有限元分析方法
有限元法概述
大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件，最早的 是美国国家宇航局（NASA）在1956年委托美国计算科学 公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析 系统，该系统发展到现在已有几十个版本。此外，比较知 名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC，法 国AYATUS，美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。 （1） ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁 场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要 特点是具有较好的前处理功能，如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分 析，可以模拟多物理介质的相互作用，具有灵敏度分析 及优化分析能力；后处理的计算结果有多种显示和表达 能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析 工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久 性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应 用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis ， FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是将 弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种 数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计 算工具。 目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问 题中得到了广泛的与应用，如，机械制造、材料加工、航 空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船 舶、铁路、汽车和能源等，并受到了普遍的重视。 现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力 学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解由 杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性 问题，求解各类场分布问题，求解水流管道、电路、润滑、 噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是一种数值分析方法，用于解决物理问题的近似解。
它基于将有限元区域（即解释对象）分解成许多简单的几何形状（有限元）并对其进行数值计算的原理。
本文将深入探讨有限元分析的原理、应用和优点。
有限元分析的原理基于弹性力学理论和数值计算方法。
它通过将解释对象分解为有限个简单的几何区域（有限元）和节点，通过节点之间的连接来建立模型。
这些节点周围的解释对象区域称为“单元”，并且通过使用单元的形状函数近似解释对象的形状。
每个单元都有一个与之相连的节点，通过对每个单元的受力进行计算，可以得到整个解释对象的受力分布。
然后，利用一系列运算和迭代，可以计算出解释对象的位移、应力和变形等相关参数。
有限元分析的应用范围广泛，从结构力学、热传导、电磁场分析到流体力学等各个领域。
在结构力学中，它被用于分析各种结构的静力学、动力学和疲劳等性能。
在热传导领域，它可以用于研究物体内部的温度分布和传热性能。
在电磁场分析中，它可用于计算复杂电磁场下的电场、磁场和电磁场耦合问题。
在流体力学中，有限元方法可以解决各种流体流动、热传递和质量转移问题。
有限元分析的优点之一是可以处理各种复杂边界条件和非线性材料特性。
它可以考虑到不同材料的非线性本质，例如弹塑性和接触等问题。
另外，有限元方法还可以适应任意形状和尺寸的几何模型，因此非常适用于复杂工程问题的建模与分析。
有限元分析的使用需要一定的专业知识和经验。
首先，需要将解释对象抽象成几何模型，并进行细分和离散化。
其次，需要选择适当的几何元素和材料模型，以及合适的边界条件和加载方式。
然后，需要定义求解器和数值方法，并使用计算机程序对模型进行计算。
最后，需要对结果进行后处理和验证，以确保其准确性和可靠性。
总的来说，有限元分析是一种强大的工程分析工具，在解决各种物理问题方面有广泛的应用。
它通过将复杂的问题简化为简单的有限元模型，通过数值计算的方法获得近似解。
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析方法是一种在数字计算机上定量分析变形、弹性以及现代结构的受力情况的方法。
有限元分析方法的发展日趋完善，是加强建筑物结构抗震能力的有力工具。
一、有限元分析方法的概念有限元分析方法是一种基于有限元分析原理的数学方法，它是一种用于计算低维受力系统的通用数值方法，尤其是用于非线性力学系统的数值分析方法。
在有限元数值分析中，计算对象由许多有限个结构物构成，这些结构物称为有限元。
每个有限元都有一定的体积和形状，如线元、面元和体元。
有限元分析的基本思想就是将复杂的物理结构模型分解为若干较小的有限元模型，再将这些小的有限元模型组合成一个完整的物理模型，并对其进行连续性研究，从而精确地确定受力构件的变形、位移、应力、变形能量等物理参数。
二、有限元分析方法在工程中的应用有限元分析方法可以用于结构分析、计算机辅助设计和工程校核。
有限元分析方法可以用于预测结构的受力情况、拓扑设计和优化，这对于重要的结构失效的防护和抗震性能的提高有重要意义。
在计算机辅助设计领域，有限元分析方法可以用于几何形状优化，减轻材料重量并提高刚度，这是一种非常有效的技术。
在建筑工程中，有限元分析方法可以用于计算建筑物的受力情况，确定其最大荷载量，为建筑物的改造和重建提供参考。
三、有限元分析方法的发展趋势随着计算机技术的发展，有限元分析方法的发展也在不断推进。
近年来，以网格化数值计算为基础的有限元分析方法已经取得了巨大的进展，如实施大型网格化分析、更加准确和可靠的模型细分、更准确的网格分解技术、更有效的数值求解技术等。
这些技术将使有限元分析技术更容易、更有效地应用于计算机辅助设计、工程校核和抗震分析等领域。
总之，有限元分析方法是一种重要的力学分析方法，它在结构分析、计算机辅助设计以及建筑物抗震性能的研究中都起着重要作用。
随着计算机技术的发展，有限元分析方法的发展也在不断发展，为实现地震安全建筑的建设做出贡献。
有限元分析法
2个移动自由度 1个转动自由度
3个移动自由度 （平面杆单元2个） 3个移动自由度（平面梁2个） 3个转动自由度（平面梁1个） 3个移动自由度（平面2个） 3个转动自由度（平面1个）
梁结构
弹簧结构
网格划分方法
. . .. . ..
