北师版初二数学图形的平移与旋转全章同步讲义

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北师大版八年级数学下册第三章图形的平移和旋转复习课件共22张

二、旋转
1、概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角度。
2、注意点 :（1）旋转是有范围的,它是在平面内旋转,否则有可能旋转为立体图形。（2）因为经过旋转,图形上的每个点都绕旋转中心沿相同方向转动了同样的角度所以,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。
3、决定平移的方向和距离: 如果已知一个图形和它平移后的图形的某
些点的对应点，那么连结原图上的点和对应点所成射线的方向就是其平移方向，两对应点的距离就是平移距离。
4、平移的特征 :（1）对应线段平行（或在一直线上）且相等；对应点所连的线段平行（或在一直线上）且相等。（2）对应角分别相等，且对应角的两边分别平行、与原角的方向一致。（3）平移后的图形与原图形的形状、大小不变，即平移只改变图形的位置。
2、线段垂直平分线的性质。
?考点三平移和旋转的应用
例4
? 盘点提升
针对训练 C
2．在图3－8的四个三角形中，不能由 3－7中的△ABC经过旋转或平移得到的是 (
)
B
图3－7Βιβλιοθήκη 图3－83、如图3－9，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∠ACB和∠ADE都是直角，点C在AE上，△ABC绕着 A点经过逆时针旋转后与△ADE重合得到图(1)，再
图3－11
6
? 课后作业---链接中考
(1)中心对称定义：如果把一个图形绕着某一点旋转 180°，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心． (2)中心对称图形把一个图形绕某个点旋转 180°，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分．

北师大版八年级下册数学《图形的平移》图形的平移与旋转说课教学课件复习

解:(1)根据题意，可得：
点C的坐标为(0,2)，点D的坐标为(6,2), 四边形ABDC的面积为2×(4+2)=12.
(2)在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的2倍？若存在
，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(2)存在.
设点E的坐标为(x,0),
因为△DEC的面积是△DEB面积的2倍,
向下平移b
个单位长度
(x-a,y-b)
设P(x,y)是平面直角坐标系内的一个点，我们按如下的方式平移点P(a>0,b>0)
一次平移完成
(x+a,y+b) 向右a个，向上b个单位长度
(x+a，y)
(x+a,y-b) 向右a个，向下b个单位长度
(x,y)
(x-a，y)
(x-a,y+b) 向左a个，向上b个单位长度
–1
–2
–3
O ''
4
–4
–5
–6
将图中的“小鱼1”的每个“顶点”的横坐标增加2，纵坐标不变，得到“小鱼 3”，然后将“小鱼3”纵坐标减少3，横坐标不变，得到“小鱼4”，请同学们画出“小鱼3”和“小鱼4”. 能否将“小鱼4”看成是“小鱼1”经过一次平移得到的？若能，请指出平移方向和平移的距离.
下面的一组图片是形状相同的图形,在图片①上取一点A,它与另一图片(如图片②)上的相应点B之间的连线是否经过镜头 P的中心?在图片上换其它的点试一试,还有类似的结论吗?
E
①
F
C
② D
③ ④⑤
P
A
B
如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所在的直线都经过
同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位

北师大版八年级下册数学《图形的平移》图形的平移与旋转说课教学课件(第2课时)

学习重点
在具体情境中感受平面直角坐标系中点的坐标变化与图形的平移之间的内在关系.
学习难点
能准确地概括出图形的变化与坐标变化的一般规律.
创设情境，导入新课
在神秘而美丽的海底世界，有摇曳的海草、绚丽的珊瑚、自由自在的鱼群……感受美丽的海底世界鱼翔浅底的乐趣，准备进入课堂活动情景．
c
活动内容：在准备好的坐标纸上，建立适当的直角坐标系，描出以下各点： (0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，－1)，(3，0)，(4，－2)，(0，0)，将以上各点顺次连接，得到图形如图所示．
鱼”向右平移5个单位长度．
解：
(1)画出平移后的新“鱼”；
(1)
(2)写出新“鱼”对应各点的坐标；
(3)你发现对应点的坐标之间有什么关系？
纵坐标不变，横坐标都加5
(2)新“鱼”对应各点的坐标． (5，0),(10，4),(8，0),(10，1), (10，－1),(8，0),(9，－2),(5，0)．
开放训练，体现应用
例1 在平面直角坐标系中，将点
例2 如图，△ABC经过平移得到△DEF，则平移四步骤是(
)
A．把△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长C度
B．把△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．把△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．把△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
)B
(第1题)
(第2题)
课堂检测，巩固新知
3.在平面直角坐标系中，一只青蛙从点A(－1，0)处向右跳2个单位长度，再向上
跳2个单位长度到点A′处，则点A′的坐标为（1，2）．
4．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－2，3)，B(－4，－

