计量第3章(7节)非线性回归实例
(整理版)非线性回归问题
非线性回归问题两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。
分析非线性回归问题的具体做法是：〔1〕假设问题中已给出经验公式，这时可以将变量x 进行置换〔换元〕，将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决． 〔2〕假设问题中没有给出经验公式，需要我们画出数据的散点图，通过与各种函数〔如指数函数、对数函数、幂函数等〕的图象作比拟，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，将问题化为线性回归分析问题来解决． 下面举例说明非线性回归分析问题的解法．例1 在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式e b xy A =〔b <0〕表示，现测得实验数据如下：试求对的回归方程．分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为eb xy A =〔b <0〕类型，我们只要通过所给的11对样本数据求出A 和b ，即可确定x 与y 的相关关系的曲线方程．解：由题意可知，对于给定的公式e bxy A =〔b <0〕两边取自然对数，得ln ln b y A x=+． 与线性回归方程对照可以看出，只要取1u x=，ln v y =，ln a A =，就有v a bu =+，这是v 对u 的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b 和a ． 题目中所给数据由变量置换1u =，ln v y =变为如表所示的数据：由于｜r ｜=0.998>0.602，可知u 与v 具有很强的线性相关关系． 再求得0.146b =-，0.548a =，∴v =0.5480.146u -，把u 和v 置换回来可得0.146ln 0.548y x=-， ∴0.1460.1460.1460.5480.548e1.73xxxy eee---===，∴回归曲线方程为0.1461.73exy -=．点评：解决此题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤．例2 为了研究某种细菌随时间x 变化的繁殖个数，收集数据如下：天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y612254995190〔1〕作出这些数据的散点图； 〔2〕求出y 对x 的回归方程． 解析：〔1〕作出散点图如图1所示．〔2〕由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线e bxy c =〔c ＞0〕的周围，那么ln ln y bx c =+．令ln ln z y a c ==，，那么z bx a =+．x1 2 3 4 5 6 z相应的散点图如图2． 从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．由表中数据得到线性回归方程为0.69 1.115z x =+．因此 细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程为0.69 1.115e x y +=．点评：通过作散点图看出，此题是一个非线性回归问题，通过变量置换转化为线性回归问题求解的．值得注意的是，此题的数据与回归曲线是拟合得相当好的，这说明确定性关系〔如公式、函数关系式〕和相关关系之间并没有一条不可逾越的鸿沟．由于有实验误差、测量误差等存在，变量之间确实定性关系往往通过相关关系表现出来；反过来，在有些问题中，可以研究相关关系来深入了解变量变化的内在规律，从而找到它们确实定性关系．。
非线性回归实例
非线性回归实例例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为),,(01P P X f Q = （3.5.13）其中，Q 为居民对食品的需求量，X 为消费者的消费支出总额、1P 为食品价格指数，0P 为居民消费价格总指数。
引入居民消费价格总指数0P 的原因，主要在于研究居民其他消费对食品的替代性。
需求理论同时指出，上述需求函数应具有零阶齐次性，即当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变，这就是所谓的消费者无货币幻觉。
按照需求函数的这一特征，（3.5.13）式可写为 )/,/(010P P P X f Q = （3.5.14） （3.5.14）式表明，居民对食品的消费需求，取决于居民的实际消费总支出0/P X 以及食品的相对价格01/P P 。
显然，该式具有零阶齐次性。
为了进行比较，我们将同时估计（3.5.13）式与（3.5.14）式。
首先确定具体的函数形式。
根据恩格尔定律，随着居民消费支出的增加，居民对食品的消费支出也增加，但食品消费支出比例会逐渐下降。
因此，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数的变化关系。
同时，为了方便考察需求的价格弹性等相关问题，将（3.5.13）式具体写为32101βββP P AX Q = （3.5.15）经对数变换，（3.5.15）式可用如下双对数线性回归模型进行估计：μββββ++++=031210ln ln ln )ln(P P X Q （3.5.16） 式中，A ln 0=β。
同样地，（3.5.14）式可用如下线性回归模型进行估计： μβββ+++=)/ln()/ln()ln(012010P P P X Q （3.5.17）采用双对数线性回归模型，能够方便地考察需求函数中零阶齐次性的特征。
显然，对（3.5.16）式施加0321=++βββ的约束，即可化为（3.5.17）式。
因此，对（3.5.17）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。
3第三章 多元线性回归模型及非线性回归模型new
各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负） 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？ 所得到的数量结论是否可靠？ 中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的 产业政策？ 很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。
注意
ˆ 是向量 (i 1, 2, n) β ( j 1, 2, n)
(由无偏性) (由OLS估计式)
ˆ β)( β ˆ β )] E[( β
E[( X X )1 X uuX ( X X )1 ] ( X X )1 X E(uu) X ( X X )1 ( X X )1 X 2 IX ( X X )1
计量经济学
第三章 多元线性回归模型
引子:中国已成为世界汽车产销第一大国
2009年，为应对国际金融危机、确保经济平稳较快增长， 国家出台了一系列促进汽车消费的政策，有效刺激了汽车消费市 场，汽车产销呈高增长态势，首次成为世界汽车产销第一大国。 2009年，汽车产销分别为1379.1万辆和1364.5万辆，同比增长
