx b =+（k≠0） ，代入点D ，C 的坐标得119382c b c k b =⎧⎪⎨+=-+⎪⎩， 解得134k b c⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线CD 的解析式为：34y x c =-+， ∵MN CD ∥，∴直线MN 的解析式为：34y x =-， 由题意，联立2132234y x x c y x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 得：213024x x c +-=，解得：x =932c ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，由题意，N xM x ，M N x x -= 分别过C ，N 作x 轴的平行线，过D ，M 作y 轴的平行线交于点G ，H ，∴G H ∠=∠，DCG MOA MNH ∠=∠=∠，∴MHN DGC ∽△△， ∴CG CD NH MN=， ∵ MN ＝3CD ， ∴13CG CD NH MN ==， ∵39(,)28D c -+，(0,)C c ， ∴32CG = ， ∴39322NH =⨯= ，又∵M N NH x x =- ∴94c =． 【点睛】本题考查二次函数综合，难度较大，解题的关键是熟练掌握二次函数图象及性质，一次函数，相似三角形的判定及性质知识点．例13．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0ab ≠）．当2b x a=-时，函数y 有最小值1-．(1)若该函数图象的对称轴为直线1x =，并且经过()0,0点，求该函数的表达式．(2)若一次函数y ax c =+的图象经过二次函数2y ax bx c =++图象的顶点．①求该二次函数图象的顶点坐标．②若()(),,,a p c q 是该二次函数图象上的两点，求证：p q >．【答案】(1)22y x x =-(2)①顶点坐标为（-1，-1）；②证明见解析【解析】【分析】（1）先确定顶点坐标，再设出该函数的顶点式解析式，将点（0,0）的坐标代入解析式中求出a ，即可求解；（2）①将顶点1),2(b a --代入y ax c =+，再利用2414ac b a-=-，进行转化后，求出12b a -=-即可求解； ②设函数表达式为()211y a x =+-，代入两点坐标后得到p 和q 的表达式，利用作差法比较大小即可．(1)解：由题意，得函数图象的顶点坐标为()1,1-，所以可设函数表达式为()211y a x =--，把()0,0代入，解得1a =，所求函数的表达式为22y x x =-．(2) ①由题意，将顶点1),2(b a --代入y ax c =+， 化简，得12b c =+． 又因为2414ac b a-=-， 所以2b a =，1c a =-．所以12b a-=-， 所以顶点坐标为()1,1--． ②由①可知，函数顶点坐标为()1,1--，1c a =-，所以可设函数表达式为()211y a x =+-．所以()()22311,1111p a a q a a a =+-=-+-=-． ()()2321112p q a a a a a -=+---=+． 因为函数有最小值，所以0a >，所以0p q ->，所以p q >．本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数及其图象、作差法比较大小等，解题的关键是牢记函数的顶点式解析式和顶点坐标公式等．例14．已知点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--图像的顶点．(1)小明发现，对m 取不同的值时，点P 的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图像上，请协助小明完成对这个函数的表达式的探究：①将下表填写完整：②描出表格中的五个点，猜想这些点在哪个函数的图像上？求出这个图像对应的函数表达式，并加以验证，(2)若过点（0，2），且平行于x 轴的直线与()22111y x m m m =--++--的图像有两个交点A 和B ，与②中得到的函数的图像有两个交点C 和D ，当AB CD =时，直接写出m 的值等于________；(3)若2m ≥，点Q 在二次函数()22111y x m m m =--++--的图像上，横坐标为m ，点E 在②中得到的函数的图像上，当90EPQ ∠=︒时，求出E 点的横坐标（用含m 的代数式表示）．【答案】(1)①（0，﹣1），（1，1），（2，5），表格见解析，②在二次函数图像上，二次函数表达式是21y x x =+-，验证见解析；； (3)2322m m -+【解析】（1）点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--[]2(1)x m =---21m m +--图像的顶点，得到点P 的坐标表示为（m －1，21m m --），分别带入m 的值求解P 点的坐标，描出表格中的五个点，猜想这些点在一个二次函数图像上，设二次函数的表示为2y ax bx c =++，把（0，﹣1），（1，1），（2，5）分别代入，利用待定系数法求出函数表达式，把x ＝m －1代入函数表达式验证即可；（2）根据题意求出AB 和CD 的长度，利用AB ＝CD ，列出方程并解方程即可求得m 的值；（3）求出点Q 的坐标，设点E 的坐标为（t ，21t t +-），利用两点间距离公式表示出2PE 、2PQ 、2QE ，由勾股定理得到2PE ＋2PQ ＝2QE ，整理后即可表示出点E 的横坐标(1)解：∵点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--[]2(1)x m =---21m m +--图像的顶点 ，∴点P 的坐标表示为（m －1，21m m --）当m ＝1时，m －1＝0，21m m --＝21111--=-，此时P 点坐标是（0，﹣1）；当m ＝2时，m －1＝1，21m m --＝22211--=，此时P 点坐标是（1,1）；当m ＝3时，m －1＝2，21m m --＝23315--=，此时P 点坐标是（2,5）；填写表格如下：故答案为：（0，﹣1），（1，1），（2，5）；②描出表格中的五个点，如图所示，猜想这些点在一个二次函数图像上，设二次函数的表示为2y ax bx c =++，把（0，﹣1），（1，1），（2，5）分别代入得11425c a b c a a c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得111a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴函数表达式为21y x x =+-当x ＝m －1时，2221(1)111y x x m m m m =+-=-+--=--，∴点P 在二次函数21y x x =+-的图像上，猜想成立．(2)解：∵过点（0，2），且平行于x 轴的直线与()22111y x m m m =--++--的图像有两个交点A 和B ， ∴当y ＝2时，()22211x m m m =--++--，方程整理得()2213x m m m -+=--解得11x m =-21x m =-∴AB ＝｜12x x -｜＝∵过点（0，2），且平行于x 轴的直线与抛物线21y x x =+-有两个交点C 和D ，∴当y ＝2时，221x x =+-，解得1x =，2x CD ＝｜12x x -∵AB ＝CD∴整理得244250m m --=解得1m =2m =； (3)解：∵点Q 在二次函数()22111y x m m m =--++--的图像上，横坐标为m ，∴当x ＝m 时，y ＝()222112m m m m m m --++--=--，∴点Q 的坐标是（m ，22m m --），∵点E 在②中得到的函数的图像上，∴可设点E 的坐标为（t ，21t t +-）由（1）知点P 的坐标表示为（m －1，21m m --），则22222(1)[(1)(1)]PE m t m m t t =--+---+-，22222(1)[(1)(2)]2PQ m m m m m m =--+-----=，22222()[(2)(1)]QE m t m m t t =-+---+-，∵90EPQ ∠=︒∴△EPQ 是QE 为斜边的直角三角形，由勾股定理得2PE ＋2PQ ＝2QE ，∴2222(1)[(1)(1)]m t m m t t --+---+-＋2＝2222()[(2)(1)]m t m m t t -+---+-解得t ＝2322m m -+． ∴点E 的横坐标是2322m m -+． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的顶点式、待定系数法求二次函数解析式、一元二次方程的解法、坐标系中两点间距离、勾股定理等知识，运算量较大，具备良好的计算能力是解答此题的关键． 题型4：二次函数图像的平移变换例15．已知关于x 的方程ax 2+（3a +1）x +3＝0．(1)求证：无论a 取任何实数时，该方程总有实数根；(2)若抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，求a 值以及此时抛物线的顶点H 的坐标；(3)在（2）的条件下，直线y ＝﹣x +5与y 轴交于点C ，与直线OH 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h 的值或取值范围．【答案】(1)证明过程见详解．(2)a ＝1，(﹣2，﹣1)(3)h ＝72或﹣52≤h<2 【解析】【分析】（1）分别讨论当a ＝0和a ≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断； （2）令y ＝0，则 ax 2+（3a +1）x +3＝0，求出两根，再根据抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，求出a 的值，即可求顶点坐标；（3）分两种情况讨论，通过特殊位置可求h 的范围，由平移的抛物线与直线CD （含端点C ）只有一个公共点，联立方程组可求h 的值，即可求解．(1)解：当a ＝0时，原方程化为x +3＝0，此时方程有实数根 x ＝﹣3．当a ≠0时，原方程为一元二次方程．∵∆＝（3a +1）2﹣12a ＝9a 2﹣6a +1＝（3a ﹣1）2≥0．∴此时方程有两个实数根．综上，不论a 为任何实数时，方程 ax 2+（3a +1）x +3＝0总有实数根．(2)∵令y ＝0，则 ax 2+（3a +1）x +3＝0．解得 x 1＝﹣3，x 2＝﹣1a ．∵抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，∴a ＝1．∴抛物线的解析式为y ＝x 2+4x +3＝（x +2）2﹣1．∴顶点H 坐标为（﹣2，﹣1）；(3)∵点O （0，0），点H （﹣2，﹣1）∴直线OH 的解析式为：y ＝12x ，∵现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．∴设平移后的抛物线顶点坐标为（h ，12h ），∴解析式为：y ＝（x ﹣h ）2+12h ，∵直线y ＝﹣x +5与y 轴交于点C ，∴点C 坐标为（0，5）当抛物线经过点C 时，∴5＝（0﹣h ）2+12h ，∴h 1＝﹣52，h 2＝2， ∴当﹣52≤h<2时，平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点； 当平移的抛物线与直线CD （含端点C ）只有一个公共点， 联立方程组可得251()2y x y x h h =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，∴x 2+（1﹣2h ）x +h 2+12h ﹣5＝0，∴∆＝（1﹣2h ）2﹣4（h 2+12h ﹣5）＝0， ∴h ＝72， ∴抛物线y ＝（x ﹣72）2+74与射线CD 的唯一交点为（3，2），符合题意； 综上所述：平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，顶点横坐标h ＝72或﹣52≤h<2． 【点睛】此题考查了根的判别式、二次函数与x 轴的交点问题、二次函数与不等式的关系；解题的关键是第（3）题要根据CD 是射线，分情况讨论．例16．已知抛物线()2430y ax ax a =-+≠的图象经过点()2,0A -，过点A 作直线l 交抛物线于点()4,B m ．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)将抛物线向下平移()0n n >个单位，使顶点落在直线l 上，求m ，n 的值．【答案】(1)2134y x x =-++；()2,4(2)3；2【解析】【分析】（1）把点()2,0A -代入()2430y ax ax a =-+≠，求出a 的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即可； （2）把C ()4,m 代入2134y x x =-++可求出m 的值；再运用待定系数法求出直线AB 的解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．