北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转复习课件

易错点
学以致用
7. 如图Z3-8所示，点P是正方形ABCD的边CD上一点，连接AP，∠BAP的平分线交BC于点Q，求证： AP=DP+BQ.
学以致用
证明：如答图Z3-2,将△ABQ绕点A逆时针旋转90° 得到△ADE，则 DE=BQ，∠E=∠AQB，∠ADE=∠B=90°. ∵∠ADC=90°,∴∠ADE+∠ADC=180°. ∴点E，D，P三点共线. ∵AQ平分∠BAP, ∴∠PAQ=∠BAQ=∠DAE. ∴∠PAE=∠DAE+∠PAD=∠PAQ+∠PAD=∠DAQ. 在正方形ABCD中，AD∥BC, ∴∠DAQ=∠AQB. ∵∠AQB=∠E,∴∠PAE=∠E. ∴AP=PE. ∵PE=DP+DE=DP+BQ, ∴AP=DP+BQ.
学以致用 5. 图Z3-6是几种名车标志，其中属于中心对称图形的是（ B ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
学以致用 6. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ B ）
易错点
易错点4 因忽略说明三点共线而致答案不完整在旋转变换过程中，图形的位置会产生改变，根据
有关证题时逻辑性、严谨性的需要，必须强调三点共线.
知识梳理 2. 图形平移的坐标变化（1）纵坐标不变，横坐标加k（k＞0），点向__右___平移k个单位长度；横坐标减k，点向_左____平移k个单位长度. （2）横坐标不变，纵坐标加k（k＞0），点向__上___平移k个单位长度；纵坐标减k，点向___下__平移k个单位长度. （3）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由本来的图形经过__一__次___平移得到的.
9. 如图Z3-15所示，△ABC平移后得到△DEF. （1）若∠A=80°，∠E=60°，求∠C的度数；（2）若AC=BC，BC与DF相交于点O，则OD与OB相等吗？说明理由.

北师大版八年级数学下册 (图形的旋转)图形的平移与旋转课件

D
线，并与同伴进行交流.
老师提示：
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，所
以我们也用这种方法作线段的中点.
讲授新课
例1 如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果 EC=7cm，7那么ED= cm；如果 ∠ECD=600，60那么∠EDCC = °.
AE
B D
讲授新课
例2 已知直线l和其上一点P，利用尺规作的垂线，使它经过点P.
从这个结果出发，你还能联想到什么？
讲授新课
用尺规作线段的垂直平分线.
已知：线段AB，如图. 求作：线段AB的垂直平分线.
A
B
讲授新课
作法：
C
1.分别以点A和B为圆心，以大于
AB/2长为半径作弧，两弧交于点C
和D. 2. 作直线CD.
A
B
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
请你说明CD为什么是AB的垂直平分
A
CB
而△APC≌△BPC的条件由已知
N
AC=BC，MN⊥AB，可推知其能满足公理（SAS）.
故结论可证.
讲授新课
定理线段垂直平分线上的点到这条线段
两个端点距离相等. M
如图，
P
∵AC=BC，MN⊥AB，P是
MN上任意一点（已知）， ∴PA=PB（线段垂直平分线 A
C
B
上的点到这条线段两个端点
∠AOD=∠BOE=∠COF
A
D
F
B
C
E
O
（3）再取一些对应点，画出它们与旋转中心所连成的线段，你又能发
现什么？
OA=OD OB=OE OC=OF
OM=ON
对应点到旋转中心的距离相等

