北师大版九年级数学一元二次方程根与系数的关系辅导讲义
北师大版初中九年级上册数学课件 《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT优质课件
*2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系． 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
课前预习
(一)知识探究 那么1x.1＋如x果2＝方－程－baax2＋,bxx1＋x2＝c＝0(aca≠0．)有两个实数根 x1，x2，
2. 利用根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积， 通常是将方程化为 一一般般 形式，计算 b2－4ac 的值并确定方 程有两个实根，再利用根与系数的关系加以计算．
两根之和或积
问题
方法
求方程中字母 根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于
系数的值 字母的方程或不等式
求方程
逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2 ＝1，
x1x2＝－53. x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12＋2×53＝133.
例2 已知 x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，不解 方程，求下列代数式的值：
(2)x11＋x12.
【思路点拨】根据异分母分式的加法法则进行变形处理， 代入求值．
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2＝1， x1x2＝－53. x11＋x12＝xx1＋1xx2 2＝－153＝－35.
【归纳总结】 用根与系数的关系解题时常用的一些变形式： ①x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； ② 1 ＋1 ＝x1＋x2；
x1 x2 x1x2 ③(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ④xx21＋xx12＝xx21＋1x2x22＝（x1＋xx2）1x22－2x1x1.
九上数一元二次方程的根与系数的关系
四、巩固性练习
4.若 x1 ，x2 是一元二次方程 2x2 6x 8 0的两个根，求下列
各式的值： (1)
11
；
x1 x2
(2) x12 x22 .
注意：结合已学！进 行式子变形。
五、综合性练习
5.已知一元二次方程 x2 2x k 0 的两个根互为倒数，求 k 的值.
五、综合性练习
.
▪ 2.若 x1 ，x2 是方程 2x2 6x 8的两个根，求x1 x2 与 x1x2 的值．
注意：先化方程一般式！！ 找好a、b、c！
四、巩固性练习
3.下列一元二次方程中，两实数根之和等于2的方程是 ( B )
A. x2 2x 3 0 C． 2x2 2x 3 0
B． x2 2x 3 0 D． 3x2 6x 1 0
6.已知一元二次方程 x2 2x k 1 0有两实根为 x1 ， x2 .
(1)求 k 的取值范围；
(2)若 x1 x2 x1x2 1 ，且 k 为整数，求 k 的值.
注意：根据根的情况！ 确定未知数取值范围。
六、小结与作业
1.这节课我们学习了什么？
①一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)；
北师大版九年级数学上册 第二章 《一元二次方程》
2.5一元二次方程的根与系数的关系
学习目标：
一、知识与技能 ▪ 1.了解一元二次方程根与系数的关系。 ▪ 2.会利用一元二次方程根与系数关系解决有关的问题。 二、过程与方法 ▪通过一元二次方程根与系数关系的发现与推导，进一步培养分析、观察、 归纳、猜想能力和推理论证的能力。 三、情感态度与价值观 ▪激发学习兴趣，培养热爱数学、热爱生活的乐观人生态度。
b
x x 方程有两实数根分别为x1，x2，则两根和： 1
北师大版数学九年级上册：一元二次方程的根与系数的关系课件
2
6.已知在关于x的分式方程 k 1 =2①和一元二次方程
x 1
（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数， 方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且 k=m+2，n=1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1-k） +x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试 判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 4
;
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
练习
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和 x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝( C )
(二)合作探究
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，视察表中 x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数 之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
1
－4
－3
－4
x2－2x－5＝0 1＋ 6 1－ 6
2
－5
2x2－3x＋1＝0 1
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
北师大版数学 九年级上册 2.5：一元二次方程根与系数的关系 课件
8. 地球是运动的，一个人不会永远处在倒霉的位置。 9. 在人生的旅途中，每一个人都曾迷惑和彷徨，人生在世无常，一切得失源于个人所求所悟，勿需在意，或盲目追随大流，否则将是人云亦 云，不知其所以然，或似懂非懂，反失了本心本意。人生是一场苦旅，我们一边感受，一边修行。
• 4、一元二次方程的求根公式是什么？
一、复习回顾 激趣导入
复习回测:(解方程）
(1) x2-2x+1=0
x1=x2=1
(2) x22 3x10 x1 32,x2 32
(3) 2x2-3x+1=0
x1=1,x2= —12
思考与探究：
每个方程的两根之和与它的系数有什么关系(1)求证：方程有两个不相等的实数 根；
(2)设x1，x2为方程的两个实数根， 且x1＋2x2＝14，试求出方程的两 个实数根和k的值．