(1)将()2,0A -代入243y ax ax =-+得：0483a a =++，解得14a =-， ∴抛物线的函数表达式为2134y x x =-++， ∵121224b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，2214314441444ac b a ⎛⎫⨯-⨯- ⎪-⎝⎭==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ∴顶点坐标为()2,4；(2)把C ()4,m 代入2134y x x =-++得， 4433m =-++=，设直线AB 的解析式为y kx b =+，将()2,0A -，()4,3B 代入y kx b =+得0234k b k b =-+⎧⎨=+⎩， 解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 的解析式为112y x =+， ∵顶点的横坐标为2，∴把2x =代入112y x =+得：2y =， ∴422n =-=．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关键．例17．将抛物线2(0)y ax a =≠向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P 是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图1，点P 在线段AC 上方的抛物线H 上运动（不与A ，C 重合），过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，PD 交AC 于点E ．作PF AC ⊥，垂足为F ，求PEF 的面积的最大值；(3)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)2(1)4y x =-++ (2)8164(3)存在点1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭，3(1,2)M --，4(1,4)M - 【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线2:(1)4H y a x =++，根据点A 的坐标，待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据题意求得直线AC 的解析式为3y x ，设()2,23P m m m --+，则(,3)E m m +，进而根据二次函数的性质求得PE 的最大值，进而根据21124PEF S PF EF PE =⋅=即可求解； （3）设(1,)M m -，(3,0)A -，(0,3)C ，则224MA m =+，221(3)MC m =+-，218AC =，分①当90AMC ∠=︒时，222MA MC AC +=，即2241(3)18m m +++-=，②当90MAC ∠=︒时，222MA AC MC +=，即224181(3)m m ++=+-，③当90MCA ∠=︒时，222MA MC AC =+即224181(3)m m +=++-，解方程求解即可．(1)解：由题意得抛物线的顶点坐标为(1,4)-，∴抛物线2:(1)4H y a x =++，将(3,0)A -代入，得：2(31)40a -++=，解得：1a =-，∴抛物线H 的表达式为2(1)4y x =-++；(2)如图1，由（1）知：223y x x =--+，令0x =，得3y =，∴(0,3)C ，设直线AC 的解析式为y mx n =+，∵(3,0),(0,3)A c -，∴303m n n -+=⎧⎨=⎩， 解得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为3y x ，设()2,23P m m m --+，则(,3)E m m +， ∴2223923(3)324PE m m m m m m ⎛⎫=--+-+=--=-++ ⎪⎝⎭， ∵10-<， ∴当32m =-时，PE 有最大值94， ∵3,90OA OC AOC ==∠=︒，∴AOC △是等腰直角三角形，∴45ACO ∠=︒，∵PD AB ⊥，∴90ADP ∠=︒，∴ADP AOC ∠=∠，∴PD //OC ，∴45PEF ACO ∠=∠=︒，∵PF AC ⊥，∴PEF 是等腰直角三角形，∴PF EF ==， ∴21124PEF S PF EF PE =⋅=， ∴当32m =-时，219814464PEF S ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭最大值； (3)∵2y x 2x 3=-++．∴设(1,)M m -，(3,0)A -，(0,3)C ∴224MA m =+，221(3)MC m =+-，218AC = ①当90AMC ∠=︒时，222MA MC AC += 即2241(3)18m m +++-=，解得m =∴1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭②当90MAC ∠=︒时，222MA AC MC +=，即224181(3)m m ++=+- 解得2m =-，即3(1,2)M --③当90MCA ∠=︒时，222MA MC AC =+即224181(3)m m +=++- 解得4m =，即4(1,4)M -综上所述：在抛物线的对称轴上存在点1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭，3(1,2)M --，4(1,4)M -，使以A 、M 、C 为顶点的三角形为直角三角形．【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，直角三角形问题，勾股定理，解一元二次方程，掌握二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，并能分类讨是解题的关键．例18．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点(0,3)C ，且3OC OA =．点E 是对称轴左侧的抛物线上一点，过点E 作EF x ∥轴，交抛物线于点F ．(1)若3EF =，求抛物线的解析式以及点E 的坐标；(2)若点E 沿抛物线向下移动，使得对应的EF 的取值范围为1213EF ≤≤，求移动过程中点F 的纵坐标F y 的取值范围．【答案】(1)2y x 2x 3=-++；17,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)153324F y -≤≤- 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出A 的坐标，用待定系数法即可求出抛物线解析式；设点()()12,,,E x n F x n ，利用E 是对称轴左侧的抛物线上一点，EF =3，得到213x x -=，利用抛物线的对称轴为直线x =1，得到1212x x +=，联立即可求得1x 的值，再代入抛物线即可求出答案；（2）设点()()12,,,F F E x y F x y ，利用E 是对称轴左侧的抛物线上一点，得到EF =21x x -，利用抛物线的对称轴为直线x =1，得到1212x x +=，则122x x =-，可得222EF x =-，利用已知条件求出2x 的取值范围，结合图象，再利用抛物线解析式即可得出结论． (1)解：点(0,3)C ，3OC ∴=，3OC OA =，1OA ∴=， ∴点(1,0)A -，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点(1,0)A -，与y 轴交于点(0,3)C ，230(1)(1)c b c =⎧⎨=--+⨯-+⎩解得：23b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++， EF x ∥轴，∴设点()()12,,,E x n F x n ，点E 是对称轴左侧的抛物线上一点，3EF =， 213x x ∴-=，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴：直线1x =，1212x x +∴=， ∴2112312x x x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：121252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当112x =-时，211723224n ⎛⎫⎛⎫=--+⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴点17,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)EF x ∥轴，∴设点()()12,,,F F E x y F x y ，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴：直线1x =， 1212x x +∴=， 122x x ∴=-，()21222222EF x x x x x ∴=-=--=-， 1213EF ≤≤，2122213x ∴≤-≤，21572x ∴≤，当7x =时，2F 727332y =-+⨯+=-，当152x =时，2F 151515323224y ⎛⎫=-+⨯+=- ⎪⎝⎭，∴移动过程中点F 的纵坐标F y 的取值范围：153324F y -≤≤-．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法确定二次函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x 轴的交点，配方法求得抛物线的对称轴，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 例19．已知抛物线2:=++l y x bx c 与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，其对称轴为直线26x AB ==，． (1)抛物线l 的函数表达式为__________．(2)设抛物线l 与y 轴交于点C ，直线2x =与BC 的交点为M ．将抛物线l 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线l '，l '与直线2x =交于点N ．当点N 在点M 下方时，m 的取值范围是___________．【答案】(1)245y x x =--(2)0m << 【解析】 【分析】（1）由对称轴为直线2x =，6AB =，可得,A B 坐标，将,A B 坐标代入2y x bx c =++，求出,b c 的值，进而可得抛物线l 的函数表达式；（2）如图，将0x =代入245y x x =--，求出C 点坐标，设直线BC 的解析式为y kx b =+，待定系数法求解析式为5y x =-，将2x =代入求出M 的点坐标，平移后的l '的解析式为()229y x m =-+-，设()2,N a ，3a <-，。
热点2-2 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)
热点2-2 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a -=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a -=-（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x x a a a f x a a a ----==++（00a a >≠且）为奇函数；4、()log a b xf x b x-=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log af x x =（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b =++-为偶函数；7、()f x ax b ax b =+--为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .（2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .（4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
文科高考数学重难点02 三角函数与解三角形(解析版)