北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转1图形的平移第1课时课件

【提升训练】
7. 如图所示，在一个长方形铁板上截下一个小正方形后，剩余部分的周长和
原来长方形的周长相比有什么变化（Ｃ）
A. 增加
B. 减少
C. 不变
D. 无法确定
8. 如图，经过平移，扇形上的点A移到了点F.
（1）指出平移的方向和平移的距离；
（2）画出平移后的扇形.
略.
【拓展训练】 9. 已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移到△A′B′C′，使点B′和点C 重合，连接AC′交A′C于点D. （1）求证：CD=A′D；（2）求△C′DC的面积.
第三章图形的平移与旋转
1.图形的平移第1课时
1. 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小 .
2. 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等 .
3. 如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，
连接A′B，则线段A′B与线段AC的位置关系是（Ｄ）
A. 垂直
B. 相等
C. 平分
D. 平分且垂直
4. 如果△ABC沿着北偏东50°的方向平移了4 cm，那么△ABC的一条高AD上的中点M沿着北偏东50应角相等
3. 如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度 “10”，则顶点C平移的距离CC′= 5 cm .
4. 如图，四边形ABCD是长方形，AB=3 cm，BC=4 cm，△AED≌△AOD，那么 △AED可以看成是 △BOC 沿着竖直向上的方向平移 3 cm 而得到的.

北师大版八年级下册数学第三章图形的平移与旋转第节《图形的旋转》教学课件

例2：如图：ABC是等边三角形，D是BC
上一点， ABD经过旋转后到达ACE的位置．
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋
Ａ
转后，点M转到了什么位置？
解：（1）旋转中心是A；
Ｍ．Ｅ
（2）旋转了60度；
ＢＤ
Ｃ
（3）点M转到了AC的中点位置上．
拓展练习1
第三章图形的平移与旋转
万德中学胡正梅
图案旋转欣赏
世界如此美丽
自转与公转
旋转——图标
观察思考
以上情景中的转动现象，有什么共同特征？
钟表的指针在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？飞机的螺旋桨、电风扇的叶轮的转动呢？
C
B
D
F
A
E O
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
答：旋转7次得到，旋转角度分别等于45°， 90°， 135°， 180°， 225°， 270 °，315°.
图案欣赏
E
O
通过本节课的学习，请你来谈谈你的收获吧！
一、这节课老师教给了你们什么？二、这节课学到了些什么？三、你们还有什么疑问需要老师给你们解决？
知识点归纳
1. 旋转的定义：“四要素”
图案可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少角度？
拓展练习2
图案可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少角度？
答：旋转5次得到，旋转角度分别等于60°， 120°， 180°， 240°， 300°.
拓展练习3：
下图可看作是一个等腰三角形通过几次旋转得到的？每次旋转多少度？

北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转同步串讲课件

【典例3】如图：是一块长方形的草地, 长为 21米.宽为15米在草地上有一条宽为1米的小道,小道两边为平移关系，长方形的草地上除小道外长满青草。求长草部分的面积为多少?
【典例4】将RtABC 沿直角边AB向右平移2 个单位得到RtDEF，如图所示，若AB＝4， ABC＝90º ，且ABC 的面积为6个平方单位，试求图中DBH的面积。
3.
4.
5.
【例3】如图，两图中A点的对应点均为A′点，作出四边形ABCD平移后的图形A′B′C′D′。
A B D A C B A′ A′ C D
练习
1．如图，将字母A按箭头所指的方向平移3cm，作出平移后的图形。
四．复整理
1. 2. 3.
4. 5.
平移的定义、特征。确定平移的两要素。平移方向的两种情形（与原图至少一边同向或不与任何一边同向。作图方法：五步特征法；格纸平移法。典例
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第三章图形的平移与旋转
八年级（下册）
点→线（两点定线）→角（两线）→（面）图→体
学习几何基本规律
一个图（三角形、四边形---）形的定义，性质，判定
两个图形之间的关系：全等、相似、对称、位似----
两次翻折=一次平移
对称旋转
全等变换
平移
形状大小都不变
二．平移动的特征
1. 实质：图形上的每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离。平移前后图形的形状、大小完全相同（全等）连接对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。对应角相等。（沿某一边方向移动）重要的关键词：平行且相等。方向、距离。两种情形：方向与一边相同；方向不与任何一边相同。

北师大版八年级数学下册《图形的平移》图形的平移与旋转PPT精品课件(第1课时)