线性
体(三维实体)
. . . . . ... .. .. . ..
二次
低阶单 元
更高阶单元
线单元
• 线单元: 用于螺栓(杆)，弹簧，桁架或细长构件
面单元
• 壳单元: –Shell (壳)单元 每块面板的主尺寸不低于其厚度的10倍。
面单元
-平面应力 分析是用来分析诸如承受面内载荷的平 板、承受压力或远离中心载荷的薄圆盘等结构。
details ignored
Geometric model for FEA
单元类型选择
Element type：
3节点三角形平面应力单元
单元特性定义
Element properties：
材料特性：E, µ 单元厚度：t
网格划分
模型检查 • • • • 低质量单元 畸形单元 重合节点 重合单元
2 nodes
. .
A
. .
..
B
1 node
. .
. .
A
. .
B
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
. .
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
第2节 有限元建模方法
Finite element model
Input data
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析是一种工程数值分析方法，它通过将复杂的结构分割成许多小的有限元素，然后利用数学方法对这些元素进行计算，最终得出整个结构的应力、变形等物理量。
有限元分析方法在工程设计、材料研究、结构优化等领域有着广泛的应用。
有限元分析方法的基本思想是将一个连续的结构分割成有限个小的单元，每个单元都是一个简单的几何形状，比如三角形、四边形等。
然后在每个单元内部建立一个数学模型，利用数学方法对这些单元进行计算，最终将它们组合起来得到整个结构的应力、变形等物理量。
有限元分析方法的核心是建立数学模型。
在建立数学模型的过程中，需要考虑结构的材料性质、边界条件、加载情况等因素。
通过合理地选择单元类型、网格划分、数学模型等参数，可以得到准确的分析结果。
有限元分析方法的优点之一是可以处理复杂的结构。
由于有限元分析方法将结构分割成小的单元，因此可以处理各种复杂的结构，比如曲面、异形、空腔等。
这使得有限元分析方法在工程设计中有着广泛的应用。
另外，有限元分析方法还可以进行结构优化。
通过改变单元类型、网格划分、边界条件等参数，可以对结构进行优化，使得结构在满足强度、刚度等要求的前提下，尽可能地减小材料消耗，降低成本。
当然，有限元分析方法也有一些局限性。
比如，在处理非线性、大变形、大变位等问题时，需要考虑材料的非线性特性、接触、接触、摩擦等效应，这会增加分析的复杂度。
另外，有限元分析方法的结果也受到网格划分、单元类型等参数的影响，需要谨慎选择这些参数。
总的来说，有限元分析方法是一种强大的工程数值分析方法，它在工程设计、材料研究、结构优化等领域有着广泛的应用。
通过合理地建立数学模型、选择合适的参数，可以得到准确的分析结果，为工程设计和科学研究提供有力的支持。
有限元分析方法
k1 k1k2 k2
0
0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0 u1 0 0 u2 0 0k4uu4300 k4 u5 P
写成一般形式，可得：
[R ][K ]U [][F]
即： [反作]用 [总 力 体 矩 ]刚 位 [阵 度 移 ] [负 矩 矩荷 阵 阵 ]
引入边界条件，根据本题要求，节点1
有限元分析方法
第一章 概述
一、有限单元法的基本概念
一变横截面杆，一 端固定，另一端承受负 荷 P，试求杆沿长度方 向任一截面变形大小。 其中杆上边宽度为 w1 下边宽度为 w 2 ，厚度
为 t ，长度为 L，弹性
模量为 E。
① 采用材料力学的研究方法进行精确求解
解：设杆任一横截面面积为 A( y) ，平均应力
来，重新对上述五个方程进行变换，得：
节点1： k1u1k1u2R1
节点2： k 1 u 1 (k 1 k 2 )u 2 k 2 u 3 0
节点3： k 2 u 2 (k 2 k 3 )u 3 k 3 u 4 0 节点4： k 3 u 3 (k 3 k 4 )u 4 k 4 u 5 0