c c12 11 c21 c22 ck 1 ck 2
c1k c2 k ckk
所以
ˆ ~ N ( , c ) j j
中第 j 行第 j 列的元素） 2 （j=1,2,---k） jj
19
ˆ 的方差-协方差 β
ˆ ) E{[ β ˆ E( β ˆ )][ β ˆ E( β ˆ )]} COV ( β
因为样本回归函数为 两边左乘 X
X
e
0
ˆ +e Y = Xβ
ˆ + X e X Y = X Xβ
第三章非线性回归分析-PPT文档资料
图 3.9
y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + b 3 x t3 + u t
图 3.10
y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + b 3 x t3 + u t
另一种多项式方程的表达形式是 y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + u t (3.14) 其中 b1>0, b2>0 和 b1<0, b2<0 情形的图形分别见图 3.11 和 3.12。令 xt 1 = xt， x t 2 = xt 2，上 式线性化为， y t = b 0 + b 1 x t1 + b 2 x t2 + u t (3.15) 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图 3.11 相似。
t t
k Lnb 估参数。曲线有拐点，坐标为（ a 2 ,
） ，曲线的上下两部分对称于拐点。
be
图 3 .1 3 y t = k / (1 +
at u t
)
图 3 .1 4
b >0 情 形 的 图 形 见 图 3.7 。 x t 和 y t 的 关 系 是 非 线 性 的 。 令 y t* = 1/ y t, x t* = 1/ x t， 得
图 3.7
y t = 1/ ( a + b / x t ),
( b > 0)
图 3.8
y t = a + b /x t ,
(xt b 图 3 .6
e ut
yt = a xt b
⑷ 双曲线函数模型 1/ y t = a + b / x t + u t 也可写成， y t = 1/ ( a + b / x t + u t) y t* = a + b x t* + u t 已 变 换 为 线 性 回 归 模 型 。 其 中 ut 表 示 随 机 误 差 项 。 (3.9) (3.10)
题目什么是非线性回归模型请给出一个非线性回归模型的例子
题目什么是非线性回归模型请给出一个非线性回归模型的例子什么是非线性回归模型？非线性回归模型是一种用于建立自变量和因变量之间非线性关系的统计模型。
在线性回归模型中，假设因变量与自变量之间存在一个线性关系，并基于此来进行预测和分析。
然而，在现实世界中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出曲线、指数或其他非线性形式。
因此，非线性回归模型通过引入非线性项来更准确地拟合实际数据并预测未知结果。
非线性回归模型的例子：以物理学领域的自由落体运动为例，我们可以使用非线性回归模型来分析自由落体运动中的速度与时间之间的关系。
在自由落体运动中，当质点从高处自由下落时，它的速度会逐渐增加。
根据牛顿第二定律，质点的加速度与作用力成正比，而作用力与质量成正比。
因此，在不考虑阻力的情况下，可以推导出自由落体运动的速度与时间之间的关系如下：v = g * t其中，v 表示速度，g 为重力加速度，t 为时间。
然而，在实际情况中，考虑到阻力的存在，自由落体运动并非完全符合这个简单的线性关系。
当速度增大时，阻力会逐渐增大，使得加速度减小。
因此，我们需要引入非线性项来更准确地描述速度与时间的关系。
一个常用的非线性回归模型是二次回归模型。
它可以表示为：v = a * t^2 + b * t + c其中，a、b、c 为待估计的参数。
通过收集自由落体运动的实验数据，我们可以利用最小二乘法来估计参数a、b、c 的值，从而建立起速度与时间之间的非线性回归模型。
在实际应用中，非线性回归模型广泛用于各个领域，如生物学、经济学、社会科学等。
它可以更准确地描述和预测自变量和因变量之间的复杂关系，为决策和研究提供重要支持。
总结：非线性回归模型是一种用于建立自变量和因变量之间非线性关系的统计模型。
通过引入非线性项，它能更准确地拟合实际数据，并提供更准确的预测和分析结果。
以自由落体运动为例，我们可以使用二次回归模型来分析速度与时间之间的关系。
非线性回归
因变量
定义非线性回归模型 的表达式 候选函数列框
点Parameters,定义参数的初始值 连续使用非线性回归模型时，是否以上次模型 的参数拟合值作为本次模型的迭代初值。
点Loss,出现下列窗口,用来定义回归模型的损失函数
采用均方误差和作为损失函数
用户自定义损失函数
点Constrains,出现下列窗口,用来定义模型中迭代参数的限 制条件。
Yi 19.027e
3.486 e0.042 X i
• 此表是各参数的相关系数矩阵。各参数之间的相关系数还 是比较大的。
• 此表是模型的显著性检验结果，采用的是方差分析的方法， 拟合度为0.977，比较高。
非线性回归
1、模型简介
在回归分析中，很多模型的回归参数是线性的，即线性回 归模型，有些模型虽然不是线性的，但却可以通过转换为线 性的参数，即曲线回归模型。但有些模型无论怎么转换都不 能变为线性模型，把这类模型称为非线性回归模型。
设因变量为y,自变量为x1 ,, xm , 进行n次观测，则非线性回归模型写 成矩阵形式Y = f(X, )+e, 其中Y 是一个n 1的观测值向量， 是一个 p 1的回归参数向量，X 是一个n m的自变量常数矩阵。 是一个n 1 的独立状态随机向量，服从多元正态分布。
用最小二乘法估计模型的参数，损失函数为Q [Y f ( )][Y f ( )] 求损失函数的最小值，得到模型参数的估计值，由于这组解很难解出来， 只能通过迭代法求出其近似解。通过[Nonlinear]过程实现，也可以自己定 义各类损失函数。
2、Nonlinear过程的操作界面 点analyze—regression---nonlinear
对参数不做任何限制
非线性回归例题
例：下表给出了某地区1971—2000年的人口数据（表1）。
试用Matlab软件，对该地区的人口变化进行曲线拟合。
表1 某地区人口变化数据年份时间变量t=年份-1970人口y(人)1971 1 33 815 1972 2 33 981 1973 3 34 004 1974 4 34 165 1975 5 34 212 1976 6 34 327 1977 7 34 344 1978 8 34 458 1979 9 34 498 1980 10 34 476 1981 11 34 483 1982 12 34 488 1983 13 34 5131984 14 34 497 1985 15 34 511 1986 16 34 520 1987 17 34 507 1988 18 34 509 1989 19 34 521 1990 20 34 513 1991 21 34 515 1992 22 34 517 1993 23 34 519 1994 24 34 519 1995 25 34 521 1996 26 34 521 1997 27 34 523 1998 28 34 525 1999 29 34 525 2000 30 34 527根据上表中的数据，做出散点图，见图1。
