惠州市2018届高三第二次调研考试(文数)名师优质资料

惠州市2018届高三第二次调研考试数学（文科）全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}25A x x =≤≤，{}*21，B x x n n N ==-∈，则A B =（ ）(A) {}1,3(B) {}1,7 (C) {}3,5(D) {}5,72．已知复数z 的共轭复数为z ，若()12z i i -=（i 为虚数单位），则z =（ ） (A) i (B) 1i - (C) 1i -- (D) i -3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23415a a a ++=，713a =，则5S =（ ） (A) 28 (B) 25 (C) 20(D) 184．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为12y x =±，则双曲线C 的离心率为 ( )(A)(B)(C)(D)5．若0.52a =，log 3b π=，22log sin 5c π=，则（ ） (A) b c a >> (B) b a c >> (C) c a b >>(D) a b c >>6．已知1tan 2α=，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）(A) (B)(C) 5 (D) 7．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （℃）之间的关系，随机统计由表中数据算出线性回归方程y bx a =+$中的2b =-，气象部门预测下个月的平均气温 约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）件．(A) 46 (B) 40 (C) 38 (D) 58 8．如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形， 且直角边长都等于1，则该几何体的外接球的体积为（ ） (A)12π(B) (C) 3π (D) 43π 9．已知等边三角形△ABC 的边长为2，其重心为G ，则B G C G ⋅=（ ）(A) 2(B) 14-(C) 23-(D) 3 10．设12,F F 为椭圆22195x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上， 则21PF PF 的值为（ ）(A)514 (B) 59 (C) 49 (D) 51311．将函数()2sin(2)6f x x π=+的图象向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到 ()g x 的图象，若12()()9g x g x ⋅=，且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为（ ）(A)256π (B) 4912π (C) 356π (D) 174π12．已知函数()1,0()ln ,0kx x f x x x ->⎧⎪=⎨--<⎪⎩，若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ）(A) (,0)-? (B) 1(0,)2 (C) (0,)+? (D) (0,1)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知函数1()1f x x x=+-，()2f a =，则()f a -= ． 14．已知实数x 、y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则221z=x y --的最小值是 ．15．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我MDBA们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是 ．16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22n n S a =-，则数列{}n na 的前5项和为 ． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17．（本小题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 边的中点，3AB =,AC =AD （1）求BC 边的长；（2）求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名小学六年级学生进行了问卷 调查，并得到如下列联表．平均每天喝500ml 以上为“常喝”，体重超过50kg 为“肥胖”．已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由；（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．参考数据：, 其中d c b a n +++=为样本容量．19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDM 中，BCD ∆是等边三角形，CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ︒∠=，平面CMD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，点O 为CD 的中点． （1）求证：OM ∥平面ABD ；（2）若2AB BC ==，求三棱锥M ABD -的体积．20．（本小题满分12分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点()2,(2)f 处的切线与直线30x y -+=平行，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，过点()2,0C 的直线与抛物线24y x =相交于点A 、B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y . （1）求证：12y y ⋅为定值；（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）[选修4―4：坐标系与参数方程]已知曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点A ，1F 、2F 是此曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线2AF 的极坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线交此圆锥曲线于M 、N 两点， 求11||||MF NF -的值．