6.4玻尔兹曼方程 固体物理讲义
《物理化学第4版》第六章6.4 玻尔兹曼分布ppt课件
能量零点的选择对玻尔 兹曼分布有无影响 ？
ni
N
gq0 qe0 kT
形式完全相同！
ni
N q
g i e i
kT
N q0 eε 0
kT
g e
ε
0 i
ε
0
kT
i
N q0
g eε
0 i
i
kT
结论：对玻尔兹曼分布中任一能级上粒子的分布
4. 能量零点的选择对配分函数的影响
设粒子的能级为ε0，ε1，ε2，…，则
q
g i e i
kT
g 0 e 0
kT
g e1 / kT 1
i
通常选择粒子的基态能级作为能量的零点(任何能级的
能量不为负)，各能级的能量为 i0 i 0
q0
g ei0 i
kT
g eε
0 0
0
kT
g1eε
0 1
/ kT
数 ni 没有影响。
结论：选择不同的能量零点会影响配分函数的
值，但对计算玻尔兹曼分布中任一能级上粒子 的分布数 ni 没有影响。
注意：
由基态能级的能位为零的粒子 配分函数q0，计算所得系统系
U
nii
ni
(
0 i
0)
统的热力学函数U、H、A、G
i
i
，与由绝对能量对应的粒子配
ni
0 i
N 0
kT
i
振动配分函数
qv
g e v,i v ,i
kT
i
电子配分函数
qe
g ee ,i e ,i
kT
i
物理学中的玻尔兹曼方程
物理学中的玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程是经典统计物理学中的重要方程之一，它描述了气体分子在空间和速度上的分布。
玻尔兹曼方程被广泛应用于热力学、流体力学、材料科学等领域。
1. 玻尔兹曼方程的起源玻尔兹曼方程最初是由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼于1872年提出的。
当时，玻尔兹曼正致力于研究气体分子的运动规律和热力学性质。
他的主要发现之一就是热力学中经典理论所预测的热力学定律与实验结果之间存在较大差距，这被称为“热力学危机”。
为了解决这个难题，玻尔兹曼开始研究分子运动的微观机制。
他提出了一个基于分子碰撞的分子运动模型，并在此基础上推导出了玻尔兹曼方程。
2. 玻尔兹曼方程的含义玻尔兹曼方程描述了气体分子在空间和速度上的分布。
它的形式可以表示为：∂f/∂t + v·∇f + F/m·∇v f = J[f]其中，f(v, r, t)是分子速度、位置和时间的单粒子分布函数；∇f 可以看做是分子速度和位置的梯度；J[f]是粒子间碰撞造成的时间演化。
这个方程包括了分子在空间中受到的力的影响，也考虑到了分子间的碰撞对分布函数的影响。
它是分子动力学模拟和气体动力学中的一个关键方程。
3. 玻尔兹曼方程的应用玻尔兹曼方程被广泛应用于热力学、流体力学、材料科学等领域。
它可以用来描述分子在经典力学框架下的运动和相互作用，从而进一步研究气体的宏观性质。
例如，在热力学中，玻尔兹曼方程用于计算气体的温度、密度和压强等物理量。
在流体力学中，它可以用来描述流动液体和气体的速度场和相关的力学运动。
在材料科学中，玻尔兹曼方程可以帮助研究材料中分子的行为和相互作用。
4. 玻尔兹曼方程的挑战尽管玻尔兹曼方程在热力学、流体力学、材料科学等领域得到了广泛应用，但它也面临着一些挑战和限制。
例如，玻尔兹曼方程无法描述非线性和强耗散的现象，且它对初值和边界条件较为敏感。
此外，由于玻尔兹曼方程中包含了分子之间的碰撞，因此它的计算机模拟也需要耗费大量的计算资源和时间。
固体物理基本概念讲解
固体物理总结绪论1研究对象及内容研究固体的结构及其组成粒子间相互作用与运动规律以阐明固态物质性能和用途的学科。
2 固体物理学发展的里程碑十八世纪：阿羽依（R. J. Ha üy 法）--坚实、相同、平行六面体的“基石”有规则重复堆积.十九世纪：布喇菲(A.Bravais 法)--空间点阵学 晶体周期性.二十世纪初：X-射线衍射 揭示晶体内部结构量子理论 描述晶体内部微观粒子运动过程近几十年：固体物理学→凝聚态物理：无序、尺度、维度、关联；晶体→凝聚态物质第一部分 晶体结构1 布喇菲点阵和初基矢量晶体结构的特点在于原子排列的周期性质。
布喇菲点阵是平移操作112233R n a n a n a =++所联系的诸点的列阵。
布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象。
点阵矢量112233R n a n a n a =++，其中，1n ，2n 和3n 均为整数，1a ，2a 和3a 是不在同一平面内的三个矢量，叫做布喇菲点阵的初基矢量，简称基矢。
初基矢量所构成的平行六面体是布喇菲点阵的最小重复单元。
布喇菲点阵是一个无限的分立点的列阵，无论从这个列阵中的哪个点去观察，周围点的分布和排列方位都是完全相同的。
对一个给定的布喇菲点阵，初级矢量可以有多种取法。
2 初基晶胞(原胞)初基晶胞是布喇菲点阵的最小重复单元。
初基晶胞必定正好包含布喇菲点阵的一个阵点。