节点5： k4u4k5u5P
的位移为0，即 u1 0 ，则有如下矩阵形 式：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
0
0 0 u1 0
k1 k1 k2 k2
0
0 u2 0
0
0
k2 0
k2 k3 k3
k3 k3 k4
0k4uu43
0 0
0 0
0 k4 k4 u5 P
求解上述矩阵方程，可得每个节点位移，进 而求得每个节点反作用力，每一个单元的平均应 力和应变。即：
有限元分析(FEA)方法
单元形函数( 单元形函数(续)
遵循: 遵循 • DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单 DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解 值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解， 元内的平均值与实际情况吻合得很好。 元内的平均值与实际情况吻合得很好。 • 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的 DOFs推导出来的（ 构应力，热梯度）。 构应力，热梯度）。 • 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs DOFs， 地得到导出数据， 地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导 出来的。 出来的。
La-17
Definition
外载荷与结点的平衡方程
q ( li −1 + li ) 2 EA( u i − ui −1 ) li −1
为第i个结点上承受的外载荷 为第 个结点上承受的外载荷
−
EA( u i +1− ui ) li
=
q ( li −1 + li ) 2
2001年10月1日
ANSYS培训教程 – 版本 5.5 – XJTU MSSV(001128)
历史典故 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的 ANSYS最早是在 是随计算机硬件而发展壮大的。 最早是在1970 早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在1970 年发布的，运行在价格为＄ 000，000的CDC、 Univac和 年发布的，运行在价格为＄1，000，000的CDC、由Univac和IBM 生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今天的PC PC机 生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一 台奔腾PC机在几分钟内可求解5000 5000的矩阵系统 PC机在几分钟内可求解5000× 的矩阵系统， 台奔腾PC机在几分钟内可求解5000×5000的矩阵系统，而过去 则需要几天时间。 则需要几天时间。
有限元法概述
（2）MSC/NASTRAN。 MSC/NASTRAN是在原NAST RAN基础上进行大量改进后的系统软件，主要包括MS C.Patran并行框架式有限元前后处理及分析系统、 MS C.GS-Mesher快速有限元网格、 MSC.MARC非线性有 限元软件等。其中MSC.MARC具有较强的结构分析能
.
5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
.
汽车碰撞实验
.
刹车制动时地盘的应力分析
.
钢板精轧机热轧制分析
.
三维椭圆封头开孔补强
.
水轮机叶轮的受力分析模拟
.
人体股骨端受力分析
.
半导体芯片温度场的数值仿真
知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
.
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
.