重难点02 三角函数与解三角形【高考考试趋势】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出,三角试题每年都考,而且文理有别,或"一大一小",或"三小",或"二小"("小"指选择题或填空题,"大"指解答题),解答题以简单题或中档题为主,选择题或填空题比较灵活,有简单题,有中档题,也有对学生能力和素养要求较高的题.三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内.备考时要熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化鉴于新课标核心素养的要求，三角函数与解三角形在实际背景下的应用也将是一个考试试点.考点主要集中在三角函数图像及其性质的应用，三角函数恒等变换，以及正弦余弦定理的应用.本专题在以往高考常见的题型上，根据新课标的要求，精选了部分预测题型，并对相应的题型的解法做了相应的题目分析以及解题指导，希望你在学习完本专题以后能够对三角函数以及解三角形的题型以及解答技巧有一定的提升.【知识点分析以及满分技巧】三角函数与解三角形：从返几年高考情况来看，高考对本部分内容的考查主要有，1.三解恒等变换与三角函数的图象、性质相结合；2.三角恒等变换与解三角形相结合；3.平面向量、不等式、数列与三角函数和解三角形相结合，难度一般不大，属中档题型.三角函数图形的性质以及应用：对于选择题类型特别是对称中心，对称轴等问题选项中特殊点的带入简单方便，正确率比较高.总额和性的问题一般采用换元法转化成最基本的函数问题去解答.对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形.解三角形类型的大题中，重点是角边转化，但是要注意两边必须同时转化，对于对应的面积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求，但是在用基本不等式的时候应注意不等式等号成立的条件.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2020·贵溪市实验中学高三月考（文））在中，角，，所对的边分别ABC :A B C 为，，，且，则的最大值是（ ）a b c BC c bb c +A ．8B ．6C ．D ．4【答案】D【分析】由已知可得：，11sin 22bc A a =所以，2sin a A =因为，所以222cos 2b c a A bc +-=2222cos sin 2cos b c a bc AA bc A +=+=+所以，222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭所以的最大值是4c bb c +故选：D2．（2020·南昌市新建一中（文））在中，内角，，所对应的边分别为ABC :A B C a ，，，且，若，则边的最小值为（）b c sin 2sin 0a B b A +=2a c +=b AB ．C ．2D【答案】D【分析】根据由正弦定理可得，sin2sin 0a B b A +=sin sin2sin sin 0A B B A +=即，，2sin sin cos sin sin 0A B B B A +=sin 0,sin 0A B ≠≠ ，，∴1cos 2B =-23B π∴=由余弦定理可得．()2222222cos 4b a c ac B a c ac a c ac ac=+-=++=+-=- ．2a c +=≥ 1ac ∴≤ 即．，243bac ∴=-≥，b ≥故边.b 故选：D ．3．（2020·吉林高三其他模拟（文））在中，内角，，所对的边分别为，ABC :A B C a ，，且，，在边上，且，则b c 3a =b =c =M AB BM CM =AMAB=（ ）A ．B ．C ．D ．14133423【答案】C【分析】因为，BM CM =所以为等腰三角形，MBC △因为，，．3a =b =c =由条件可得，222cos2a c b B ac +-==所以，解得3·cos 22BC BM B ==BM =所以AM AB BM =-=可得．34AM AB =故选：．C 4．（2020·河南郑州市·高三月考（文））已知的三个内角，，对应的边分ABC :A B C 别为，，，且，，成等差数列，则a b c sin 2a C π⎛⎫- ⎪⎝⎭()cos 4b B π-()cos 3c A π-的形状是（ ）ABC :A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形【答案】C【分析】，，sin cos 2a C a Cπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()cos 4cos b B b B π-=，()cos 3cos c A c Aπ-=-依题意得，2cos cos cos b B a C c A =--根据正弦定理可得，()2sin cos sin cos cos sin B B A C A C =-+即，()2sin cos sin sin B B A C B=-+=-又，则，sin 0B ≠1cos 2B =-又，所以，()0,B π∈23B π=故的形状是钝角三角形．ABC :故选：C ．5．（2020·安徽六安市·六安一中高三月考（文））已知的三个内角，，所ABC :A B C 对的边分别为，，，满足，且a b c 222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则的形状为（ ）sin sin 1A C +=ABC :A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为的非等腰三角形D ．顶角为的等腰三角形120120【答案】D【分析】因为，222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+所以，2221sin (1sin )1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+所以，222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-根据正弦定理可得，即，222a cb ac +-=-222122a c b ac +-=-所以，因为，所以，所以，1cos 2B =-0B π<<120B = 60A C += 由得，sin sin 1A C +=sin sin(60)1A A +-=得，sin sin 60cos cos 60sin 1AA A +-=得，1sin sin 12A A A +-=得，1sin 12A A +=得，因为为三角形的内角，所以，，sin(60)1A +=A 30A = 30C =所以为顶角为的等腰三角形.ABC :120故选：D6．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·高三月考（文））将函数的图象向右平2sin 2y x =移个单位得到函数的图象．若，则的值为（02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭()f x 50412f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ϕ）A ．B ．C ．D ．12π8π6π3π【答案】A依题意，函数，由得()()2sin 22)i (2s n 2f x x x ϕϕ-=-=50412f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故5124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52sin 222sin 22124ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⨯-=--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，5sin 262sin 2ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22cos 22ϕϕϕ+=2cos 2ϕϕ=故，又，则，故，即.tan 2ϕ=02πϕ<<02ϕπ<<26πϕ=12πϕ=故选：A.7．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与αβ，轴的非负半轴重合，若角的终边过点，，且，则x α()21，()4cos 5αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（ ）sin β=ABCD【答案】C【分析】因为角的终边过点，所以是第一象限角，α()21，α所以sin α==cos α==因为，，所以为第一象限角，，0,2πβ⎛⎫∈⎪⎝⎭()4cos 5αβ+=αβ+所以，()sin 35αβ+==所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦3455==故选：C.8．（2020·罗山县楠杆高级中学高三月考（文））函数的()()cosln 2xx f x x e e π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】因为，()()()πcos ln sin ln 2x x x x f x x e e x e e --⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭所以，()()()()()sin ln sin ln x x x x f x x x e e x e e f x ---=-+=-+=-即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D ，()f x又因为，当且仅当时取等号，2xxy e e-=+≥=0x =所以，()ln ln 2ln10x x e e -+≥>=当时，，当时，，[)0,πx ∈sin 0x ≥[)π,2πx ∈sin 0x ≤所以，当时，，当时，，故排除A 、B ，[)0,πx ∈()0f x >[)π,2πx ∈()0f x ≤故选：C ．二、填空题9．（2020·新疆实验高三月考（文））在中，ABC :BC =，则外接圆的面积为______.222cos cos sin sin C A B B C --=ABC :【答案】π【分析】，222cos cos sin sin C A B B C --=，()()2221sin 1sin sin sin C A B B C∴----=即.222sin sin sin sin A C B B C --=由正弦定理得，222222a cb ac b --=⇒-=+由余弦定理得，所以，2222cos a c b bc A =+-cos A =，则，0A π<< 4A π=设的外接圆半径为，则，则,ABC :R 2sin BCRA =1R =则外接圆的面积为：，ABC :2R ππ=故答案为：.π10．（2020·山西高三期中（文））中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC :函数有极值点，则的取值范围是()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭______.【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】由题意，函数，()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+可得，()2222()f x x bx a c ac '=+++-因为函数有极值点，所以有两个不同的实数根，()f x 2222()0x bx a c ac +++-=可得，整理得，222(2)4()0b a c ac ∆=-+->222ac a c b >+-又由，2221cos 222a c b ac B ac ac +-=<=因为，所以，可得，(0,)B π∈3B ππ<<52333B πππ<-<当时，即时，取得最小值，最小值为；23B ππ-=23B π=cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 1π=-当时，即时，此时，233B ππ-=3B π=1cos 2cos 332B ππ⎛⎫-<= ⎪⎝⎭所以的取值范围是.cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭三、解答题11．（2020·山东济南市·高三开学考试）在四边形中，，是上的ABCD A C ∠=∠E AD 点且满足与相似，，，.BED ∆ABD ∆34AEB π∠=6DBE π∠=6DE =（1）求的长度；BD （2）求三角形面积的最大值.BCD【答案】（1）2）36+【分析】（1），4BED AEB ππ∠=-∠=在三角形中，，BDE sin sin DE BD DBE BED =∠∠即，6sinsin 64BD ππ=所以612=BD =（2）因为，所以，BED ABD ∆∆:C A ∠=∠=6DBE π∠=在三角形中，，BDC 2222cos 6BD DC BC DC BCπ=+-::所以，2272DCBC BC =+:所以，722DCBC BC ≥::所以，(72DCBC ≤:所以，((11sin 7218264BCD S DC BC π∆=≤⨯=::所以三角形面积的最大值为BCD 36+12．