对于一个给定的布喇菲点阵，初基晶胞的选取方式可以不只一种，但不论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积是唯一的，()123c V a a a =⋅⨯。
3 惯用晶胞(单胞)惯用晶胞是为了反映点阵的对称性而选用的晶胞。
惯用晶胞可以是初基的或非初基的。
惯用晶胞的体积是初基晶胞体积的整数倍，c V nV =。
其中，n 是惯用晶胞所包含的阵点数。
确定惯用晶胞几何尺寸的数字叫做点阵常数。
4 维格纳-赛兹晶胞(W-S 晶胞)维格纳-赛兹晶胞是另一种能够反映晶体宏观对称性的晶胞，它是某一阵点与相邻阵点连线的中垂面(或中垂线)所围成的最小体积。
孙会元教授主编的固体物理基础第五章固体的输运现象课件5.1 玻尔兹曼方程
dt, k k dt, k k dt; t) d f ( x vx dt, y vy dt, z vz dt; kx k x y y z z
也就是这部分电子是漂移过来的，所以： f f f f f f f vx v y vz kx ky kz x y z k k k t 漂 x y z
f f f f f f f 推导： vx v y vz kx ky kz x y z k k k t 漂 x y z
利用多元函数的泰勒展开,且只取到dt的线性项
f ( x x, y y， ) f ( x, y， ) ( x y } f ( x, y ) x y
dt, k k dt, k k dt; t ) 右 f ( x vx dt, y vy dt, z vz dt; kx k x y y z z
f ( x, y, z; k x , k y , k z ; t ) {v xdt v ydt v zdt x y z kx dt k y dt k z dt } f (x , y , z ; k x , k y , k z ;t ) kx k y kz
与位置 r 有关系，通常是由
温度梯度
r 变化
化学势变化
电子分布函数f 与波矢 k 有关系，也就是与
f 变化
能量有关系，从费米分布函数的表达式就可以 理解。 电子分布函数f 与时间t有关系，是因为外力的 作用使得波矢依赖于时间，即： 在外电场E 和磁场 B 中,电子的运动规律是： dk F e(E v B) dt
固体物理基础复习讲义章课件
固体物理基础复习讲义章
19
晶面指数与晶面间距 关系分析
(1)通常，低指数的面间距 较大，而高指数的晶面间 距则较小
(2)晶面间距愈大该晶面上的原子排列愈密集 晶面间距愈小，该晶面上的原子排列愈稀疏
固体物理基础复习讲义章
20
体心立方和面心立方晶格结构在(100),(110),(111)面上的原子排列
面心立方结构（fcc）: ABCABC 如：Ca，Cu, Al 体心立方结构（bcc）：如：Li, Na, K, Ba 简单立方结构（sc） 金刚石结构：如：金刚石，Si, Ge
晶体结构的基本特征： 原子在三维空间呈周期性排列
固体物理基础复习讲义章
2
二、布拉菲晶格
基元:放置在格点上的原子或原子团称为基元是一个 格点所代表的物理实体 。
晶胞体积是原胞体积的n倍（n是
该结构每个晶胞所含格点数）
面心立方结构晶胞体积=a3
固体物理基础复习讲义章
15
四 晶面与密勒指数
1、晶面的概念 布拉伐格子的格点还可看成分列在平行等距 的平面系上，格点在每个平面上的分布是相同的， 这种平面称为晶面。整个晶格可以看作无数互相 平行等距分布的全同的晶面构成，而晶格的所有 格点都处于这族晶面上。
固体物理基础复习讲义章
7
R
、 R•的从 所端任 以点一就又格是称点格为出点晶发R，格，全平平部移移矢量后端R，，R点必组然成得布出拉另菲一晶格格点。，
固体物理基础复习讲义章
8
三、原胞，晶胞 一个晶格中体积最小的周期性结构单元称原胞。
a2
a1
a2
a1
a2
a2
a1
a2
a1
a1
原胞及基矢的选取——不唯一
中科大物理专业固体物理课件Boltzmann equation
存在碰撞时：
v v v v v v ∂f & & f ( r , k , t ) = f ( r − rdt , k − kdt , t − dt ) + ∂t coll
可以展开 f 保留到 dt 的线性项得：
v v v v ∂ f ∂ f ∂f v v v v & & & & f ( r − rdt , k − kdt , t − dt ) = f ( r , k , t ) − −r ⋅ v −k ⋅ v ∂t ∂r ∂k
ε 存在时定态的分布函数 f 。
可以认为非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离很小，
f = f 0 + f1
这里
f1 是一个小量，采用一级近似
上式简化为： − e ε ⋅ ∇ k f 0 ( k ) = − f1 h τ
在等温条件下，在均匀静电场中，上式可以写作：
∂f 0 f1 = eτ v ⋅ε ∂E
