2018年复旦大学自主招生试题解析

2018年复旦大学自主招生试题

1.设x ∈R ，求函数f x =16x +41-x +4⋅2x +14x +21-x

的最小值.【答案】103

.【考点】求函数最小值问题.

【解析】f x =2x 4+22x 2+4⋅2x +12x 2+22x =2x 2+22x 2+12x 2+22x =2x 2+22x +12x 2+22x

，令t =2x 2+22x =2x 2+12x +12x ≥3，则f x ≥103

. 当x =0时，函数f x 的最小值为103

. 2.设f x =4x +2x +1−8，求A =x ∈−6,6 |f x >0 的区间长度.

【答案】5

【考点】函数定义域的应用.

【解析】f x =4x +2x +1-8=2x -2 2x +4 >0⇒x >1，所以A 的区间长度为5.

3.求能放入一个半径为r 的球体的圆锥体积最小值.

【答案】8πr 23

【考点】立体几何问题.【解析】如图所示，设圆锥的底面半径为R ，圆锥的顶点A 到球体的球心距离为m ，所以△ABO 1∼△AOD , 所以OD AD =BO 1AO 1

，即R m +r =r m 2-r 2

⇒R 2=r 2m +r m -r ，则V ABC =πr 23 m +r 2m -r =πr 23 m -r +4r 2m -r +4r

≥8πr 23 . 4.极坐标系中，曲线C :ρ2-6ρcos θ-8ρsin θ+16=0上一点与曲线D :ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上一点的距离最大值是多少？【答案】4+22 .

【考点】圆的参数方程的问题.

【解析】C :x -3 2+y -4 2=9,D :x -1 2+y -2 2=1，则两个动点的距离最大值为圆心距加两个半径，即为4+22 .

5.△ABC 中，D 为BC 上一点，AB =c ,AC =b ,AD =h ,BD =x ,CD =y ,则x 2+y 2+2h 2=b 2+c 2是AD 为中线的什么条件？

【答案】必要不充分条件

【考点】三角函数问题和余弦定理的应用.

【解析】△ADB 中，由余弦定理cos ∠ADB =x 2+h 2-c 22xh

, 在△ADC 中，由余弦定理cos ∠ADC =y 2+h 2-b 22yh

,A

B C D

O

O 1

博观而约取 厚积而薄发

由∠ADB +∠ADC =π，所以

x 2+h 2-c 22xh +y 2+h 2-b 22yh

=0，考虑到x 2+y 2+2h 2=b 2+c 2，所以

x 2+h 2-c 2=b 2-y 2-h 2=0，

此时x 不一定等于y ，此时AD 不一定为中线，而当x =y 时x 2+y 2+2h 2=b 2+c 2，

所以x 2+y 2+2h 2=b 2+c 2是AD 为中线的必要不充分条件.

6.求最小正整数k ，使得4725k 为完全平方数.

【答案】21

【考点】初等数论问题.

【解析】4725k =152⋅21k , 又因为m 是正整数，所以k min =21.

7.1900年，数学家_______在巴黎国际数学家大会上提出了23个未解决的问题.

【答案】希尔伯特.

【考点】数学史问题.

【解析】希尔伯特.

8.记正方体的六个面中心为A ,B ,C ,D ,E ,F , 先在这6个点中任取两点连线，再在这6个点中任取两点连线，则两条线段平行但不重合的概率是多少？

【答案】475

.【考点】立体几何问题.

【解析】已知这个六面体是两个正四棱锥结合在一起，中间正方形的平行有两对，上下两个正四棱锥

侧棱平行有四对，则所求概率为P =12C 26C 26

=475 . 9.直线l 1:mx +y -1=0,l 2:x -my +2+m =0分别过定点A ,B ，若两直线交于点P ，求P A +PB 的取值

范围.

【答案】P A +PB ∈2,22 .

【考点】直线和三角函数问题.

【解析】直线l 1⊥l 2, 所以P A ⊥PB ，而A 0,1 ,B -2,1 满足P A 2+PB 2=4,

令P A =2cos α,PB =2sin α,α∈0,π2 ,则P A +PB =22 sin α+π4 ，所以P A +PB ∈2,22 .

10.在单位正方体ABCD -EFGH 中，M ,N 分别为棱CG ,AE 的中点，P 为平面BFGC 上一点，并满足EP 平行平面BMN ，求EP 长度的取值范围.【答案】30 5

≤EP ≤2 .【考点】立体几何问题.

【解析】取BF 中点，连接EK ，GK 与EG ，则平面EKG 平行于平面NBM ，

所以点P 在线段KG 上运动，在△EKG 中，cos ∠EKG =54 +54 -22⋅54 =15 ,则EP min =EK sin ∠EKG =5 2 26 5 =30 5

,

所以30

5 ≤EP ≤2 . 11.已知在△ABC 中，A (3,2)，B (4,3)，C (6,7)，求△ABC 的面积.

【答案】1

【考点】解三角形问题.

【解析】S △ABC =12 AB ×AC =12 (1,1)×(3,5) =1. 12.在△ABC 中，AD =2DB ,BE =2EC ，设直线CD 和AE 交于点P ，若AP =mAB +nAC , 求m ,n .【答案】m =27

,n =47 .【考点】平面向量问题.

【解析】过点D 作DF 平行于BC 交AE 于点F ，所以△ADF ∼△ABE ，则DF BE =AD AB =23 , 所以DF =23 BE =43 EC , △DFP ∼△CEP ，所以DF CE =FP PE =43 ，而AF FE =21 ，则AP =67 AE , 所以AP =27 AB +47 AC ，m =27

,n =47 . 13. 令f x =sin nx sin x n ∈ℕ* ，下列结论正确的是_______.(1)f x 是周期函数；(2)f x 有对称轴；(3)f x 关于π2

,0 对称；(4)f x ≤n 【答案】（1）（2）（4）

【考点】三角函性质的应用.

【解析】显然（1）对; f x 是偶函数，（2）对；

（3）由f x +π +f -x =0,n 偶数≠0，n 奇数 ，

（3）错；（4）由数学归纳法可以证明sin nx ≤n sin x ，所以（4）正确. 答案（1）（2）（4）.

14.若函数f x 满足f 1x +1x f -x =2x x ≠1 ，求f 2 .【答案】f 2 =92

.【考点】赋值法的应用.

【解析】赋值法. 令x =12 ,f 2 +2f -12

=1, 令x =-2,f -12 -12

f 2 =-4,解得f 2 =92

. 15.已知A 0,1 ,B 1,-1 ，直线ax +by =1与线段AB 有公共点，求a 2+b 2的最小值.

【答案】12

.【考点】直线与距离的应用.

【解析】将直线ax +by =1看成关于变量a ,b 的直线，

则a 2+b 2表示直线上一点到原点距离的平方，

则a 2+b 2≥1x 2+y 2 ，又0≤x ≤1,-1≤y ≤1，则a 2+b 2≥112+1

2 =12 .