祝愿同学们：
象雄鹰一样 飞的更高， 飞的更远！
7 、成功的秘诀在于坚持自已的目标和信念。 3 、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。 10. 要有多坚强，才敢念念不忘。 6 、人生要成沉淀，要有定力，一个人定力不够会浮躁。 5 、目标和信念给人以持久的动力，它是人的精神支柱。 15. 淡然面对过去，坦然迎接将来，学会让心变得坚强。希望的终结才是人生真正的重点。人生在世的意义，是不断地去追求，不要当错过了 ，才知道要会很，也不要等老了，才回去怀念，时光一去不回，每一刻都是值得珍惜的时候。
18 、在逆境中要看到生活的美，在希望中别忘记不断奋斗。 5 、目标和信念给人以持久的动力，它是人的精神支柱。 11. 无法挽回的过失往往是由于骄横傲慢造成的，而放纵自己的情感就会沉湎于嗜好和欲望之中。 19 、谢谢那些怀疑我的人，给我成长的洗礼，让我更加孤独。 12) 这个世界唯一不变的就是变化，任何事情，想到了就要去做，永远不要去等待和拖延。人生的路谁也无法重走，今天，虽不是最好，但正 是可以努力的地方。时间是变化的，关键在于把握当下。
北师大版九年级数学上册2.5：一元二次方程的根与系数的关系(教案)
2.设计更具挑战性的练习题，帮助学生逐步提高解题能力，特别是在应用韦达定理方面的能力。
3.注重培养学生的独立思考能力，鼓励他们在课堂上提问，勇于表达自己的观点。
4.定期对学生的学习情况进行评估，了解他们在哪些方面存在困难，以便进行有针对性的辅导。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。一元二次方程的根与系数关系是通过韦达定理来描述的，它揭示了方程的两个根与系数之间的数学规律。这个定理不仅在数学理论中占有重要地位，而且在解决实际问题中也具有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设有一个实际问题：一个长方形的长比宽多2米，面积比宽多4平方米，我们需要求出长和宽的具体数值。通过建立一元二次方程并运用韦达定理，我们可以轻松解决这个问题。
3.通过具体例题，让学生掌握运用韦达定理解决实际问题；
北师版九年级数学 2.5一元二次方程的根与系数的关系(学习、上课课件)
*5 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1 课时讲解 一元二次方程根与系数的关系
二次项系数为1 的一元二次方程的 性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程的定义
知1－讲
1. 一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2＋
bx＋c=0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设
b2－4ac ≥ 0 且x1·x2>0
b2－4ac ≥ 0 且x1·x2<0
x1＋x2>0 x1＋x2<0 x1＋x2>0 x1＋x2<0
两根同为正数 两根同为负数 两根异号，且正根的绝对值大 两根异号，且负根的绝对值大
感悟新知
知1－讲
2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 (1)x21＋x22=x21＋2 x1x2＋x22－2 x1x2=(x1＋x2)2－2 x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4 x1x2； (3)(x1＋a)(x2＋a)=x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根， 则代数式1x＋1＋xx1x22的值为 ___1___．
感悟新知
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0. (1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值； 思路导引：
感悟新知
感悟新知
知1－练
解题归纳：已知一根，利用根与系数的关系求方程 中字母的值的策略：求解此类问题时，若字母在一 次项系数中，则可先用两根之积的关系求出另一根， 然后代入方程求字母的值，或者用两根之和的关系 求字母的值. 若字母在常数项中，则可先用两根之和 的关系求出另一根，然后代入方程求字母的值，或 者用两根之积的关系求字母的值.
北师大版九年级上册第二单元一元二次方程根与系数的关系复习讲义
2()2ba c a+2210⨯-=为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使20x = ⇒0 (0)a ≠定的两个根为0①-②得：2212)2x x x -221)4x x x -①②222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝ 3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组 x+y=5 xy=6解：显然，x ，y 是方程z 2-5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z 1=2,z 2=3∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3 x 2=3,y 2=2显然，此法比代入法要简单得多。
（3）定性判断字母系数的取值范围 例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。
北师大版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件
讲授新课
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x2＋7x＋6＝0；
(2)2x2－3x－2＝0.
解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6.
Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0.
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
1
x2
2. x12 x22
x1
3.
x2
4.( x1
5. x1
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 ;
2
1
x2
x1
x
( x1 x2 )2 2 x1 x2
;
x1 x2
2
2
x
x1 x2
1)( x2
x2
1)
( x1 x2 )2
x1 x2 ( x1
( x1
x2 ) 1;
x2 ) 2
4 x1 x2 .
