5《平面上两点间的距离》课件1.ppt(2)
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2-1-5平面直角坐标系中的距离公式课件(北师大版必修二)
题型四 距离公式的综合应用 【例 4】 (12 分)直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1∥l2， 且 l1 与 l2 的距离为 5，求 l1、l2 的方程． 审题指导 分类讨论是数学中常用的思想方法之一，特别是涉及 到直线的斜率问题，应注意是否需要对斜率进行分类讨论． 由距离公式得 【解题流程】 设所求方程 → → 求出k → 写出方程 关于k的方程
[规范解答] (1)直线斜率存在时，设直线的斜率为 k，由斜截式， 得 l1 的方程 y＝kx＋1，即 kx－y＋1＝0， 由点斜式可得 l2 的方程：y＝k(x－5)即 kx－y－5k＝0，(3 分) 在直线 l1 上取点 A(0,1)， |1＋5k| 则点 A 到直线 l2 的距离 d＝ ＝5，(5 分) 1＋k2 12 ∴25k ＋10k＋1＝25k ＋25，∴k＝ 5 ，(7 分)
【示例】 求过点(3,5)的所有直线中，距原点最远的直线方程． [思路分析] 先设出直线方程，利用点到直线的距离公式求解或 利用数形结合的方法． 解 法一 设过点(3,5)的直线方程为
y－5＝k(x－3)或 x＝3. 对于 y－5＝k(x－3)， |3k－5| 原点(0,0)到它的距离 d＝ 2 ， k ＋1 化简整理，得(9－d2)k2－30k＋25－d2＝0. 当 9－d2≠0 时，因为 k∈R， ∴Δ＝(－30)2－4(9－d2)(25－d2)≥0.
|2＋1| 由点到直线的距离公式，得 d＝ 2 ＝3. 0 ＋12
法二
∵y＝－1 平行于 x 轴，如图，
∴d2＝|－1－2|＝3. (3)法一 y 轴的方程为 x＝0，
由点到直线的距离公式得， |1＋0＋0| d3＝ 2 2 ＝1. 1 ＋0 法二 由图可知，d3＝|1－0|＝1.
平面直角坐标系中的距离公式课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修一
D.2 7
).
解析:易知两直线之间的距离的最大值为 P,Q 两点间的距离,由两点间的距离公
式得|PQ|= (2+ 1)2 + (-1-3)2=5.故直线 l1 ,l2 之间的距离 d 的取值范围为(0,5],
所以 0<
3 2 1
- 2 - 4
所以当 =
3
,即
2
≤
1
1
,0<S≤
.
4
8
9
m=4时,△ABC 的面积
S 最大.
=
=
-1
,即
4-1
| -3 +2|
,
10
x-3y+2=0.
1.此题要求△ABC面积的最大值,可转化成求点B到直线AC的距离的最大
值.
2.在解题过程中将得到的式子进行转化,利用函数的思想把问题转化成二
|AC|= (4-5)2 + (1-5)2 = 17,
2
2
|BC|= (4-1) + (1-4) = 18,
因为|AB|=|AC|≠|BC|,
所以△ABC 为等腰三角形.
(2)AB 边的中点 M 的坐标为
9
3, 2
,
2
由两点间的距离公式得|CM|= (3-4) +
2
9
-1
2
=
53
.
2
1.对于任意两点,只要给出两点的坐标,就可利用两点间的距离公式求出两
分别对应相等.
2.一般地,与已知直线l的距离为d(d>0)的直线有两条,且都与l平行.求其方
程时,可利用平行直线系方程的设法,设出其方程,再利用两条平行直线间
2.3.2 两点间的距离公式 (共25张PPT)
求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
人教2019 A版 选择性必修 一
第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B
-2,0
,C
,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
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第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B
-2,0
,C
,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4
平面上两点间的距离公式2(PPT)5-1
国～｜献～｜粮食是～中之～。②珍贵的：～刀｜～剑｜～石｜～物。③名旧时的一种赌具，方形，多用牛角制成，上有指示方向的记号。参看页〖压宝〗。 ④敬辞，用于称对方的家眷、铺子等：～眷｜～号｜～刹。⑤（）名姓。 【宝宝】?名对小孩儿的爱称。 【宝贝】名①珍奇的东西。②（～儿）
➢构建数学:
3)x1 ≠ x2 ,y1 ≠ y2
