函数·典型例题精析
函数系列、对数运算难题
函数系列对数运算一、思维导图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧→→→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→⎩⎨⎧→→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=+==）（：a b b N M N M MN N M b m n b n a c c a aa a a a a a nan a m 加减乘除乘方开方对数运算运算顺序当心解不等式解方程换底公式化简求值相关类型化成相应对数分母有理化完全平方根号提公因式对数相乘相关方法相关公式对数运算”1“log log log log log log )(log log log log log log二、例题精析1、（2017揭西县校级期中）化简求值：25lg 50lg 2lg )2(lg 2+⋅+ [解析]：遇到对数相乘，提取公因式225lg 4lg 25lg 100lg 2lg 25lg )50lg 2(lg 2lg 25lg 50lg 2lg )2(lg 2=+=+⋅=++=+⋅+ 2、（2018西藏拉萨中学）2log 2377)2(lg )1000lg 8(lg 5lg -++⋅[解析]：遇到对数相乘，提取公因式12)5lg 2(lg 325lg 3)2lg 5(lg 2lg 32)2(lg 35lg 35lg 2lg 32)2(lg 3)32lg 3(5lg 7)2(lg )1000lg 8(lg 5lg 222log 237=-+=-++=-++=-++⋅=-++⋅3、（2015上铙校级月考）32lg 19lg )3(lg 50lg 32lg 522-+-++ [解析]：遇到根号，完全平方去根号32lg 1200lg 32lg3lg 150lg 4lg 32lg|13lg |50lg 4lg 32lg 19lg )3(lg 50lg 32lg 522=-+=--++=--++=-+-++ 4、（2015许昌月考）)5353lg(281log 2322723log 2-+++⨯-⨯[解析]：遇到根号，完全平方去根号2810lg 27)535326lg(27)5353lg(918)5353lg(281log 23227223log 2=+=-⋅+++=-++++=-+++⨯-⨯5、（2015菏泽期中）4log ]18log 2log )3log 1[(66626÷⋅+- [解析]：遇到1，把1化成相应对数14log 2log 24log )]18log 2(log 2[log 4log ]18log 2log )2[(log 4log ]18log 2log )3log 6[(log 4log ]18log 2log )3log 1[(6666666662666626666626=÷=÷+⋅=÷⋅+=÷⋅+-=÷⋅+-6、（2018揭东校级月考）)1(log )1(n n n n -+++[解析]：遇到根号，不能平方的就灵活转化1)1(log )11(log )1(log 1)1()1()1(-=++=++=-+-++++++n n nn n n n n n n n n7、（2018化州校级月考）5lg 20lg )2(lg )223(log2)12(⋅+++- [解析]：遇到根号，不能平方的就灵活转化112)5lg 2(lg 2)5(lg 5lg 2lg 2)2(lg )121(log 5lg )5lg 4(lg )2(lg )12(log 5lg 20lg )2(lg )223(log 2222)12(22)12(2)12(-=+-=++-=+++-=⋅++++=⋅+++---8、（2018阳江校级模拟）化简求值：)13(log272559log 2log+++[解析]：注意运算顺序321753322553log 322log 59log 2log3log 322)13(log27255=⨯++=⋅++=+++9、（2018桂林校级月考）已知,1000)0112.0(,1000)2.11(==b a 求ba 11-[解析]：2.11log 1,1000log 1000)2.11(10002.11=⇒=⇒=aa a 0112.0log 1,1000log 1000)0112.0(10000112.0=⇒=⇒=bb b 11000log 0112.02.11log 0112.0log 2.11log 111000100010001000===-=-∴b a 10、（2017贵阳模拟）已知,310log log ,1=+>>a b b a b a 求a b b a log log - [解析]：22)310()log (log ,310log log ,1=+⇒=+>>a b a b b a b a b a 9100)(log log log 2)(log 22=+⋅+⇒a a b b b b a a982)(log )(log 22=+⇒a b b a382982)log (log log log 2-=--=--=-∴a b a b b a b a11、（2016武邑县校级期中）化简求值。
高一经典函数练习题及完美解析
高一经典函数练习题及完美解析函数练习1 函数（一）1．下列各组函数中，表示相同函数的是 （ ）A f(x)=x 与 g(x)=xx 2B f(x)=|x| 与 g(x)=2xC f(x)=12-x 与g(x)=1-x • 1+xD f(x)=x 0与g(x)=1 1． 函数y=x--113的定义域为 （ ）A （－∞，1]B (-∞，0) (0,1]C (-∞，0) (0,1)D [1,+ ∞)2． 下列函数中值域是R ＋的是 （ ）A y=2x+1 (x>0)B y=x 2C y=112-x D y=x2 3． 函数y=22++-x x 的定义域为__________,值域为_____________.4． 已知f(x)=x 2+1,则f[f(-1)]=______________________ 5． 求下列函数的定义域；（1）y=x111+； （2）y=xx x -+||)1(07．用可围成32m 墙的砖头，沿一面旧墙围猪舍四间（其平面图为連成一排大小相同的四个长方形，如图），应怎样围，才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？函数练习2 函数（二）1． 下面四个函数：（1）y=1-x (2) y=2x-1 (3) y=x 2-1 (4) y=x5，其中定义域与值域相同的函数有 （ ）A 1个B 2个C 3个D 4个2． 下列图象能作为函数图象的是 （ ）A B C D 3． （1）数集｛x|4≤x<16｝用区间表示为_________；（2）数集｛x||x|≤3｝用区间表示为_______；（3）数集｛x|x ∈R ，且x ≠0｝用区间表示为_______；4． 已知f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧--3210x )0()0()0(<=>x x x ，求f{f[f(5)]}的值。