4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水平 上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人的 理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观的 物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念推 导。
ABAQUS有限元分析方法
ABAQUS有限元分析方法有限元分析是一种将连续问题离散化成有限数量的元素，通过求解这些离散化的元素的行为，来推断整个问题的行为的数值分析方法。
ABAQUS就是一种基于有限元方法的求解器，它使用了计算机模拟技术，可以求解各种工程问题，如结构力学、热力学、流体力学等。
建模是有限元分析的第一步，ABAQUS提供了多种建模技术和工具来帮助用户创建复杂的几何模型。
用户可以使用ABAQUS提供的几何建模工具来创建三维模型，也可以导入其他计算机辅助设计（CAD）软件生成的模型。
在建模过程中，用户还可以定义材料属性、加载条件和约束等。
一旦建立了几何模型，用户就可以定义有限元网格。
有限元网格是将模型离散化为有限数量的单元的过程。
ABAQUS提供了多种类型的单元，如线性和非线性、静力学和动力学等。
用户可以根据具体的问题选择适当的单元类型。
通常，使用更精细的网格可以提高解的精度，但也会增加计算时间和内存需求。
在模型离散化后，用户需要定义材料特性和加载条件。
ABAQUS支持多种材料模型，如线性弹性、非线性材料、塑性材料等。
用户可以根据材料的真实性质选择适当的材料模型，并提供相关参数。
加载条件是指施加到模型上的外部载荷或约束。
用户可以定义各种加载条件，如受力、温度、位移约束等。
建立好模型后，用户需要选择适当的求解方法。
ABAQUS提供了多种求解方法，如直接方法、迭代方法、稳定方法等。
用户可以根据问题的特点选择适合的求解方法，并提供求解的控制参数。
完成求解后，用户可以对结果进行后处理。
ABAQUS提供了丰富的后处理工具，可以可视化模型的应力、应变、位移等结果。
用户可以进一步分析和评估模型的响应。
在使用ABAQUS进行有限元分析时，一些常见的技巧和注意事项包括：-使用合适的网格：细化网格可以提高解的精度，但需要更多的计算资源。
-使用合适的材料模型：根据材料的真实性质选择适当的材料模型，并提供正确的参数。
-检查模型：在求解之前，检查模型的几何和网格是否正确，以及加载条件是否合理。
常用的有限元分析方法
常用的有限元分析方法1、结构静力分析结构静力分析用来分析由于稳态外部载荷引起的系统或部件的位移、应力、应变和力。
静力分析很适合于求解惯性及阻力的时间相关作用对结构响应的影响并不显著的问题。
这种分析类型有很广泛的应用，如确定结构的应力集中程度，或预测结构中由温度引起的应力等。
静力分析包括线性静力分析和非线性静力分析。
如图1、图2所示。
非线性静力分析允许有大变形、蠕变、应力刚化、接触单元、超弹性单元等。
结构非线性可以分为：几何非线性，材料非线性和状态非线性三种类型。
几何非线性指物体在外部载荷作用下所产生的变形与其本身的几何尺寸相比不能忽略时，由物体的变形引起的非线性响应。
材料非线性指物体材料变形时，材料所表现的非线性应力应变关系。
常见的材料非线性有弹塑性、超弹性、粘弹塑性等。
许多因素可以影响材料的非线性应力-应变关系，如加载历史、环境温度、加载的时间总量等。
状态非线性是指结构表现出来的一种与状态相关的非线性行为，如二个变形体之间的接触。
随着接触状态的变化，其刚度矩阵发生显著的变化。
图1 图2汽车车架的线性结构静力分析应用云图发动机连杆小头连接部分的结构静力分析云图2、结构动力分析结构动力分析一般包括结构模态分析、谐响应分析和瞬态动力学分析。
结构模态分析用于确定结构或部件的振动特性（固有频率和振型）。
它也是其它瞬态动力学分析的起点，如谐响应分析、谱分析等。
结构模态分析中常用的模态提取方法有：子空间(Subspace)法、分块的兰索斯(BlockLanczos)法、PowerDynamics法、豪斯霍尔德(ReducedHouseholder)法、Damped法以及Unsysmmetric法等。
谐响应分析用于分析持速的周期载荷在结构系统中产生的持速的周期响应（谐响应），以及确定线性结构承受随时间按正弦（简谐）规律变化的载荷时稳态响应的一种分析方法，这种分析只计算结构的稳态受迫振动，不考虑发生在激励开始时的瞬态振动，谐响应分析是一种线性分析，但也可以分析有预应力的结构。
有限元分析的原理
有限元分析的原理
有限元分析是一种利用数值计算方法对复杂结构进行力学分析的工程技术。
其基本原理是将结构离散为有限数量的简单元素（如三角形、四边形等），通过对这些元素的力学性质进行计算，再整合得到整个结构的行为。
有限元分析的具体步骤如下：
1. 离散化：将结构划分为一系列连续或间断的有限元素，并确定每个元素的节点。
常用的有限元素包括线元、面元和体元。
2. 建立元素方程：通过对各个元素应用力学原理，建立每个元素的力学方程。
根据结构的不同特性，可以考虑各向同性或各向异性。
3. 组装方程：将各个元素的力学方程组装成整个结构的方程系统。
通过将节点的位移和力进行连接，形成整个结构的整体方程。
4. 约束和加载：根据实际问题，对结构施加特定的边界条件和加载情况。
这些条件可以是强制性的约束（如固定支座）或施加的外部载荷。