A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1 B1 A2 B2
A1A2 B1B2 0
?ɑ动批评缺点；指责：有意见要当面提，别在背地里～人。 【褒称】①〈书〉动用赞美的言辞来称呼。②名赞美的称呼；含有褒义的称呼。 【褒词】名褒义 词。 【褒奖】动表扬和奖励：～有功人员｜在大桥落成庆典上，许多先进工作者受到了～。 【褒扬】动表扬：～先进。 【褒义】名字句里含有的赞许或好 的意思：～词。 【褒义词】名含；https:// 163贵州招聘吧 ；有褒义的词，如“坚强”、“勇敢”等。也叫褒词。 【?】①〈书〉小瓜。 ②见页〖马?儿〗。 【雹】冰雹。 【雹灾】名冰雹造成的灾害。 【雹子】?名冰雹的通称。 【薄】形①扁平物上下两面之间的距离小（跟“厚”相对，下?? 同）：～板｜～被｜～片｜这种纸很～◇家底～。②（感情）冷淡；不深：待他的情分不～。③（味道）不浓；淡：酒味很～。④（土地）不肥沃：这儿 地～，产量不高。 【薄饼】名一种面食，用烫面做饼，很薄，两张相叠，烙熟后能揭开。 【薄脆】名①一种糕点，形状多样，薄而脆。②一种油炸面食，薄 而脆。 【饱】（飽）①形满足了食量（跟“饿”相对）：我～了，一点也吃不下了。②形饱满：谷粒儿很～。③足足地；充分：～经风霜。④满足：一～眼 福。⑤中饱：克扣军饷，以～私囊。 【饱餐】动饱饱儿地吃：～了一顿｜～容易诱发心绞痛。 【饱尝】动①充分地品尝：～美味。②长期经受或体验：～艰 苦。 【饱读】动大量阅读：～经史。 【饱嗝儿】名吃饱后打的嗝儿。 【饱含】动充满：眼里～着热泪｜胸中～着对祖国的热爱。 【饱汉不知饿汉饥】īī比 喻处境好的人，不能理解处于困境中的人的痛苦和难处。 【饱和】动①在一定温度和压力下，溶液所含溶质的量达到最大限度，不能再溶解。②泛指事物在 某个范围内达到最高限度：目前市场上洗衣机的销售已接近～。 【饱经沧桑】ī形容经历过很多世事变迁。 【饱经风霜】ī形容经历过很多艰难困苦。 【饱览】 动充分地看；尽情地观赏：～名山胜景｜航天旅行，可～天外奇观。 【饱满】形①丰满：颗粒～。②充足：精神～｜～的热情。 【饱食终日】一天到晚吃得 饱饱的，形容无所事事。 【饱学】形学识丰富：～之士。 【饱以老拳】用拳头狠狠地打。 【饱雨】〈方〉名透雨。 【宝】（寶、寳）①名珍贵的东西：
➢构建数学:
3)x1 ≠ x2 ,y1 ≠ y2
A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1 B1 A2 B2
A1A2 B1B2 0
?ɑ动批评缺点；指责：有意见要当面提，别在背地里～人。 【褒称】①〈书〉动用赞美的言辞来称呼。②名赞美的称呼；含有褒义的称呼。 【褒词】名褒义 词。 【褒奖】动表扬和奖励：～有功人员｜在大桥落成庆典上，许多先进工作者受到了～。 【褒扬】动表扬：～先进。 【褒义】名字句里含有的赞许或好 的意思：～词。 【褒义词】名含；https:// 163贵州招聘吧 ；有褒义的词，如“坚强”、“勇敢”等。也叫褒词。 【?】①〈书〉小瓜。 ②见页〖马?儿〗。 【雹】冰雹。 【雹灾】名冰雹造成的灾害。 【雹子】?名冰雹的通称。 【薄】形①扁平物上下两面之间的距离小（跟“厚”相对，下?? 同）：～板｜～被｜～片｜这种纸很～◇家底～。②（感情）冷淡；不深：待他的情分不～。③（味道）不浓；淡：酒味很～。④（土地）不肥沃：这儿 地～，产量不高。 【薄饼】名一种面食，用烫面做饼，很薄，两张相叠，烙熟后能揭开。 【薄脆】名①一种糕点，形状多样，薄而脆。②一种油炸面食，薄 而脆。 【饱】（飽）①形满足了食量（跟“饿”相对）：我～了，一点也吃不下了。②形饱满：谷粒儿很～。③足足地；充分：～经风霜。④满足：一～眼 福。⑤中饱：克扣军饷，以～私囊。 【饱餐】动饱饱儿地吃：～了一顿｜～容易诱发心绞痛。 【饱尝】动①充分地品尝：～美味。②长期经受或体验：～艰 苦。 【饱读】动大量阅读：～经史。 【饱嗝儿】名吃饱后打的嗝儿。 【饱含】动充满：眼里～着热泪｜胸中～着对祖国的热爱。 【饱汉不知饿汉饥】īī比 喻处境好的人，不能理解处于困境中的人的痛苦和难处。 【饱和】动①在一定温度和压力下，溶液所含溶质的量达到最大限度，不能再溶解。②泛指事物在 某个范围内达到最高限度：目前市场上洗衣机的销售已接近～。 【饱经沧桑】ī形容经历过很多世事变迁。 【饱经风霜】ī形容经历过很多艰难困苦。 【饱览】 动充分地看；尽情地观赏：～名山胜景｜航天旅行，可～天外奇观。 【饱满】形①丰满：颗粒～。②充足：精神～｜～的热情。 【饱食终日】一天到晚吃得 饱饱的，形容无所事事。 【饱学】形学识丰富：～之士。 【饱以老拳】用拳头狠狠地打。 【饱雨】〈方〉名透雨。 【宝】（寶、寳）①名珍贵的东西：
《空间两点间的距离公式》名师课件2
当 x＝87时，|AB|有最小值 57＝ 735.
此时 A87，277，97，B1，272，67.