实践探究，交流新知
（ 1 ）变换前后对应点的连线平行且相等：平移变换是图形的每一个点的变换，一个图形沿某个方向移动一定的距离，那么每一个点也沿着这个方向移动相同的距离，所以对应点的连线平行且相等．（ 2 ）变换前后的图形全等：平移变换是由一个图形沿着某个方向移动一定的距离，所以平移前后的图形是全等的．（3）变换前后对应角相等．（4）变换前后对应线段平行且相等．
学习重点
探索图形平移的主要特征和基本性质，会画简单图形的平移图.
学习Hale Waihona Puke 点探索和理解平移的基本性质.
创设情境，导入新课
请同学们观察如图所示的两幅图片．
问题1：你能发现传送带上的箱子和手扶电梯上的人在移动前后什么没有改变，什么发生了改变吗？问题2：在传送带上，如果箱子的把手向前移动了80 cm，那么箱子的其他部位向什么方向移动？移动的距离是多少？问题3：如果把移动前后的同一个箱子看成长方体，那么移动前后的长方体各个面的形状、大小是否相同？
北师大版八年级下册
第三章图形的平移与旋转
图形的平移（第1课时）
前言
学习目标
1. 通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵，理解和运用平移的基本性质． 2．认识平面图形的平移，探索平移的基本性质，会进行简单的平移画图. 3．通过收集自己身边“平移”的实例，感受“生活处处有数学”，激发学生学习数学的兴趣；通过欣赏生活中的平移图案，使学生感受数学美.
实践探究，交流新知
探究2 平移的性质如图，将△ABC沿射线XY的方向平移一定距离后得到△DEF.
问题1：(1)平移前后的两个图形有什么关系？ (2)在上图中，线段AD，BE，CF有怎样的位置关系和数量关系？ (3)图中每对对应线段之间有怎样的位置关系和数量关系？ (4)图中的对应角有什么关系？

北师大版八年级下册数学《图形的旋转》图形的平移与旋转PPT教学课件

B1
（3）△A2B2C2画出可以通过
怎样的变化得到△A1B1C1？
C1
旋转
课程讲授
1 旋转作图
例1 如图，画出线段 AB绕点A按顺时针方向旋转60°后
的线段．
作法：(1)如图，以AB为一
X
C
边按顺时针方向画∠BAX，
使得∠BAX=60°.
(2)在射线AX上取点C，使
得AC=AB.线段AC为所求．
课程讲授
随堂练习
7.如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆
时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，求∠CAB′
的度数. 解由旋转的性质可知
AC=AC′，∠C′AB′=∠CAB=70°， ∴∠AC′C=∠ACC′.
∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=70°， ∴∠C′AC=40°， ∴∠CAB′=∠C′AB′-∠C′AC=30°.
定义：像这样，在平面内，把
一个图形绕一个定点按某个方
O
向转动一个角度，这样的图形
运动称为旋转.这个定点称为
旋转中心.转动的角称为旋转
角.
课程讲授
1 旋转的认识
归纳：确定一次图形的旋转时,必须明确_旋__转__中__心__、
__旋__转__角____、__旋__转__方__向_____.
课程讲授
1 旋转的认识
练一练：下列属于旋转现象的是( C )
A.空中落下的物体 B.雪橇在雪地里滑动 C.拧开水龙头的过程 D.火车在急刹车时向前滑动
课程讲授
1 旋转的认识
定义：如果图形上的点
旋转角
O
旋转中心
120
对应点
课程讲授
1 旋转的认识

(完整版)北师大版八年级下册3.2图形的平移与旋转讲义(无答案)

八年级数学精讲——第三章：图形的平移与旋转【基础知识】1．平移的定义与规律（1）定义：在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，•这样的图形运动称为平移．关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．（2）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，•对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．（3）简单作图平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．2．旋转的定义与规律（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，•这样的图形运动称为旋转．关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．（2）旋转的规律经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（3）简单的旋转作图旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．3．图案的分析与设计首先找到图中的基本图案，然后分析其图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成的，我们主要遇到的变换有：轴对称、平移、旋转．在相似形一章里还会学到图形的放大与缩小等．【典例剖析】1、请你完成下列问题．图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为a，•竖直方向的边长均为b）；在图1中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；（1）（2）（3）在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．（1）在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移一个单位，•从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影．（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=_____，S2=_______，S3=_______；（3）联想与探索如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并说明你的猜想是正确的．2、如图，有边长为1的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，•以D为顶点作60°角，两边分别交AB、AC于M、N的三角形，连结MN，试说明△AMN的周长为2．3、如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边- 1 - / 8- 2 - / 8长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA 绕点O 顺时针转过的角度为度．4、如图，已知ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=o ，直角EPF ∠的顶点P 是BC中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：①AE CF=②APE CPF ∠=∠③EPF△是等腰直角三角形④EF AP=⑤12AEPFABC S S =四边形△；当EPF ∠在ABC △内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的序号有5、如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且68PA PB ==，，10PC =．若将PAC△绕点A 逆时针旋转后，得到P AB '△，则点P 与点P '之间的距离为，APB ∠=第4题第5题变式：△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ACP /重合，如果AP=3，那么线段P P /的长是多少？6、如图，ABC△中，90301B C AB ∠=∠==o o ，，，将ABC △绕顶点A 旋转180o ，点C 落在C '处，则CC '的长为。