一个广泛应用的近似方法是弛豫时间近似，碰撞项可以 表示为： f − f0 ∂f ( r , k , t ) v =b−a = − ∂t τ (k ) coll 其中： f0 为处于平衡态时的Fermi－Dirac分布函数， τ (k) 是引入的参量，定义为弛豫时间，是 k 的函数。 这个假设的根据是考虑到碰撞促使系统趋于平衡态的 特点。若系统原来不平衡，即 t = 0时, f = f0+∆f (t = 0)， 在 t = 0 时撤去外场，若只有碰撞作用时， 对平衡的偏离 ∆f (t = 0)应很快消失。关于弛豫时间近似的假设认为，碰 撞促使对平衡分布的偏差是以指数的形式消失，因为，只 有碰撞时： ∂f f − f0 =− ∂t τ
玻尔兹曼方程详细推导
玻尔兹曼方程详细推导玻尔兹曼方程（SchrdingerEquation）是现代物理学中最重要的方程之一，也是量子力学的基础。
它由奥地利物理学家爱因斯坦的学生爱迪生玻尔兹曼於1925年提出，在它的框架上建立起了现代量子物理学的基础。
它的形式是：iψ/t = 〖Hˉψ〗其中，i为虚数单位，为普朗克常量，t为时间，Hˉ为玻尔兹曼算符，ψ为量子状态。
这一方程可以用来解释电子在某个原子核附近运动所形成的电子结构。
它可以用来描述量子系统在时间和空间上的运动，以及它们之间的相互作用。
由于玻尔兹曼方程是一个非常有用的方程，研究者们发展出了其他方法来解决它，如均匀库塔解法，数值积分法，波函数折射法等。
在本文中，我们将重点关注如何使用均匀库塔法来求解玻尔兹曼方程。
均匀库塔法的基本概念是：将一个区域内的电子颗粒看成一个“有限个离散状态加上无限多连续态”。
它将一个量子状态ψ分解成若干有限状态和无限连续态：ψ=Σαφ +βψ其中，α和β是离散状态和连续状态的波函数系数，φ和ψ是离散状态和连续状态的波函数。
应用库塔法来求解玻尔兹曼方程，首先要将空间离散化，即将空间分成一定的网格点，数值上使用网格的离散状态为有限状态α，而其他状态为连续状态β。
换言之，量子力学物理量的变化可以用离散化方法近似表示，这样可以使用有限状态解决更复杂的问题。
之后，我们可以将方程转化为以下简化形式：ψ/t = Hy其中，H是一个矩阵，y是一个向量，表示离散状态和连续态波函数的系数。
将这个方程的两边同时乘以矩阵H的逆矩阵M，可以得到：MH(ψ/t) = MH y由此得到了新的方程：M(ψ/t) =My这个方程可以用来求解离散状态的系数α，因为ψ/t以由y来计算。
最后，我们将用库塔数值算法求解玻尔兹曼方程，将空间分割成一定的网格点，计算出离散状态和连续态波函数的系数，由此得到最终的波函数ψ。
经过上述推导，我们已经知道了如何使用均匀库塔法来求解玻尔兹曼方程，掌握了它的原理和步骤，同时也巩固了量子力学的基本概念。
boltzmann方程
boltzmann方程
弗朗茨·玻尔兹曼（Friedrich Boltzmann）方程是物理学中古典力学系统和热力学系统中的重要方程，可以预测动力学系统中粒子态运动的熵演化状态。
该方程是用来描述系统中平均颗粒数量和平均势能的关系的，可以简单解释为熵和热力学系统状态总是朝着更高熵状态变化，这称为“熵均增推理”。
不考虑量子效应的力学系统，如果把该系统每个状态的概率看作一个热力学参量（也称为热力学函数），则该系统的发展可以用数学语言表述出来：弗朗茨·玻尔兹曼的熵方程
S=klogW
其中S是系统的熵，k为Boltzmann常数，W是可以由每个状态概率引入的“总颗粒数”。
这个数学表达式被吐槽了很多，但它为热力学提供了理论支撑，揭示了宏观和微观世界之间内在的联系。
当把它和温度关联起来时，它甚至可以用于在热力学分析时提供极重要的相关结果。
弗朗茨·玻
尔兹曼的方程有助于揭开热力学的本质，它可以用来解释和研究各种理论的热力学系统的状态。
此外，它也简化了很多复杂的问题，用简单的方法解释了可靠的实验结果，因此由它导出的热力学定律也被称为“熵定律”。
弗朗茨·玻尔兹曼的方程给热力学提供了严谨的理论支撑，也使科学家更充分地理解了热动力学的本质。
总之，弗朗茨·玻尔兹曼的熵方程是力学和热力学系统中极为重要的方程，它解释了宏观和微观之间的联系，并促进了热力学的本质的研究和发展。
因此，在20世纪以来，物理学家一直在努力探索和理解玻尔兹曼方程的物理含义，以及它在物理学中的重要应用。
固体物理讲义第一章
固体物理讲义第一章前言：固体物理学是用自然科学的基本原理从微观上解释固体的宏观性质并阐明其规律的科学课程的主要内容晶体的物理性质与内部微观结构以及其组成粒子（原子、离子、电子）运动规律之间的关系●晶体结构（基于X射线衍射）●晶体结合与晶体缺陷●晶格振动（基于统计物理和量子力学研究固体热学性质）●固体能带论（基于量子力学和统计物理研究固体的导电性）第一章晶体结构内容：晶体中原子排列的形式及其数学描述主要包括:●晶体的周期结构●十四种布拉菲格子和七大晶系●典型的晶体结构●晶面和米勒指数●晶体的对称性固体的性质取决于组成固体的原子以及它们的空间排列。