例题讲解
例2、已知A（1，-2，11），B（4，2，3） ，C（6，-1，4），求证其连线组成的三角 形为直角三角形。
证明：利用两点间距离公式，由
| AB | 89,| AC | 75,| BC | 14
巩固训练
1、(1)已知两点 P(1，0，1)与 Q(4，3，－1)． ①求 P、Q 之间的距离； ②求 z 轴上的一点 M，使|MP|＝|MQ|. (2)已知 A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小 值时，A、B 两点的坐标，并求此时的|AB|. 解：
(1)①|PQ|＝ （1－4）2＋（0－3）2＋（1＋1）2＝ 22. ②设 M(0，0，z)由|MP|＝|MQ|， 得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2， 所以 z＝－6.所以 M(0，0，－6)．
空间两点间的距离公式
复习引入
如何计算空间两点之间的距离?
复习引入
1.在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？
复习引入
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
y
P1
o
x
P2
复习引入
2.类比平面两点间的距离公式，你 能猜想出在空间直角坐标系中两点 间的距离公式吗？
|BC|＝ （6－4）2＋（－1－2）2＋（4－3）2＝ 14， 所以|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，故△ABC 为直角三角形．
例题讲解
例1、(2)如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上
平面上两点间的距离(1)
x 轴上两点 P1 x1 ,0 , P2 x2 ,0 之间的距离可以表示为1 P2 P | x2 x1 | .当点P1在点P2的左 侧时, P1 P2 x2 x1 .
y
A- 1,3
D2,4
如图2 1 17, 过点 A向 x 轴作 垂线, 过点B向 y 轴作垂线, 两垂
x C6,-1
o
B3,-2
线相交于点P, 则点P的坐标是
1,2, 且
PA | 3 2 | 5 , PB | 3 1 | 4.
y
A- 1,3
所以, 在RtPAB中, 类似可得CD 41, 2 2 2 所以AB CD. AB PA PB
2 2
x2
o
x
Qx 2 , y1
P1x1, y1
y1
如果 x1 x2 图2 1 182, 那么 P P2 | y2 y1 |, 式也成立 . 1
1
y
y2
P2 x2 , y2
由此我们得到平面上P x1 , y1 , 1 P2 x2 , y2 两点间的距离公式
o
y1
x
图2 1 18
2
P1x1, y1
P P2 1
x2 x1 y2 y1
2
2
.
例1
1求A 1, 3, B2, 5 两点间的距离 ; 2已知A0, 10 , Ba, 5 两点间的距离是
17, 求实数 a .
• • • •ຫໍສະໝຸດ 2 . 1 . 5 平面上两点间的距离
• • • • • • • • •
学习目标： 掌握平面上两点间距离公式及其应用 自学指导: 平面上两点间距离公式是怎样的？ 推导平面上两点间距离公式依据了什么定理？ 课本上的推导是从特殊到一般还是从一般到特殊？ 平面上两点间的距离计算是如何转化的？ 自学检测: P96习题2.1(3)第1题
2.3.2两点间的距离公式ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
知识点
任务型课堂
课后素养评价
两点间的距离
1 ． 平 面 内 的 两 点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 间 的 距 离 公 式 ， |P1P2| ＝
2 − 1 2 + 2 − 1 2
______________________．
2．两点间距离的特殊情况
2 + 2
(1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝ __________．
|x2－x1|
(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝_______．
|y2－y1|
(3)当P P ∥y轴(x ＝x )时，|P P |＝_______．
1 2
1
2
1 2
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|＝(
的中线AM的长为(
)
A．8
B．13
C．2 15
D． 65
D
解析：由B(10，4)，C(2，－4)可得M(6，0)，又A(7，8)，所以
|AM|＝
6−7
2
+ 0 − 8 2 ＝ 65.
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
2．已知线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上，且线段AB的中点为
第二章 直线和圆的方程
2.3
直线的交点坐标与距离公式
2.3.2 两点间的距离公式
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
学习任务目标
掌握两点间的距离公式并会简单应用．(逻辑推理)
人教课标版高中数学必修2《两点间的距离》名师课件2
|P1P2|=|x1-x2| 在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2) ，那么点P1和P2的距离为：
|P1P2|=|y1-y2|
实质上，以上两种可归结为下列两类情形：
y
P1 P2
o x1
x x2
y
y2
y1
o
P2
P1
x
x1 x2 y1 y2
|P1P2|=|x1-x2|
x1 x2 y1 y2
解题策略
用解析法(坐标法)解决几何问题的基本步骤 第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数计算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
巩固练习
3.已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建立适当的 平面直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|. 证明：以 Rt△ABC 的直角边 AB，AC 所在直线为坐标轴，建立 如图所示的平面直角坐标系．设 B，C 两点的坐标分别为(b，0)， (0，c)，斜边 BC 的中点为 M，
|AC|＝
3＋322＋0－322＝3 210.
由于∠BAC＝90°，
所以 S△ABC＝12|AB|·|AC|＝12× 210×3 210＝145. 综上可知，当 A 点的坐标为(1，－1)时，△ABC 的面积为 5，当
A 点的坐标为－23，32时，△ABC 的面积为145.
例题讲解
例3、已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，试建立适当 的直角坐标系，证明：|AC|＝|BD|.