北师大版_八年级数学_图形的平移与旋转讲义

成都百分师资教育VIP教育辅导第三章图形的平移与旋转【主要知识点】1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为 .平移不改变图形和，改变了图形的；经过平移，对应点所连的线段且，对应角。

注意：1.平移有两个要素：（1）；（2）；2.图像上每点都沿同一方向移动的距离，这个距离是指对应点之间线段的长度；3.平移前后两图形是的。

2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为 . 这点定点称为，转动的角称为。

旋转不改变图形的和，改变了图形的；经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是；对应点到旋转中心的相等。

注意：1.旋转中心在旋转过程中保持不动；2.图形的旋转是由，和所决定的（也称为旋转的三要素）； 3．作平移图与旋转图。

（确定关键点，将关键点沿一定的方向移动相同的距离，连接关键点）【经典例题】例1、如图，正方形ABCD中，E为BC边上的一点，将△ABE旋转后得到△CBF．（1）指出旋转中心及旋转的角度；（2）判断AE与CF的位置关系；（3）如果正方形的面积是18cm2，△BCF的面积是5cm2，问四边形AECD的面积是多少？例2、如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数.例3、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．例4、如图，正方形纸片ABCD和正方形EFGH边长都是1，点E是正方形ABCD的中心，在正方形EFGH绕着点E旋转过程中，（1）观察两个正方形的重叠部分的面积是否保持不变？（2）如果保持不变，求出它的值；否则，请简要说明理由。

例5、操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．例6、如图（1），已知△ABC是边长为2的等边三角形，D,E,F分别为AB,AC,BC边上的中点，连接DE,DF,EF.将△ADE向下平移，使得A点与C点重合，将△BDF向右平移，使得B点与C点重合，（如图2）。

北师大版八年级下册数学：第三章图形的平移与旋转复习课件(共26张PPT)

2 图形沿轴对折（翻转180°）图形绕中心旋转180°
3 翻转后和另一个图形重合旋转后和另一个图形重合
五、图形的平移与坐标变化之间的关系
1、设（x，y）是原图形上的一点，经过平移后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系：
2、设（x，y）是原图形上的一点，当它沿x 轴方向平移a个单位长度（a＞0）、沿y轴方向平移b个单位长度（b＞0）后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系：
（一）构建本章认知结构图
一、平移
1、平移的概念：
在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。
2、平移的性质：
（1）平移不改变图形的形状和大小；（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等。
的两旁，现准备合作修建一座过街天桥。（1）天桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？注
意：(天桥必须与街道垂直) （2）天桥建在何处才能使甲乙到天桥的距离相等？
甲
乙
布置作业：
课堂作业：
P87 第1题 P88 第6、7题
课外作业：
P87 的复习题的其他习题
∴∠BP'P=45°,PP' 2=18
仅靠平移 ∴ △ PBP ′是等腰直角三角形。
∴ ∠PP'C=90°
无法得到下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”字,红色部分能经过平移得到其他三部分吗?能经过适当的旋转吗?能经过轴对称吗?还有
其他方式吗?
议一议
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”
∴ ∠PP'C=90°
字,红色部分能经过平移得到其他三部分吗?能经由例题得△PBP'是等腰直角三角形