例如同为碳元素组成的石墨（导体）、碳60和金刚石就有明显不同的特性。
1.1晶体的周期结构晶体结构的特征：周期性组成晶体的粒子（原子、分子、离子或它们的集团）在空间的排列具有周期性（长程有序、平移对称性*）对称性晶体的宏观形貌以及晶体内部微观结构都具有自身特有的对称性。
晶体可以看成是一个原子或一组原子以某种方式在空间周期性重复平移的结果。
晶体内部原子排列具有周期性是晶体的主要特征，另一个特征是由周期性所决定的对称性（表现在晶体具有规则的外形）。
周期排列所带来的物理后果的讨论是本课程的中心。
（对称性最初是用来描述某些图形或花样的几何性质，后来经过推广、加深，用它表示各种物理性质/物理相互作用/物理定律在一定变换下的不变性。
在这里，我们主要关注的是对称性最初的、狭义的意义，即几何图形和结构（不管有限还是无限）的对称性。
虽然眼睛看不到晶体中的原子，但是原子的规则排列往往在晶体的一些几何特征上明显的反映出来。
实际上，人们最初正是从大量采用矿物晶体的实践中，观察到天然晶体外型的几何规则性，从理论上推断晶体是由原子作规则的晶格排列所构成。
后来这种理论被X衍射所证实。
）布拉菲空间点阵和基元●为了描述粒子排列的周期性，把基元抽象为几何点，这些点的集合称为布拉菲点阵。
布拉菲点阵的特点：所有格点是等价的，即整个布拉菲点阵可以看成一个格点沿三个不同的方向，各按一定的周期平移的结果●格点：空间点阵中周期排列的几何点●基元：一个格点所代表的物理实体●空间点阵：格点在空间中的周期排列在理想的情况下，晶体是由全同的原子团在空间无穷重复排列而构成。
固体物理讲义讲义教程
《固体物理学》第二章晶格振动和固体比热第二章晶格振动和固体比热晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。
晶格振动对晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。
本章的主题：用最近邻原子间简谐力模型来讨论晶格振动的本征频率；并用格波来描述晶体原子的集体运动；再用量子理论来表述格波相应的能量量子。
2-1、绝热近似和简谐近似绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。
为简单化，可以把离子的运动看成是近似成中性原子的运动。
简谐近似：r 设一维单原子晶体的布喇菲格子的格矢为R ，那么第n 个格点原子的位置r r r r矢量为：Rn na a 为基矢。
令第n 个原子相对其平衡位置Rn 的瞬时位置由与时r r r r间相关的矢量Sn 给出。
那么原子的瞬时位置为：rn Rn Sn 。
晶体的总势能应该为所有原子相互作用势能之和忽略均匀电子云产生的常1 r r势能项。
静态格点时的总势能：U 0 ∑ u0 Rn Rn ，u x 表示一维原子链中2 n n距离为x 的两原子的相互作用能。
1 r r 1 r r r r 考虑晶格振动时的总势能：U ∑ urn rn 2 ∑ u Rn Sn Rn Sn 2 n n nn 这时势能与动力学变量Sn有关，如果Sn是个小量，将势能U在平衡值U0附近1作泰勒展开：f r a f r a f r a 2 f r ...... 。
2 r r r r r r 取r Rn Rn a Sn Sn 1 r r 1 r r r r 1 r r r rU ∑ u0 Rn Rn 2 ∑ Sn Sn u0 Rn Rn 4 ∑ Sn Sn 2 u0 Rn Rn .... 2 n n nn nn 我们忽略高阶项，只保留二阶项第一项非零校正项，那么势能近似为：1 r r r r U U 0 ∑ S n S n 2 u0 Rn Rn 4 n n 上述近似称为简谐近似。
固体物理学讲义
固体物理学讲义固体物理学讲义2.1————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：第⼆章固体的结合晶体中粒⼦的相互作⽤⼒可以分为两⼤类，即吸引⼒和排斥⼒，前者在远距离是主要的，后者在近距离是主要的；在某⼀适当的距离，两者平衡，使晶格处于稳定状态。
吸引作⽤来⾃于异性电荷的库仑作⽤；排斥作⽤源于：⼀、同种电荷之间的库仑作⽤，⼆、泡利原理所引起的作⽤。
固体的结合根据结合⼒的性质分为四种基本形式：范德⽡尔结合⾦属性结合共价性结合离⼦性结合实际结合可能是兼有⼏种结合形式或者具有两种结合之间的过渡性质。
§2-1 离⼦性结合离⼦性结合的基本特点是以离⼦⽽不是以原⼦为结合的单位，结合的平衡依靠较强的静电库仑⼒，要求离⼦间相间排列。
其结构⽐较稳定，结合能为800千焦⽿/摩尔数量级。
结合的稳定性导致导电性能差、熔点⾼、硬度⾼和膨胀系数⼩等特点。
以N a Cl 晶体为例，由于N a +和 Cl -离⼦满壳层的结构，具有球对称结构，可以看成点电荷，若令r 表⽰相邻离⼦的距离，则⼀个正离⼦的平均库仑能为：∑++-++321321,,2122322222102)(4)1(21n n n n n n r n r n r n q πε这⾥n 1，n 2，n 3为整数且不能同时为零。