探究新知
由此可见，已知x轴上一点P1(x0，0)和y 轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距 离为：
P2 y | P1P2 | x02 y02
o
P1 x
|P1P2|=|y1-y2|
实质上，以上两种可归结为下列两类情形：
y
P1 P2
o x1
x x2
y
y2
y1
o
P2
P1
x
x1 x2 y1 y2
|P1P2|=|x1-x2|
x1 x2 y1 y2
解题策略
用解析法(坐标法)解决几何问题的基本步骤 第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数计算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
巩固练习
3.已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建立适当的 平面直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|. 证明：以 Rt△ABC 的直角边 AB，AC 所在直线为坐标轴，建立 如图所示的平面直角坐标系．设 B，C 两点的坐标分别为(b，0)， (0，c)，斜边 BC 的中点为 M，
|AC|＝
3＋322＋0－322＝3 210.
由于∠BAC＝90°，
所以 S△ABC＝12|AB|·|AC|＝12× 210×3 210＝145. 综上可知，当 A 点的坐标为(1，－1)时，△ABC 的面积为 5，当
A 点的坐标为－23，32时，△ABC 的面积为145.
例题讲解
例3、已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，试建立适当 的直角坐标系，证明：|AC|＝|BD|.
探究新知
由此可见，已知x轴上一点P1(x0，0)和y 轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距 离为：
P2 y | P1P2 | x02 y02
o
P1 x
两点之间的距离公式及中点坐标公式.ppt
A 0 , 0 , B a , 0 , C b , c , D b a , c .
所以
AB a ,
2 2
2 2 2
y D (b-a, c)
C (b, c) x
AD b a c ,
AC b c,
2 2 2
O
A(0,0)
B(a,0)
2 BD b 2 a c 2 2
d(A,C)=
2 2
即|AC|=|BC|且三点不共线
所以，三角形ABC为等腰三角形。
【例3】已知 ABCD ,求证 2 2 2 2 AC BD 2 AB AD .
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A，B，C，D的坐标为
A
[题组冲关] 3．假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地商业信
息，可采用的最快捷的方式是
(
)
A．乘坐飞机赴各地了解 B．通过无线电报输送讯息 C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解
解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信 息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部 邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国邮联大会 。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。 3．交通通讯变化的影响
2.3.2两点间的距离公式 课件(共15张PPT)
.
解：设点的坐标为（，0）,
PA
( x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5
PB ( x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
由||＝||，得 2 + 2 + 5＝ 2 − 4 + 11. 解得＝1.
∴所求点为(1,0), 且||＝ (1 1)2 (0 2)2 2 2
(1) x1≠x2, y1=y2
P1(x1,y1) P2(x2,y2)
| P1 P2 || x 2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
| P1 P2 || y 2 y1 |
P2(x2,y2)
x
思考：你能利用1(1, 1)， 2(2, 2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间的距离公式吗？
与向量法比较，你有什么体会？
y P (x1,y1)
1
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
Q (x2,y1)
| 1 |＝ |2 − 1 |
| 2 |＝ | 2 − 1 |
| 1 2 |＝
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
P2 (x2,y2)
x
即时巩固
求下列两点间的距离：
(1) (6,0), (−2,0);
例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
由两点间的距离公式，得
y
D (b,c)
C(a+b,c)
||² = ||² = ²，
||² = ||² = ² + ²，
||² = ( + )² + ²
o A(0,0)
两点间的距离公式课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
问题1：上图能建立坐标系吗?如果能，该怎么建立？在平面直角坐标系中 ， <Am></m>， <m>B</m>两点的坐标各是多少？如何求线段 <m>AB</m>的长度？ 能，可以以 <m>l1</m>与 <m>l2</m>的交点为坐标原点， <lm>1</m>为 <xm></m>轴 ， ><ml2</m>为 <m>y</m>轴建立平面直角坐标系.
归纳总结
1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的 形状，以确定证明的方向． 2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征， 主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要 考察边是否相等或是否满足勾股定理．
1.已知 A 3,7 ， B 2,5 ，则 A ， B 两点间的距离为( B@29 )
例2 已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)，试判断△ABC 的形状．
方法二
∵kAC＝1−7−−13
＝32，kAB＝3−−3−−13
＝－2，
3
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝ 1 + 3 2 + 7 − 1 2＝2 13，
|AB|＝ 3 + 3 2 + −3 − 1 2＝2 13， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
例1 (1)若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相 等，则点M的坐标为 ( 34，0) ．
解：(1)设点M(x，0)(x>0)， 由题意可知， x2 + 02＝ 52 + −3 2， 解得x＝ 34. 所以点M的坐标为( 34，0)．
高中数学北师大版必修2《第2章11.5平面直角坐标系中的距离公式》课件
A2＋B2
3
思考：点到直线的距离公式对于 A＝0 或 B＝0 时的直线是否仍 然适用？
4
提示：仍然适用，①当 A＝0，B≠0 时，直线 l 的方程为 By＋C ＝0，
即 y＝－CB，d＝y0＋CB＝|By|0B＋| C|，适合公式． ②当 B＝0，A≠0 时，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0，x＝－CA，d＝ x0＋CA＝|Ax|0A＋| C|，适合公式．
A．1
B．2
1 C.2
D．4
29
B [∵36＝m4 ≠－143，∴m＝8，直线 6x＋my＋14＝0 可化为 3x＋ 4y＋7＝0，两平行线之间的距离 d＝|－332＋－472|＝2.]