5. 求解方程：通过数值计算方法求解组装的方程系统，得到各个节点的位移、应力和应变等。
常用的方法有直接法（如高斯消元法）和迭代法（如共轭梯度法）。
6. 后处理：根据求解结果，对结构的应力、变形等进行分析和评估。
可以绘制各个节点或元素的位移云图、应力云图等。
有限元分析的优势在于可以较好地描述非线性、动力学和多物理场等复杂问题，并可以在设计阶段提供有用的指导。
然而，有限元分析也有一些限制，如需要对结构进行合理的离散化、对结果进行验证以及计算资源的消耗等。
因此，在进行有限元分析时，需要合理选择计算模型和方法，并结合实际情况进行综合分析和判断。
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理： 中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚 功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
有限元分析与应用_第7讲有限元方法的一般步骤
有限元分析与应用_第7讲有限元方法的一般步骤有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种将连续体力学问题转化为有限个离散子域的数学方法。
下面是有限元方法一般步骤的详细介绍。
第一步是建立数学模型。
根据实际问题的特点和要求，选择合适的数学模型。
通常需要确定几何模型（包括尺寸和形状）、物理模型（包括材料特性和边界条件）和数学模型（通常为偏微分方程组）。
同时，也要将实际问题抽象为离散子域。
第二步是离散化。
将实际问题转化为有限个子域，将连续的问题离散为离散节点和单元的问题。
通常包括选择节点和单元的类型、确定网格尺寸和单元形状以及建立局部坐标。
第三步是建立有限元方程。
根据离散化的结果，利用变分原理或其他数学方法，建立离散节点上的有限元方程。
通常需要建立刚度矩阵和载荷矢量。
刚度矩阵的计算包括积分和局部坐标转换等。
第四步是引入边界条件。
根据实际问题的特点，确定边界条件，包括固支约束、力和热边界条件等。
将边界条件应用到有限元方程中，得到最终的离散方程。
第五步是求解离散方程。
利用数值计算方法，求解离散方程组，得到节点上的未知位移、温度或其他待求解变量。
求解过程一般涉及线性方程组的求解方法，如直接法（高斯消元法）和迭代法（雅可比法、SOR法等）。
第六步是后处理。
根据求解结果，进行数据分析和可视化，得到问题的解释和评估。
后处理结果可以包括位移、应力、温度等各种物理量的分布图、曲线图和表格。
同时，也可以对模型进行验证和优化。
总的来说，有限元方法的一般步骤包括建立数学模型、离散化、建立有限元方程、引入边界条件、求解离散方程和后处理。
每个步骤都需要综合考虑问题特点、数学方法和计算机实现的要求。
在实际应用中，可以根据具体情况和经验进行适当的调整和改进，以得到更准确和高效的结果。
有限元分析法概述
第十一章 有限元分析方法概述1、基本概念有限元分析方法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代没计计算方法。
它是20世纪50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。
求解这类场问题的方法主要有两种：用解析法求得精确解；用数值解法求其近似解。
应该指出，能用解析法求出精确解的只是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。
而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。
这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。
目前工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法、有限元法和边界元法。
其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，目前在工程中的应用最为广泛。
下面通过一个具体例子，分别采用解析法和数值解法进行求解，从而体会一下有限元分析方法的含义及其相关的一些基本概念。
如下图所示为一变横截面杆，杆的一端固定，另一端承受负荷P ，试求杆沿长度方向任一截面的变形大小。
其中，杆的上边宽度为1w ，下边宽度为2w ，厚度为t ，长度为L ，杆的材料弹性模量为E 。
已知P ＝4450N ，1w ＝50mm ，2w =25mm ，t =3mm ，L =250mm ，E =72GPa 。
① 采用解析法精确求解假设杆任一横截面面积为)(y A ，其上平均应力为σ，应变为ε。
根据静力平衡条件有：0)(=-y A P σ根据虎克定律有：εσE =而任一横截面面积为：t y L w w w y A )()(121-+= 任一横截面产生的应变为：dydu=ε将上述方程代入静力平衡条件，进行变换后有：dy y EA Pdu )(=沿杆的长度方向对上式两边进行积分，可得：⎰⎰⎰-+==y yudy y Lw w w Et P dy y EA P du 01210)()(将)(y A 表达式代入上式，并对两边进行积分，得杆沿长度方向任一横截面的变形量：]ln )[ln()()(112112w y Lw w w w w Et PL y u --+-=当y 分别取0、62.5、125、187.5、250值时，变截面杆相应横截面处的沿杆长方向的变形量分别为：m u m u m u m u m u 6564636211080.142 ;1083.96 ;1027.59 ;1051.27 ;0----⨯=⨯=⨯=⨯==② 采用数值解法近似求解将变横截面杆沿长度方向分成独立的4小段，每一小段采用等截面直杆近似，等截面直杆的横截面面积为相应的变截面杆横截面面积的平均面积表示，每一小段称为一个单元，小段之间通过节点连接起来。