北师大版八年级下数学同步讲义第05讲图形的平移与旋转教师版

第05讲图形的平移与旋转知识梳理要点一、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（4）平移后，新图形与原图形的形状与大小不变.要点诠释：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图形顺次连接对应点．要点二、旋转的概念把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AOA′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.要点三、旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形的形状与大小不变.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点四、旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点五、中心对称和中心对称图形1.中心对称图形：把一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合，这种图形叫做中心对称图形，这个中心叫做对称中心．要点诠释：（1）中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.2.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：要点六、关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点P（x，y）关于原点的对称点P'坐标为P'（−x，−y），反之也成立.例题讲解类型一：生活中的平移现象1．下列现象属于数学中的平移的是（B）A．树叶从树上随风飘落B．升降电梯由一楼升到顶楼C．汽车方向盘的转动D．“神舟”号卫星绕地球运动2．中国上海世博会吉祥物的名字叫“海宝”，意即“四海之宝”．通过平移，可将图中的吉祥物“海宝”平移到图（B）A．B．C．D．类型二：平移的性质3．如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上），如果BC＝8cm，EC＝5cm，那么平移距离为（A）（第3题）（第4题）A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm4．如图，将周长为12的三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度得到三角形DEF，则四边形ABFD的周长为16．5．如图，两个直角三角形重叠在一起，将△ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，CH＝2cm，EF＝4cm，下列结论：①BH∥EF；②AD＝BE；③BD＝CH；④∠C＝∠BHD；⑤阴影部分的面积为6cm2．其中正确的是（A）A．①②③④⑤B．②③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤6．如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E．（1）试说明AE∥BC．（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，如图2，连接DQ．若∠E＝75°，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数．【解答】解：（1）∵DE∥AB，∴∠BAE+∠E＝180°，∵∠B＝∠E，∴∠BAE+∠B＝180°，∴AE∥BC；（2）如图2，过D作DF∥AE交AB于F，∵PQ∥AE，∴DF∥PQ，∵∠E＝75°，∴∠EDF＝105°，∵DE⊥DQ，∴∠EDQ＝90°，∴∠FDQ＝360°−105°−90°＝165°，∴∠DPQ+∠QDP＝165°，∴∠Q＝180°−165°＝15°．7．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．（1）直线OC与AB有何位置关系？请说明理由．（2）求∠EOB的度数；（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）AB∥OC，理由如下：∵CB∥OA，∴∠ABC+∠OAB＝180°，∵∠C＝∠OAB＝100°，∴∠C+∠ABC＝180，∴AB∥OC；（2）∵CB∥OA，∠C＝100°，∴∠AOC＝80°，又∵∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF，∴∠EOB＝∠BOF+∠EOF=12（∠AOF+∠COF）=12×80°＝40°；（3）存在，∵在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠COE=14∠AOC=14×80°＝20°，∴∠OEC＝180°−∠C−∠COE＝180°−100°−20°＝60°，故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．类型三：坐标与平移8．在平面直角坐标系中，已知线段MN的两个端点的坐标分别是M（−5，2）、N（1，−4），将线段MN向上移动3个单位，向左移动2个单位平移后，点M，N的对应坐标为（C）A．（−5，1），（0，−5）B．（−4，2），（1，−3）C．（−7，5），（−1，−1）D．（−5，0），（1，−5）9．坐标平面内，将点A（a，1）向右平移两个单位长度后恰好与点B（−4，b）关于原点对称，则a+b的值为（D）A．5B．−5C．3D．110．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（D）（第10题）（第11题）A．（1，3）B．（5，1）C．（1，3）或（3，5）D．（1，3）或（5，1）11．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长为4，点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO平移后得到△O′A′B′，平移后点A′的横坐标为6√3，则点B′的坐标为（C）A．（8√3，−4√3）B．（8，−4√3）C．（8√3，−4）D．（8，−4）类型四：旋转的性质12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为（C）（第12题）（第13题）A．√13B．4C．2√5D．513．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D 重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则点AC的长度为（D）A．5B．6C．√26D．√4114．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0°＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（C）A．50°B．55°C．60°D．65°15．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°．（1）写出点A，B的对应点；（2）求∠AOB'和∠A'OB的度数．【解答】解：（1）∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴点A的对应点A'，点B的对应点B'；（2）∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠AOA'＝∠BOB'＝45°，∴∠AOB'＝30°，∠A'OB＝60°．16．如图，P是等边△ABC内的一点，且P A＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．（1）求点P与点Q之间的距离；（2）求∠BPC的度数；（3）求△ABC的面积．【解答】解：（1）连结PQ，如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∵△QCB是△P AB绕点B逆时针旋转得到的，∴△QCB≌△P AB，∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ＝PB＝4；（2）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，而32+42＝52，∴PC2+PQ2＝CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，∵△PBQ是等边三角形，∴∠BPQ＝60°，∴∠BPC ＝∠BPQ +∠QPC ＝60°+90°＝150°；（3）如图2，过点C 作CH ⊥BP ，交BP 的延长线于H ，∵∠BPC ＝150°，∴∠CPH ＝30°，∴CH =12PC =32，PH =√3HC =3√32， ∴BH ＝4+3√32，∴BC 2＝BH 2+CH 2=94+（4+3√32）2＝25+12√3， ∵S △ABC =√34BC 2，∴S △ABC =√34（25+12√3）=25√34+9． 