30
1．点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值， 利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当 直线与坐标轴垂直时可直接求之．
26
[解] 设 P(x，y)为 l 上任一点． 则 d1＝|7x＋728＋y＋829|，d2＝|7x＋728＋y－823|. 由dd12＝12，即 d2＝2d1，得 |7x＋8y－3|＝2|7x＋8y＋9|. ∴7x＋8y－3＝2(7x＋8y＋9) 或 7x＋8y－3＝－2(7x＋8y＋9)． 化简得 l 的方程为 7x＋8y＋21＝0 或 7x＋8y＋5＝0.
提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两 条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这 点到另一条直线的距离即可．
23
2．已知 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，如何推导出 l1 与 l2 的距离公式呢？
24
提示：由 l1 与 l2 的方程可知直线 l1∥l2，设 P0(x0，y0)是直线 Ax ＋By＋C2＝0 上任一点，则点 P0 到直线 Ax＋By＋C1＝0 的距离为 d ＝|Ax0＋AB2＋y0＋ B2C1|.又 Ax0＋By0＋C2＝0，即 Ax0＋By0＝－C2，∴d＝ |CA1－2＋CB22| .
3
思考：点到直线的距离公式对于 A＝0 或 B＝0 时的直线是否仍 然适用？
4
提示：仍然适用，①当 A＝0，B≠0 时，直线 l 的方程为 By＋C ＝0，
即 y＝－CB，d＝y0＋CB＝|By|0B＋| C|，适合公式． ②当 B＝0，A≠0 时，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0，x＝－CA，d＝ x0＋CA＝|Ax|0A＋| C|，适合公式．
A．1
B．2
1 C.2
D．4
29
B [∵36＝m4 ≠－143，∴m＝8，直线 6x＋my＋14＝0 可化为 3x＋ 4y＋7＝0，两平行线之间的距离 d＝|－332＋－472|＝2.]
30
1．点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值， 利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当 直线与坐标轴垂直时可直接求之．
26
[解] 设 P(x，y)为 l 上任一点． 则 d1＝|7x＋728＋y＋829|，d2＝|7x＋728＋y－823|. 由dd12＝12，即 d2＝2d1，得 |7x＋8y－3|＝2|7x＋8y＋9|. ∴7x＋8y－3＝2(7x＋8y＋9) 或 7x＋8y－3＝－2(7x＋8y＋9)． 化简得 l 的方程为 7x＋8y＋21＝0 或 7x＋8y＋5＝0.
提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两 条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这 点到另一条直线的距离即可．
23
2．已知 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，如何推导出 l1 与 l2 的距离公式呢？
24
提示：由 l1 与 l2 的方程可知直线 l1∥l2，设 P0(x0，y0)是直线 Ax ＋By＋C2＝0 上任一点，则点 P0 到直线 Ax＋By＋C1＝0 的距离为 d ＝|Ax0＋AB2＋y0＋ B2C1|.又 Ax0＋By0＋C2＝0，即 Ax0＋By0＝－C2，∴d＝ |CA1－2＋CB22| .
两点间的距离公式(共1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.3.2两点间的距离方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们
可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。
两条直线的交点
点的坐标满足直线方程
两条直线的交点坐标
两点之间的距离
点到直线的距
离
两平行直线的距离
点在直线上
所在直线二元一次方程组的解
一起来探讨这个简单的问题吧！
所以，所求点为P(1,0)，且|PA| =
(1 + 1)2 +(0 − 2)2 = 2 2.
目
录
2 题型
02
题型1－两点间的距离应用
例1 已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，
17
则BC边上 的中线长为______.
解：BC的中点坐标为(0,1)，
02
题型1－两点间的距离应用
理推导两点间的距离公式吗？
y
y
P2 (x2，y2)
P1 (x1，y1)
P2 (x2，y2)
P1 (x1，y1)
x
O
|P1 P2| = |y2 − y1 |
y
|P1 P2| = |x2 − x1 |
两点间的距离公式：|1 2 | =
Q (x2，y1)
P2 (x2，y2)
x
O
P1 (x1，y1)
O
|1 2 | =
1 两点间的距离公式
目
录
2 题型
1 两点间的距离公式
目
录
01
新知探究
探究1 如图, 已知平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 如何求P1, P2间的距离| P1P2
|?
可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。
两条直线的交点
点的坐标满足直线方程
两条直线的交点坐标
两点之间的距离
点到直线的距
离
两平行直线的距离
点在直线上
所在直线二元一次方程组的解
一起来探讨这个简单的问题吧！
所以，所求点为P(1,0)，且|PA| =
(1 + 1)2 +(0 − 2)2 = 2 2.
目
录
2 题型
02
题型1－两点间的距离应用
例1 已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，
17
则BC边上 的中线长为______.
解：BC的中点坐标为(0,1)，
02
题型1－两点间的距离应用
理推导两点间的距离公式吗？
y
y
P2 (x2，y2)
P1 (x1，y1)
P2 (x2，y2)
P1 (x1，y1)
x
O
|P1 P2| = |y2 − y1 |
y
|P1 P2| = |x2 − x1 |
两点间的距离公式：|1 2 | =
Q (x2，y1)
P2 (x2，y2)
x
O
P1 (x1，y1)
O
|1 2 | =
1 两点间的距离公式
目
录
2 题型
1 两点间的距离公式
目
录
01
新知探究
探究1 如图, 已知平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 如何求P1, P2间的距离| P1P2
|?