⼀个元胞的库仑能为：απεπεr q n n n r q n n n n n n 02,,21232221024)()1(4321321-≡∑++-++上式中α为⽆量纲量，称为马德隆常数。
当邻近离⼦的电⼦云显著重叠时，将出现排斥，其能量可以由下式描述：n r rr bbe 或者0-因此含N 个元胞的晶体的系统内能可以表⽰为：)(nr B r A N U +-= 其和体积或者晶格常数的关系如下图（1）晶格常数结合最稳定时的原⼦间距即为晶格常数，由下式决定0)(0=??=r r r r U（2）压缩系数压缩系数定义为单位体积的改变随单位压强的变化的负值，即：T pV V )(1??-=κ由热⼒学第⼀定律有：pdV dU -=（这⾥忽略了热效应），则压缩系数为：TV UV )(122??=κ体弹性模量为：κ1=K（3）抗张强度晶体能够承受的最⼤张⼒，叫抗张强度。
固体物理学_金属电子论之分布函数和玻耳兹曼方程
在无外场时 —— k 空间导带中的电子对称分布 —— 对电流的贡献为零 在有外场时 —— k 空间导带中的电子的分布发生变化 —— 形成电流 服从欧姆定律 —— 稳恒电流的形成意味着在k空间电子的分布达到 一个新的定态统计分布 —— 用 分布函数描写
06_0情况 —— 分布函数与位置无关
q E k f (k ) b a
06_03_分布函数和玻耳兹曼方程 —— 金属电子论
的变化
1) t时间内，dk’的空出的状态数
t时间内，dk内发生跃迁的数目
t时间, dk内电子跃迁到dk’的数目
06_03_分布函数和玻耳兹曼方程 —— 金属电子论
t时间内，dk内电子发生跃迁的总数目
2) t时间内，从其它状态跃迁到dk内的电子总数目
dk内电子数
的变化 n nin nout
在k空间电子状态移动的速度
06_03_分布函数和玻耳兹曼方程 —— 金属电子论
—— 外场的作用使得原来的对称分布偏向一边 电子的碰撞又使得分布恢复平衡
—— 假定电子有一定的碰撞自由时间
—— 在碰撞自由时间里所有的电子一同遭遇碰撞
qE ( )
—— k空间电子的分布从非平衡 状态 (2) 回到平衡状态 (1)
06_03_分布函数和玻耳兹曼方程 —— 金属电子论
碰撞项 电子和晶格以及金属中杂质发生碰撞引起的状态变化 —— 散射 单位时间电子状态 从变化到 —— 用跃迁几率函数 描写
—— 只考虑电子自旋不变的跃迁
—— dk内电子数
的变化
06_03_分布函数和玻耳兹曼方程 —— 金属电子论
—— dk内电子数
单位体积在dk内的电子数
对电流的贡献
所有状态的电子对电流的贡献
固体物理讲义
晶体
度划分
实际晶体—近乎完整晶体：在规则排列的背景中尚存在微量不规则
性的晶体。如：单晶硅→半导体性质→掺杂； Al2O3单晶→光学性质→色心→掺杂
绪论
Shape of BaTiO3 Crystal
Hale Waihona Puke 绪论Shape of Snow Crystal
绪论
Shape of SiO2 Crystal
绪论
教材及参考书
教材:
方俊鑫、陆栋，固体物理学（上、下），上海科学技 术出版社
参考书:
苟清泉，固体物理学简明教程，人民教育出版社， 1979年 黄昆著，韩汝琦改编，固体物理学，高等教育出版社 [美]C 基泰尔著，项金钟译，固体物理导论，化学工 业出版社
第一章 晶体结构
晶体的周期性 晶面与晶面指数 倒格子 晶系、布喇菲格子、对称性 密堆积、致密度 晶体衍射的基本知识
v 其中r 为晶胞中任一点的位置矢量。Q代表晶体中某一
种物理性质，n1、n2、n3为整数。
第一章 晶体结构
晶体的周期性 晶面与晶面指数 倒格子 晶系、布喇菲格子、对称性 密堆积、致密度 晶体衍射的基本知识
晶体结构的周期性 晶胞的选取 布喇菲格子和复式格子
晶体的周期性
晶 胞 的 选 取
固体物理学晶胞 结晶学晶胞
平移对称性即周期性。
固体物理学晶胞：仅仅反映晶体结构周期性的最小结构单元，
只包含一个格点，且格点全部在顶角上。
★ 固体物理学晶胞突出反映了晶体结构的周期性。
晶体的周期性
结晶学晶胞
① 通常选取体积较大的晶胞；
晶 胞 的 选 取
② 格点不仅在顶角上，同时可以在体心或面 心上； ③ 晶胞的棱称为晶轴，边长称为晶格常数或 晶胞常数。
玻尔兹曼方程
∂ ∂ f f ∂ f = ＋ t t t ∂ ∂碰 ∂漂
漂移作用引起的分布 函数的变化
碰撞引起的分布函数的变化
∂ ∂ f f ∂ f = ＋ t t t ∂ ∂碰 ∂漂
漂移项= 漂移项=外场作用力引起的电子波矢的漂移 +速度引起的电子位置的漂移
f ∂ ɺ ɺ r r =− ∇ f −k k f ∇ t ∂漂
f − f0 ɺ ɺ r∇ r f + k∇ k f = b − a = −
τ
1 r = ∇ ℏ
⋅
k
E
∂e (ε + v × B ) k ℏ
玻尔兹曼方程为： 玻尔兹曼方程为：
