第六章 模式耦合理论2016
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E H ds E ti tj ti H tj ds 0 s s
i j
6 2
式中各场量都表示横向磁场，而面积分是在包括包层的光纤 整个横 截面 S上进行的。 (6-2)是两个导波模式之间的正交关系。可以证明每个导波模也与辐 射模正交，即满足如下数学关系
2 1 将上式代入(6-9)式，同时利用 的条件，可解得
A1 z B1e jKz B2 e jKz K K jKz jKz A z B e B e 2 1 2 K 21 K 21
6 13
式中 ， 为待定的积分常数，由初始条件决定。若假 B1 , B2 K K12 K 21 设 a1 z 0 a1 ， a2 z 0 a2，则可得到
E A1 z E1 A2 z E2 H A1 z H1 A2 z H 2
6 5
必须注意到的是，上式说明光纤1和光纤2同时存在时，总的光 波场已不是两根光纤场量的简单叠加。由于相互作用的影响，两根 光纤的场量叠加形成的总场量是随z变化的。也就是说，它们的叠加 系数是随着距离z变化的。
6 10
对上式求解时，先假设在z=0处A2(0)=0，即在起始端，假设光纤2中 没有光波，则对(6-10)的第2式积分可以得到
A2 L jK12 A1 z e
0 L j 2 1 z
dz
6 11
上式说明，光纤2在原先没有光波的条件下，经传播距离L后， 建立起振幅为A2(L)的光波场。（结论一）
6 9
K12 和 K 21是耦合系数，它们直接决定了光纤1和光纤2之间相互影响
Байду номын сангаас
的大小。一般说来，耦合系数都是复数，并且可以采用Lorentz互易 定理证明它们具有如下互易特性
* K12 K 21
利用 (6-8)式和耦合方程(6-9)式，可以得到
dA1 z j z jK 21 A2 z e 1 2 dz dA2 z jK A z e j 2 1 z 12 1 dz
K 21 1 B a 1 2 1 K a2 B 1 a K 21 a 2 2 1 2 K
6 9
6 14
a2 0 如果再令初始条件 ，则可将上式简化为
j z a1 z a1 cos Kze j z a2 z a1 sin Kze
•2. 模式的横向耦合理论
到另一根光纤中光波场的影响。 为分析两根相互靠近的光纤 的影响，首先假设两根光纤单独 存在时的场量分别为 a.)只有波导1存在时
1 j z E10 e 1 E1 2 j z 1 E10 e 1 j z H10 e 1 H1 2 j z 1 H10 e
K 21 1 B a 1 2 1 K a2 B 1 a K 21 a 2 2 1 2 K
6 14
则由 (6-13)式和耦合方程(6-14)式，可以得到
1 j z a1 z A1 z e 1 a1 2 1 j2 z a z A z e 2 2 a2 2 k21 j K z 1 a2 e a1 k12 2 k12 j K z 1 a1 e a2 k21 2 k21 j K z a2 e k12 k12 j K z a1 e k21
如果将光纤1和光纤2中的光波模式写为如下形式
j z j z E1 E10 e 1 ; H1 H10 e 1 j2 z ; H 2 H10 e j 2 z E2 E10 e
6 6
则耦合波的形式为
E a1 z E10 a2 z E20 H a1 z H10 a2 z H 20
波导2内 波导2周围 波导2内 波导2周围
上述各表达式中的各场量都是单根理想光纤存在时的导波模 式。如果光纤是单模光纤，则各场量是光纤的主模式；如果是多模 光纤则应理解为光纤中可能存在的传播模式的完备组合。
当波导1和波导2同时存在并相互靠近时，它们之间将产生相互 影响，严格的解应是将这两根光纤作为一个统一的耦合波导系统， 去求解一个统一的电磁场边值问题。 求解如此复杂的电磁场边值问题是极为困难的，而且一般也没 有解析解。但是在两个波导之间的耦合较弱的情况时，我们可以假 设耦合波导系统的场是原来波导1和波导2单独存在时的场的一个非 线性组合，即
E1 a1 z E10 H1 a1 z H10 E2 a2 z E20 H 2 a2 z H 20 波导1 波导2
两根互相平行的光波导
n1 n3 n2
D1 D3 D2
根据电磁波的传播理论，光纤1中的电场会在周围激励起磁场， 磁场也会在周围激励起电场。由麦克斯韦方程，可知光纤1周围有
矢量，而 E j , H j 表示第j个向负Z轴方向传播的场的电磁场矢量，
Erad , H rad 则是辐射模。式中的系数由模式的正交性和激励条件决定.