（2020·北京海淀区·人大附中高三月考）已知，(2sin ,sin cos )mx x x =-，记函数．,sin cos )n x x x =+ ()f x m n =⋅ （1）求函数取最大值时的取值集合；()f x x （2）设函数在区间是减函数，求实数的最大值．()f x ,2m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m【答案】（1） ；（2）.,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭56π【分析】（1）由题意，得，()2cos 22sin(26f x m n x x x π=⋅=-=- 当取最大值时，即，此时()f x sin(2)16x π-=22()62x k k Z πππ-=+∈所以的取值集合为．x ,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）由得3222262k x k πππππ+≤-≤+，41022266k x k ππππ+≤≤+536k x k ππππ+≤≤+所以的减区间，()f x 5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当，得是一个减区间，且1k =5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦52,36πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，5,,236m πππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以， 5(,]26m ππ∈所以的最大值为.m 56π13．（2020·宁夏固原市·固原一中高三月考（文））已知函数．()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭x ∈R（1）求的最小正周期；()f x （2）求在闭区间上的值域．()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1）；（2）.π11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由已知，有21()cos sin 2f x x x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x =⋅-1sin 2cos 2)4x x =-+，11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的最小正周期；∴()f x 22T ππ==（2）∵，，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,366x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦当，即时，取得最大值为，236x ππ-=4x π=()f x 14当，即时，取得最小值为，232x ππ-=-12x π=-()f x 12-的值域为.()f x ∴11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））在的中，角，，的对边分ABC :A B C别为，且a b c ，，sin (sin sin )sin 0a A b A B c C ++-=（1）求角；C （2）若，求的取值范围.2c =+a b 【答案】（1）；（2）.23C π=2⎛ ⎝【分析】：（1）由，及正弦定理得sin (sin sinB)sin 0a A b A c C ++-=，2220a ab b c ++-=由余弦定理得，又，所以；2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-0C π<<23C π=（2）由及，得，即，2220a ab b c ++-=2c =224a ab b ++=2()4a b ab +-=所以，所以，当且仅当221()4()4ab a b a b =+-≤+a b +≤a b ==成立，又，所以，2a b c +>=2a b <+≤所以的取值范围为.+a b 2⎛ ⎝15．（2020·黑龙江高三月考（文））在中，角，，所对的边分别为，ABC :A B C a b，，，．c sin 3sin b A B =222b c a bc +-=（1）求外接圆的面积；ABC :（2）若的周长．BC ABC :【答案】（1）；（2）9.3π【分析】解：（1）因为，又，即，所以，sin 3sin b A B =sin sin a b A B =sin sin b A a B =3a =由，得，设外接圆的半径为2221cos 22b c a A bc --==3A π=ABC :R 则，所以外接圆的面积为．12sin a R A=⋅==ABC :3π（2）设的中点为，则．因为，BC D AD =()12AD AB AC =+ 所以，()()222221127||2444AD AB AC AB AC c b bc =++⋅=++= 即，又，，则 ，2227c b bc ++=222b c a bc +-=3a =22918bc b c =⎧⎨+=⎩整理得，解得或（舍去），则．所以的周长为9．()2290b -=3b =3-3c =ABC :。
部编数学九年级上册专题05二次函数的图像和性质(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题05 二次函数的图像和性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•长沙期末）抛物线y ＝2x 2﹣4x +c 经过三点（﹣4，y 1），（﹣2，y 2），（，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 2＞y 3＞y 1B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2【思路引导】利用配方法将已知抛物线方程转化为顶点式，根据抛物线的对称性质和增减性比较大小．【完整解答】解：∵y ＝2x 2﹣4x +c ＝2（x ﹣1）2+c ﹣2．∴抛物线开口向上，对称轴是直线x ＝1．∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∵抛物线y ＝2x 2﹣4x +c 经过三点（﹣4，y 1），（﹣2，y 2），（，y 3），﹣4＜﹣2＜＜1，∴y 1＞y 2＞y 3，故选：B ．2．（2分）（2022春•长沙期末）已知二次函数y ＝（x ﹣1）2+1，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象与y 轴的交点坐标是（0，1）B ．当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小C ．当x 取0和2时，所得到的y 的值相同D ．当x ＝1时，y 有最大值是1【思路引导】在y ＝（x ﹣1）2+1中，令x ＝0得y ＝2，可判定A 不符合题意；由1＞0，对称轴直线x ＝1可判断B 不符合题意；根据当x ＝0时，y ＝2；当x ＝2时，y ＝2，可判定C 符合题意；由y ＝（x ﹣1）2+1，根据函数性质可判定D 不符合题意．【完整解答】解：令x ＝0，则y ＝（0﹣1）2+1＝2，∴二次函数y ＝（x ﹣1）2+1的图象与y 轴的交点坐标为（0，2），故A 不符合题意；∵二次函数y ＝（x ﹣1）2+1的对称轴为x ＝1，开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故B 不符合题意；当x＝0时，y＝2，当x＝2时y＝（2﹣1）2+1＝2，故C符合题意；∵二次函数y＝（x﹣1）2+1的对称轴为x＝1，开口向上，∴当x＝1时，y有最小值，故D不符合题意．故选：C．3．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线（ ）A．y＝（x+4）2+4B．y＝（x﹣4）2+4C．y＝（x+4）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【思路引导】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．【完整解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线的表达式是y＝（x+4）2+1﹣3，即y＝（x+4）2﹣2．故选：C．4．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（ ）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣3D．直线x＝3【思路引导】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．【完整解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2﹣3，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，故选：A．5．（2分）（2021秋•雨花区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（ ）A．B．C．D．【思路引导】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．【完整解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．故选：B．6．（2分）（2018秋•天心区校级期末）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（ ）A．B．C．D．【思路引导】当y＞0时，，所以可判断a＜0，可知﹣＝﹣+＝﹣，＝﹣×＝﹣，所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1进而得出解析式，找出符合要求的答案．【完整解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，所以可判断a＜0，可知﹣＝﹣+＝﹣，＝﹣×＝﹣所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1则函数y＝cx2﹣bx+a为函数y＝x2+x﹣6即y＝（x﹣2）（x+3）则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），故选：A．7．（2分）（2021秋•长沙月考）我们定义一种新函数：形如y＝|ax²+bx+c|（a≠0，b²﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x²﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4；⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（ ）A．6B．5C．4D．3【思路引导】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；⑥根据图形判断即可；逐个判断之后，可得出答案．【完整解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；⑥从图象上看，若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P，因此⑥也是正确的．故答案为：①②③④⑥．故选：B．8．（2分）（2020秋•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（ ）A．m≥B．≤m≤3C．m≥3D．1≤m≤3【思路引导】根据题意，x＝﹣≤2，≥﹣3【完整解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，，解得≤m＜3，当对称轴是y轴时，m＝3，符合题意，当对称轴在y轴的左侧时，2m﹣6＞0，解得m＞3，综上所述，满足条件的m的值为m≥．故选：A．9．（2分）（2016•长沙校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A．abc＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a+3b+c＞0D．c+8a＜0【思路引导】根据二次函数的图象求出a＜0，c＞0，根据抛物线的对称轴求出b＝﹣2a＞0，即可得出abc＜0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2﹣4ac＞0；对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数得出y＝9a+3b+c＝0；把x＝4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根据图象得出8a+c＜0．