337003380033900340003410034200343003440034500346001970197219741976197819801982198419861988199019921994199619982000年份人口从图1可以看出，人口随时间的变化呈非线性过程，而且存在一个与横坐标轴平行的渐近线，故可以用Logistic 曲线模型进行拟合。
因为Logistic 曲线模型的基本形式为：tbea y -+=1Matlab 程序如下： people_model.mx=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30]; y=[33815 33981 34004 34165 34212 34327 34344 34458 34498 34476 34483 34488 34513 34497 34511 34520 34507 34509 34521 34513 3451534517 34519 34519 34521 34521 34523 34525 34525 34527];b0=[0.0001 0.00001];[beta,r,j] = nlinfit(x,y,@people_fun,b0)people_fun.mfunction yy = people_fun(beta,x)yy = 1 ./ (beta(1) + beta(2) * exp(-x));运行结果： beta =1.0e-004 *0.2902 0.0184 回归函数为：tey -+=00000184.000002902.01在command 窗口输入：>> plot(x,people_fun(beta,x))注：本题也可以考虑转化为线性模型处理。
非线性回归分析(教案)
非线性回归分析(教案)第一章：非线性回归分析简介1.1 非线性回归的定义与意义1.2 非线性回归与线性回归的比较1.3 非线性回归分析的应用领域1.4 本章概要第二章：非线性模型的选择2.1 常见非线性模型介绍2.2 模型选择的方法与原则2.3 利用软件选择非线性模型2.4 本章概要第三章：非线性回归的计算方法3.1 数值解法简介3.2 梯度下降法3.3 牛顿法3.4 拟牛顿法3.5 本章概要第四章：非线性回归的参数估计与检验4.1 参数估计的原理与方法4.2 参数估计的算法实现4.3 参数检验的方法与准则4.4 模型诊断与改进4.5 本章概要第五章：非线性回归在实际问题中的应用5.1 实例一：人口增长模型5.2 实例二：药物动力学模型5.3 实例三：经济预测模型5.4 实例四：生物医学信号处理模型5.5 本章概要第六章：非线性回归软件的使用6.1 常见非线性回归软件介绍6.2 非线性回归软件的使用方法6.3 利用软件进行非线性回归分析的步骤6.4 本章概要第七章：非线性回归在生物学中的应用7.1 生物学中常见非线性模型介绍7.2 非线性回归在生物学研究中的应用案例7.3 生物学数据处理与非线性回归分析7.4 本章概要第八章：非线性回归在经济与管理科学中的应用8.1 经济与管理科学中的非线性模型介绍8.2 非线性回归在经济预测中的应用案例8.3 非线性回归在管理决策中的应用案例8.4 本章概要第九章：非线性回归在工程与应用科学中的应用9.1 工程与应用科学中的非线性模型介绍9.2 非线性回归在工程设计中的应用案例9.3 非线性回归在应用科学研究中的应用案例9.4 本章概要第十章：非线性回归分析的扩展与前沿10.1 非线性回归分析的局限性与改进10.2 非线性回归分析的新方法与发展趋势10.3 非线性回归分析与其他统计方法的结合10.4 本章概要第十一章：非线性回归的优化策略11.1 优化算法概述11.2 常见优化算法介绍11.3 非线性回归的优化策略11.4 本章概要第十二章：非线性回归在医学中的应用12.1 医学中的非线性模型介绍12.2 非线性回归在医学诊断中的应用案例12.3 非线性回归在医学治疗方案设计中的应用案例12.4 本章概要第十三章：非线性回归在地球科学中的应用13.1 地球科学中的非线性模型介绍13.2 非线性回归在地球物理勘探中的应用案例13.3 非线性回归在气候学研究中的应用案例13.4 本章概要第十四章：非线性回归在化学与材料科学中的应用14.1 化学与材料科学中的非线性模型介绍14.2 非线性回归在化学反应动力学分析中的应用案例14.3 非线性回归在材料性能预测中的应用案例14.4 本章概要第十五章：非线性回归分析的实践与挑战15.1 非线性回归分析的实际操作技巧15.2 非线性回归分析面临的挑战与问题15.3 未来非线性回归分析的发展方向15.4 本章概要重点和难点解析第一章：非线性回归分析简介重点：非线性回归的定义与意义，非线性回归与线性回归的比较。
统计学中的非线性回归模型与应用案例
统计学中的非线性回归模型与应用案例统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，回归分析是一种常用的方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
传统的回归模型假设自变量与因变量之间的关系是线性的，然而在现实世界中，很多情况下变量之间的关系并不是简单的线性关系。
因此，非线性回归模型应运而生。
非线性回归模型允许自变量与因变量之间的关系呈现出曲线、指数、对数等非线性形式。
这种模型的应用非常广泛，可以用于解决各种实际问题。
下面将介绍一些非线性回归模型的应用案例。
案例一：生长曲线模型生长曲线模型是一种常见的非线性回归模型，用于描述生物体、经济指标等随时间变化的增长过程。
以植物的生长为例，我们可以将植物的高度作为因变量，时间作为自变量，建立一个非线性回归模型来描述植物的生长过程。
通过拟合模型，我们可以预测植物在未来的生长情况，为农业生产提供参考依据。
案例二：Logistic回归模型Logistic回归模型是一种常用的非线性回归模型，用于研究二分类问题。
例如，我们可以使用Logistic回归模型来预测一个人是否患有某种疾病。
以心脏病的预测为例，我们可以将心脏病的发生与各种危险因素（如年龄、性别、血压等）建立一个Logistic回归模型。
通过拟合模型，我们可以根据个体的危险因素预测其是否患有心脏病，从而采取相应的预防措施。
案例三：多项式回归模型多项式回归模型是一种常用的非线性回归模型，用于描述自变量与因变量之间的高阶关系。
例如，我们可以使用多项式回归模型来研究温度与气压之间的关系。
通过拟合模型，我们可以得到温度与气压之间的高阶关系，从而更好地理解气象变化规律。
案例四：指数回归模型指数回归模型是一种常用的非线性回归模型，用于描述自变量与因变量之间的指数关系。
例如，我们可以使用指数回归模型来研究广告投入与销售额之间的关系。
通过拟合模型，我们可以得到广告投入对销售额的指数影响，从而为企业制定广告投放策略提供决策依据。
第三章非线性回归分析法-韩苗
2. 幂函数曲线回归模型
y = aX ε
b
对数变换
ln y = ln a + b ln x + ln ε