模式正交性指的是光波导中各导波模式在无损耗条件下独立传 播，不同模式之间没有能量耦合（而非传统意义上的“垂直”）. 数 学上，模式的正交性表示为
则根据理想的单根光波导满足的正交性，以及场量电场部分和磁场 部分满足的麦克斯韦方程可以得到耦合波方程为（并不是通过6-8直 接计算的，而且这个形式因“纤”而异，理论达到自洽的均视作正确 理论，选取哪种理论在实际实验中使用，就要看实际实验设计的方 案了）
da1 z j 1a1 z jK 21a2 z dz da2 z j a z jK a z 2 2 12 1 dz
E H ds E tj trad trad H tj ds 0 s s
6 3
模式的正交性是可以通过Lorentz互易定理证明的。
s
E H * E * H ds 0
6 4
上述导波模式之间，以及导波模式和辐射模式之间的完备性与 正交性对于单根的理想光纤是成立的。 实际上，任何光纤都不可能是理想光纤；光纤会存在损耗，几 何形状也会因实际工艺的影响而有微小的变化，波导周围也可能有 其他导波结构或障碍物存在，在这些非理想情形下，光波导模式之 间都会有能量的耦合。 我们将关注两根平行光纤之间存在的模式横向耦合问题，还有 光纤纵向不均匀性引起的模式纵向耦合问题。 PS：说白了，所谓的“耦合”就是“发生某种（可以是能量，可以是 振动状态，或者模式状态）关系”的意思。
6 7
其中
j 1 z a z A z e 1 1 j2 z a z A z e 2 2
6 8
MS WANG: 大家要注意，此时在描述两根光纤空间中的场时，一种 新的函数已经诞生。这个函数就是a（z），它描述的是什么？请大 家回答。
K 21
6 17
上式说明了一个有趣的现象，光波功率在光纤1和光纤2之间周期性 sin 2 Kz 1 交换（结论二），如果 ，则光功率完全耦合到光纤 2中。
(6-15)式 和(6-16)式的结果只能说是耦合模方程的形式解，因为在所 得结果中，有两个重要的参数，即耦合参数K12和K21并未给出。 严格求解这两个系数是非常困难的，简化的过程如下。 如右图示，将整个光纤耦合系 统分成三个区域。 如前所述，弱耦合条件下，可 认为波导1和波导2内的场分别为
数学上，模式的完备性表示为
E a j E j a j E j E rad j j H a j H j a j H j H rad j j
6 1
E j , H j 表示第j个向正Z轴方向传播的导波模的电磁场 上式中，
如右图示，两根互相平行的光纤，构成了一个耦合波导系统.由
于有另一根光纤的存在，无论是光纤1还是光纤2中的光波场都将受
波导1 内 波导1周围 波导1 内 波导1周围
两根互相平行的光波导
b).只有波导2存在时
1 j z E20 e 2 E 2 2 j z 2 E20 e 1 j z H 20 e 2 H 2 2 j z 2 H 20 e
2 1 0 PS: 另外， 时， 是一个高速振荡的因子，在耦 e j 2 1 z
合距离L内，不可能积分得到一个有效大小的值。也就是说，在光 合。
纤1与光纤2之间，仅当相位常数相近或同一模式间才能产生有效耦
再对同一模式的情况讨论。此时有 ，则可得到 2 1
A2 L jK12 A1 z dz
0 L
da1 z j 1a1 z jK 21a2 z dz da2 z j a z jK a z 2 2 12 1 dz
6 9
6 12
第6章补充内容 模式耦合理论专题
•1. 模式正交性与完备性 •2. 模式横向耦合理论 •3. 模式纵向耦合理论
•1. 模式的完备性与正交性
前几节中，分别用几何光学方法和电磁理论方法分析了光纤中 的电磁波传播问题。用电磁理论方法求解时，建立的一个重要的要 概念是模式，分别讨论了电磁导波模式的两种不同表达方式，即矢 量模和标量模。这种理想的光波导的导波模式满足边界条件，被称 为正规模。正规模满足模式的正交性和完备性。 可以证明，光波导纤维中实际可以存在的任何电磁场必然可以 表示为有限多个离散的导波模式和具有连续谱的辐射模式的叠加.， 这就是所谓模式完备性。
6 15
从上式可以看到，由于两根光纤的相互影响，可以认为光纤1和光纤
2中的光波场都分裂为两个波，其相位常数分别是原相位常数 的微 K K。 扰结果， 和
da1 z j 1a1 z jK 21a2 z dz da2 z j a z jK a z 2 2 12 1 dz
6 16
a1 z E10 a1 z H10 ，波 在弱耦合条件下，可以认为光纤1内的场即为 和
K12 H ，并假设 ，则光纤 a2 z E20 a2 z 导2内的场则为 和 1和光纤2 1 20