23．（本小题满分10分）[选修4―5：不等式选讲]已知函数()|1||1|f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．【解析】由题意{}3,5A B =,故选C.2．【解析】211iz i i==-+-，则1z i =--，故选C. 3．【解析】由等差数列可知2432a a a +=，得35a =，所以15355()522522a a a S +⨯===，故选B .4．【解析】双曲线的渐近线b y x a =±，得12b a =，又222a bc +=，得到2254a c =所以，c e a ==，故选A . 5．【解析】依题意，1a >，01b <<，而由2sin 15π<得0c <，故选D . 6．【解析】由sin 1tan cos 2ααα==，得cos 2sin αα=，且22sin cos 1αα+=，3(,)2αππ∈所以，sin α=，又cos()sin 2παα-==，故选A . 7．【解析】计算得10,38x y ==，回归直线过点(,)x y ，且2b =-，代入得58a =，则回归方程为258y x =-+，则6x =时46y =，故选A .8．【解析】还原几何体为一个三棱锥A BCD -，放入棱长为1的正方体中，如图所示，外接球的半径为2R =，则3432V R π==，故选B . 9．【解析】如图建立平面直角坐标系，则(0,A ，(1,0)B -，(1,0)C ，得重心(0,)3G ,则向量(1,3BG =，(1,)3CG =-所以2113BG CG ⋅=-⨯+=-，故选C .（也可以1233BG AC AB =-，1233CG AB AC =-由向量数量积的定义计算得出） 10．【解析】如图，设线段1PF 的中点M 在y 轴上，点O 是12F F所以2//OM PF ，可得2PF x ⊥轴，2253b PF a ==， 121323PF a PF =-=，21513PF PF =，故选D . 11．【解析】由题意可得，()2sin(2)13g x x π=++，所以max ()3g x =，又12()()9g x g x ⋅=，所以 12()()3g x g x ==，由()2sin(2)133g x x π=++=，得22()32x k k Z πππ+=+∈，因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以12max 49(2)2()(2)1212x x πππππ-=⨯+--=，故选B . 12．【解析】依题意，函数图象上存在关于原点对称的点，可作函数ln()(0)y x x =--<关于原点对称的函数ln (0)y x x =>的图象，使得它与直线1(0)y kx x =->的交点个数为2即可， 当直线1y kx =-与ln y x =的图象相切时，设切点为(),ln m m 又ln y x =的导数为1y x '=，则11ln ,km m k m-==，解得1,1m k ==，可得切线的斜率为1，结合图象可知()0,1k ∈时函数ln y x =与直线1y kx =-有两个交点，即原函数图象上有两个点关于原点对称，故选D .二、填空题：（每小题5分，共20分）13． 4- 14. 53-15. 17 16. 258 13【解析】由已知得1()12f a a a =+-=，即13a a+=，所以 11()11314f a a a a a ⎛⎫-=---=-+-=--=- ⎪⎝⎭， 也可()()2f x f x +-=-得出. 14【解析】画出可行域平移直线可知在点12,33⎛⎫⎪⎝⎭取得最小值，代入目标函数得53z =-.15【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为01234512020202120217⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.16【解析】当1n =时11122a S a ==-，得12a =，当2n ≥时1122(22)n n n n n a S S a a --=-=---，得12n n a a -=，则数列{}n a 为等比数列，公比为2，2n n a =，得2n n n a n =⋅，由错位相减法求和得5258T =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.解：（1）设BD x =，则2BC x =，由余弦定理，在△ABD 中，有222cos 2AB BD AD ABD AB BD +-∠=⋅29723x x+-=⨯ ………………2分在△ABC 中，有222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⋅29413232x x +-=⨯⨯ ………………4分且ABD ABC ∠=∠，即29723x x +-⨯29413232x x+-=⨯⨯，得2x = …………………6分∴ 4BC = …………………7分 （2） 由（1）可知，1cos 2B =-，(0,)B π∈，得sin 2B = ………………9分 ∴ 1sin 2ABCS AB BC B =⋅⋅⋅1342=⨯⨯=………………12分18．解：（1）设全部30人中的肥胖学生共n 名，则4,83015n n =∴=，∴ 常喝碳酸饮料且肥胖的学生有6名． ……………………2分 列联表如下：……………………4分 （2）∵()2230618248.5231020228K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， ……………………6分 又8.5237.879> ……………………7分 ∴有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关． ……………………8分A B CDH O MDB A（3）设常喝碳酸饮料且肥胖的4名男生为,,,A B C D ，2名女生为,e f ，则从中随机抽取2名的情形有,,,,AB AC AD Ae Af ；,,,BC BD Be Bf ；,,CD Ce Cf ；,De Df ；ef 共15种， ……………10分其中一名男生一名女生的情形共有8种， ……………………11分 ∴正好抽到一名男生和一名女生的概率为815． ……………………12分19.（1）证明：∵△CMD 是等腰直角三角形，90CMD ︒∠=，点O 为CD 的中点，∴OM CD ⊥．