5《平面上两点间的距离》课件1.ppt(2)
o
x2
x
合 作 探 究
因为
PQ x2 x1 , PQ y2 y1 1 2
y2
所以,在
y
P2 ( x2 , y2 )
Rt PP2Q 中, 1
x1
PP PQ PQ 1 2
2 1 2 2 2
P1 ( x1, y1 ) y1 Q(x2 , y2 )
(
o
x2
x
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
平面上两点间的距离
已知四点Ａ（－１，３），Ｂ（３，－２）， Ｃ（６，－１），Ｄ（２，４），则四边形ABCD 是否为平行四边形？ 分析：如何判断一个四边形是否为平行四边形？ 1.判断两组对边是否对应平行
2.判断一组对边是否平行且相等
3.对角线互相平分的四边形为平行四边形
问题:如何计算两点间的距离?
过点Ａ向Ｘ轴作垂线，过点Ｂ向Ｙ轴作垂线， 两条垂线交于点Ｐ，则点Ｐ的坐标是(－１，－２）， 且 PA 3 (2) 5, PB 3 (1) 4
1
1
则 A ， 1，C 的横坐标分别为－１，ｘ，６ 1 M
1
y
D(2,4)
A(1,3)
O
B(3, 2)
C(6, 1)
x
y
A(1,3)
M ( x, y)
A1 O
M1
C(6, 1)
C1
x
C1 6 由 A1M1 M11 ，得5 x (1) 6 x ， 1) 3 ( 1 同理可得 y 解得 x 2 2 2
M
OA
分析: 设出两点坐标
B(b,0), C (0, c)
,
则由中点坐标公式
两点间的距离与线段的中点坐标PPT课件
则点P1、P2之间的距离 p1 p2 等于什么？
解决途径： ∵ ︱P1P2︱ （x2 x1）2 ( y2 y1)2
∴ p1 p2 （x2 x1）2 ( y2 y1)2
结论1：如果已知
，
,则
p1 p2 ︱P1P2︱ （x2 x1）2 ( y2 y1)2
第3页/共14页
应用一：知识巩固
xQ
0
(6) 2
3
yQ
2 (1) 2
1 2
即
Q（ 3, 1） 2
同理，求出线段SQ 的中点P （ 3 , 5）
24
线段QT的中点 R（ 9 , 1）.
24
故所求的分点分别为P（Байду номын сангаас
3 2
,
5）、Q（ 4
3,
1）、R（ 2
9 2
,
1）. 4
第7页/共14页
应用二：巩固提高
例3.已知 ABC 的三个顶点 为 A（1，0）、B（-2，1）、 C（0，3），试求BC边上的中 线AD的长度．
一、温故知新
复 1、平面直角坐标系中，设 P（1 x1, y1），P（2 x2, y2）
习
则向量
=（ x2 x1 ，y2 y1 ）
巩
固 2、已知
,则︱ ︱= x2 y2 ？
第2页/共14页
二、合作探究指导应用
探究一：两点间的距离公式
问题：在平面直角坐标系中，已知 P（1 x1, y1），P（2 x2, y2）
一般地设意两点则线段中点的坐标为已知点s02点t61现将线段st四等分试求出各分点的坐标
8．1. 1 《两点间的距离与线段中点的坐标 》
学习目标
• 1、了解平面直角坐标系 中两点间的距离公式和 线段中点坐标公式的推 导过程；
解决途径： ∵ ︱P1P2︱ （x2 x1）2 ( y2 y1)2
∴ p1 p2 （x2 x1）2 ( y2 y1)2
结论1：如果已知
，
,则
p1 p2 ︱P1P2︱ （x2 x1）2 ( y2 y1)2
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应用一：知识巩固
xQ
0
(6) 2
3
yQ
2 (1) 2
1 2
即
Q（ 3, 1） 2
同理，求出线段SQ 的中点P （ 3 , 5）
24
线段QT的中点 R（ 9 , 1）.
