计量第3章(7节)非线性回归实例

非线性回归实例

例1：此模型用来评价台湾农业生产效率。用台湾1958-1972年农业生产总值（Y t ），劳动力（X 1t ），资本投入（X 2t ）数据为样本得到估计模型：

= -3.4 + 1.50 LnX 1t + 0.49 LnX 2t

(2.78) (4.80) R 2 = 0.89, F = 48.45

还原后得，

= 0.713X 1t 1.50 X 2t 0.49

因为1.50 + 0.49 = 1.99，所以，此生产函数属规模报酬递增函数。当劳动力和资本投入都增加1%时，产出增加近2%。

例2：用天津市工业生产总值（Y t ），职工人数（L t ），固定资产净值与流动资产平均余额（K t ）数据 (1949-1997年) 为样本得估计模型如下：

Ln Y t = 0.7272 + 0.2587 Ln L t + 0.6986 LnK t

(3.12) (3.08) (18.75)

R 2 = 0.98, s.e. = 0.17, DW = 0.42, F = 1381.4

因为0.2587 + 0.6986 = 0.9573，所以此生产函数基本属于规模报酬不变函数。

例3： 中国铅笔需求预测模型

中国从上个世纪30年代开始生产铅笔。1985年全国有22个厂家生产铅笔。产量居世界首位（33.9亿支），占世界总产量的1/3。改革开放以后，铅笔生产增长极为迅速。1979-1983年平均年增长率为8.5%。铅笔销售量时间序列见图1。1961-1964年的销售量平稳状态是受到了经济收缩的影响。文革期间销售量出现两次下降，是受到了当时政治因素的影响。1969-1972年的增长是由于一度中断了的中小学教育逐步恢复的结果。1977-1978年的增长是由于高考正式恢复的结果。1981年中国开始生产自动铅笔，对传统铅笔市场冲击很大。1979-1985年的缓慢增长是受到了自动铅笔上市的影响。

初始确定的影响铅笔销量的因素有全国人口、各类在校人数、设计

人员数、居民消费水平、社会总产值、自动铅笔产量、价格因素、原材料供给量、政策因素等。经过多次筛选、组合和逐步回归分析，最后确定的被解释变量是Y t（铅笔年销售量，千万支）；解释变量分别

是X t1（自动铅笔年产量，百万支）；X t2（全国人口数，百万

人）；X t3（居民年均消费水平，元）；X t4（政策变量）。因政策因素影响铅笔销量出现大幅下降时，政策变量取负值。例如1967、1968年的X t4值取-2，1966、1969-1971、1974-1977年的X t4值取-1）。

由图2知中国自生产自动铅笔起，自动铅笔产量与铅笔销量存在线性关系。由图3知全国人口与铅笔销量存在线性关系。说明人口越多，对铅笔的需求就越大。由图4知居民年均消费水平与铅笔销量存在近似对数的关系。散点图说明居民年均消费水平越高，则铅笔销量就越大。但这种增加随着居民消费水平的增加变得越来越缓慢。图5显示政策变量与铅笔销量也呈线性关系。

图1 铅笔销售量时间序列（1961-1985）

图2 Y, X1散点图图3 Y, X2散点图

图4 Y, X3散点图图5 Y, X4散点图

基于上述分析建立的模型形式是

Y t = 0 + 1 X t 1 + 2X t 2 + 3Ln (X t 3) + 4 X t 4 + u t (1)

Y t与X t 3呈非线性关系。估计结果如下。

= -907.94 - 2.95 X t 1 + 0.31 X t 2 + 170.19 Ln X t 3 + 45.51 X t 4 (2) (-6.4) (-3.7) (4.8) (4.4) (12.6)

R 2 = 0.9885, DW = 2.09, F = 429, s.e. = 10.34

上式说明，在上述期间自动铅笔年产量每增加1百万支，平均使铅笔的年销售量减少2950万支。全国人口数每增加1百万人，平均使铅笔的年销售量增加310万支。对数的居民年均消费水平每增加1个单位，平均使铅笔的年销售量增加17亿支。一般性政策负面变动使铅笔的年销售量减少4.551亿支。

当Y t对所有变量都进行线性回归时（见下式），显然估计结果不如(2)式好。

= -254.26 - 3.29 X t 1 + 0.42 X t 2 + 0.66 X t 3 + 40.74 X t 4 (3)

(-12.0) (-3.0) (8.6) (3.5) (11.7)

R 2 = 0.9857, DW = 1.77, F = 346, s.e. = 11.5

例4：厦门市贷款总额与GDP的关系分析（1990~2003年）

数据和散点图如下。从散点图看，用多项式方程拟合比较合理。

Loan t = 0 +1 GDP t + 2 GDP t 2 + 3 GDP t3 + u t

= -24.5932 +1.6354GDP t - 0.0026GDP t 2 + 0.0000027GDP t 3

t

(-2.0) (11.3) (-6.3) (7.9)

R2=0.9986, DW=2.6，F = 2463.275, s.e. =9.9883