工程中的有限元方法
工程中的有限元方法
有限元方法（Finite Element Method, FEM）是一种常见的工程分析方法，广泛应用于各种工程领域。
下面是其中一些常见的应用。
1. 结构力学分析：有限元方法在工程中最常见的应用之一是结构力学分析。
通过将结构分割成有限个小的单元，并在每个单元内使用简单的数学模型描述其行为，可以对结构进行力学性能的计算和预测。
这种方法可以用于分析各种类型的结构，如桥梁、航空器、建筑物等。
2. 热传导分析：有限元方法还可以应用于热传导问题的数值计算。
通过将热传导区域划分为有限个小的单元，并在每个单元内使用热传导方程进行模拟，可以计算和预测材料内部的温度分布和热流。
这种方法在热交换器设计、电子元器件散热等领域有广泛应用。
3. 流体力学分析：有限元方法也可以用于模拟和分析流体的运动和行为。
通过将流体域划分为有限个小的单元，并在每个单元内使用流体力学方程进行模拟，可以计算流体的速度、压力和流量。
这种方法在流体动力学、气动学和水动力学等领域有广泛应用。
4. 电磁场分析：有限元方法还可以用于模拟和分析电磁场的行为和效应。
通过将电磁场区域划分为有限个小的单元，并在每个单元内使用麦克斯韦方程组进行模拟，可以计算电场、磁场和电流。
这种方法在电力系统、电磁感应和电磁兼容
性等领域有广泛应用。
除了上述应用，有限元方法还可以用于声学和振动分析、优化设计、材料力学分析等各种工程问题的模拟和分析。
它有较强的灵活性和适应性，能够适用于各种复杂的工程情况，并且能够提供较为准确的数值解。
然而，它也需要充分的理论基础和严密的数值计算方法才能获得可靠的结果。
有限元分析FEA
有限元分析FEA有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域，用于估算结构在特定工况下的力学性能。
FEA 将复杂的实际结构抽象为有限数量的简单几何形状，然后通过对这些几何形状进行分割，建立一个离散的节点网格，进而利用数学方法对节点网格上的几何、力学和材料性能进行模拟和计算，通过求解节点间的方程组，得到结构的应力、应变、位移等结果。
1.建立几何模型：通过计算机辅助设计软件建立结构的几何模型。
模型可以是二维或三维的，包括各种几何形状，如线段、矩形、圆形等，并包含结构的尺寸和几何特征。
2.网格划分：将几何模型划分为离散的节点网格，并在节点上分配适当的节点元素。
节点元素可以是线元素、平面元素或体元素，将结构的连续性转化为离散点之间的连接关系。
3.建立力学模型：根据所要研究的问题和加载条件，确定边界条件、加载情况和材料性能等。
边界条件包括约束和加载，在节点和元素上分配适当的约束和加载。
4.建立单元刚度矩阵：根据单元的几何形状和材料特性，建立单元的刚度矩阵。
刚度矩阵包含单元的弹性刚度、几何刚度和材料刚度。
5.组装刚度矩阵：将所有单元的刚度矩阵根据节点的连接关系进行组装，得到总体的刚度矩阵。
组装的过程包括将单元刚度矩阵映射到全局坐标系、考虑边界条件和加载等。
6.求解方程组：建立节点的位移和约束条件之间的关系，得到结构的位移、应力和应变等结果。
可以通过直接解方程组或迭代求解的方法得到最终结果。
7.后处理：根据具体问题的要求，对结果进行分析和解释。
可以绘制位移云图、应力云图、应变云图等，进行结构的评估和优化。
FEA有以下几个主要特点和优势：1.可适用于各种工程领域：FEA可以用于解决结构和材料的强度、稳定性、疲劳、振动、热传导、电磁等多种问题，广泛应用于航空航天、汽车、能源、建筑和机械制造等领域。
2.具有高精度：通过适当的剖分和合理的力学模型，能够在相对较短的时间内提供较准确的结果，并对结构进行合理和有效的评估。
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有限元法的基本概念
• 物体离散化(核心思想)
将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算 模型，离散后单元与单元之间利用单元的节点相 互连接起来，用有限元分析计算的结果只是近似 的，划分单元的数目越多而又合理，则所得结果
与实际情况越接近。 ANSYS中的单元举例
有限元法的基本概念
• 单元特性分析
1.选择位移模式 在有限元中，选择节点位移作为基本未知量时
中的关键一步。利用弹性力学中的几何方程和物 理方程建立力和位移的方程式，从而导出单元刚 度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。
有限元法的基本概念
• 单元特性分析
3.计算等效节点力 对于实际的连续体，力是从单元的公共边界传
递到另一单元中去；物体离散化后，假定力是通 过单元节点从一个单元传递到另一个单元，因而 这种作用在单元边界上的表面力、体积力或集中 力都需要等效的移到节点上去。
有限元法的软件简介
3. ANSYS
ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一 体的大型通用有限元分析软件。由世界上最大的有限元分 析软件公司之一的美国ANSYS开发，它能与多数CAD软件 接口，实现数据的共享和交换，如Pro/Engineer, NASTRAN, Alogor, I－DEAS, AutoCAD等， 是现代产品设计 中的高级CAE工具之一。ANSYS有限元软件包是一个多用 途的有限元法计算机设计程序，可以用来求解结构、流体 、电力、电磁场及碰撞等问题。因此它可应用于以下工业 领域： 航空航天、汽车工业、生物医学、桥梁、建筑、 电子产品、重型机械、微机电系统、运动器械等。
有限元法的软件求解步骤
• ANSYS有限元软件模块及功能
• 2分存进分。.求析盘入析解前点结，分选模处击果退析项块理快。出求、AS阶捷解载PONreL段工模荷SUp12345678YrT完 具块数........oS结结结动热电流声IOc成区。据软eN构构构力分磁体场s建的在和件s静动非学析场动分o模S该载提r，力力线分分力析A以阶荷V供点分学性析析学E后段步的_击析分分分D，，选分B实析析析将用用项析用前户户，类菜处可可然型单理以以后如项模在定 开下中块求义始：的生解分有S成o阶析限lu的段类元ti模o获型求n型，得、解 9.压电分析
非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员 所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投 资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等专长于求解非线 性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。
有限元法的发展趋势
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的 飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少， 而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。 在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的 有限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个工 程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。
有限元分析方法
FEM（Finite Element Method）
本次课主要讲以下内容
1.有限元法的基本概念 2.有限元法的软件简介 3.有限元法的求解步骤 4.有限元法的典型案例 5.有限元法的发展趋势
有限元法的基本概念
•是有解限决元工法程是实求际解问差有数分限题常法体用理的，积数方一法有值程种，限分的有边元析一力界法方种元，的法：数数值值计计算算方工法具，， 最初这种方法被用法 来研究复杂的飞机结构中的应 力，是将以结构力学和弹性力学为理论基础，以 计算机为媒体，以有限元程序为主体，针对大型 结构工程的数值计算方法。由于这一方法的灵活， 快速和有效性，使其迅速发展成为求解各领域的 数理方程的一种通用的近似计算方法，目前已在 许多学科领域和工程问题中得到广泛的应用。
例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过来 影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分 析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问题。
有限元法的发展趋势
由求解线性工程问题进展到分析非线性问题
线性理论已经远远不能满足设计的要求。
例如：航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，要考 虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出 现，只有采用非线性有限元算法才能解决。
有限元法的软件简介
2.ADINA
ADINA 软件是美国ADINA R&D 公司的产品，是基于有限元 技术的大型通用分析仿真平台，ADINA 系统是一个单机系 统的程序，用于进行固体、结构、流体以及结构相互作用 的流体流动的复杂有限元分析。借助 ADINA 系统，用户 无需使用一套有限元程序进行线性动态与静态的结构分析 ，而用另外的程序进行非线性结构分析，再用其他基于流 量的有限元程序进行流体流动分析。此外， ADINA 系统 还是最主要的、用于结构相互作用的流体流动的完全耦合 分析程序（多物理场）。其非线性问题稳定求解、多物理 场仿真等功能一直处在全球领导地位。
有限元法的软件简介
常用的有限元软件比较分析
1. MSC.software公司的 DYTRAN软件
MSC公司的MSC.DYTRAN程序中增加荷兰公司开发的高级 流体动力学和流体——结构相互作用功能，还开发了物质 流动算法和流固耦合算法。在同类软件中，其高度非线性 、流—固耦合方面有独特之处。 MSC.Dytran主要用于求解高度非线性、瞬态动力学、流 体及流-固耦合等问题， 其领先技术可用于解决广泛复杂 的工程问题，如: 金属成形，水下爆炸、碰撞、搁浅、冲 击、高速穿甲、汽车安全气囊展开（OOP）、液－固耦合 、液体晃动、安全防护等问题。