模型变换涉及 参数， 参数，估计参 数后要还原。 数后要还原。
令 z1 = ln y, z2 = ln x, β0 = ln a, β1 = b, ε ′ = ln ε 原模型可化为线性形式
即可利用线性回归分析的方法处理了。
新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。 新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。
任何一连续函数都可用分段多项式来逼近， 任何一连续函数都可用分段多项式来逼近，所以 在实际问题中，不论变量y 在实际问题中，不论变量y与其他变量的关系如 何，在相当宽的范围内我们总可以用多项式来拟 合。
ln y = β0 + β1 ln x +ε
令 y* =ln y x* =lnx 原模型可化为线性形式
y* = β0 +β1x* +ε
4. 三角函数回归模型
y = a + b sin x + ε
y = a + b cos x + ε
令 x′ = sin x 或 x′ = cos x, y′ = y 则
⒉ 估计非线性模型 （1）命令方式 在命令窗口直接键入:NLS 非线性函数表达式 例如，对于非线性模型 Y = AK α Lβ ，其估计命令格式为 NLS y=c(1)*k^c(2)*L^c(3) 其中， c(1)、c(2)、c(3)表示待估计的三个参数 β A、 α 、 。回车后，系统会自动给出迭代估计的参 数估计值。
Y 国内生产总值（GDP）(亿元)，K资金投入 国内生产总值（ ） 亿元) 资金投入 亿元）包括固定资产投资和库存占用资金。 就 （亿元）包括固定资产投资和库存占用资金。L就 业总人数（万人）。 业总人数（万人）。
非线性回归
非线性回归一、介绍线性回归是一种基本的统计方法，在许多领域中都有广泛的应用。
然而，在现实世界中，很多问题并不满足线性关系。
这时，非线性回归就成为了一种更加适用的方法。
二、非线性回归模型非线性回归模型是通过拟合非线性函数来描述自变量和因变量之间的关系。
一般来说，非线性回归模型可以分为参数模型和非参数模型。
1. 参数模型参数模型是指非线性函数中包含一些参数，通过最小化残差的平方和来估计这些参数的值。
常见的参数模型包括指数模型、幂函数模型、对数模型等。
2. 非参数模型非参数模型是指非线性函数中没有参数，通过直接拟合数据来建立模型。
常见的非参数模型包括样条函数模型、神经网络模型等。
三、非线性回归的应用非线性回归在许多领域中都有广泛的应用，特别是在生物学、经济学、工程学等领域中。
下面介绍几个非线性回归的应用实例：1. 生物学研究非线性回归在生物学研究中有很多应用，其中一个典型的例子是用来描述酶动力学的反应速率方程。
酶动力学研究中，根据酶底物浓度和反应速率的关系来建立非线性回归模型，从而研究酶的活性和底物浓度之间的关系。
2. 经济学分析非线性回归在经济学中也有许多应用，其中一个典型的例子是用来描述经济增长模型。
经济增长模型中，根据投资、人口增长率等因素来建立非线性回归模型，从而预测国家的经济增长趋势。
3. 工程学设计非线性回归在工程学设计中有很多应用，其中一个典型的例子是用来描述材料的应力-应变关系。
材料的应力-应变关系通常是非线性的，通过非线性回归模型可以更准确地描述材料的力学性能。
四、非线性回归的优缺点非线性回归相对于线性回归具有一些优点和缺点。
下面分别介绍：1. 优点非线性回归可以更准确地描述自变量和因变量之间的关系，适用于不满足线性关系的问题。
非线性回归的模型形式更灵活，可以通过选择适当的函数形式来更好地拟合数据。
2. 缺点非线性回归相比线性回归更复杂，需要更多的计算资源和时间。
非线性回归的参数估计也更加困难，需要依赖一些优化算法来找到最优解。
非线性回归分析(教案)
非线性回归分析(教案)第一章：非线性回归分析简介1.1 非线性回归的定义与意义1.2 非线性回归与线性回归的比较1.3 非线性回归分析的应用领域1.4 本章内容安排第二章：非线性模型的选择2.1 常见非线性模型介绍2.2 模型选择的依据与方法2.3 利用统计软件进行模型选择2.4 案例分析：选择合适的非线性模型第三章：非线性回归的参数估计3.1 非线性回归参数估计的基本方法3.2 初值的选择与影响3.3 参数估计的算法与优化3.4 案例分析：利用非线性回归估计参数第四章：非线性模型的检验与评估4.1 非线性模型的拟合度评估4.2 模型诊断与改进4.3 模型参数的显著性检验4.4 案例分析：评估非线性模型的性能第五章：非线性回归在实际应用中的案例分析5.1 非线性回归在生物学领域的应用5.2 非线性回归在经济学领域的应用5.3 非线性回归在环境科学领域的应用5.4 非线性回归在其他领域的应用第六章：多变量非线性回归分析6.1 多变量非线性回归的定义与特点6.2 多变量非线性回归模型的建立6.3 多变量非线性回归的参数估计与检验6.4 案例分析：多变量非线性回归在实际应用中的应用第七章：非线性回归的软件实现7.1 非线性回归软件的选择与使用7.2 常见非线性回归软件的比较与评价7.3 利用非线性回归软件进行数据分析实例7.4 案例分析：非线性回归软件在实际研究中的应用第八章：非线性回归分析的扩展与应用8.1 非线性回归分析在时间序列数据中的应用8.2 非线性回归分析在图像处理中的应用8.3 非线性回归分析在机器学习中的应用8.4 案例分析：非线性回归分析在交叉学科领域的应用第九章：非线性回归分析的局限性与改进9.1 非线性回归分析的局限性9.2 非线性回归分析的改进方法9.3 非线性回归分析的发展趋势9.4 案例分析：克服非线性回归分析局限性的实践方法第十章：非线性回归分析在科学研究中的应用案例精选10.1 非线性回归分析在物理学中的应用案例10.2 非线性回归分析在化学领域的应用案例10.3 非线性回归分析在生物学领域的应用案例10.4 非线性回归分析在其他科学领域中的应用案例第十一章：非线性回归分析在社会科学中的应用11.1 非线性回归分析在社会学中的应用11.2 非线性回归分析在心理学中的应用11.3 非线性回归分析在教育学中的应用11.4 案例分析：非线性回归分析在社会科学研究中的应用第十二章：非线性回归分析在医学与健康领域的应用12.1 非线性回归分析在医学研究中的应用12.2 非线性回归分析在公共卫生领域中的应用12.3 非线性回归分析在生物医学工程中的应用12.4 案例分析：非线性回归分析在医学与健康研究中的应用第十三章：非线性回归分析在工程领域的应用13.1 非线性回归分析在土木工程中的应用13.2 非线性回归分析在机械工程中的应用13.3 非线性回归分析在电子工程中的应用13.4 案例分析：非线性回归分析在工程领域的应用实例第十四章：非线性回归分析在金融与经济领域的应用14.1 非线性回归分析在金融市场预测中的应用14.2 非线性回归分析在宏观经济分析中的应用14.3 非线性回归分析在企业财务分析中的应用14.4 案例分析：非线性回归分析在金融与经济领域的应用第十五章：非线性回归分析的的未来与发展趋势15.1 非线性回归分析在数据科学中的应用与发展15.2 与非线性回归分析的结合与发展15.3 非线性回归分析在新兴领域的应用前景15.4 案例分析：非线性回归分析在未来发展趋势中的机遇与挑战重点和难点解析重点：1. 非线性回归的定义与意义，以及与线性回归的比较。
计量经济学-非线性回归函数
Coef. Std. Err.