17．已知△ABC 为等边三角形．（1）如图，P 为△ABC 外一点，∠BPC ＝120°，连接P A ，PB ，PC ，求证：PB +PC ＝P A ；（2）如图，P 为△ABC 内一点，若P A ＝12，PB ＝5，PC ＝13，求∠APB 的度数．【解答】证明：（1）如图1，延长BP 至点E ，使得PE ＝PC ，连接CE ， ∵∠BPC ＝120°，PE ＝PC ，∴∠CPE ＝60°，∴△CPE 为等边三角形， ∴CP ＝PE ＝CE ，∠PCE ＝60°，∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ，∠BCA ＝60°，∴∠ACB ＝∠ECP ，∴∠ACB +∠BCP ＝∠ECP +∠BCP ，即：∠ACP ＝∠BCE ，在△ACP 和△BCE 中，{AC =BC∠ACP =∠BCE PE =PC，∴△ACP ≌△BCE （SAS ），∴AP ＝BE ，∵BE ＝BP +PE ＝BP +PC ，∴PB +PC ＝P A ；（2）如图2，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△CBP '，连接PP '，由旋转知，△APB ≌△CP ′B ，∴∠BP A ＝∠BP ′C ，P ′B ＝PB ＝5，P ′C ＝P A ＝12，∠PBP '＝∠ABC ＝60°，又∵P ′B ＝PB ＝5，∴△PBP ′是等边三角形，∴∠PP ′B ＝60°，PP ′＝5，在△PP ′C 中，PC ＝13，PP ′＝5，P ′C ＝12，∴PC 2＝PP ′2+P ′C 2，即∠PP ′C ＝90°，∴∠APB ＝∠BP ′C ＝60°+90°＝150°．类型五：中心对称图形18．（2020秋•南昌期中）下列图形中，只是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ A ）A．B．C．D．19．（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（C）A．B．C．D．20．点P（2a+1，4）与P'（1，3b−1）关于原点对称，则2a+b＝（C）A．3B．−2C．−3D．221．在平面直角坐标系中，点P（−1，m2+1）关于原点对称点在（D）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限类型六：简单的图案设计22．如图，四边形ABCD是轴对称图形，对角线BD所在的直线是它的对称轴，∠A＝∠C＝90°，AB≠AD，若把这个轴对称图形沿对角线BD剪开成两个三角形后，再把这两个三角形的一边完全重合在一起，重新拼成一个中心对称图形，则拼法共有（D）A．0种B．1种C．2种D．3种23．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：①使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．②使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【解答】解：①如图1所示：②如图2所示：24．如图，由5个全等的正方形组成的图案，请按下列要求画图：（1）在图案（1）中添加1个正方形，使它成轴对称图形但不是中心对称图形．（2）在图案（2）中添加1个正方形，使它成中心对称图形但不是轴对称图形．（3）在图案（3）中添加1个正方形，使它既成轴对称图形，又成中心对称图形．【解答】解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）如图所示．课后作业一．选择题（共5小题）1．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ C ）A ．B ．C ．D ．2．如图，△ABC 沿射线BC 方向平移到△DEF （点E 在线段BC 上），如果BC ＝8cm ，EC ＝5cm ，那么平移距离为（ A ）(第2题)(第3题)A ．3cmB ．5cmC ．8cmD ．13cm3．如图，△OCD 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若∠AOD ＝90°，则∠BOC 的度数是（ B ） A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°4．如图，四边形ABCD 中，∠DAB ＝30°，连接AC ，将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°，点C 的对应点与点D 重合，得到△EBD ，若AB ＝5，AD ＝4，则点AC 的长度为（ D ）A ．5B ．6C ．√26D ．√415．在 Rt △ABC 中，AC ＝BC ，点D 为AB 中点．∠GDH ＝90°，∠GDH 绕点D 旋转，DG ，DH 分别与边AC ，BC 交于E ，F 两点．下列结论①AE +BF =√22AB ，②AE 2+BF 2＝EF 2，③S 四边形CEDF =12S △ABC ， ④△DEF 始终为等腰直角三角形．其中正确的是（ D ）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④二．填空题（共5小题）6．如图，点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至A'B'，则a+b的值为2．（第6题）（第8题）7．已知甲、乙为两把不同刻度的直尺，且同一把直尺上的刻度之间距离相等．小明将此两把直尺紧贴，并将两直尺上的刻度0彼此对准后，发现甲尺的刻度36会对准乙尺的刻度48．若将甲尺向右平移且平移过程中两把直尺维持紧贴，使得甲尺的刻度0对准乙尺的刻度m，则此时甲尺的刻度n会对准乙尺的刻度为43n+m．（用含m，n的式子表示）8．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C′恰好落在边AB上，连接BB'，则∠C′B'B的度数是20°．9．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得到AD，边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝10，EN＝4，则DM＝6．10．如图，等边△ABC内有一点O，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+4√3，其中正确的结论是①②③④．三．解答题（共4小题）11．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，边BC＝12cm，把△ABC向下平移至△DEF后，AD＝5cm，GC＝4cm，请求出图中阴影部分的面积．【解答】解：∵把△ABC向下平移至△DEF，∴BC＝EF＝12cm，△ABC≌△DEF，∴阴影部分面积＝梯形BGFE的面积，∵GC＝4cm，∴BG＝12−4＝8cm，∴阴影部分面积=12×（8+12）×5＝50cm2．12．如图，点O是等边△ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，AD，（1）求证：△BCO≌△ACD．（2）若∠BOC＝150°，OB＝8，OC＝6，求△AOD的面积．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴CB＝CA，∠ACB＝60°，∵CO＝CD，∠OCD＝60°，∴∠ACB＝∠OCD，∴∠BCO＝∠ACD，在△BCO和△ACD中，{CB=CA∠BCO=∠ACDCO=CD，∴△BCO≌△ACD（SAS）．（2）解：∵△BCO≌△ACD，∴BO＝AD＝8，∠BOC＝∠ADC＝150°，∵CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△ODC是等边三角形，∴OD＝OB＝6，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝150°−60°＝90°，∴S△ADO=12•AD•DO＝24．13．图①，图②，图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1．线段AB的端点均在格点上．按要求在图①，图②，图③中画图．（1）在图①中，以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点；（2）在图②中，以线段AB为斜边画一个直角三角形，使其面积为2，且直角的顶点为格点；（3）在图③中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两个顶点均为格点．【解答】14．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．【解答】解：（1）③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD=√2OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．。