f −f0 1 f ∂ e ε ( kE ∇ ) − ( +v× )⋅∇ f =− ∇ ⋅ T B k ℏ T ) ∂ ℏ τ(k
2 j = ∫ − ev ( k ) f ( k ) dk 3 ( 2π)
不同状态电子的分布函数不同， 不同状态电子的分布函数不同， f (k ) 是在外场下的非平衡 分布函数。 分布函数。 如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的 方程。 方程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂， 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能 面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。 面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。
f ∂ t ∂ f ∂ 0 ＋ ＝ t 碰 ∂ 漂
f ∂ ɺ ɺ f −k f ∇ k t = r r ∂ 漂 −∇
f ∂ b a ＝− t ∂ 碰
ɺ ɺ r∇ r f + k∇ k f = b − a
它是一个微分--积分方程。由于难于求出此方程的解， 它是一个微分--积分方程。由于难于求出此方程的解，因 --积分方程 此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。 此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。
固体物理 第六章
1928年索末菲首先将费米狄拉克统计用于电子 气体，发展了量子的金属自由电子气体模型， 克服了经典模型明显的不足，成功地解决了电 子气的热容量问题，以及特鲁特模型所遇到的 困难。
[ 2 V (r )] (r ) (r ) 2m
其中V(r)为电子在金属中的势能，为电子的本 征能量。忽略电子 - 离子实的相互作用，在凝 胶图像下V(r)为常数势，可简单地取为零。
Q( E )
V 2mE0 3 2 ( ) 3 2 2
固体物理第六章
固体物理第六章
2
为确定材料的电学特性，我们有两个任务， 确定晶体中的电子特性，确定晶体中非常 大量电子的统计特性。由于电子在半导体、 金属中的数目非常巨大，我们不可能跟踪 每一个粒子的运动。因此我们将讨论晶体 中电子的统计规律，注意在确定电流的统 计规律时泡利不相容原理是非常重要的因 素。
在自由电子近似下，电子在状态空间的等能 面为球面，我们先来求自由电子气的态密度 分布，波矢小于k的状态数正比于半径为k的 球体积。
固体物理第六章 固体物理第六章
4 3 4 2mE 3 2 k ( ) 3 3 2
Q( E ) 2
3
V 4 2mE 3 2 ( ) (2 ) 3 3 2
k (r )
1 ik e V
固体物理第六章
金属中的自由电子 一、导带电子状态 ik r 晶体中的电子波函数为b1och波 k ( r ) e uk ( r )
在自由电子近似下： k ( r )
2k 2 1 ikr e E (k ) 2m V
固体物理第六章
固体物理第六章
根据统计力学原理，热平衡下，能量为E的 能级被电子占据的几率为； 1 f ( E ) ( E ) kT e 1 (EF)为化学势，或称为费米能级,可通过求系 统粒子总数的方法来获得，它代表在体积不 变的条件下，系统增加一个电子所需的自由 能。 f(E) 称为费米分布函数，它表示能量为 E 的一个量子状态被电子占据的几率，也可看 做该状态上的平均电子数，因为热力学几率 指该状态上的平均电子数。
固体物理学讲义.（ＰＤＦ）
绪论一固体物理的研究对象固体物理是研究固体的结构及其组成粒子原子离子电子等之间相互作用与运动规律以阐明其性能与用途的学科 固体按结构分类取向对称晶体学上不允许的长程平移序和同时具有长程准周期性准晶准晶体短有序程无明确周期性非晶态非晶体长程有序规则结构晶态晶体:)(,:)(,:)( 二固体物理的发展过程人们很早注意到晶体具有规则性的几何形状还发现晶体外形的对称性和其他物理性质之间有一定联系因而联想到晶体外形的规则性可能是内部规则性的反映十七世纪C Huygens 试图以椭球堆集的模型来解释方解石的双折射性质和解理面十八世纪RJH 认为方解石晶体是由一些坚实的y ua &&相同的平行六面体的小基石有规则地重复堆集而成的到十九世纪费多洛夫熊夫利巴罗等独立地发展了关于晶体微观几何结构的理论系统为进一步研究晶体机构的规律提供了理论依据1912年劳埃首先提出晶体可以作为X 