t P>|t| [95% Conf. Interval]
• -------------+----------------------------------------------------------------
•
avginc | 5.018677 .7073505 7.10 0.000
• ------------------------------------------------------------------------------
• . dis "Adjusted Rsquared = " _result(8) • Adjusted Rsquared = .56146052
由检验结果可知，拒绝总体回归为线性形式的假设。
14
2. 对数形式
• ln(X) 表示 X 的自然对数
• 对数变换将变量的变化表示为百分率变化。
ln(x+∆x) –
ln(x)
=
ln 1 +
∆x x
∆x x
( d ln( x) = 1 ) dx x
例如：
ln(1.01) = .00995 0.01; ln(1.10) = .0953 0.10
三种对数回归模型
情形 I. 线性-对数 II. 对数-线性 III. 对数-对数
总体回归函数 Yi = β0 + β1ln(Xi) + ui ln(Yi) = β0 + β1Xi + ui ln(Yi) = β0 + β1ln(Xi) + ui
15
16
I. 线性——对数回归模型
Y = β0 + β1ln(X)
计量经济学非线性回归模型的线性化
以上介绍了线性回归模型.但有时候变量之间地关系是非线性地.例如y t = 0 + 1+ u ty t = 0 + u t上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数地.可采用非线性方法进行估计.估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现.计算机地出现大大方便了非线性回归模型地估计.专用软件使这种计算变得非常容易.但本章不是介绍这类模型地估计.文档收集自网络，仅用于个人学习另外还有一类非线性回归模型.其形式是非线性地，但可以通过适当地变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型地估计与检验方法进行处理.称此类模型为可线性化地非线性模型.下面介绍几种典型地可以线性化地非线性模型.文档收集自网络，仅用于个人学习4.1 可线性化地模型⑴指数函数模型y t= (4.1)文档收集自网络，仅用于个人学习b>0 和b<0两种情形地图形分别见图 4.1和4.2.显然x t和y t地关系是非线性地.对上式等号两侧同取自然对数，得文档收集自网络，仅用于个人学习Lny t = Lna + b x t + u t(4.2)文档收集自网络，仅用于个人学习令Lny t = y t*, Lna = a*, 则y t* = a* + bx t + u t(4.3)文档收集自网络，仅用于个人学习变量y t* 和x t已变换成为线性关系.其中u t表示随机误差项.图4.1 y t=, (b > 0) 图4.2 y t=, (b < 0)文档收集自网络，仅用于个人学习⑵对数函数模型y t = a + b Ln x t+ u t(4.4)文档收集自网络，仅用于个人学习b>0和b<0两种情形地图形分别见图 4.3和4.4.x t和y t地关系是非线性地.令x t* = Lnx t, 则文档收集自网络，仅用于个人学习y t = a + b x t* + u t(4.5)文档收集自网络，仅用于个人学习变量y t和x t* 已变换成为线性关系.图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)文档收集自网络，仅用于个人学习⑶幂函数模型y t= a x t b(4.6)文档收集自网络，仅用于个人学习b取不同值地图形分别见图 4.5和4.6.x t和y t地关系是非线性地.对上式等号两侧同取对数，得Lny t = Lna + b Lnx t + u t(4.7)文档收集自网络，仅用于个人学习令y t* = Lny t, a* = Lna, x t* = Lnx t, 则上式表示为y t* = a* + b x t* + u t(4.8)文档收集自网络，仅用于个人学习变量y t* 和x t* 之间已成线性关系.其中u t表示随机误差项.(4.7) 式也称作全对数模型.图4.5 y= a x t b图4.6 y t = a x t b文档收集自网络，仅用于个人学习t⑷双曲线函数模型1/y t= a+ b/x t+ u t(4.9)文档收集自网络，仅用于个人学习也可写成，y t = 1/ (a + b/x t+ u t) (4.10)文档收集自网络，仅用于个人学习b>0情形地图形见图 4.7.x t和y t地关系是非线性地.令y t* = 1/y t, x t* = 1/x t，得文档收集自网络，仅用于个人学习y t* = a + b x t* + u t已变换为线性回归模型.其中u t表示随机误差项.图4.7 y t = 1/ (a + b/x t ), (b > 0) 图4.8 y t = a + b/x t , (b > 0)文档收集自网络，仅用于个人学习双曲线函数还有另一种表达方式，y t = a + b/x t + u t(4.11)文档收集自网络，仅用于个人学习b>0情形地图形见图 4.8.x t和y t地关系是非线性地.令x t* = 1/x t，得y t = a + b x t* + u t上式已变换成线性回归模型.例 4.2（P139，例3.5⑸多项式方程模型一种多项式方程地表达形式是y t = b0 +b1 x t + b2 x t2 + b3 x t3 + u t(4.12)文档收集自网络，仅用于个人学习其中b1>0, b2>0, b3>0和b1<0, b2>0, b3<0情形地图形分别见图 4.9和4.10.令x t 1 = x t，x t 2 = x t2，x t 3 = x t3，上式变为文档收集自网络，仅用于个人学习y t = b0 +b1 x t 1 + b2 x t 2 + b3 x t 3 + u t(4.13)文档收集自网络，仅用于个人学习这是一个三元线性回归模型.如经济学中地总成本曲线与图 4.9相似.图4.9 y t = b0 +b1 x t + b2 x t2 + b3 x t3 + u t图4.10 y t = b0 + b1 x t + b2 x t2 + b3 x t3 + u t文档收集自网络，仅用于个人学习另一种多项式方程地表达形式是y t = b0 + b1 x t + b2 x t2 + u t(4.14)文档收集自网络，仅用于个人学习其中b1>0, b2>0和b1<0, b2<0情形地图形分别见图 4.11和4.12.令x t 1 = x t，x t 2 = x t 2，上式线性化为，文档收集自网络，仅用于个人学习y t = b0 + b1 x t1 + b2 x t2 + u t(4.15)文档收集自网络，仅用于个人学习如经济学中地边际成本曲线、平均成本曲线与图 4.11相似.图4.11 y t = b0 +b1x t + b2x t2 + u t图4.12 y t = b0 + b1x t + b2x t2 + u t文档收集自网络，仅用于个人学习例4.3（P141例3.6）⑹生长曲线(logistic) 模型y t = (4.16)一般f(t) = a0 + a1 t + a2 t 2 + … + a n t n，常见形式为f(t) = a0 - a t文档收集自网络，仅用于个人学习y t = = (4.17)其中b = .a > 0情形地图形分别见图 4.13和4.14.美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体地生长，得到了上述数学模型.