5《平面上两点间的距离》课件1.ppt(2)
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平面上两点间的距离
已知四点Ａ（－１，３），Ｂ（３，－２）， Ｃ（６，－１），Ｄ（２，４），则四边形ABCD 是否为平行四边形？ 分析：如何判断一个四边形是否为平行四边形？ 1.判断两组对边是否对应平行
2.判断一组对边是否平行且相等
3.对角线互相平分的四边形为平行四边形
问题:如何计算两点间的距离?
过点Ａ向Ｘ轴作垂线，过点Ｂ向Ｙ轴作垂线， 两条垂线交于点Ｐ，则点Ｐ的坐标是(－１，－２）， 且 PA 3 (2) 5, PB 3 (1) 4
2
2
2. 平面上两点 P ( x , y
1 1
1
), P2 ( x2 , y2 )
对应线段
PP2 的 1
中点坐标公式
设中点
x1 x2 x0 2
y1 y2 y0 2
M ( x0 , y0 )
作
习题2.1(3)
业
第 1, 3, 4 题
分析: 设出两点坐标
B(b, 0), C (0, c)
则由中点坐标公式
M
OA
b c M( , ) 2 2
由两点间距离公式易证得
B(b,0)
x
1 AM BC 2
练
习
Ｐ９２练习 １，２，３
小 结:
1. 平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式 1
P P2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1
5 ( ,1) ，因此四边形 同理可得线段ＢＤ的中点坐标也为 2
ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ在Ｍ点互相平分，故这个 四边形为平行四边形
PP 一般地， 对于平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ，线段 1 2 1 的中点是 M ( x , y ) ，则
0 0
此即中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 由 MP MP2 1 2 2 得 MP MP
2 2
M 在PP2 上. 1
1
2
所以点
当 x1
x2 时,结论显然成立.
M 为 PP2 的中点 1
例2.
已知 ABC 的顶点坐标为 A(1,5), B(2, 1), C (4,7) , 求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程. 分析:
x1 x2 x0 2
y1 y2 y0 2
中点坐标公式的证明
可仿照上例的推导过程加以证明，亦可用距离公式及 斜率公式证明. 下面我们仅就 x x 的情况，用后一种方法加以证明
1 2
第一步：利用斜率公式证明点
y1 y2 由 k MP k MP 得三点共线. 1 2 x1 x2 第二步:利用距离公式证明 MP MP 1 2
一般地说，已知两点
如何求两点间的距离？
P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 1
如果 x1 x2 , y1 y2，过P , P2 分别向 轴、 轴作 1 垂线交于点 Q，则点 Q 的坐标为 ( x2 , y1 ) .
y
x
y2 x1
y
P2 ( x2 , y2 )
P1 ( x1 , y1 ) y1 Q( x2 , y1 )
1
y
D(2,4)
A(1,3)
O
B(3, 2)
C(6, 1)
x
y
A(1,3)
M ( x, y)
A1 O
M1
C (6, 1)
C1
x
C1 6 由 A1M1 M11 ，得5 x (1) 6 x (1) 3 ， 同理可得 y 1 解得 x 2 2 2
5 所以线段的中点坐标为 ( ,1) 2
o
x2
wenku.baidu.com
x
合 作 探 究
因为
PQ x2 x1 , 1
P2Q y2 y1
y2
所以,在
y
P2 ( x2 , y2 )
Rt PP2Q 中, 1
x1
PP PQ P2Q 1
2 1 2 2 2
P1 ( x1 , y1 )
(
o
x2 y1
Q( x2 , y2 )
x
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
P P2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1
2
2
例题讲解 例1
(1) 求 A(1,3), B(2,5) 两点间的距离;
(2)已知 A(0,10), B(a, 5)两点间的距离是17,求实数 的值.
a
分析:利用距离公式
现在再来考察本节开头的问题,由于两条对角线互 那怎样求线段AC中点的坐标呢? 相平分的四边形是平行四边形,所以,只需说明对角 线AC和BD的中点相同,即可推得四边形ABCD为平 设线段AC的中点M的坐标为 ( x, y ) ,过点A,M,C向 x 行四边形. 轴作垂线,垂足分别为 A1 , M , C , 1 1 则 A1 ， 1，C 的横坐标分别为－１，ｘ，６ M
)
如果
x1 x2 , 那么 PP2 y2 y1 1
) 式也成立
，
y
(
y2
P2 ( x2 , y2 )
如果 y1 y2 , 那么 P P2 1
x2 x1
y1
o
(
) 式仍成立.
P1 ( x1 , y1 )
x
由此，我们得到平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 间的 1 距离公式
１.先利用中点坐标公式求出点M 的坐标, ２．再利用两点间距离公式求得中 线AM的长
y
A(1,5)
M
B(2, 1)
C(4,7)
O
x
３．可利用两点式求中线AM所在直 线的方程
例3
已知 ABC 是直角三角形,斜边ＢＣ的中点为 1 Ｍ,建立适当的直角坐标系,证明:
AM
2
BC
,
y
C (0, c)
y
A(1,3)
y
A(1,3)
D(2,4)
O
B(3, 2)
C(6, 1)
x
O
x
B(3, 2)
AB PA 在 PB 5 4 41
2 2 2 2 2
Rt所以， PAB
P(1, 2)
AB
同理有 BC
中， 41类似可得 CD 41 ，所以AB CD.
