函数·典型例题精析

2．2 函数²例题解析

【例1】判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？ (1)x 2＋y ＝1 (2)x ＋y 2＝1

(3)y ＝

11

--x

x 解 (1)由x 2＋y ＝1得y ＝1－x 2，它能确定y 是x 的函数．

(2)x y 1y y x 2由＋＝得＝±．它不能确定是的函数，因为对1-x

于任意的x ∈{x|x ≤1}，其函数值不是唯一的．

(3)y y x ＝

的定义域是，所以它不能确定是的函数．11

--∅x

x 【例2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么？

(1)f(x)|x|(t)(2)f(x)g(x)(x)

2

＝，＝＝，＝∅t x 22

(3)f(x)g(x)(4)f(x)g(x)＝²，＝＝²，＝x x x x x x

+--+--11111122

解 (1)中两式的定义域部是R ，对应法则相同，故两式为相同函数． (2)、(3)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数．

(4)中两式的定义域都是－1≤x ≤1，对应法则也相同，故两式子是相同函数．

【例3】求下列函数的定义域：

(1)f(x)2(2)f(x)(3)f(x)＝＋＋＝

＝

x x x x x x x --+----14532

1021

5

2||

(4)f(x)(4x 5)

(1)x 10 4x 0

1x 4{x|1x 4}(2)3x 20x {x|x }

＝＋－由－≥－≥得≤≤．∴定义域是≤≤由－＞，得＞，∴定义域是＞8

1232

3||

x -⎧⎨⎩解

(3)10x x 210

|x|503x 7x 5{x|3x 7x 5}

2由－－≥－≠得≤≤且≠，

∴定义域是≤≤，且≠⎧⎨⎩

(4)10 |x|0 4x 508x 00x x 8

[80)(0)()

由－≥≠－≠解得－≤＜或＜＜或＜≤∴定义域是－，∪，∪，8

5454545

4

8||x ⎧⎨⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪ 【例4】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数的定义域：

(1)y f (2)y f(2x)f (3)y f ＝＝＋＝()

()()

1

2

3

2x

x x

a

+

解(1)01x 1x 1f(){x|x 1x 1}

由＜

≤，得≤－或≥，∴的定义域是≤－或≥1

1

22x

x

(2)02x 1

0x 10x f(2x)f(x ){x|0x }(3)01

由≤≤≤＋≤得≤≤∴＋＋的定义域是≤≤≤≤2

313231

3

⎧⎨⎪

⎩

⎪x a

当＞时，得≤≤，定义域为，当＜时，得≤≤，的定义域为，若函数＝的定义域是一切实数．

a 00x a f(x

a )[0a]

a 0a x 0f(x

a

)[a 0]y 【例5】ax ax a

2

1-+

求实数a 的取值范围．

解 x ax ax 0

a 0 a 40

0a 222

∵∈，－＋≥∴＞Δ＝－≤＜≤．R 1

a

⎧⎨⎩⇔

为所求a 的取值范围．

【例6】求下列函数的值域： (1)y ＝－5x 2＋1

(2)y 3＝＋x +4

(3)y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[－1，1) (4)y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[－1，3]

(5)y (6)y ＝

＝251

31222

x

x x x +-+

(7)y

(8)y 2x 3＝＝－＋412532413

22x x x x x -+-+-

(9)y ＝|x －2|－|x ＋1|

解 (1)∵x ∈R ，∴－5x 2＋1≤1，值域y ≤1．

(2)x 433y 3

(3)y x 5x 62

∵≥－，∴＋≥，∴值域≥∵＝－＋＝－

x x +-45214

2() ∵

－，，在区间－，上为减函数，如图．－．∴值域∈，．＝－，

5

2

5214

2∉-[[()11)y 11)221y (212)(4)y x ∵－，，如图－，当＝时，＝－．当＝－时，＝．∴值域∈－，52521

41

4

∈[13] 2.22x y x 1y 12y [12]

min max

(5)y 5(x +)y y {y|y y }

＝＝

＝－∴≠．故值域∈∈且≠2512151

515

2525512525

x x x x ++-+()()R

(6)定义域为R

∵≠，∴由＝，解得＝，

又∵≥，∴≥解得－≤＜，值域∈－，y 3y x x 00y 3y [3)

22312

123123

121

2

22x x y

y y

y -+------

(7)解：定义域x ≠1且x ≠2

由去分母整理得：4125

32

22x x x x -+-+

(y －4)x 2－3(y －4)x ＋(2y －5)＝0 ① 当y －4≠0时，∵方程①有实根，∴Δ≥0， 即9(y －4)2－4(y －4)(2y －5)≥0 化简得y 2－20y ＋64≥0，得 y ＜4或y ≥16

当y ＝4时，①式不成立． 故值域为y ＜4或y ≥16．

(8)()4x 130x t t 0解法一由－＞，得≥

，设＝，则≥．13

4

413x - ∴＝．

那么＝³－＋＝＋＋≥x y 23t (t 1)3(t 0)2t t 22134

13

41

2

++

函数y 在t ≥0时为增函数(见图2．2－3)．