射线的衍射光栅索末菲发展了固体量子论费米发展了统计理论在这些研究的基础上逐渐地建立了固体电子态理论能带论和晶格动力学固体的能带论提出了导电的微观机理指出了导体和绝缘体的区别并断定有一种固体它们的导电性质介乎两者之间叫半导体四十年代末五十年代初以锗硅为代表的半导体单晶的出现并以此制成了晶体三极管进而产生了半导体物理这标志着固体物理学发展过程的又一次飞跃为了适应微波低噪音放大的要求曾经出现过固体量子放大器脉泽1960年出现的第一具红宝石激光器就是由红宝石脉泽改造而成的可以说固体物理学尖端技术和其他学科的发展相互推动相辅相成的作用反映在上述的固体新材料与新元件的发现和使用上新技术和其他学科的发展也为固体物理学提供了空前有利的研究条件三固体物理的学科领域随着生产及科学的发展固体物理领域已经形成了象金属物理半导体物理晶体物理和晶体生长磁学电介质包括液晶物理固体发光超导体物理固态电子学和固态光电子学等十多个子学科同时固体物理的本身内核又在迅速发展中主要有1研究固体中的元激发及其能谱以更深入更详细地分析固体内部的微观过程揭示固体内部的微观奥妙2研究固体内部原子间结合力的综合性质与复杂结构的关系掌握缺陷形成和运动以及结构变化相变的规律从而发展多功能的复合材料以适应新的需要3研究在极低温超高压强磁场强辐射条件下固体的性质4表面物理----在研究体内过程的基础上进入了固体表面界面的研究5非晶态物理----在研究晶态的基础上开始进入非晶态的研究即非晶体中原子电子的微观过程四固体物理的研究方法固体物理主要是一门实验性学科但是为了阐明所揭示出来的现象之间的内在的本质联系就必须建立和发展关于固体的微观理论实验工作与理论工作之间要相互密切配合以实验促进理论以理论指导实验相辅相成相得益彰第一章晶体结构固体的结构决定其宏观性质和微观机理本章主要阐明晶体中原子排列的几何规则性1-1 一些晶格的实例晶体组成微粒具有空间上按周期性排列的结构基元当晶体中含有多种原子多种原子构成基本的结构单元格点结点结构中相同的位子图1-1-1 结构中相同的位子点阵晶体中格点的总体又称为布拉菲点阵布拉菲格子这种格子的特点是每点周围的情况都一样如果晶体由完全相同的一种原子组成则这种原子所组成的网格也就是布拉菲格子和结点所组成的相同如果晶体的基元中包含两种或两种以上的原子则每个基元中相应的同种原子各构成和结点相同的网格不过这些网格相对地有位移而形成所谓的复式格子显然复式格子是由若干相同的布拉菲格子相互位移套构而成晶格通过点阵中所有节点的平行直线簇和平行平面簇构成的网格元胞反映晶格周期性的最小重复单元侧重最小重复单元每个元胞中只有一个格点晶胞晶体学单胞既反映晶格周期性又反映晶格的空间对称性的最小重复单元侧重空间对称性每个元胞可能不止一个格点一单原子组成的元素晶格1简单立方晶格图1-1-2 原子球的正方排列及其各层球完全对应层叠形成的简单立方晶格2体心立方晶格的典型单元及堆积方式图1-1-3体心立方晶格的典型单元及体心立方晶格的堆积方式3原子球最紧密排列方式与面心立方晶格和六角密排晶格图1-1-4原子球最紧密排列方式当层叠是ABABAB方式则构成六角密排晶格当层叠是ABCABCABC方式则构成面心立方晶格4金刚石类晶格金刚石类晶格是由面心立方单元的中心到顶角引8条对角线在其中互不相邻的4条对角线的中点各加一个原子就得到金刚石类晶格结构也可看成面心立方沿体对角线平移1/4体对角线套购而成除金刚石外半导体硅和锗也具有类似金刚石类晶格结构图1-1-5金刚石类晶格结构的典型单元二化合物晶体的结构1NCl类晶格结构其好似于简单立方晶格只是每一行相间地排列着正的和负的离子N a+和Cl-碱金属和卤族元素的化合物都具有类似的结构Cl类晶格结构2C其好似体心立方晶格只是体心和顶角是不同的离子3闪锌矿ZS类晶格结构和金刚石类晶格结构相仿只要在金刚石晶格立方单元的对角线位置上放置一种原子在面心立方位置上放置另一种原子441-2晶格的周期性对于晶格的周期性通常用元胞和基矢来描述图1-2-1 中除4外均为最小单元由此元胞的选取并不是唯一的但各种晶格元胞都有习惯的选取方式并用元胞的边矢量作晶格的基矢基矢之间并不都相互正交图1-2-1平面元胞示意图1 简单立方晶格的元胞三个基矢分别zy x e a a e a a e a v v v v v v ===32,,为a 13321a a a a =×⋅vv r2 面心立方晶格的元胞三个基矢分别为)(2),(2),(2321j i a a j i a a j i a a v v v v v v v v v +=+=+=43321a a a a =×⋅vv r3体心立方晶格的元胞三个基矢分别为)(2),(2),(2321k j i a a k j i a a k j i a a v v v v v v v v v v v v −+=+−=++−=23321a a a =×⋅v v r a)3322a l a l ++}设为元胞中任意一处的位子矢量r vQ代表晶体中的任一物理量则Q ()(11a l r Q r +=vv l 1l 2l 3为整数即任意两元胞中相对应的点的物理性质相同我们可以用表示一种空间点阵{a l a l a l v v v 321++即一组l 1l 2l 3的取值表示格子中的一个格点l 1l 2l 3所有可能的集合就表示一个空间格子实际晶体可以看成在上述空间格子的每个格点上放置一组基元可为多种原子这个空间格子表征了晶格的周期性称为布拉菲格子Cu 的面心立方晶格Si 的金刚石晶格和NaCl 晶格均具有相同的布拉菲格子—面心立方格子它们的晶格结构虽然不同但具有相似的周期性自然界中晶格的类型很多但只可能有十四种布拉菲格子。