中传播的功率分别为
* 2 2 1 z a1 z a1 z a1 cos Kz P * 2 2 P2 z a2 z a2 z a2 sin Kz
i j
6 2
式中各场量都表示横向磁场，而面积分是在包括包层的光纤 整个横 截面 S上进行的。 (6-2)是两个导波模式之间的正交关系。可以证明每个导波模也与辐 射模正交，即满足如下数学关系
2 1 将上式代入(6-9)式，同时利用 的条件，可解得
A1 z B1e jKz B2 e jKz K K jKz jKz A z B e B e 2 1 2 K 21 K 21
6 13
式中 ， 为待定的积分常数，由初始条件决定。若假 B1 , B2 K K12 K 21 设 a1 z 0 a1 ， a2 z 0 a2，则可得到
E A1 z E1 A2 z E2 H A1 z H1 A2 z H 2
6 5
必须注意到的是，上式说明光纤1和光纤2同时存在时，总的光 波场已不是两根光纤场量的简单叠加。由于相互作用的影响，两根 光纤的场量叠加形成的总场量是随z变化的。也就是说，它们的叠加 系数是随着距离z变化的。
6 10
对上式求解时，先假设在z=0处A2(0)=0，即在起始端，假设光纤2中 没有光波，则对(6-10)的第2式积分可以得到
A2 L jK12 A1 z e
0 L j 2 1 z
dz
6 11
上式说明，光纤2在原先没有光波的条件下，经传播距离L后， 建立起振幅为A2(L)的光波场。（结论一）
6 9
K12 和 K 21是耦合系数，它们直接决定了光纤1和光纤2之间相互影响
Байду номын сангаас
的大小。一般说来，耦合系数都是复数，并且可以采用Lorentz互易 定理证明它们具有如下互易特性
* K12 K 21
利用 (6-8)式和耦合方程(6-9)式，可以得到
dA1 z j z jK 21 A2 z e 1 2 dz dA2 z jK A z e j 2 1 z 12 1 dz
K 21 1 B a 1 2 1 K a2 B 1 a K 21 a 2 2 1 2 K
6 9
6 14
a2 0 如果再令初始条件 ，则可将上式简化为
j z a1 z a1 cos Kze j z a2 z a1 sin Kze
•2. 模式的横向耦合理论
到另一根光纤中光波场的影响。 为分析两根相互靠近的光纤 的影响，首先假设两根光纤单独 存在时的场量分别为 a.)只有波导1存在时
1 j z E10 e 1 E1 2 j z 1 E10 e 1 j z H10 e 1 H1 2 j z 1 H10 e
K 21 1 B a 1 2 1 K a2 B 1 a K 21 a 2 2 1 2 K
6 14
则由 (6-13)式和耦合方程(6-14)式，可以得到
1 j z a1 z A1 z e 1 a1 2 1 j2 z a z A z e 2 2 a2 2 k21 j K z 1 a2 e a1 k12 2 k12 j K z 1 a1 e a2 k21 2 k21 j K z a2 e k12 k12 j K z a1 e k21
如果将光纤1和光纤2中的光波模式写为如下形式
j z j z E1 E10 e 1 ; H1 H10 e 1 j2 z ; H 2 H10 e j 2 z E2 E10 e
6 6
则耦合波的形式为
E a1 z E10 a2 z E20 H a1 z H10 a2 z H 20
波导2内 波导2周围 波导2内 波导2周围
上述各表达式中的各场量都是单根理想光纤存在时的导波模 式。如果光纤是单模光纤，则各场量是光纤的主模式；如果是多模 光纤则应理解为光纤中可能存在的传播模式的完备组合。
当波导1和波导2同时存在并相互靠近时，它们之间将产生相互 影响，严格的解应是将这两根光纤作为一个统一的耦合波导系统， 去求解一个统一的电磁场边值问题。 求解如此复杂的电磁场边值问题是极为困难的，而且一般也没 有解析解。但是在两个波导之间的耦合较弱的情况时，我们可以假 设耦合波导系统的场是原来波导1和波导2单独存在时的场的一个非 线性组合，即
E1 a1 z E10 H1 a1 z H10 E2 a2 z E20 H 2 a2 z H 20 波导1 波导2
两根互相平行的光波导
n1 n3 n2
D1 D3 D2
根据电磁波的传播理论，光纤1中的电场会在周围激励起磁场， 磁场也会在周围激励起电场。由麦克斯韦方程，可知光纤1周围有
矢量，而 E j , H j 表示第j个向负Z轴方向传播的场的电磁场矢量，
Erad , H rad 则是辐射模。式中的系数由模式的正交性和激励条件决定.