5． 已知f(x)的定义域为（0,1）求f(x 2)的定义域 6．若2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x)的解析式。
函数应用题典型题目
函数应用题典型题目一、基础训练1．某电脑单价为a 元，现八折优惠，则购电脑x （*x N ∈）台所需款项y 元与x 的函数关系式是 ．2．某人去银行存款a 万元，每期利率为p ，并按复利计算，则存款n （*x N ∈）期后本利和为 万元． 3．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则x 与y 之间的函数关系是 ．4．根据市场调查，某商品在最近10天内的价格()f t 与时间t 满足关系式1()102f t t =+（110t ≤≤，*t N ∈），销量()g t 与时间t 满足关系式()24g t t =-（110t ≤≤，*t N ∈），则这种商品的日销售额的最大值为 ．5．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利．则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是 ．6．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围城一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积为 ．（围墙不计厚度）7．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元的部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：x 的解析式为 ，若30y =，则此人购物总金额为 元．8．如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P 沿着折线BCDA ，点B （起点）向A 点（终点）移动，设P 点移动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，则ABP ∆的面积与点P 移动的路程x 之间的函数关系式是 ．二、例题精讲例1．某村计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？例2．某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有30.5m 污水排出，为了净化环境，所以工厂设计了两种方案对污水进行处理，并准备实施．方案1：工厂污水先净化后处理在排出，每处理31m 污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每31m 污水需付14元排污费．（1）若工厂每月生产3000件产品，你作为厂长在不污染环境又节约资金的前提下，应选择哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明；（2）若工厂每月生产6000件时，你作为厂长又该如何决策呢？例3．如图，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向做匀速移动，速度为v （0v >），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c R ∈）．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：○1P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与||v c S -⨯成正比，比例系数为1；○2其他面的淋雨量之和，其值为12．记y 为E 移动过程中的总淋雨量，设移动距离100d =，面积32S =． （1）写出y 的表达式；（2）若010,05v c <≤<≤，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．例4．已知海岛A 与海岸公路BC 的距离AB 为50km ，B 与C 之间的距离为100km ，从A 到C ，先乘船到D ，船速为25km/h ，再乘汽车由D 到C ，车速为50km/h ．设从A 到C 所用时间为y （h ）． （1）按下列要求写出函数关系式：○1设ADB θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数关系式； ○2设BD x =（km ），将y 表示成x 的函数关系式． （2）请你用（1）中一个函数关系式，确定登陆点的位置，使从A 到C 所用时间最少．三、巩固练习1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目．按要求，对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获利0.6万元的利润．该公司正确规划投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为 万元．2．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ，经过一定时间t （单位：min ）后的温度是T ，则01()2t ha a T T T T ⎛⎫-=-⋅⎪⎝⎭，其中a T 称为环境温度，h 称为半衰期．现有一杯88C ︒热水冲的速溶咖啡,放在24C ︒的房间中,如果咖啡降到40C ︒需要20min,那么这杯咖啡要从40C ︒降到32C ︒,还需 时间．3．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个．已知该商品每涨价1元,其销售量就减少20个,为了获得最大利润,售价应定为 元． 4．某地每年消耗木材20万立方米,每立方米价格为240元,为了减少木材消耗,决定按t %征收木材税,这样每年的木材消耗量减少52t 万立方米,为了减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元,则t 的取值范围是 ．四、要点回顾1．解应用题，首先通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解．从近几年高考应用题来看，顺利解答一个应用题重点要过三关，也就是要从三个方面来具体培养学生分析问题和解决问题的能力：（1）事理关：通过阅读，知道讲的是什么，培养学生独立获取知识的能力；（2）文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系； （3）数理关：在建构数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向实际问题的转化构建了数学模型后,要正确解出问题的答案,需要扎实的基础知识和较强的数理能力．