∵ 平面CMD ⊥平面BCD ，平面CMD 平面BCD CD =，OM ⊂平面CMD ，∴OM ⊥平面BCD ． …………4分∵ AB ⊥平面BCD ,∴ OM ∥AB ． …………5分 ∵ AB ⊂平面ABD ,OM ⊄平面ABD ,∴ OM ∥平面ABD ． …………6分 （2）法1：由（1）知OM ∥平面ABD ,∴ 点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离． …………7分∵ 2AB BC ==，△BCD 是等边三角形,点O 为CD 的中点∴234834321212=⋅=⋅⋅==∆∆BC S S BCD BOD …………8分 ∴OBD A ABD ABD M V V V ---==0 …………10分332233131=⋅⋅=⋅=∆AB S BOD …………12分 法2：由（1）知OM ∥平面ABD ,∴ 点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离． …………7分 过O 作OH BD ⊥，垂足为点H ，∵ AB ⊥平面BCD ,OH ⊂平面BCD , ∴ OH AB ⊥． ∵ AB ⊂平面ABD ,BD ⊂平面ABD ,AB BD B =，∴ OH ⊥平面ABD ． …………9分 ∵ 2AB BC ==，△BCD 是等边三角形， ∴ 2BD =，1OD =，sin 602OH OD ︒=⋅=． …………10分 ∴ A BDM M ABD V V --=1132AB BD OH =⨯⨯⋅⋅11223223=⨯⨯⨯⨯=． ∴ 三棱锥A BDM -． …………12分20. 解: (1)由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{}0x x >， 且()2(2)a f x x a x '=-++，依题意，(2)4(2)12a f a '=-++= 解得 2a = ……………………………………… 4分（2）依题意，(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x --'=-++= ()0x > 令()0f x '=，得 121,2ax x ==① 当0a ≤时，02a≤，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得01x <<则函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞ ……… 6分② 当012a <<，即02a <<时，由()0f x '>，得02ax <<或1x > 由()0f x '<，得12ax <<则函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞函数()f x 的单调递减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭………………… 8分③ 当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞……………………………………… 10分④ 当12a >，即2a >时，由()0f x '>，得01x <<或2a x >，由()0f x '<，得12a x << 则函数()f x 的单调递增区间为()0,1，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭函数()f x 的单调递增区间为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭………………… 12分21、解：（Ⅰ）（解法1）当直线AB 垂直于x 轴时，22,2221-==y y ,因此821-=y y (定值) ……………………2分 当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为)2(-=x k y由⎩⎨⎧=-=xy x k y 4)2(2得0842=--k y ky 821-=∴y y 因此有821-=y y 为定值 …………………… 4分（解法2）设直线AB 的方程为2-=x my由⎩⎨⎧=-=xy x my 422得0842=--my y 821-=∴y y 因此有821-=y y 为定值 ……………………（4分） (Ⅱ)设存在直线l ：a x =满足条件，则AC 的中点)2,22(11y x E +，2121)2(y x AC +-=因此以AC 为直径的圆的半径421)2(2121212121+=+-==x y x AC r E 点到直线a x =的距离|22|1a x d -+= ……………………7分 所以所截弦长为212122)22()4(4122ax x d r -+-+=-2121)22(4a x x -+-+=2148)1(4a a x a -+--= ……………………10分当01=-a 即1=a 时，弦长为定值2，这时直线方程为1=x …………………… 12分22.解：（1）曲线C：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143yx +=， 其轨迹为椭圆，焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）． (2)分 经过A （0，）和F 2（1，0）的直线方程为1x +=0y += ∴ cos sin0θρθ+-=. ……………………5分 （2）由（1）知，直线AF 2的斜率为 因为l ⊥AF 2，所以l 30°，所以l 的参数方程为112x y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），代入椭圆C 的方程中，得213360t --=． ……………………8分因为M ，N 在点F 1的两侧， 所以|MF 1|﹣|NF 1|=|t 1+t 2． ……………………10分23.【解析】解：（1）当5m =时，()()()521()311521x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩， ……………………3分由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. ……………………5分 （2）由二次函数2223(1)2y x x x =++=++，该函数在1x =-取得最小值2，因为()()()21()21121m x x f x m x m x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，在1x =-处取得最大值2m -，………8分所以要使二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，只需22m -≥，即4m ≥. ……………10分。