【完整解答】解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B．∵图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；D．∵当x＝3时，y＝0，∵b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，故选：D．10．（2分）（2021春•天心区期中）如图，抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是（ ）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【思路引导】①由非负数的性质，即可证得y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，即可得无论x取何值，y2总是负数；②由抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③由y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，可得随着x的增大，y1﹣y2的值减小；④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF＝CF＝DF＝EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形．【完整解答】解：①∵（x﹣2）2≥0，∴﹣（x﹣2）2≤0，∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，∴无论x取何值，y2总是负数；故①正确；②∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），∴当x＝1时，y＝﹣2，即﹣2＝a（1+1）2+2，解得：a＝﹣1；∴y1＝﹣（x+1）2+2，∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故②正确；③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小；故③错误；④设AC与DE交于点F，∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，解得：x＝﹣3或x＝1，∴点A（﹣3，﹣2），当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，解得：x＝3或x＝1，∴点C（3，﹣2），∴AF＝CF＝3，AC＝6，当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5，∴DE＝6，DF＝EF＝3，∴四边形AECD为平行四边形，∴AC＝DE，∴四边形AECD为矩形，∵AC⊥DE，∴四边形AECD为正方形．故④正确．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2019春•雨花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y＝﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是 3≤S≤15 ．【思路引导】根据坐标先求AB的长，所以△PAB的面积S的大小取决于P的纵坐标的大小，因此只要讨论当0≤m≤3时，P的纵坐标的最大值和最小值即可，根据顶点坐标D（1，4），由对称性可知：x＝1时，P的纵坐标最大，此时△PAB的面积S最大；当x＝3时，P的纵坐标最小，此时△PAB的面积S最小．【完整解答】解：∵点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0），∴AB＝3，y＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，∴顶点D（1，10），由图象得：当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，∴当x＝3时，即m＝3，P的纵坐标最小，y＝﹣2（3﹣1）2+10＝2，＝×2AB＝×2×3＝3，此时S△PAB当x＝1时，即m＝1，P的纵坐标最大是10，＝×10AB＝×10×3＝15，此时S△PAB∴当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15；故答案为：3≤S≤15．12．（2分）（2021•岳麓区开学）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有 ①③⑤ ．（填序号）【思路引导】由抛物线的对称轴为直线x＝2可得a与b的关系，从而判断①，由x＝﹣3时y＞0可判断②，由抛物线经过（﹣1，0）及a与b的关系可判断③，由抛物线对称轴及开口方向可判断④，由x＝2时y取最大值可判断⑤．【完整解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，①正确．由图象可得x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，②错误．∵抛物线经过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝a+4a+c＝5a+c＝0，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴3a+c＝5a+c﹣2a＞0，③正确．由图象可得x＜2时，y随x增大而增大，∴④错误．∵x＝2时，函数取最大值，∴4a+2b+c≥am2﹣bm+c，即4a+2b≥am2﹣bm，⑤正确．故答案为：①③⑤．13．（2分）（2020•天心区开学）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m （am+b）．其中正确的结论为 ②⑤ ．（注：只填写正确结论的序号）【思路引导】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【完整解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；②将点（﹣，0）代入函数表达式得：a﹣2b+4c＝0，故②正确，符合题意；③函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；④由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，则c＝﹣，故2c﹣3b＝＞0，故④错误，不符合题意；⑤当x＝1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意；故答案为②⑤．14．（2分）（2019秋•浏阳市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x＝﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0；⑤3a+c＞0．其中正确结论的序号是 ①④⑤ ．【思路引导】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝﹣1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．【完整解答】解：∵图象和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，∴①正确；∵从图象可知：a＞0，c＜0，﹣＝﹣1，b＝2a＞0，∴abc＜0，∴②错误；∵b＝2a＞0∴2a+b＝4a＞0，∴③错误；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴④正确；∵x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，把b＝2a代入得：3a+c＞0，选项⑤正确；故答案为①④⑤．15．（2分）（2019•雨花区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为 2 ．【思路引导】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值．【完整解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）∵点M为线段AB的中点，∴点B坐标为（4，）设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）将点P（1，）代入得＝k∴y＝（）x将点B（4，）代入得＝（）×4解得a＝2故答案为：2．16．（2分）（2021春•雨花区期末）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．【思路引导】设P（x，x2﹣2x﹣3）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣）2+．根据二次函数的性质来求最值即可．【完整解答】解：设P（x，x2﹣2x﹣3），∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，∴四边形OAPB为矩形，∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x＝﹣2x2+6x+6＝﹣2（x2﹣3x）+6，＝﹣2+．∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为．17．（2分）（2019秋•天心区校级月考）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S＝ ．△PAB【思路引导】根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解决．【完整解答】解：，解得，或，∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），∴AB＝＝3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，即点P的坐标为（0，），将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，∴△PAB的面积是：＝，故答案为：．18．（2分）（2019秋•浏阳市期中）已知抛物线y＝ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y 3），则y1、y2、y3的大小关系是 y2＜y3＜y1 ．【思路引导】把三点的坐标分别代入可求得y1、y2、y3，再比例其大小即可．【完整解答】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），∴y1＝16a﹣8a+m＝8a+m，y2＝4a﹣4a+m＝m，y3＝a+2a+m＝3a+m，∵a＞0，∴m＜3a+m＜8a+m，即y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1．19．（2分）（2017秋•开福区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是 ①②③⑤ ．【思路引导】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【完整解答】解：①由图象可知：x＝1时，y＜0，∴y＝a+b+c＜0，故①正确；②由图象可知：Δ＞0，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；③由图象可知：＜0，∴ab＞0，又∵c＝1，∴abc＞0，故③正确；④由图象可知：（0，0）关于x＝﹣1对称点为（﹣2，0）∴令x＝﹣2，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故④错误；⑤由图象可知：a＜0，c＝1，∴c﹣a＝1﹣a＞1，故⑤正确；故答案为：①②③⑤20．（2分）（2015春•长沙校级期中）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；其中正确的个数有 2 个．【思路引导】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【完整解答】解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；由图象知，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的交点坐标为（1，1）和（3，3），当x＝1时，y＝1+b+c＝1，故②错误；∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，∴3b+c+6＝0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故答案是：2．