函数模型及其应用作业1．假如某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R =，广告效应为D A =，则广告费A = 时，广告效应D 最大．2．已知产品生产件数x 与成本y （万元）之间有函数关系2300200.1y x x =+-，若每件产品成本均不超过7万元，则产品产量至少应为 件． 3．铁道机车运行1h 所需的成本由两部分组成：固定部分m 元，变动部分（元）与运行速度x （km/h ）的平方成正比，比例系数为k （0k >）．如果机车从甲站匀速开往乙站，甲、乙两站间的距离为500km ，则机车从甲站运行到乙站的总成本y （元）与机车运行速度x 之间的函数关系为 ． 4．用总长为14.8m 的钢条做成一个长方体容器的框架，如果所做容器有一边比另一边长0.5m ，则它的最大容积为 3m ．5．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第20层，每层1人，而电梯只允许停一次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走1层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S ，为使S 最小，电梯应当停在第 层．6．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为21242005p x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）．则该产品每月生产 吨才能使利润达到最大，最大利润是 万元．（利润=收入-成本）7．渔场中鲜鱼的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k （0k >）（空闲率：空闲量与最大养殖量的比值）． （1）写出y 关于x 的函数关系式，并求其定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大时，求k 的取值范围． 8．（2011湖北卷）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出此最大值．（精确到1辆/小时）9．甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数()f x ，()g x 及任意0x ≥，当甲公司投入x 万元作宣传费时，若乙公司投入的宣传费小于()f x 万元，则乙公司有失败的风险，否则无风险；当乙公司投入x 万元作宣传费时，若甲公司投入的宣传费小于()g x 万元，则甲公司有失败的风险，否则无风险．（1）请解释(0)f ，(0)g 的实际意义； （2）设直线1100y x =与()y f x =的图像交于点00(,)x y ，00x >，请解释00(,)x y 的实际意义．10．在50km 长的铁路线AB 旁的C 处有一个工厂，它与铁路的垂直距离为10km ．由铁路上的B 处向工厂提供原料，公路与铁路每吨每千米的货物运价比为5:3．为了节约运费，在铁路的D 处修一货物运转站，沿CD 修一公路（如图），为了使原料从B 处经货物转运站运到工厂C 的运费最省，D 点应选在何处？。
(整理版)函数的应用举例·例题解析
函数的应用举例·例题解析1．几何问题类用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何)问题，这是常常出现的数学本身的综合运用问题．【例1】如图2．9－1，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A点．假设点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，求A、P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式．解(1)当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x．(2)当点P在BC边上，即1＜x≤2时，AB=1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，根据勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2222x xy=AP=1+(x1)2∴．-=-+(3)当点P在DC边上，即2＜x≤3时，AD＝1，DP＝3－x．根据勾股定理，得AP2=AD2＋DP2．2610x x-=-+∴y=AP=1+(3x)2(4)当点P在AD边上，即3＜x≤4时，有y=AP＝4－x．∴所求的函数关系式为2．行程问题类【例2】，A、B两地相距150公里，某人开汽车以60公里/小时的速度从A 地到达B地，在B地停留一小时后再以50公里/小时的速度返回A地，求汽车离开A 地的距离x表示为时间t的函数．解根据题意：(1)汽车由A到B行驶t小时所走的距离x=60t，(0≤t≤2.5)(2)汽车在B地停留1小时，那么B地到A地的距离x＝＜x≤3.5)(3)由B地返回A地，那么B地到A地的距离x=150－50(t－3.5)＝325－＜x≤6.5)总之≤≤＜≤－＜≤x =60t(0t 2.5)150(2.5t 3.5)32550t(3.5t 6.5)⎧⎨⎪⎩⎪ 3．工程设计问题类工程设计问题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情况进行合理布局、计算的一类问题．【例3】 要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图2．9－2所示)，在窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？解 设半圆的直径为x ，矩形的高度为y ，窗户透光面积为S ，那么窗框总长＋＋，l =x 2x 2y π ∴＋＋·－y =2(2+)x4S =x xy =x 2(2+)x 4x =22l l l l --+-+++πππππππ8848242422()()x 当时，，此时，x =24+S =y =4+max 2l l l πππ242()+=x 答 窗户中的矩形高为，且半径等于矩形的高时，窗户的透光l 4+π面积最大．说明 应用二次函数解实际问题，关键是设好适当的一个变量，建立目标函数．【例4】 要使火车平安行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600米，如果某段铁路两端相距156米，弧所对的圆心角小于180°，试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围．