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k 变化
f变化
温度梯度
r 变化
f变化
电子分布函数f是波矢 k 、空间坐标 r 和时间t的函数。
1.相空间
以波矢 k 坐标 r 为变量组成的空间称为相空间。
在相空间中讨论非平衡条件下电子的分布函数。
f
(r,
k,
t
)
描述t时刻电子在晶体内
r
处波矢为
k
的概率。
2.分布函数的变化
电子分布函数的变化表示为
射。
只考虑相同自旋态之间的跃迁。
(1) r 处单位体积中处在 k ~ k dk 间的电子数
dn
2
2π 3
f
k
dk
(2) k
k 态的散射概率为 (k ,k)
(3) k 态空状态数为
2dk
2π3
1
f
k
(4) 单位时间内由于碰撞而进入 dk 态的电子数为
f (k ,t) 1
f
(k
如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？
玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的 方程。
由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能 面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。
6.4.1 玻尔兹曼方程的微分积分方程
在F外电 d场k和磁e(场 Bv中，B电) 子的运动规律是
dt
，B
k
3
b
a
2d
2π
k
3
f b a t C
如果系统处于稳定状态，则
f t
漂
r r
f
k
k
f
f t
0，即
f ＋ f t 碰 t
f ＝b a t 碰
＝0
漂
r r f
k
k
f
ba
它是一个微分--积分方程。由于难于求出此方程的解，因 此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。
6.4.2 弛豫时间近似
第四节 玻尔兹曼方程
本节主要内容： 6.4.1 玻尔兹曼方程的微分积分方程 6.4.2 弛豫时间近似
§6.4 玻尔兹曼方程
金属中的电子，在外场作用下会产生附加运动。如在外加
电场中，产生电流；在外加温度场中，产生热流。这种由外场
引起的电荷或能量从一个区域到另一个区域的迁移现象称为输
运现象。
电流密度： j E 为金属的电导率。
1.无外场，无温度梯度
f t
漂
0
电子的分布函数偏离了平衡分布，系统依赖碰撞恢复平衡
分布 f f0 (f )0
(f )0 表示分布函数对平衡的偏离
f f ＝－ f f0
t t 碰
(k)
式中 f0是平衡时的费米－狄拉克分布函数，是一个参量，
称为弛豫时间，是k的函数。
总之有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，t) 1 f (k ,
f (k ,t) 1
k
f (k,t) 1
k
tff)((kk(,k,tt),)k)(((k2dkπk,,)'kk3))(((222d2ddππkπkk))'3)'33
b
2dk (2π) 3
n t C
f t
C
2d
2π
休止的漂移；有了碰撞，就会使漂移受到遏制，被限制在一定
程度而达到稳定分布。
2.外场和温度梯度存在
r r f
k
k
f
ba
f
f0
r
1
k
E
r
f
f T
rT
k
e
(
v
B)
玻尔兹曼方程为：
1
(
k
E
T
)
f T
e
(
v
B
)
k
f
f f0
(k)
k ~ k dk 中的电子数：
f
(k)
2VC (2π)3
dk
取单位体积VC=1
dk
中的电子对电流密度的贡献为：
ev(k )
f
(k)
2 (2π)3
dk
j
ev(k
)
f
(k)
2 (2π)3
dk
j
ev(k )
f
(k)
2 (2π)3
dk
不同状态电子的分布函数不同， f (k) 是在外场下的非平衡分 布函数。
f f ＋f t t 碰 t 漂
漂移作用引起的分布 函数的变化
碰撞引起的分布函数的变化
f f ＋f t t 碰 t 漂
漂移项=外场作用力引起的电子波矢的漂移
+速度引起的电子位置的漂移
f t
漂
r r
f
k
k
f
碰撞项：由于晶格原子的振动或杂质的存在等具体的原因，
电子不断发生从
k态的k跃' 迁，电子态的这种变化常称为散
,
t
)
(
k
,
k )
dk' (2 π)
3
2dk ( 2 π) 3
(只考虑自旋相同的跃迁)
(4) f
k
(单k ,位t )时1 间f内(由k于,t )碰撞(k而,k离)开(2ddπkk)'态3 的(22电dπk子)3 数 为a
2dk (2π)3
(5)单位时间内由于碰撞而进入 dk 态的电子数为