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B （3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．【思路引导】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式．【完整解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∴顶点坐标M（2，﹣1），（2）设直线CM的解析式为y＝kx+b，将C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：，∴．∴y＝﹣2x+3．22．（8分）（2021春•天心区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）求出直线l的解析式；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．【思路引导】（1）利用待定系数法即可求出直线的解析式；（2）分x在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可；（3）分a＜0、a＞0两种情况，分别求解即可．【完整解答】解：（1）把点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b中，得，解得，∴直线l的解析式为y＝x﹣；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3））①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a+1≤﹣1，∴a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即9a﹣7≥﹣3，∴a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣；抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2．23．（8分）（2020秋•长沙月考）已知抛物线y＝（2m﹣1）x2+（m+1）x+3（m为常数）．（1）若该抛物线经过点（1，m+7），求m的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m；（3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，当﹣5≤x≤3时，点P是该部分函数图象的最低点，求m的取值范围．【思路引导】（1）将点（1，m+7）代入函数解析式即可；（2）设符合题意的两点分别是（x0，y），（﹣x，﹣y），代入解析式，两式相加即可得到2（2m﹣1）x2+6＝0，根据二次函数的性质即可求得；（3）当﹣5≤x≤3时，点P是该图象的最低点，①当2m﹣1＞0时，﹣≤﹣5②当2m﹣1＜0时，﹣＞1．【完整解答】解：（1）抛物线经过点（1，m+7），∴m+7＝2m﹣1+m+1+3，∴m＝2；（2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y），（﹣x，﹣y），代入解析式可得：，∴两式相加可得：2（2m﹣1）x2+6＝0，化简得：x2＝﹣，又∵x≠0，∴﹣＞0，∴2m﹣1＜0，∴m＜，故满足条件的最大整数m＝0；（3）∵新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，∵当﹣5≤x≤3时，点P是该图象的最低点，①当2m﹣1＞0时，﹣≤﹣5，∴＜m≤，②当2m﹣1＜0时，﹣＞1，∴＜m＜；综上所述：＜m≤且m≠；24．（8分）（2017春•雨花区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【思路引导】（1）直接把A点和C点坐标代入y＝﹣x2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣，则D（，0），则利用勾股定理计算出CD＝，然后分类讨论：如图1，当CP＝CD时，利用等腰三角形的性质易得P1（，4）；当DP＝DC时，易得P2（，），P3（，﹣）；（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），则FE＝﹣x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S△BCF＝S△BEF+S△CEF＝×4×EF＝﹣x2+4x，加上S△BCD＝，所以S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+（0≤x ≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF 的面积最大，并得到此时E 点坐标．【完整解答】解：（1）把A （﹣1，0），C （0，2）代入y ＝﹣x 2+mx +n 得，解得，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +2；（2）存在．抛物线的对称轴为直线x ＝﹣＝，则D （，0），∴CD ＝＝＝，如图1，当CP ＝CD 时，则P 1（，4）；当DP ＝DC 时，则P 2（，），P 3（，﹣），综上所述，满足条件的P 点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）；（3）当y ＝0时，﹣x 2+x +2＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝4，则B （4，0），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，把B （4，0），C （0，2）代入得，解得，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +2，设E （x ，﹣x +2）（0≤x ≤4），则F （x ，﹣x 2+x +2），∴FE ＝﹣x 2+x +2﹣（﹣x +2）＝﹣x 2+2x ，∵S △BCF ＝S △BEF +S △CEF ＝×4×EF ＝2（﹣x 2+2x ）＝﹣x 2+4x ，而S △BCD ＝×2×（4﹣）＝，∴S 四边形CDBF ＝S △BCF +S △BCD＝﹣x 2+4x +（0≤x ≤4），＝﹣（x﹣2）2+当x＝2时，S有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）．四边形CDBF25．（8分）（2021秋•雨花区期末）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y 轴交于点C．（1）求线段BD的长；（2）求△ABC的面积；（3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值．【思路引导】（1）分别求出D（﹣1，0），B（3，0），则可求BD；（2）连接AO ，求出顶点坐标为（1，﹣4），C （0，﹣3），再由S △CAB ＝S △OAB +S △OCA ﹣S △OCB 即可求解；（3）连接BC 交对称轴与点P ，由题意可知B 点与D 点关于对称轴x ＝1对称，则当P 、B 、C 三点共线时，PC +PD 的值最小，求出BC ＝3即为所求．【完整解答】解：（1）当y ＝0，则0＝x 2﹣2x ﹣3，则（x ﹣3）（x +1）＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝3，∴D （﹣1，0），B （3，0），∴BD ＝4；故答案为：4．（2）连接AO ，∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x ＝0时，y ＝﹣3，∴C （0，﹣3），∴S △CAB ＝S △OAB +S △OCA ﹣S △OCB ＝×3×4+×3×1﹣×3×3＝3；故答案为：3．（3）连接BC 交对称轴与点P ，∵y ＝（x ﹣1）2﹣4，∴对称轴为直线x ＝1，∵B 点与D 点关于对称轴x ＝1对称，∴DP ＝PB ，∴PC +PD ＝PC +BP ≥BC ，∴当P 、B 、C 三点共线时，PC +PD 的值最小，∵B （3，0），C （0，﹣3），∴BC ＝3，∴PC +PD 的最小值即BC ＝．26．（10分）（2021•岳麓区开学）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的定顶抛物线．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的定顶抛物线，求p的值；（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（1，3）一次函数y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的定顶抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．【思路引导】（1）由抛物线解析式可得顶点坐标，将顶点坐标代入直线解析式求解．（2）由抛物线解析式可得顶点坐标，由抛物线顶点坐标及（1，3）可得直线解析式，进而求解．（3）由线y＝x2+2x+n可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，由抛物线与x轴两个交点间的距离为4可得抛物线与x轴交点坐标，进而可得n的值，将抛物线顶点坐标代入直线解析式可得m的值．【完整解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），∴（0，﹣4）在直线y＝﹣x+p上，∴p＝﹣4．（2）∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，∴抛物线顶点坐标为（2，11），将（2，11），（1，3）代入y＝kx+t得，解得，∴一次函数解析式为y＝8x﹣5．将x＝0代入y＝8x﹣5得y＝﹣5，将y＝0代入y＝8x﹣5得0＝8x﹣5，解得x＝，∴一次函数与坐标轴交点坐标为（0，﹣5），（，0），∴直线y＝8x﹣5与坐标轴围成的三角形面积为×＝．（3）∵y＝x2+2x+n，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∵抛物线与x轴的两个交点之间距离为4，﹣1+2＝1，﹣1﹣2＝﹣3，∴抛物线经过（1，0），（﹣5，0），将（1，0）代入y＝x2+2x+n得0＝1+2+n，解得n＝﹣3．∴y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），将（﹣1，﹣4）代入y＝mx﹣3得﹣4＝﹣m﹣3，解得m＝1．27．（12分）（2021春•长沙期末）如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B，与y轴交于点C，若OA＝OC＝2OB＝2．（1）求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式；（2）若P为线段AC上方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值；（3）如图②过点A作AD⊥BC于点D，过D作DH⊥x轴于H，若G为直线DH上的动点，N为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点M，使得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．【思路引导】（1）由已知求出A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2），再由待定系数法求解析式即可；（2）求出直线AC的解析式，再由铅锤法求出三角形△ACP面积；（3）求出直线AD的解析式，从而求出交点D的横坐标，即可求H点的坐标，设M（m，0），再由已知可确定GH和MN分别为正方形的边，则有MN＝|﹣m2+m+2|＝MH＝|m+|，求出M即可．【完整解答】解：（1）∵OA＝OC＝2OB＝2，∴A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2），将点A、B、C代入y＝ax2+bx+c中，可得，解得，∴y＝﹣x2+x+2，设BC的直线解析式为y＝kx+b，将点B、C代入可得，，解得，∴y＝2x+2；（2）设直线AC的解析式为y＝k1x+b1，将点A（2，0），C（0，2）代入可得，，解得，∴y＝﹣x+2，设P（t，﹣t2+t+2），过P点作x轴的垂线交直线AC于点Q，则Q（t，﹣t+2），∴△ACP面积＝×2×（﹣t2+t+2+t﹣2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，∴当t＝1时，△ACP面积的最大值为1；（3）存在点M得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形，理由如下：∵AD⊥BC，DH⊥x轴，∴∠DAO＝∠BCO，∵tan∠BCO＝，∴AD与y轴的交点为（0，1），∴AD直线解析式为y＝﹣x+1，联立﹣x+1＝2x+2，解得x＝﹣，∴H（﹣，0），设M（m，0），∵GH⊥x轴，以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形时，GH为正方形的边，∴MN也是正方形的边，∴N（m，﹣m2+m+2），∴MN＝|﹣m2+m+2|，MH＝|m+|，∵|﹣m2+m+2|＝|m+|，∴m＝±或m＝1±，∴M（，0）或M（﹣，0）或M（1+，0）或M（1﹣，0）。