24
故所求的分点分别为P（Байду номын сангаас
3 2
,
5）、Q（ 4
3,
1）、R（ 2
9 2
,
1）. 4
第7页/共14页
应用二：巩固提高
例3.已知 ABC 的三个顶点 为 A（1，0）、B（-2，1）、 C（0，3），试求BC边上的中 线AD的长度．
一、温故知新
复 1、平面直角坐标系中，设 P（1 x1, y1），P（2 x2, y2）
习
则向量
=（ x2 x1 ，y2 y1 ）
巩
固 2、已知
,则︱ ︱= x2 y2 ？
第2页/共14页
二、合作探究指导应用
探究一：两点间的距离公式
问题：在平面直角坐标系中，已知 P（1 x1, y1），P（2 x2, y2）
一般地设意两点则线段中点的坐标为已知点s02点t61现将线段st四等分试求出各分点的坐标
8．1. 1 《两点间的距离与线段中点的坐标 》
学习目标
• 1、了解平面直角坐标系 中两点间的距离公式和 线段中点坐标公式的推 导过程；
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1
y
D(2,4)
A(1,3)
O
B(3, 2)
C(6, 1)
x
y
A(1,3)
M ( x, y)
A1 O
M1
C (6, 1)
C1
x
C1 6 由 A1M1 M11 ，得5 x (1) 6 x (1) 3 ， 同理可得 y 1 解得 x 2 2 2
5 所以线段的中点坐标为 ( ,1) 2
5 ( ,1) ，因此四边形 同理可得线段ＢＤ的中点坐标也为 2
ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ在Ｍ点互相平分，故这个 四边形为平行四边形
PP 一般地， 对于平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ，线段 1 2 1 的中点是 M ( x , y ) ，则
0 0
此即中点坐标公式
2
2
2. 平面上两点 P ( x , y
1 1
1
), P2 ( x2 , y2 )
对应线段
PP2 的 1
中点坐标公式
设中点
x1 x2 x0 2
y1 y2 y0 2
M ( x0 , y0 )
作
习题2.1(3)
业
第 1, 3, 4 题
o
x2
x
合 作 探 究
因为
PQ x2 x1 , 1
P2Q y2 y1
y2
所以,在
y
P2 ( x2 , y2 )
Rt PP2Q 中, 1
x1
PP PQ P2Qห้องสมุดไป่ตู้1
2 1 2 2 2
P1 ( x1 , y1 )
(
o
x2 y1
Q( x2 , y2 )
x
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
P P2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1
2
2
例题讲解 例1
(1) 求 A(1,3), B(2,5) 两点间的距离;
(2)已知 A(0,10), B(a, 5)两点间的距离是17,求实数 的值.
a
分析:利用距离公式
现在再来考察本节开头的问题,由于两条对角线互 那怎样求线段AC中点的坐标呢? 相平分的四边形是平行四边形,所以,只需说明对角 线AC和BD的中点相同,即可推得四边形ABCD为平 设线段AC的中点M的坐标为 ( x, y ) ,过点A,M,C向 x 行四边形. 轴作垂线,垂足分别为 A1 , M , C , 1 1 则 A1 ， 1，C 的横坐标分别为－１，ｘ，６ M
x1 x2 y1 y2 由 MP MP2 1 2 2 得 MP MP
2 2
M 在PP2 上. 1
1
2
所以点
当 x1
x2 时,结论显然成立.
M 为 PP2 的中点 1
例2.
已知 ABC 的顶点坐标为 A(1,5), B(2, 1), C (4,7) , 求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程. 分析:
)
如果
x1 x2 , 那么 PP2 y2 y1 1
) 式也成立
，
y
(
y2
P2 ( x2 , y2 )
如果 y1 y2 , 那么 P P2 1
x2 x1
y1
o
(
) 式仍成立.
P1 ( x1 , y1 )
x
由此，我们得到平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 间的 1 距离公式
分析: 设出两点坐标
B(b, 0), C (0, c)
则由中点坐标公式
M
OA
b c M( , ) 2 2
由两点间距离公式易证得
B(b,0)
x
1 AM BC 2
练
习
Ｐ９２练习 １，２，３
小 结:
1. 平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式 1
P P2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1
一般地说，已知两点
如何求两点间的距离？
P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 1
如果 x1 x2 , y1 y2，过P , P2 分别向 轴、 轴作 1 垂线交于点 Q，则点 Q 的坐标为 ( x2 , y1 ) .
y
x
y2 x1
y
P2 ( x2 , y2 )
P1 ( x1 , y1 ) y1 Q( x2 , y1 )
y
A(1,3)
y
A(1,3)
D(2,4)
O
B(3, 2)
C(6, 1)
x
O
x
B(3, 2)
AB PA 在 PB 5 4 41
2 2 2 2 2
Rt所以， PAB
P(1, 2)
AB
同理有 BC
中， 41类似可得 CD 41 ，所以AB CD.
DA ,故四边形ABCD为平行四边形
平面上两点间的距离
已知四点Ａ（－１，３），Ｂ（３，－２）， Ｃ（６，－１），Ｄ（２，４），则四边形ABCD 是否为平行四边形？ 分析：如何判断一个四边形是否为平行四边形？ 1.判断两组对边是否对应平行
2.判断一组对边是否平行且相等
3.对角线互相平分的四边形为平行四边形
问题:如何计算两点间的距离?