解 设园的半径为R ，圆弧弓形高CD=x(m)．在Rt △BOD 中，DB ＝78，OD=B －x∴(R －x)2＋782=R 2解得 R =x 2+60842x由题意知R ≥600∴≥x x260842+600 得x 2－1200x ＋6084≥0(x ＞0)，解得x ≤5.1或x ≥1194.9(舍)∴圆弧弓形高的允许值范围是(0，5.1]．4．营销问题类这类问题是指在营销活动中，计算产品本钱、利润(率)，确定销售价格．考虑销售活动的盈利、亏本等情况的一类问题．在营销问题中，应掌握有关计算公式：利润=销售价－进货价．【例5】 将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，假设每件售价涨价元，其销售量就减少10件．问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润．解 设每件售价提高x 元，那么每件得利润(2＋x)元，每天销售量变为(200－20x)件，所获利润y=(2＋x)(200－20x)=－20(x －4)2＋720当x=4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润为720元．5．单利问题类单利是指本金到期后的利息不再参加本金计算．设本金为P 元，每期利率为r ，经过n 期后，按单利计算的本利和公式为S n =P(1＋nR)．【例6】 某人于1996年6月15日存入银行1000元整存整取定期一年储蓄，月息为9‰，求到期的本利和为多少？解 这里P=1000元，r=9‰，n ＝12，由公式得S 12＝P(1＋12r)＝1000×(1＋9×12)=1108元．答 本利和为1108元．6．复利问题类复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，那么复利函数式为y=P(1＋r)x．【例7】某企业方案发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率％的复利计息，问多少年后每张债券一次归还本利和1000元？(参考，＝0.0274)．解设n年后每张债券一次归还本利和1000元，由1000=500(1＋％)n，解得≈11．答11年后每张债券应一次归还本利和1000元．7．函数模型类这个问题是指在问题中给出函数关系式，关系式中有的带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后，然后使问题本身获解．【例8】某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、万件、万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=ab x＋c(其中a、b、c为常数)，4月份该产品的产量为万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．解设二次函数y1＝f(x)=px2＋qx＋x(p≠0)则＋＋＋＋＋＋f(1)=p q r=1f(2)=4p2q r=1.2 f(3)=9p3q r=1.3⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎩⎪P=0.05 q=0.35r=0.7－∴y1=f(x)=－2＋＋f(4)=－×16＋×4＋又y=ab x＋c得·＋·＋·＋－a b c=1a b c=1.2a b c=1.3a=0.8b=12c=1.423⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴－＋当时，－＋经比较可知：用－＋作模拟函数较好．y =0.8(12) 1.4x =4y =0.8(12) 1.4=1.35y =0.8(12) 1.4x 4x 【例9】 有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是和万元，它们与投入资金万元的关系是，＝，今P Q()x()P =x 4Q 34x 投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？解 设投入甲产品资金为x 万元，投入乙产品资金为(3－x)万元，总利润为y 万元．y =P Q =14x (0x 3)t =3x x =3t (0t )y =14(3t )t =1422＋＋≤≤令则－≤≤，∴－＋3433343221162----+x t () 当时，此时，－．t =32y =2116x =3t =34max 2 答 对甲、乙产品分别投资为万元和万元，获最大利润为2116万元． 8．增长率(或降低率)问题类这类问题主要是指工农业生产中计算增长率、产值等方面的一类计算题．【例10】 某工厂1988年生产某种产品2万件，方案从1989年开始，每年的产量比上一年增长20％，问哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万元(lg2＝，lg3＝0.4771)解 设过x 年后，产量超过12万件．那么有2(1＋20％)x ＞12解得x ＞答 从1998年开始年产量可超过12万件．9．相关学科问题类这类问题是指涉及相关学科(如物理、化学等)知识的一类数学问题．【例11】 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…，a n ，共n 个数据，我们规定所测量的物理量的“最正确近似值〞a 是这样一个量：与其它近似值比拟，a 与各数据差的平方和最小，依此规定，求从a 1，a 2，…，a n 推出的a 值．解 a 应满足：y=(a －a 1)2＋(a －a 2)2＋…＋(a －a n )2＝－＋＋…＋＋＋＋…＋na 2(a a a )a a a a 212n 1222n 2此式表示以a 为自变量的二次函数，∵n ＞0．∴当时，有最小值．此时a =2(a +a ++a )2n=a y a =a 12n 11 ++++++a a na a n n n 22 10．决策问题类决策问题，是指根据已掌握的数据及有关信息，利用数学知识对某一事件进行分析、计算，从而作出正确决策的题．【例12】 某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A 地10台，B 地8台，从甲地调运一台至A 地、B 地的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至A 地、B 地的运费分别为300元和500元．(1)设从乙要调x 台至A 地，求总运费y 关于x 轴的函数关系式．(2)假设总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．解 (1)y=300x ＋500(6－x)＋400(10－x)＋800[12－(10－x)]=200(x ＋43)(0≤x ≤6，x ∈N)(2)当x=0，1，2时，y ≤9000，故共有三种方案，总运费不超过9000元．(3)在(1)中，当x ＝0时，总运费最低，调运方案为：乙地6台全调B 地，甲地调2台至B 地，10台至A 地，这时，总运费y ＝8600元．。