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热点02 函数及其性质※※※※※命题趋势※※※※※纵观高中数学，函数贯穿于整个数学内容，是学生最头疼的内容，也会高考当中最能拉开分值的考点，占有的分数比重比较高.内容量比较大，近年以及之后的理科数学高考中，函数奇偶性，零点问题，恒成立问题，周期性问题以及单调性问题是高考函数中的核心.容易把具体函数与相应的性质相结合.通过列举了高考数学高频率考点，组合成了本专题，通过本函数及性质的专题的学习，让你对高中数学函数及其性质部分有充分的的理解，在以后遇到高考中的高频题型能够快速找到最佳解法.※※※※※满分技巧※※※※※图像题是高考数学中函数及其性质高考必考题型，第一种解法三步走，第一步奇偶性判定，第二步单调性的判定，第三步特殊值的带入.第二种解法：也是三步走，第一步奇偶性判定，第二步特殊值带入.第三步特殊值带入.零点问题是近几年高考常考题目，此类题目务必采用数形结合.将复杂函数分割化，从而求出对应函数的交点问题. 对于恒成立问题一般采用函数单调性的方法去做.M x f ≥)(恒成立则M 小于等于函数最小值，M x f ≤)(恒成立，则M 大于等于函数最大值，对于存在使的M x f ≤)(成立，则M 大于函数最小值.对于选择题则可以采用特殊值代入法以及图像法去简化运算.恒成立问题另外注意问题是双变量问题，双变量问题一般是指的是两个未知数相互不影响，即若)()(21x ≥gx f 恒成立，只要满足)(x f 定义域范围内最小值大于)(x g 最大值即可.分段函数单调性问题是简单题目也是最容易出错的问题，一般容易遗漏边界点.采用特殊值代入法时应采用多次带入方不会出错.函数及其性质一般会放在选择题的最后四题左右，相对来说比较难，在常规方法的同时应注意特殊点代入，抽象函数具体化.，数形结合思想，化归思想.※※※※※真题体验※※※※※1．（2020•海南）已知函数f （x ）＝lg （x 2﹣4x ﹣5）在（a ，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．（5，+∞） D ．[5，+∞）【答案】D【解析】由x 2﹣4x ﹣5＞0，得x ＜﹣1或x ＞5．令t ＝x 2﹣4x ﹣5，∵外层函数y ＝lgt 是其定义域内的增函数， ∴要使函数f （x ）＝lg （x 2﹣4x ﹣5）在（a ，+∞）上单调递增， 则需内层函数t ＝x 2﹣4x ﹣5在（a ，+∞）上单调递增且恒大于0，则（a ，+∞）⊆（5，+∞），即a ≥5．∴a 的取值范围是[5，+∞）．故选：D ． 2．（2020•新课标Ⅰ）设a log 34＝2，则4﹣a ＝（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B【解析】因为a log 34＝2，则log 34a ＝2，则4a ＝32＝9则4﹣a =1a =19，故选：B ． 3．（2020•天津）设a ＝30.7，b ＝（13）﹣0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】D【解析】a ＝30.7，b ＝（13）﹣0.8＝30.8，则b ＞a ＞1，log 0.70.8＜log 0.70.7＝1，∴c ＜a ＜b ，故选：D ．4．（2020•新课标Ⅲ）设a ＝log 32，b ＝log 53，c =23，则（ ） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b【答案】A【解析】∵a ＝log 32=log 3√83＜log 3√93=23，b ＝log 53=log 5√273＞log 5√253=23，c =23，∴a ＜c ＜b ．故选：A ． 5．（2020•山东）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均 人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I （t ）＝e rt 描述累 计感染病例数I （t ）随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1+rT ．有学者基于已有 数据估计出R 0＝3.28，T ＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ ）（ln 2 ≈0.69） A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天【答案】B【解析】把R 0＝3.28，T ＝6代入R 0＝1+rT ，可得r ＝0.38，∴I （t ）＝e 0.38t ，当t ＝0时，I （0）＝1，则e 0.38t ＝2，两边取对数得0.38t ＝ln 2，解得t =ln20.38≈1.8．故选：B ． 6．（2020•新课标Ⅱ）设函数f （x ）＝x 3−1x 3，则f （x ）（ ） A ．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增 B ．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减 C ．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增 D ．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减 【答案】A【解析】因为f （x ）＝x 3−1x 3，则f （﹣x ）＝﹣x 3+1x 3=−f （x ），即f （x ）为奇函数，根据幂函数的性质可知，y ＝x 3在（0，+∞）为增函数，故y 1=1x 3在（0，+∞）为减函数，y 2=−1x 3在（0，+∞）为增函数，所以当x ＞0时，f （x ）＝x 3−1x 3单调递增，故选：A ． 7．（2020•新课标Ⅱ）若2x ﹣2y ＜3﹣x ﹣3﹣y ，则（ ） A ．ln （y ﹣x +1）＞0 B ．ln （y ﹣x +1）＜0 C ．ln |x ﹣y |＞0D ．ln |x ﹣y |＜0【答案】A【解析】方法一：由2x ﹣2y ＜3﹣x ﹣3﹣y ，可得2x ﹣3﹣x ＜2y ﹣3﹣y ， 令f （x ）＝2x ﹣3﹣x ，则f （x ）在R 上单调递增，且f （x ）＜f （y ）， 所以x ＜y ，即y ﹣x ＞0，由于y ﹣x +1＞1， 故ln （y ﹣x +1）＞ln 1＝0．方法二：取x ＝﹣1，y ＝0，满足2x ﹣2y ＜3﹣x ﹣3﹣y ，此时ln （y ﹣x +1）＝ln 2＞0，ln |x ﹣y |＝ln 1＝0，可排除BCD ．故选：A ． 8．（2020•新课标Ⅱ）设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（ ） A ．是偶函数，且在（12，+∞）单调递增B ．是奇函数，且在（−12，12）单调递减C ．是偶函数，且在（﹣∞，−12）单调递增 D ．是奇函数，且在（﹣∞，−12）单调递减 【答案】D【解析】由{2x +1≠02x −1≠0，得x ≠±12．又f （﹣x ）＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣（ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|）＝﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数；由f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|=ln |2x+1||2x−1|=ln|2x+12x−1|， ∵2x+12x−1=2x−1+22x−1=1+22x−1=1+22(x−12)=1+1x−12． 可得内层函数t ＝|2x+12x−1|的图象如图，在（﹣∞，−12）上单调递减，在（−12，12）上单调递增， 则（12，+∞）上单调递减．又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（﹣∞，−12）上单调递减．故选：D ．9．（2020•山东）若定义在R 的奇函数f （x ）在（﹣∞，0）单调递减，且f （2）＝0，则满足xf （x ﹣1）≥0的x 的 取值范围是（ ）A ．[﹣1，1]∪[3，+∞）B ．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C ．[﹣1，0]∪[1，+∞）D ．[﹣1，0]∪[1，3]【答案】D【解析】∵定义在R 的奇函数f （x ）在（﹣∞，0）单调递减，且f （2）＝0，f （x ）的大致图象如图：∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减，且f （﹣2）＝0；故f （﹣1）＜0； 当x ＝0时，不等式xf （x ﹣1）≥0成立， 当x ＝1时，不等式xf （x ﹣1）≥0成立，当x ﹣1＝2或x ﹣1＝﹣2时，即x ＝3或x ＝﹣1时，不等式xf （x ﹣1）≥0成立， 当x ＞0时，不等式xf （x ﹣1）≥0等价为f （x ﹣1）≥0， 此时{x ＞00＜x −1≤2，此时1＜x ≤3，当x ＜0时，不等式xf （x ﹣1）≥0等价为f （x ﹣1）≤0， 即{x ＜0−2≤x −1＜0，得﹣1≤x ＜0， 综上﹣1≤x ≤0或1≤x ≤3，即实数x 的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，故选：D ．10．（2020•新课标Ⅲ）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区 新冠肺炎累计确诊病例数I （t ）（t 的单位：天）的Logistic 模型：I （t ）=K 1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I （t *）＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ ）（ln 19≈3） A ．60 B ．63 C ．66 D ．69【答案】C【解析】由已知可得K 1+e −0.23(t−53)=0.95K ，解得e﹣0.23（t ﹣53）=119，两边取对数有﹣0.23（t ﹣53）＝﹣ln 19，解得t ≈66，故选：C ．11．（2020•新课标Ⅲ）已知55＜84，134＜85．设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】A【解析】由34log 55=34log 88，∵log 5534＞log 53，而log 8834＜log 85∴log 53＜log 85，即a ＜b ；∵55＜84，∴5＜4log 58，∴log 58＞1.25，∴b ＝log 85＜0.8； ∵134＜85，∴4＜5log 138，∴c ＝log 138＞0.8，∴c ＞b ，综上，c ＞b ＞a ．故选：A ． 12．（2020•新课标Ⅰ）若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（ ） A ．a ＞2b B ．a ＜2bC ．a ＞b 2D ．a ＜b 2【答案】B【解析】因为2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ；因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +log 2b +1即2a +log 2a ＜22b +log 22b ；令f （x ）＝2x +log 2x ，由指对数函数的单调性可得f （x ）在（0，+∞）内单调递增； 且f （a ）＜f （2b ）⇒a ＜2b ；故选：B ．13．（2020•天津）已知函数f （x ）={x 3，x ≥0，−x ，x ＜0．若函数g （x ）＝f （x ）﹣|kx 2﹣2x |（k ∈R ）恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，−12）∪（2√2，+∞） B ．（﹣∞，−12）∪（0，2√2） C ．（﹣∞，0）∪（0，2√2） D ．