北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转章末复习课件(共51张)

章末复习
分析 (1)分别将△ABC的顶点A, B, C向右平移3个单位长度, 连接所得的点即可得出图形； (2)分别将△ABC的顶点A, B, C绕点O旋转180°, 连接所得的点即可得出图形； (3)连接OC1, 即可平分△AC1A2的面积．
章末复习
解 (1)(2)如图3-Z-7所示. (3)面积等分正确即可, 如图3-Z-7所示, 直线 OC1将△AC1A2的面积分成相等的两部分 (答案不唯一).
第三章图形的平移与旋转
章末复习
第三章图形的平移与旋转
章末复习
知识框架归纳整合素养提升中考链接
章末复习
知识框架
两要素：平移的方向、平移的距离
对应点所连的线段及对应线段分别平行(或在一条直线上)且相等；对应角相等
定义性质
作图
左、右平移, 横坐标减、加；上、下平移, 纵坐标加、减
章末复习
章末复习
解在图②中, 结论还成立；在图③中, 结论不成立. 图②结论： OD+OE= 2 OC. 证明如下：过点C分别作OA, OB的垂线, 垂足分别为P, Q, 如图②, 易证△CPD≌△CQE, ∴PD=QE. 又∵OP=OD+PD, OQ=OE-QE, 且OP+OQ= 2 OC, 即OD+PD+OE-QE= 2 OC, ∴ OD+OE= 2 OC. 图③结论：OE-OD= 2 OC.
章末复习
相关题2-2 [荆门中考]如图3-Z-5, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,点D, E分别在AB, AC上,EC=BC, 连接CD, 将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF, 连接EF． (1)将图形补充完整； (2)若EF∥CD, 求证：∠BDC=90°．