过点Ａ向Ｘ轴作垂线，过点Ｂ向Ｙ轴作垂线， 两条垂线交于点Ｐ，则点Ｐ的坐标是(－１，－２）， 且 PA 3 (2) 5, PB 3 (1) 4
１.先利用中点坐标公式求出点M 的坐标, ２．再利用两点间距离公式求得中 线AM的长
y
A(1,5)
M
B(2, 1)
C(4,7)
O
x
３．可利用两点式求中线AM所在直 线的方程
例3
已知 ABC 是直角三角形,斜边ＢＣ的中点为 1 Ｍ,建立适当的直角坐标系,证明:
AM
2
BC
,
y
C (0, c)
x1 x2 x0 2
y1 y2 y0 2
中点坐标公式的证明
可仿照上例的推导过程加以证明，亦可用距离公式及 斜率公式证明. 下面我们仅就 x x 的情况，用后一种方法加以证明
1 2
第一步：利用斜率公式证明点
y1 y2 由 k MP k MP 得三点共线. 1 2 x1 x2 第二步:利用距离公式证明 MP MP 1 2
y
D(2,4)
A(1,3)
O
B(3, 2)
C(6, 1)
x
y
A(1,3)
M ( x, y)
A1 O
M1
C (6, 1)
C1
x
C1 6 由 A1M1 M11 ，得5 x (1) 6 x (1) 3 ， 同理可得 y 1 解得 x 2 2 2
5 所以线段的中点坐标为 ( ,1) 2
5 ( ,1) ，因此四边形 同理可得线段ＢＤ的中点坐标也为 2
ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ在Ｍ点互相平分，故这个 四边形为平行四边形
PP 一般地， 对于平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ，线段 1 2 1 的中点是 M ( x , y ) ，则
0 0
此即中点坐标公式
2
2
2. 平面上两点 P ( x , y
1 1
1
), P2 ( x2 , y2 )
对应线段
PP2 的 1
中点坐标公式
设中点
x1 x2 x0 2
y1 y2 y0 2
M ( x0 , y0 )
作
习题2.1(3)
业
第 1, 3, 4 题
o
x2
x
合 作 探 究
因为
PQ x2 x1 , 1
P2Q y2 y1
y2
所以,在
y
P2 ( x2 , y2 )
Rt PP2Q 中, 1
x1
PP PQ P2Qห้องสมุดไป่ตู้1
2 1 2 2 2
P1 ( x1 , y1 )
(
o
x2 y1
Q( x2 , y2 )
x
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
P P2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1
2
2
例题讲解 例1
(1) 求 A(1,3), B(2,5) 两点间的距离;
(2)已知 A(0,10), B(a, 5)两点间的距离是17,求实数 的值.
a
分析:利用距离公式
现在再来考察本节开头的问题,由于两条对角线互 那怎样求线段AC中点的坐标呢? 相平分的四边形是平行四边形,所以,只需说明对角 线AC和BD的中点相同,即可推得四边形ABCD为平 设线段AC的中点M的坐标为 ( x, y ) ,过点A,M,C向 x 行四边形. 轴作垂线,垂足分别为 A1 , M , C , 1 1 则 A1 ， 1，C 的横坐标分别为－１，ｘ，６ M
x1 x2 y1 y2 由 MP MP2 1 2 2 得 MP MP
2 2
M 在PP2 上. 1
1
2
所以点
当 x1
x2 时,结论显然成立.
M 为 PP2 的中点 1
例2.
已知 ABC 的顶点坐标为 A(1,5), B(2, 1), C (4,7) , 求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程. 分析:
)
如果
x1 x2 , 那么 PP2 y2 y1 1
) 式也成立
，
y
(
y2
P2 ( x2 , y2 )
如果 y1 y2 , 那么 P P2 1
x2 x1
y1
o
(
) 式仍成立.
P1 ( x1 , y1 )
x
由此，我们得到平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 间的 1 距离公式
分析: 设出两点坐标
B(b, 0), C (0, c)
则由中点坐标公式
M
OA
b c M( , ) 2 2
由两点间距离公式易证得
B(b,0)
x
1 AM BC 2
练
习
Ｐ９２练习 １，２，３
小 结:
1. 平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式 1
P P2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1
一般地说，已知两点
如何求两点间的距离？
P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 1
如果 x1 x2 , y1 y2，过P , P2 分别向 轴、 轴作 1 垂线交于点 Q，则点 Q 的坐标为 ( x2 , y1 ) .
y
x
y2 x1
y
P2 ( x2 , y2 )
P1 ( x1 , y1 ) y1 Q( x2 , y1 )
y
A(1,3)
y
A(1,3)
D(2,4)
O
B(3, 2)
C(6, 1)
x
O
x
B(3, 2)
AB PA 在 PB 5 4 41
2 2 2 2 2
Rt所以， PAB
P(1, 2)
AB
同理有 BC
中， 41类似可得 CD 41 ，所以AB CD.
DA ,故四边形ABCD为平行四边形
平面上两点间的距离
已知四点Ａ（－１，３），Ｂ（３，－２）， Ｃ（６，－１），Ｄ（２，４），则四边形ABCD 是否为平行四边形？ 分析：如何判断一个四边形是否为平行四边形？ 1.判断两组对边是否对应平行
2.判断一组对边是否平行且相等
3.对角线互相平分的四边形为平行四边形
问题:如何计算两点间的距离?
过点Ａ向Ｘ轴作垂线，过点Ｂ向Ｙ轴作垂线， 两条垂线交于点Ｐ，则点Ｐ的坐标是(－１，－２）， 且 PA 3 (2) 5, PB 3 (1) 4
１.先利用中点坐标公式求出点M 的坐标, ２．再利用两点间距离公式求得中 线AM的长
y
A(1,5)
M
B(2, 1)
C(4,7)
O
x
３．可利用两点式求中线AM所在直 线的方程
例3
已知 ABC 是直角三角形,斜边ＢＣ的中点为 1 Ｍ,建立适当的直角坐标系,证明:
AM
2
BC
,
y
C (0, c)
x1 x2 x0 2
y1 y2 y0 2
中点坐标公式的证明
可仿照上例的推导过程加以证明，亦可用距离公式及 斜率公式证明. 下面我们仅就 x x 的情况，用后一种方法加以证明
1 2
第一步：利用斜率公式证明点
y1 y2 由 k MP k MP 得三点共线. 1 2 x1 x2 第二步:利用距离公式证明 MP MP 1 2