（﹣∞，0）∪（2√2，+∞）【答案】【解析】若函数g （x ）＝f （x ）﹣|kx 2﹣2x |（k ∈R ）恰有4个零点， 则f （x ）＝|kx 2﹣2x |有四个根，即y ＝f （x ）与y ＝h （x ）＝|kx 2﹣2x |有四个交点， 当k ＝0时，y ＝f （x ）与y ＝|﹣2x |＝2|x |图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，当k ＜0时，y ＝|kx 2﹣2x |与x 轴交于两点x 1＝0，x 2=2k （x 2＜x 1） 图象如图所示，当x =1k时，函数y ＝|kx 2﹣2x |的函数值为−1k， 当x =1k时，函数y ＝﹣x 的函数值为−1k， 所以两图象有4个交点，符合题意，当k ＞0时，y ＝|kx 2﹣2x |与x 轴交于两点x 1＝0，x 2=2k（x 2＞x 1） 在[0，2k ）内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y ＝x 3与y ＝kx 2﹣2x 在（2k，+∞）还有两个交点，即可，即x 3＝kx 2﹣2x 在（2k，+∞）还有两个根，即k ＝x +2x在（2k，+∞）还有两个根，函数y ＝x +2x≥2√2，（当且仅当x =√2时，取等号）， 所以0＜2k＜√2，且k ＞2√2，所以k ＞2√2，综上所述，k 的取值范围为（﹣∞，0）∪（2√2，+∞）．故选：D ． 二．填空题（共2小题）14．（2020•北京）函数f （x ）=1x+1+lnx 的定义域是 ．【答案】{x |x ＞0}【解析】要使函数有意义，则{x +1≠0x ＞0，所以{x ≠−1x ＞0，所以x ＞0，所以函数的定义域为{x |x ＞0}，故答案为：{x |x ＞0}．15．（2020•江苏）已知y ＝f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 23，则f （﹣8）的值是 ．【答案】-4【解析】y ＝f （x ）是奇函数，可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），当x ≥0时，f （x ）＝x 23， 可得f （8）＝823=4，则f （﹣8）＝﹣f （8）＝﹣4，故答案为：﹣4．※※※※※闯关检测※※※※※姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题（每小题5分，共40分）1．（2019·陕西高三一模（文））若函数332,0()2,0x log x x f x x +->⎧=⎨<⎩，则()()3f f -=（ ） A ．3- B ．2-C ．1-D ．0【答案】B【解析】根据题意，函数332,0()2,0x log x x f x x +->⎧=⎨<⎩，则33(3)21f --==， 所以()()33(1)log 122ff f -==-=-.故选B ．2．（2018·江西南昌·高三三模（文））已知函数2(1)()ln (1)x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，那么函数()f x 的值域为（ ）A ．[)(,1)0,-∞-⋃+∞B ．()(,1]0,-∞-⋃+∞C ．[)1,0-D ．R【答案】B【解析】()y 21x x =-≤的值域为(,1]-∞-，y=ln (1)x x >的值域为：(0,)+∞故函数()f x 的值域为(](),10,-∞-⋃+∞，选B3．（2019·山东滕州市第一中学新校）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax+=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( ) A ．2 B ．-2C ．2019D ．-2019【答案】B【解析】因为2sin cos ()x x x f x ax +=，所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-.故选B4．（2019·江西一模（文））若函数ln ,1()1,1x x f x ax x ≥⎧=⎨-<⎩在R 上为单调递增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．[1,)+∞C ．[1,0)-D ．(,1)-∞-【答案】【解析】函数ln ,1()1,1x x f x ax x ≥⎧=⎨-<⎩在R 上为单调递增函数，需010a a >⎧⎨-≤⎩，解得01a <≤.故选:A.5．（2020·天津南开中学高三月考）函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】函数f （x ）＝lnx 2x 6+-在其定义域上连续， f （2）＝ln 2+2•2﹣6＝ln2﹣2＜0， f （3）＝ln3+2•3﹣6＝ln3＞0；故函数()f x lnx 2x 6=+-的零点在区间（2，3）上，故选B ． 6．（2019·湖南长沙一中高三月考（理））函数()ln 11x f x x -=-的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】令12x =，则1ln1122ln 201212f -⎛⎫==> ⎪⎝⎭-，排除B 、C ；()()ln 21ln 1ln 122111x x x f x f x x x x -----===-=-----，即()()20f x f x -+=，故函数图像关于()1,0成中心对称图形，故选：A7．（2020·渝中·重庆巴蜀中学其他）交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”．该办法已于2020年4月开始施行．通常我们以分贝()dB 为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为v 的声音对应的分贝数为()f v dB ，那么满足：()1210lg110vf v -=⨯⨯．若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到90dB ，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ）． A ．40 B ．100 C ．40000 D ．10000【答案】D 【解析】由公式()1210lg110v f v -=⨯⨯可知，911210110v -=⨯，521210110v -=⨯，所以1210000v v =，故选：D ． 8．（2020·黑龙江实验中学高三其他（文））若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立,故()()2f x f x -=+，又()f x 为偶函数， 所以()()2f x f x =+，2T =，且当10x -≤≤时，()()()221122f x x x x =-+=-，设()293log log h x x x ==，则()h x 为偶函数，求方程()29log f x x =根的个数转化为求()f x 与()g x 的交点个数，画出当0x >时()y f x =与()y g x =的图像，如图：可知两图像有8个交点，又()f x 与()g x 都为偶函数，所以()f x 与()g x 有16个交点，即方程()29log f x x =根的个数为16.故选：D.二、多选题9．若函数()f x 的图像在R 上连续不断，且满足()00f <，()10f >，()20f >，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 在区间()0,1上一定有零点，在区间()1,2上一定没有零点 B ．()f x 在区间()0,1上一定没有零点，在区间()1,2上一定有零点 C ．()f x 在区间()0,1上一定有零点，在区间()1,2上可能有零点 D ．()f x 在区间()0,1上可能有零点，在区间()1,2上一定有零点 【答案】ABD【解析】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点，又()()120f f ⋅>， 因此无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点.故选ABD .10．（2020·江苏省太湖高级中学高一月考）某工厂八年来产品累积产量C (即前t 年年产量之和)与时间t (年)的函数如图，下列四种说法中正确的是（ ）A ．前三年中，产量增长的速度越来越快B ．前三年中，产量增长的速度越来越慢C ．第三年后，这种产品停止生产D ．第三年后，年产量保持不变【答案】BC 【解析】 由函数图象可知,在区间[0，3]上，图象凸起上升的，表明年产量增长速度越来越慢；在区间(3，8]上，如果图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0.B 、C 正确故选：BC11．（2020·辽宁高一月考）（多选）对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数()[]f x x x =-，则下列命题中正确的是（ ）A ．()()3.9 4.1f f -=B ．函数()f x 的最大值为1C ．函数()f x 的最小值为0D ．方程()102f x -=有无数个根 【答案】ACD【解析】( 3.9)( 3.9)[ 3.9] 3.9(4)0.1f -=---=---=，(4.1) 4.1[4.1] 4.140.1f =-=-=，A 正确；显然[]1x x x -<≤，因此0[]1x x ≤-<，∴()f x 无最大值，但有最小值且最小值为0．B 错，C 正确；方程1()02f x -=的解为1()2x k k Z =+∈，D 正确．故选ACD. 12．（2020·湖北武汉·高二期末）定义域和值域均为[,]a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0,0a b a c >>>>，给出下列四个结论正确结论的是（ ）A ．方程[()]0f g x =有且仅有三个解B ．方程[()]0g f x =有且仅有三个解C ．方程[()]0g g x =有且仅有一个解D ．方程[()]0f f x =有且仅有九个解【答案】AC 【解析】根据函数的图象，函数()f x 的图象与x 轴有3个交点，所以：方程[()]0f g x =有且仅有三个解；函数()g x 在区间上单调递减，所以：方程[()]0g g x =有且仅有一个解．对于D ：方程[()]0f f x =，即()f x b =-或()0f x =，或()f x b =，因为()0f x =有三个解，当b c >时()f x b =或()f x b =-只有一个解，故[()]0f f x =有5个解，故D 错误； 对于B ：方程[()]0g f x =，即()f x b =，当b c >时()f x b =只有一个解，故[()]0g f x =只有1个解，故B 错误； 故选：AC ．三、填空题13．（2020·1225lg 5lg 20++=______；【答案】9()()1122225lg5lg 205+lg5+lg 45++=⨯252lg5lg 47+2lg52lg 2=+++=+()72lg2lg59=++=，故答案为：9.14．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学期中）函数13x y a +=-(0a >，且1a ≠)的图象一定经过的点是___________【答案】()1,2--【解析】令10x +=，求得1x =-且2y =-，故函数13x y a +=-的图象恒过一定点()1,2--，故答案为：()1,2--．15．（2020·安徽马鞍山二中月考）若定义在R 上的奇函数()f x 单调递减，则不等式()2(21)40f x f x ++->的解集为________．【答案】(3,1)-【解析】()f x 是R 上的奇函数，且单调递减；∴由2(21)(4)0f x f x ++->得：2(21)(4)f x f x +>-；2214x x ∴+<-；解得31x -<<；∴原不等式的解集为(3,1)-．故答案为：(3,1)-．16．（2020·浙江高三其他）已知()21,12,1x x f x x x a x -≤⎧=⎨-+>⎩若1a =，且()4f m =，则m =________；若对任意的0t >，直线y t =与函数()y f x =的图像都有两个交点，则实数a 的取值范围是________．【答案】3或3- (],1-∞【解析】当1a =时，由()4f m =得，当1m 时，14m -=，解得3m =-；当1m 时，2214m m -+=，解得3m =，或3m =-（舍去）；画出函数()21,12,1x x f x x x a x -≤⎧=⎨-+>⎩()21,111,1x x x a x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩的图象如图，∵对任意的0t >，直线y t =与函数()y f x =的图像都有两个交点， ∴由图可知，10a -≤，解得1a ≤；故答案为：3或3-；(],1-∞．。