DA ,故四边形ABCD为平行四边形
已知四点Ａ（－１，３），Ｂ（３，－２）， Ｃ（６，－１），Ｄ（２，４），则四边形ABCD 是否为平行四边形？ 分析：如何判断一个四边形是否为平行四边形？ 1.判断两组对边是否对应平行
2.判断一组对边是否平行且相等
3.对角线互相平分的四边形为平行四边形
问题:如何计算两点间的距离?
过点Ａ向Ｘ轴作垂线，过点Ｂ向Ｙ轴作垂线， 两条垂线交于点Ｐ，则点Ｐ的坐标是(－１，－２）， 且 PA 3 (2) 5, PB 3 (1) 4
2
2
2. 平面上两点 P ( x , y
1 1
1
), P2 ( x2 , y2 )
对应线段
PP2 的 1
中点坐标公式
设中点
x1 x2 x0 2
y1 y2 y0 2
M ( x0 , y0 )
作
习题2.1(3)
业
第 1, 3, 4 题
分析: 设出两点坐标
B(b, 0), C (0, c)
则由中点坐标公式
M
OA
b c M( , ) 2 2
由两点间距离公式易证得
B(b,0)
x
1 AM BC 2
练
习
Ｐ９２练习 １，２，３
小 结:
1. 平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式 1
P P2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1
5 ( ,1) ，因此四边形 同理可得线段ＢＤ的中点坐标也为 2
ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ在Ｍ点互相平分，故这个 四边形为平行四边形
PP 一般地， 对于平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ，线段 1 2 1 的中点是 M ( x , y ) ，则
0 0
此即中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 由 MP MP2 1 2 2 得 MP MP
2 2
M 在PP2 上. 1
1
2
所以点
当 x1
x2 时,结论显然成立.
M 为 PP2 的中点 1
例2.
已知 ABC 的顶点坐标为 A(1,5), B(2, 1), C (4,7) , 求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程. 分析:
x1 x2 x0 2
y1 y2 y0 2
中点坐标公式的证明
可仿照上例的推导过程加以证明，亦可用距离公式及 斜率公式证明. 下面我们仅就 x x 的情况，用后一种方法加以证明
1 2
第一步：利用斜率公式证明点
y1 y2 由 k MP k MP 得三点共线. 1 2 x1 x2 第二步:利用距离公式证明 MP MP 1 2
一般地说，已知两点
如何求两点间的距离？
P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 1
如果 x1 x2 , y1 y2，过P , P2 分别向 轴、 轴作 1 垂线交于点 Q，则点 Q 的坐标为 ( x2 , y1 ) .
y
x
y2 x1
y
P2 ( x2 , y2 )
P1 ( x1 , y1 ) y1 Q( x2 , y1 )
1
y
D(2,4)
A(1,3)
O
B(3, 2)
C(6, 1)
x
y
A(1,3)
M ( x, y)
A1 O
M1
C (6, 1)
C1
x
C1 6 由 A1M1 M11 ，得5 x (1) 6 x (1) 3 ， 同理可得 y 1 解得 x 2 2 2
5 所以线段的中点坐标为 ( ,1) 2
o
x2
wenku.baidu.com
x
合 作 探 究
因为
PQ x2 x1 , 1
P2Q y2 y1
y2
所以,在
y
P2 ( x2 , y2 )
Rt PP2Q 中, 1
x1
PP PQ P2Q 1
2 1 2 2 2
P1 ( x1 , y1 )
(
o
x2 y1
Q( x2 , y2 )
x
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
P P2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1
2
2
例题讲解 例1
(1) 求 A(1,3), B(2,5) 两点间的距离;
(2)已知 A(0,10), B(a, 5)两点间的距离是17,求实数 的值.
a
分析:利用距离公式
现在再来考察本节开头的问题,由于两条对角线互 那怎样求线段AC中点的坐标呢? 相平分的四边形是平行四边形,所以,只需说明对角 线AC和BD的中点相同,即可推得四边形ABCD为平 设线段AC的中点M的坐标为 ( x, y ) ,过点A,M,C向 x 行四边形. 轴作垂线,垂足分别为 A1 , M , C , 1 1 则 A1 ， 1，C 的横坐标分别为－１，ｘ，６ M
)
如果
x1 x2 , 那么 PP2 y2 y1 1
) 式也成立
，
y
(
y2
P2 ( x2 , y2 )
如果 y1 y2 , 那么 P P2 1
x2 x1
y1
o
(
) 式仍成立.
P1 ( x1 , y1 )
x
由此，我们得到平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 间的 1 距离公式
１.先利用中点坐标公式求出点M 的坐标, ２．再利用两点间距离公式求得中 线AM的长
y
A(1,5)
M
B(2, 1)
C(4,7)
O
x
３．可利用两点式求中线AM所在直 线的方程
例3
已知 ABC 是直角三角形,斜边ＢＣ的中点为 1 Ｍ,建立适当的直角坐标系,证明:
AM
2
BC
,
y
C (0, c)
y
A(1,3)
y
A(1,3)
D(2,4)
O
B(3, 2)
C(6, 1)
x
O
x
B(3, 2)
AB PA 在 PB 5 4 41
2 2 2 2 2
Rt所以， PAB
P(1, 2)
AB
同理有 BC
中， 41类似可得 CD 41 ，所以AB CD.
DA ,故四边形ABCD为平行四边形