《高等数学》函数考点精讲与例题解析
《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。
【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。
二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。
例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。
（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。
（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。
【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。
如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。
三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。
【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。
特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。
函数的单调性典型例题精析
2．3．1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|(2)y (3)y ＝＝xx x x x 2221123-----+||解 (1)令f(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像翻到x 轴就得到y ＝|x 2＋2x －3|的图像，如图2．3－1所示．由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解 当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ． 当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1)减区间是[1，2)和(2，＋∞)(3)解：由－x 2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1．令u ＝＝g(x)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是． 而＝在≥上是增函数．y u 0u∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．【例2】函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a aa--⎧⎨⎪⎩⎪ 若a ＜0时，无解．∴a 的取值范围是0≤a ≤1．【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)(2)f(2)f(15)与解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)(2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15 时为减函数．∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 21- 解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2．∵－＝∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 10012121221a x x x x x x x x x x x x ()()()()()()()()12211222121212211222111111+---+---当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 02112221212121212221221212121222证法一又∵x 1－x 2＜0，∴f(x 2)＜f(x 1)故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法二()x x x x (x x )x x x x 0x x 0x 0x 0x x x x x x 012122212222122122112121222∵＋＋＝＋＋，这里＋与不会同时为，否则若＋＝且＝，则＝这与＜矛盾，∴＋＋＞．12341212得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法三()t x x x x x 4x 3x 00x 0x 0t x 03x 0t 0x x x x 0f(x )f(x )f(x)(22121212121212221222121221令＝＋＋，其判别式Δ＝－＝－≤，若Δ＝时，则＝，那么≠，∴＝＞，若Δ＝－＜，则＞，即＋＋＞，从而＜，∴在－∞，＋∞上是减函数．)【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2．∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )x x x x 012121112x x 221 ∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2，当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出＝＋的图像如图．－．y x 2321x说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．2°注意对参数的讨论(如例4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)4°例6是分层讨论，要逐步培养．。
函数经典题型50道
函数经典题型50道一、函数定义域题型（10道）1. 求函数y = (1)/(√(x - 1))的定义域。
- 解析：要使函数有意义，则分母不为零且根号下的数大于零。
对于√(x - 1)，x-1>0，解得x > 1。
所以函数的定义域为(1,+∞)。
2. 求函数y=√(2x + 3)的定义域。