有限元法的发展趋势
与CAD软件的无缝集成
当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件的集
成使用， 即：在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，
自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结果不符合
设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从而极
大地提高了设计水平和效率。当今所有的商业化有限元系
有限元法的求解步骤
>>单元特性的推导方法介绍：
• 1.直接刚度法：直接利用物理概念来建立有 限元方程和分析单元特性。
示例：
F
e
e
[K ]
q e
节点力矩阵=刚度矩阵*节点位移矩阵
• 2.虚功原理法 1）设定位移函数 2）利用几何方程由位移函数求应变 3）利用广义胡克定律求应力 4）由虚功原理求单元刚度矩阵 3.能量变分原理法 4.加权残数法
有限元法的软件求解步骤
ANSYS有限元软件模块及功能
1.前处理模块PREP7 这个模块主要有两部分内容：实体建模和网格划分
●实体建模 ANSYS程序提供了两种实体建模方法：自顶向下与自底向上。 自顶向下进行实体建模时，用户定义一个模型的最高级图元，如 球、棱柱，称为基元，程序则自动定义相关的面、线及关键点。 自底向上进行实体建模时，用户从最低级的图元向上构造模型， 即：用户首先定义关键点，然后依次是相关的线、面、体。 ●网格划分 ANSYS程序提供了使用便捷、高质量的对CAD模型进行网格划分 的功能。包括四种网格划分方法：延伸划分、映像划分、自由划分和 自适应划分。
有限元法的软件求解步骤
• ANSYS有限元软件模块及功能
• 3.后处理模块POST1和POST26
ANSYS软件的后处理过程包括两个部分：通 用后处理模块POST1和时间历程后处理模块 POST26。这些结果可能包括位移、温度、应力、 应变、速度及热流等，输出形式可以有图形显示 和数据列表两种。
●通用后处理模块POST1 ●时间历程响应后处理模块POST26
有限元法的求解步骤
单元划分原则：
•
•Байду номын сангаас
集合步将．骤待元1：解素剖区（分域单: 进元1单 2等..单 综元 因行）元 合几 素分的结 考何 ，构 虑割形形 在形 计状 保，状状 算各 证离原取 精边 计决 度长 算散则于 、度 精成上结 速尺 度构 度有是寸的特 、不前限任点计能提个意和算相下受机差，元的力存太单素．情储大元况空的二；网，间
有限元法的基本概念
• 单元组集
利用力的平衡条件和边界条件，把各个单元按 原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方 程
Kq=F K——整体结构的刚度矩阵； q——节点位移列阵； F——载荷列阵。
有限元法的基本概念
求解未知节点位移 解方程组Kq=F得出位移
综上分析，可以看出，有限元法的基本思想是 “一分一合”，分是为了进行单元分析，合实在 单元分析的基础上对整体结构进行分析。
的函数值展开，即号，建不立允一许重个复线或遗性漏插；值函数
•
7.单元集合体应精确逼近设计对象的边、定点 或面。
有限元法的求解步骤
步骤3：求解近似变分方程 用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分
片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元 法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个 杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六 面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待 定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近 似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方 程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程 组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性 和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协 调、混合、杂交、拟协调元等。
有限元法典型案例
1.医学应用 2.汽车碰撞模拟 3.车削加工过程仿真分析
有限元法的发展趋势
从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题
有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步 推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析。
有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、 渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交 叉学科的问题。