生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed 曲线）常用于描述有机体生长发育过程.其中k和0分别为y t地生长上限和下限.= k, = 0.a, b为待估参数.曲线有拐点，坐标为（,），曲线地上下两部分对称于拐点.文档收集自网络，仅用于个人学习图4.13 y t = k / (1 +) 图4.14 y t = k / (1 +)文档收集自网络，仅用于个人学习为能运用最小二乘法估计参数a, b，必须事先估计出生曲线长上极限值k.线性化过程如下.当k给出时，作如下变换，文档收集自网络，仅用于个人学习k/y t = 1 +移项，k/y t - 1 =取自然对数，Ln ( k/y t - 1) = Lnb - a t + u t(4.18)文档收集自网络，仅用于个人学习令y t* = Ln ( k/y t - 1), b* = Lnb, 则y t* = b* - a t + u t(4.19)文档收集自网络，仅用于个人学习此时可用最小二乘法估计b*和a.图4.15 内地5月1日至28日每天非典数据一览⑺龚伯斯（Gompertz）曲线英国统计学家和数学家最初提出把该曲线作为控制人口增长地一种数学模型，此模型可用来描述一项新技术，一种新产品地发展过程.曲线地数学形式是，文档收集自网络，仅用于个人学习y t=图4.15 y t =曲线地上限和下限分别为k和0，= k, = 0.a, b为待估参数.曲线有拐点，坐标为（,），但曲线不对称于拐点.一般情形，上限值k可事先估计，有了k值，龚伯斯曲线才可以用最小二乘法估计参数.线性化过程如下：当k给定时，文档收集自网络，仅用于个人学习y t / k = ，k/y t =Ln (k/y t) = ，Ln[Ln(k/y t)] = Lnb - a t令y*= Ln[Ln(k/y t)], b* = Lnb，则y* = b* - a t上式可用最小二乘法估计b* 和 a.⑻Cobb-Douglas生产函数下面介绍柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数.其形式是Q = k L C 1- (4.24)文档收集自网络，仅用于个人学习其中Q表示产量；L表示劳动力投入量；C表示资本投入量；k是常数；0 < < 1.这种生产函数是美国经济学家柯布和道格拉斯根据1899-1922年美国关于生产方面地数据研究得出地.地估计值是0.75，地估计值是0.25.更习惯地表达形式是文档收集自网络，仅用于个人学习y t = (4.25)这是一个非线性模型，无法用OLS法直接估计，但可先作线性化处理.上式两边同取对数，得：Lny t = Ln0 + 1 Lnx t 1+ 2 Lnx t 2 + u t(4.26)文档收集自网络，仅用于个人学习取y t* =Lny t, 0* = Ln 0, x t 1* = Ln x t 1, x t 2*= Ln x t 2，有文档收集自网络，仅用于个人学习y t*= 0* + 1 x t 1* + 2 x t 2* + u t(4.27)文档收集自网络，仅用于个人学习上式为线性模型.用OLS法估计后，再返回到原模型.若回归参数1 +2 = 1，称模型为规模报酬不变型（新古典增长理论）；1 +2 > 1，称模型为规模报酬递增型；1 +2 < 1，称模型为规模报酬递减型.对于对数线性模型，Lny = Ln0 + 1 Lnx t1+ 2 Lnx t2 + u t，1和2称作弹性系数.以1为例，文档收集自网络，仅用于个人学习1 = = = = (4.28)可见弹性系数是两个变量地变化率地比.注意，弹性系数是一个无量纲参数，所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数地大小.文档收集自网络，仅用于个人学习对于线性模型，y t = 0 + 1x t1 + 2 x t2 + u t ，1和2称作边际系数.以1为例，文档收集自网络，仅用于个人学习1= (4.29)文档收集自网络，仅用于个人学习通过比较(4.28)和(4.29)式，可知线性模型中地回归系数（边际系数）是对数线性回归模型中弹性系数地一个分量.文档收集自网络，仅用于个人学习例4.1 （136P例3.4）略4.2非线性化模型地处理方法模型：无论通过什么变换都不可能实现线性化，对于这种模型称为非线性化模型.可采用高斯—牛顿迭代法进行估计，即将其展开泰勒级数后，再进行迭代估计方法进行估计.文档收集自网络，仅用于个人学习1、迭代估计法思想是：通过泰勒级数展开，先使非线性方程在某组初始参数估计值附近线性化，然后对这一线性方程应用OLS法，得出一组新地参数估计值.下一步是使非线性方程在新参数估计值附近线性化，对新地线性方程再应用OLS法，又得出一组新地参数估计值.不断重复上述过程，直至参数估计值收敛时为止.其步骤如下.文档收集自网络，仅用于个人学习1）对模型：在给定地参数初始值b10,b20…b p0展开泰勒级数：取前两项，便有线性近似：2）将上式左端看成组新地因变量，将右端看成一组新地自变量，这就已经成为标准线性模型，再对其就用OLS法，得出一组估计值.文档收集自网络，仅用于个人学习3）重复第一、二步，在参数估计值附近再做一次泰勒级数展开，得到新地线性模型，应用OLS法，又得出一组参数估计值：.文档收集自网络，仅用于个人学习4）如此反复，得出一组点序列直到其收敛为止.2、迭代估计法地EViews实现过程1）设定代估参数地初始值，方法有两种：A、使用Param命令设定，例如，Param 1 0.5 2 0 3 0 则将待估地三个参数地初始值设成了0.5，0，0.B、在工作文件窗口中双击序列C，并在序列窗口直接输入参数地初始值.2）估计参数A、命令方式在命令窗口可以直接键入非线性模型地迭代估计命令NLS.格式为：NLS 被解释变量，=非线性函数表达式例如，对于非线性回归模型估计命令为NLS y=c(1)*(x-c(2))/(x-c(3))B、菜单方式.在数组窗口“procs→make epuation；在弹出地方程描述对话框中输入非线性回归模型地具体形式；y=c(1)*(x-c(2))/(x-c(3))选择估计方法为最小二乘法后单击（OK）例(P146例3.7) 略4.3回归模型地比较当经济变量呈现非线性关系时，经常可以采用多个不同数学形式地非线性模型.如何选择？1、图开观察分析1）观察被解释变量和解释变量地趋势图.2）观察被解释变量和解释变量地相关图2、模型估计结果分析1）回归系数符号和大小是否符合经济意义，2）改变模型后，是否使决定系数地值明显提高.3）T检验与F检验.3、残差分析残差反映了模型未能解释部分地变化情况.1）残差分布表中，各期残差是否大都落在地虚线内.2）残差分布是否具有某种规律性.3）近期地残差分析情况.例1：此模型用来评价台湾农业生产效率.用台湾1958-1972年农业生产总值（y t），劳动力（x t1），资本投入（x t2）数据（见表 4.1）为样本得估计模型，文档收集自网络，仅用于个人学习= -3.4 + 1.50 Lnx t1 + 0.49 Lnx t2(4.30)文档收集自网络，仅用于个人学习(2.78) (4.80) R2 = 0.89, F = 48.45还原后得，= 0.713 x t11.50x t20.49(4.31)文档收集自网络，仅用于个人学习因为1.50 + 0.49 = 1.99，所以，此生产函数属规模报酬递增函数.当劳动力和资本投入都增加1%时，产出增加近2%.文档收集自网络，仅用于个人学习例2：用天津市工业生产总值（Y t），职工人数（L t），固定资产净值与流动资产平均余额（K t）数据(1949-1997) 为样本得估计模型如下：文档收集自网络，仅用于个人学习Ln Y t = 0.7272 + 0.2587Ln L t + 0.6986 LnK t(3.12) (3.08) (18.75)R2 = 0.98, s.e. = 0.17, DW = 0.42, F = 1381.4因为0.2587 + 0.6986 = 0.9573，所以此生产函数基本属于规模报酬不变函数.