专题训练(三) 不规则图形面积的五种求法

专题训练(三) 不规则图形面积的五种求法

求与圆有关的面积时，有时候可以直接运用公式求出，但大多数都要通过转化后再求其面积，常用的方法有：作差法、等积变形法、平移法、割补法等．

► 类型一 利用“作差法”求面积

1．如图3－ZT －1，在⊙O 中，半径OA ＝6 cm ，C 是OB 的中点，∠AOB ＝120°，求阴影部分的面积．

图3－ZT －1

2．如图3－ZT －2，△OAB 中，OA ＝OB ＝4，∠A ＝30°，AB 与⊙O 相切于点C ，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)

图3－ZT －2

3．如图3－ZT －3，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧长是圆周长的1

3，其中圆的半径为4 cm .

(1)求AB 的长；

(2)求阴影部分的面积．

图3－ZT －3

► 类型二 利用“等积变形法”求面积

4．如图3－ZT －4所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，CD ＝2 3，则阴影部分图形的面积为( )

图3－ZT －4

A ．4π

B ．2π

C ．π

D .2π3

5．如图3－ZT －5，E 是半径为2 cm 的⊙O 的直径CD 延长线上的一点，AB ∥CD 且AB ＝1

2

CD ，求阴影部分的面积．

图3－ZT －5

► 类型三 利用“平移法”求面积

6．如图3－ZT －6是两个半圆，点O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB ＝24，求图中阴影部分的面积．

图3－ZT －6

7．如图3－ZT －7，AB ，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，O 1，O 2，O 3，O 4分别是OA ，OD ，OB ，OC 的中点．若⊙O 的半径是2，求阴影部分的面积．

图3－ZT －7

► 类型四 利用“旋转法”求面积 8．2017·济宁如图3－ZT －8，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为BD ︵，则图中阴影部分的面积是( )

图3－ZT －8

A .π6

B .π3

C .π2－12

D .1

2

9．当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷．如图3－ZT －9是某汽车的一个雨刷的转动示意图，雨刷杆AB 与雨刷CD 在B 处固定连接(不能转动)，当杆AB 绕点A 转动90°时，雨刷CD 扫过的面积是图中阴影部分的面积，已知CD ＝80 cm ，∠DBA ＝20°，AC ＝115 cm ，DA ＝35 cm ，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．

图3－ZT －9

►类型五利用“割补法”求面积

10．如图3－ZT－10所示，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为________．

图3－ZT－10

11．如图3－ZT－11，扇形AOB与扇形COD的圆心角都是90°，连接AC，BD.

(1)求证：AC＝BD；

(2)若OA＝2 cm，OC＝1 cm，求图中阴影部分的面积．

图3－ZT－11

详解详析

1．解：过点C 作CD ⊥AO ，交AO 的延长线于点D. ∵OB ＝6 cm ，C 为OB 的中点， ∴OC ＝3 cm. ∵∠AOB ＝120°， ∴∠COD ＝60°， ∴∠OCD ＝30°， ∴在Rt △CDO 中，OD ＝12OC ＝3

2 cm ，

∴CD ＝OC 2－OD 2＝

32－（32）2＝3 32

(cm)，

∴S △AOC ＝12AO·CD ＝12×6×3 32＝9 3

2(cm 2)．

又∵S 扇形AOB ＝120π·62

360

＝12π(cm 2)，

∴S 阴影＝S 扇形AOB －S △AOC ＝12π－9 32＝24π－9 3

2(cm 2)，

即阴影部分的面积为24π－9 3

2 cm 2.

2．解：连接OC ，如图所示．

∵AB 与⊙O 相切， ∴OC ⊥AB. ∵OA ＝OB ，

∴∠AOC ＝∠BOC ，∠A ＝∠B ＝30°. 在Rt △AOC 中，∠A ＝30°，OA ＝4， ∴OC ＝1

2

OA ＝2，∠AOC ＝60°，

∴∠AOB ＝120°，AC ＝OA 2－OC 2＝2 3， 即AB ＝2AC ＝4 3，

则S 阴影＝S △AOB －S 扇形＝12×4 3×2－120π×22360＝4 3－4π

3.

3．解：(1)过点O 作OC ⊥AB 于点C ，如图所示．

∵弦AB 所对的劣弧长是圆周长的1

3，

∴∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝60°， ∴AC ＝OA ×sin ∠AOC ＝2 3 cm ， ∵OC ⊥AB ，∴AB ＝2AC ＝4 3 cm.

(2)阴影部分的面积＝120π×42360－12×4 3×2＝(16

3π－4 3)cm 2.

4．[解析] D 连接OD.

∵CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝1

2CD ＝3，

故S △OCE ＝S △ODE ，

则阴影部分的面积等于扇形BOD 的面积． 又∵∠CDB ＝30°，∴∠BOD ＝60°， ∴△BOD 是等边三角形，∴OB ＝2， 故S 扇形BOD ＝60π×22360＝2π

3，

即阴影部分的面积为2π

3

.故选D.

5．解：连接OA ，OB.∵AB ∥CD ，∴S △ABE ＝S △AOB . ∴S 阴影＝S 扇形AOB .

∵AB ＝1

2

CD ＝AO ＝OB ＝2 cm ，

∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°， ∴S 扇形AOB ＝60π·22360＝23π(cm 2)，

即阴影部分的面积为2

3π cm 2.

6.

[解析] 将小圆向右平移，使其圆心与大圆的圆心重合，阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积．

解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图所示，连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝BC ＝12.

∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小半圆的半径，

∴S 阴影部分＝S 大半圆－S 小半圆＝12π·OB 2－12π·OC 2＝12π(OB 2－OC 2)＝1

2

πBC 2＝72π.