模式正交性指的是光波导中各导波模式在无损耗条件下独立传 播，不同模式之间没有能量耦合（而非传统意义上的“垂直”）. 数 学上，模式的正交性表示为
则根据理想的单根光波导满足的正交性，以及场量电场部分和磁场 部分满足的麦克斯韦方程可以得到耦合波方程为（并不是通过6-8直 接计算的，而且这个形式因“纤”而异，理论达到自洽的均视作正确 理论，选取哪种理论在实际实验中使用，就要看实际实验设计的方 案了）
da1 z j 1a1 z jK 21a2 z dz da2 z j a z jK a z 2 2 12 1 dz
E H ds E tj trad trad H tj ds 0 s s
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模式的正交性是可以通过Lorentz互易定理证明的。
s
E H * E * H ds 0
6 4
上述导波模式之间，以及导波模式和辐射模式之间的完备性与 正交性对于单根的理想光纤是成立的。 实际上，任何光纤都不可能是理想光纤；光纤会存在损耗，几 何形状也会因实际工艺的影响而有微小的变化，波导周围也可能有 其他导波结构或障碍物存在，在这些非理想情形下，光波导模式之 间都会有能量的耦合。 我们将关注两根平行光纤之间存在的模式横向耦合问题，还有 光纤纵向不均匀性引起的模式纵向耦合问题。 PS：说白了，所谓的“耦合”就是“发生某种（可以是能量，可以是 振动状态，或者模式状态）关系”的意思。
6 7
其中
j 1 z a z A z e 1 1 j2 z a z A z e 2 2
6 8
MS WANG: 大家要注意，此时在描述两根光纤空间中的场时，一种 新的函数已经诞生。这个函数就是a（z），它描述的是什么？请大 家回答。
K 21
6 17
上式说明了一个有趣的现象，光波功率在光纤1和光纤2之间周期性 sin 2 Kz 1 交换（结论二），如果 ，则光功率完全耦合到光纤 2中。
(6-15)式 和(6-16)式的结果只能说是耦合模方程的形式解，因为在所 得结果中，有两个重要的参数，即耦合参数K12和K21并未给出。 严格求解这两个系数是非常困难的，简化的过程如下。 如右图示，将整个光纤耦合系 统分成三个区域。 如前所述，弱耦合条件下，可 认为波导1和波导2内的场分别为
数学上，模式的完备性表示为
E a j E j a j E j E rad j j H a j H j a j H j H rad j j
6 1
E j , H j 表示第j个向正Z轴方向传播的导波模的电磁场 上式中，
如右图示，两根互相平行的光纤，构成了一个耦合波导系统.由
于有另一根光纤的存在，无论是光纤1还是光纤2中的光波场都将受
波导1 内 波导1周围 波导1 内 波导1周围
两根互相平行的光波导
b).只有波导2存在时
1 j z E20 e 2 E 2 2 j z 2 E20 e 1 j z H 20 e 2 H 2 2 j z 2 H 20 e
2 1 0 PS: 另外， 时， 是一个高速振荡的因子，在耦 e j 2 1 z
合距离L内，不可能积分得到一个有效大小的值。也就是说，在光 合。
纤1与光纤2之间，仅当相位常数相近或同一模式间才能产生有效耦
再对同一模式的情况讨论。此时有 ，则可得到 2 1
A2 L jK12 A1 z dz
0 L
da1 z j 1a1 z jK 21a2 z dz da2 z j a z jK a z 2 2 12 1 dz
6 9
6 12
第6章补充内容 模式耦合理论专题
•1. 模式正交性与完备性 •2. 模式横向耦合理论 •3. 模式纵向耦合理论
•1. 模式的完备性与正交性
前几节中，分别用几何光学方法和电磁理论方法分析了光纤中 的电磁波传播问题。用电磁理论方法求解时，建立的一个重要的要 概念是模式，分别讨论了电磁导波模式的两种不同表达方式，即矢 量模和标量模。这种理想的光波导的导波模式满足边界条件，被称 为正规模。正规模满足模式的正交性和完备性。 可以证明，光波导纤维中实际可以存在的任何电磁场必然可以 表示为有限多个离散的导波模式和具有连续谱的辐射模式的叠加.， 这就是所谓模式完备性。
6 15
从上式可以看到，由于两根光纤的相互影响，可以认为光纤1和光纤
2中的光波场都分裂为两个波，其相位常数分别是原相位常数 的微 K K。 扰结果， 和
da1 z j 1a1 z jK 21a2 z dz da2 z j a z jK a z 2 2 12 1 dz
6 16
a1 z E10 a1 z H10 ，波 在弱耦合条件下，可以认为光纤1内的场即为 和
K12 H ，并假设 ，则光纤 a2 z E20 a2 z 导2内的场则为 和 1和光纤2 1 20
中传播的功率分别为
* 2 2 1 z a1 z a1 z a1 cos Kz P * 2 2 P2 z a2 z a2 z a2 sin Kz