例3：硫酸透明度与铁杂质含量地关系（摘自《数理统计与管理》1988.4, p.16）某硫酸厂生产地硫酸地透明度一直达不到优质指标.经分析透明度低与硫酸中金属杂质地含量太高有关.影响透明度地主要金属杂质是铁、钙、铅、镁等.通过正交试验地方法发现铁是影响硫酸透明度地最主要原因.测量了47个样本，得硫酸透明度（y）与铁杂质含量（x）地散点图如下(file:nonli01)：文档收集自网络，仅用于个人学习（1）y = 121.59 - 0.91 x(10.1) (-5.7)R2 = 0.42, s.e. = 36.6, F= 32 （2）1/y = 0.069 - 2.37 (1/x)(18.6) (-11.9)R2 = 0.76, s.e. = 0.009, F= 142（3）y = -54.40 + 6524.83 (1/x)(-7.2) (16.3)R2 = 0.86, s.e. = 18.2, F= 266 （4）Lny = 1.99 + 104.5 (1/x)(22.0) (21.6)R2 = 0.91, s.e. = 0.22, F= 468 还原，Lny = Ln(7.33) + 104.5 (1/x)y = 7.33（5）非线性估计结果是y = 8.2965R2 = 0.96,EViews命令Y=C(1)*EXP(C(2)*(1/X)) 例4 中国铅笔需求预测模型（非线性模型案例，file:nonli6）中国从上个世纪30年代开始生产铅笔.1985年全国有22个厂家生产铅笔.产量居世界首位（33.9亿支），占世界总产量地1/3.改革开放以后，铅笔生产增长极为迅速.1979-1983年平均年增长率为8.5%.铅笔销售量时间序列见图 4.21.1961-1964年地销售量平稳状态是受到了经济收缩地影响.文革期间销售量出现两次下降，是受到了当时政治因素地影响.1969-1972年地增长是由于一度中断了地中小学教育逐步恢复地结果.1977-1978年地增长是由于高考正式恢复地结果.1981年中国开始生产自动铅笔，对传统铅笔市场冲击很大.1979-1985年地缓慢增长是受到了自动铅笔上市地影响.文档收集自网络，仅用于个人学习初始确定地影响铅笔销量地因素有全国人口、各类在校人数、设计人员数、居民消费水平、社会总产值、自动铅笔产量、价格因素、原材料供给量、政策因素等.经过多次筛选、组合和逐步回归分析，最后确定地被解释变量是y t（铅笔年销售量，千万支）；解释变量分别是x t1（自动铅笔年产量，百万支）；x t2（全国人口数，百万人）；x t3（居民年均消费水平，元）；x t4（政策变量）.因政策因素影响铅笔销量出现大幅下降时，政策变量取负值.例如1967、1968年地x t4值取-2，1966、1969-1971、1974-1977年地x t4值取-1）.文档收集自网络，仅用于个人学习由图4.22知中国自生产自动铅笔起，自动铅笔产量与铅笔销量存在线性关系.由图4.23知全国人口与铅笔销量存在线性关系.说明人口越多，对铅笔地需求就越大.由图4.24知居民年均消费水平与铅笔销量存在近似对数地关系.散点图说明居民年均消费水平越高，则铅笔销量就越大.但这种增加随着居民消费水平地增加变得越来越缓慢.图4.25显示政策变量与铅笔销量也呈线性关系.文档收集自网络，仅用于个人学习铅笔销售量时间序列（1961-1985）（文件名nonli6）Y, X1散点图Y, X2散点图Y, X3散点图Y, X4散点图文档收集自网络，仅用于个人学习基于上述分析建立地模型形式是y t = 0 + 1 x t 1 + 2x t 2 + 3Ln (x t 3) + 4 x t 4 + u t(4.40)文档收集自网络，仅用于个人学习y t与x t 3呈非线性关系.估计结果如下.= -907.94 - 2.95x t 1 + 0.31 x t 2 + 170.19 Ln x t 3 + 45.51 x t 4(4.41)文档收集自网络，仅用于个人学习(-6.4) (-3.7) (4.8) (4.4) (12.6)R 2 = 0.9885, DW = 2.09, F = 429, s.e. = 10.34上式说明，在上述期间自动铅笔年产量每增加1百万支，平均使铅笔地年销售量减少2950万支.全国人口数每增加1百万人，平均使铅笔地年销售量增加310万支.对数地居民年均消费水平每增加1个单位，平均使铅笔地年销售量增加17亿支.一般性政策负面变动使铅笔地年销售量减少 4.551亿支.当政策出现大地负面变动时，铅笔地年销量会减少9.102亿支.文档收集自网络，仅用于个人学习当y t对所有变量都进行线性回归时（见下式），显然估计结果不如(4.41)式好.= -254.26 - 3.29x t 1 + 0.42 x t 2 + 0.66 x t 3 + 40.74 x t 4(4.42)文档收集自网络，仅用于个人学习(-12.0) (-3.0) (8.6) (3.5) (11.7)R 2 = 0.9857, DW = 1.77, F = 346, s.e. = 11.5案例5：厦门市贷款总额与GDP地关系分析（1990~2003，file:bank08）数据和散点图如下.从散点图看，用多项式方程拟合比较合理.Loan t = 0 + 1 GDP t + 2 GDP t2+3 x t 3+ u tt = -24.5932 +1.6354GDP t - 0.0026GDP t 2 + 0.0000027GDP t 3文档收集自网络，仅用于个人学习(-2.0) (11.3)(-6.3) (7.9)R 2=0.9986, DW=2.6例6钉螺存活率曲线（file:nonli3）（生长曲线模型）在冬季土埋钉螺地研究中，先把一批钉螺埋入土中，以后每隔一个月取出部分钉螺，检测存活个数，计算存活率.数据见表4.3.散点图见图 4.20.文档收集自网络，仅用于个人学习y t ,存活率(%)t,土埋月数100.0 0 93.0 1 92.3 2 88.0 3 84.7 4 82.0 5 48.4 6 41.0 7 15.0 8 5.2 9 3.5 10 1.3 11 0.512设定y t 地上渐近极限值k =101（因为已有观测值y t =100，所以令k =101更好些.），得估计结果如下：文档收集自网络，仅用于个人学习估计式是：= -4.3108 + 0.7653 t(4.38)文档收集自网络，仅用于个人学习(-14.8)(18.5)R 2= 0.97因为log (0.013) = -4.3108，所以b = 0.013.则逻辑函数地估计结果是= (4.39)当t =10.5时，= = 2.38YYF 100.0 99.66 93.0 98.17 92.3 95.10 88.0 89.12 84.7 78.50 82.0 62.50 48.4 43.45 41.0 26.26 15.0 14.19 5.20 7.14 3.503.451.30 1.63 0.50 0.77版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理。
第三章非线性回归分析
图 3.5 yt = a xt be
ut
b 图 3.6 yt = a xt e
ut
⑷ 双曲线函数模型 1/yt = a + b/xt + ut 也可写成， yt = 1/ (a + b/xt + ut) yt* = a + b xt* + ut 已变换为线性回归模型。其中 ut 表示随机误差项。 (3.9) (3.10)
at ut k/yt = 1 + be at ut 移项， k/yt - 1 = be
取自然对数，Ln ( k/yt - 1) = Lnb - a t + ut 令 yt* = Ln ( k/yt - 1), b* = Lnb, 则 yt* = b* - a t + ut 此时可用最小二乘法估计 b*和 a。
y t 1 y t x t 1 y t Lnyt y t / y t 1 = = = = x t 1 1 x t 1 Lnxt 1 x t 1 / x t 1 y t x t 1