讲授新课
x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
讲授新课
思考2
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二
次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数
又有怎样的关系呢？
讲授新课
归 纳
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反
反应了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数
之间的联系还有其他表现方式吗？
讲授新课
思考1
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0
(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系教学课件
方程
2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0
x1, x2 x1+ x2
x1. x2
问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律； ①用语言叙述发现的规律；
② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律。
一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
如果方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两个根是x1 , x2 ,
那么x1+x2= -
, x1x2=
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。 第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改 进。
他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过 律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对 西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达 还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使 用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了 代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根 的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关
韦达（1540－1603） 系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系
的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。
一元二次方程根与系数关系的证明：
b b2 4ac x1
2a
x2 b b2 4ac 2a
X1+x2= b
b2 4ac 2a
+
b
b2 4ac 2a
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
练习
已知关于x的方程 x 2 (m 1)x 2m 1 0
当m=
－1 时,此方程的两根互为相反数.
北师大版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系课件
两根
x1 x2
-4 1
23
1 2
-1
关系
x1+x2=-3 x1 ·x2=-4
x1+x2=5 x1 ·x2=6
x1
x2
3 2
1 x1 x2 2
新课进行时 猜一猜
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且xx2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是 什么？将方程化为x2+px+q=0的情势，你能看出x1,x2与 p,q之间的关系吗？
第二章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
目录
CONTENTS
1 新课目标 3 新课进行时
2 情景导学 4 知识小结
5 随堂演练
6 课后作业
1
新课目标
新课目标
1.探索一元二次方程的根与系数的关系. （难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的 关系解决问题.（重点）
2
情景导学
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1 + x2=1+x2=6，
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
m, 3
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
新课进行时
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒
数和.
解：根据根与系数的关系可知：
x1
x2
3, 2
想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
3
新课进行时
新课进行时 核心知识点一 探索一元二次方程的根与系数 的关系
北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》精品课件(共23张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
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第三讲 一元二次方程之韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．
1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么
说明：（1）定理成立的条件
（2）注意公式重的负号与b的符号的区别
2.韦达定理的逆定理给定一个一元二次方程。
如果有两个数，它们的和等于该方程的一次项系数除以二次项系数的相反数，它们的积又等于该方程的常数项除以二次项系数，那么它们就是该方程的两根。
设关于的一元二次方程为，且
，，
、必定是一元二次方程的两个根。
3.韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：
运用韦达定理，求方程中参数的值
运用韦达定理，求代数式的值；
利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等． 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．
佳题新题品味
例已知△ABC的边长分别为a,b,c,且a>b>c,2b=a+c,b为正整数,若
a2+b2+c2=84,求b的值.
热身例题13、（2010·珠海中考）已知x
=－1是方程的一个
根，求m的值及方程的另一根x2
【典型例题】
例1 已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足．
例2 已知是一元二次方程的两个实数根．
(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由．
(2) 求使的值为整数的实数的整数值．
例3 已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:
(1)m为何值时, 方程的两个根一个大于0,另一个小于0;
(2)m为何值时, 方程的两个根都是正数;
(3)m为何值时, 方程的两个根一个大于1,另一个小于1.
根与系数的关系（韦达定理）提升练习
1．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
(1) 求的取值范围；
(2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由．
2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：关于的方程有实数根．
3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．
(1) 求实数的取值范围；
(2) 若，求的值．
韦达定理中考题练习
1、（2010·玉溪中考）一元二次方程x2－5x+6=0 的两根分别是x1,x2,则
x1+x2等于（）
A. 5
B. 6
C. －5
D. －6
2、（2008·枣庄中考）已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2) (x2－2)= ．
3、（2008·中山中考）已知关于x的方程．
（1）求证方程有两个不相等的实数根．
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的
解．
4、(2009•鄂州中考)关于x的方程有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围。
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，
求出k的值；若不存在，说明理由
2.（2011武汉市中考） 5.若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个
根，则x1x2的值是（ ）
A.4.
B.3.
C.-4.
D.-3.
14．若，是方程的两个根，则=__________．
解方程巩固练习
1、（2009·武汉中考）解方程：．
2、（2009•新疆中考）解方程：
3、(2009·兰州中考)用配方法解一元二次方程：
4、（2007·兰州中考）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整
体，然后设，那么原方程可化为……①，解得，，当时，，
，；当时，，，，故原方程的解为，
，，．
解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程
中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思
想；
（2）请利用以上知识解方程．
中考难题演练
13.（2011黄石市中考）9.设一元二次方程的两根分别为，且，则满足（
）
A. B.C. D. 且
8.（2011孝感市中考）
10.（2011潜江市天门市仙桃市中考）17．（满分6分）
若关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，试求出方程的两
个实数根及k的值.。