(3.28)
可见弹性系数是两个变量的变化率的比。 注意， 弹性系数是一个无量纲参 数，所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数的大小。 对于线性模型，yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut ，1 和 2 称作边际系数。 以1 为例，
(3.12) (3.08) (18.75)
例 3：硫酸透明度与铁杂质含量的关系（摘自《数理统计 与管理》1988.4, p.16） 某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质指标。经分析透 明度低与硫酸中金属杂质的含量太高有关。影响透明度的主要 金属杂质是铁、钙、铅、镁等。通过正交试验的方法发现铁是 影响硫酸透明度的最主要原因。测量了 47 个样本，得硫酸透 明度（y）与铁杂质含量（x）的散点图如下
非线性回归使用说明
非线性回归应用程序使用说明非线性回归应用程序可以进行下面七种类型的曲线进行拟合。
类型1. 倒幂函数xb a y 1+=型 见图1。
令,1xx ='则x b a y '+=2. 双曲线xb a y 11+=型 见图2。
. 令,1,1xx y y ='='则x b a y '+=' 3. 幂函数曲线y =dx b 型.见图3.令,ln ,ln ,ln d a x x y y =='='则x b a y '+='.4. 指数曲线y =de bx 型，见图4. 令,ln ,ln d a y y =='则x b a y '+='.5. 倒指数曲线xb de y =型，见图5.令,ln ,1,ln d a xx y y =='='则x b a y '+='6. 对数曲线x b a y log +=型，见图6. 令,log x x ='则x b a y '+=.7. S 形曲线xbea y -+=1型，见图7. 令,,1x e x yy -='='则x b a y '+='下面一个以具体的例子说明应用程序的使用方法。
炼钢过程中有年来盛钢水的钢包，由于受钢水的侵蚀作用，容积会不断扩大，表1给出了使用次数x和容积增大量y的15对试验数据。
已知两个变量x和y 之间存在相关关系，试找出x与y的关系式，并预测其精确度。
○1创建数据文件。
数据文件的内容如下：23456789101112131415166.428.29.589.59.7109.939.9910.4910.5910.610.810.610.910.76数据文件的前一部分是x的数据，后一部分是y的数据，两者的行数必须相等。
把文件名保存为：“非线性回归１.txt”。
文件名可以是任何合法的文件名，文件扩展名必须是“.txt”。
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非线性回归实例
例1：此模型用来评价台湾农业生产效率。
用台湾1958-1972年农业生产总值（Y t ），劳动力（X 1t ），资本投入（X 2t ）数据为样本得到估计模型：
= -3.4 + 1.50 LnX 1t + 0.49 LnX 2t
(2.78) (4.80) R 2 = 0.89, F = 48.45
还原后得，
= 0.713X 1t 1.50 X 2t 0.49
因为1.50 + 0.49 = 1.99，所以，此生产函数属规模报酬递增函数。
当劳动力和资本投入都增加1%时，产出增加近2%。
例2：用天津市工业生产总值（Y t ），职工人数（L t ），固定资产净值与流动资产平均余额（K t ）数据 (1949-1997年) 为样本得估计模型如下：
Ln Y t = 0.7272 + 0.2587 Ln L t + 0.6986 LnK t
(3.12) (3.08) (18.75)
R 2 = 0.98, s.e. = 0.17, DW = 0.42, F = 1381.4
因为0.2587 + 0.6986 = 0.9573，所以此生产函数基本属于规模报酬不变函数。
例3： 中国铅笔需求预测模型
中国从上个世纪30年代开始生产铅笔。
1985年全国有22个厂家生产铅笔。
产量居世界首位（33.9亿支），占世界总产量的1/3。
改革开放以后，铅笔生产增长极为迅速。
1979-1983年平均年增长率为8.5%。
铅笔销售量时间序列见图1。
1961-1964年的销售量平稳状态是受到了经济收缩的影响。
文革期间销售量出现两次下降，是受到了当时政治因素的影响。
1969-1972年的增长是由于一度中断了的中小学教育逐步恢复的结果。
1977-1978年的增长是由于高考正式恢复的结果。
1981年中国开始生产自动铅笔，对传统铅笔市场冲击很大。
1979-1985年的缓慢增长是受到了自动铅笔上市的影响。
初始确定的影响铅笔销量的因素有全国人口、各类在校人数、设计
人员数、居民消费水平、社会总产值、自动铅笔产量、价格因素、原材料供给量、政策因素等。
经过多次筛选、组合和逐步回归分析，最后确定的被解释变量是Y t（铅笔年销售量，千万支）；解释变量分别
是X t1（自动铅笔年产量，百万支）；X t2（全国人口数，百万
人）；X t3（居民年均消费水平，元）；X t4（政策变量）。
因政策因素影响铅笔销量出现大幅下降时，政策变量取负值。
例如1967、1968年的X t4值取-2，1966、1969-1971、1974-1977年的X t4值取-1）。
由图2知中国自生产自动铅笔起，自动铅笔产量与铅笔销量存在线性关系。
由图3知全国人口与铅笔销量存在线性关系。
说明人口越多，对铅笔的需求就越大。
由图4知居民年均消费水平与铅笔销量存在近似对数的关系。
散点图说明居民年均消费水平越高，则铅笔销量就越大。
但这种增加随着居民消费水平的增加变得越来越缓慢。
图5显示政策变量与铅笔销量也呈线性关系。
图1 铅笔销售量时间序列（1961-1985）
图2 Y, X1散点图图3 Y, X2散点图
图4 Y, X3散点图图5 Y, X4散点图
基于上述分析建立的模型形式是
Y t = 0 + 1 X t 1 + 2X t 2 + 3Ln (X t 3) + 4 X t 4 + u t (1)
Y t与X t 3呈非线性关系。
估计结果如下。
= -907.94 - 2.95 X t 1 + 0.31 X t 2 + 170.19 Ln X t 3 + 45.51 X t 4 (2) (-6.4) (-3.7) (4.8) (4.4) (12.6)
R 2 = 0.9885, DW = 2.09, F = 429, s.e. = 10.34
上式说明，在上述期间自动铅笔年产量每增加1百万支，平均使铅笔的年销售量减少2950万支。
全国人口数每增加1百万人，平均使铅笔的年销售量增加310万支。
对数的居民年均消费水平每增加1个单位，平均使铅笔的年销售量增加17亿支。
一般性政策负面变动使铅笔的年销售量减少4.551亿支。
当Y t对所有变量都进行线性回归时（见下式），显然估计结果不如(2)式好。
= -254.26 - 3.29 X t 1 + 0.42 X t 2 + 0.66 X t 3 + 40.74 X t 4 (3)
(-12.0) (-3.0) (8.6) (3.5) (11.7)
R 2 = 0.9857, DW = 1.77, F = 346, s.e. = 11.5
例4：厦门市贷款总额与GDP的关系分析（1990~2003年）
数据和散点图如下。
从散点图看，用多项式方程拟合比较合理。
Loan t = 0 +1 GDP t + 2 GDP t 2 + 3 GDP t3 + u t
= -24.5932 +1.6354GDP t - 0.0026GDP t 2 + 0.0000027GDP t 3
t
(-2.0) (11.3) (-6.3) (7.9)
R2=0.9986, DW=2.6，F = 2463.275, s.e. =9.9883。