- 解析：根号下的数必须大于等于零，即2x+3≥0，2x≥ - 3，解得x≥-(3)/(2)。
定义域为[-(3)/(2),+∞)。
3. 函数y=(√(x + 2))/(x - 1)的定义域是多少？- 解析：分子中根号下x + 2≥0，解得x≥ - 2；分母x-1≠0，即x≠1。
所以定义域为[ - 2,1)∪(1,+∞)。
4. 求函数y=log_2(x^2-4)的定义域。
- 解析：对数函数中真数大于零，即x^2-4>0，(x + 2)(x-2)>0。
解得x < - 2或x>2。
定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞)。
5. 求函数y = (1)/(ln(x - 2))的定义域。
- 解析：分母ln(x - 2)≠0且x-2>0。
由ln(x - 2)≠0得x-2≠1，即x≠3；由x - 2>0得x>2。
所以定义域为(2,3)∪(3,+∞)。
6. 函数y=√(log_frac{1){2}(3x - 2)}的定义域。
- 解析：首先3x - 2>0，解得x>(2)/(3)。
又因为log_(1)/(2)(3x -2)≥0=log_(1)/(2)1，由于对数函数y = log_(1)/(2)x是减函数，所以3x-2≤1，3x≤3，x≤1。
综合得(2)/(3)，定义域为((2)/(3),1]。
7. 求函数y=(1)/(1 - tan x)的定义域。
- 解析：分母1-tan x≠0，即tan x≠1，且x≠ kπ+(π)/(2),k∈ Z。
由tan x≠1得x≠ kπ+(π)/(4),k∈ Z。
新高考高中数学核心知识点全透视：函数(精讲精析篇)(附答案及解析)
专题3.1函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 求函数的定义域1.(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.2.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．3．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【典例1】（2019·江苏高考真题）函数2=+-_____.76y x x【典例2】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2B.1[1]3，C.[-15]，D.无法确定【典例3】（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知()f x 的定义域为[]3,3-，则()21f x -的定义域为_______________. 【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．热门考点02 求函数的解析式1. 求函数解析式的四种方法【典例4】（2016·浙江高考真题（文））设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x –b)(x –a)2，x R ∈，则实数a=_____，b=______.【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）若()22144f x x x +=+,则()f x 的解析式为__________.【典例6】（2018·上海市金山中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的函数，且满足对任意,x y 等式()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，则()f x 的解析式为_____________．【特别提醒】谨防求函数解析式的两种失误：(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围． (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．热门考点03 分段函数及其应用1.(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.2.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 【典例7】（山东省2018年普通高校招生（春季））已知函数，则的值等于__________．【典例8】（2018·上海市金山中学高一期末）已知()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象错误的是（ ）A.(1)f x -的图象B.()f x -的图象C.(||)f x 的图象D.|()|f x 的图象【典例9】（上海高考真题（理））设若，则a 的取值范围为_____________.【典例10】（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________．【典例11】（2014浙江高考理第15题）设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 【总结提升】关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．热门考点04 函数的单调性与最值（值域）1.增函数、减函数（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.函数的最值（1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； ②存在0x I ∈，使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.（2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥； ②存在0x I ∈，使得()0f x m =.那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值.【典例12】函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（ ）A ．-3B ．13 C. 7 D ． 5【典例13】（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）若函数2()21f x x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞B.[1,)+∞C.[2,)+∞D.(,2]-∞【典例14】函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的最大值为（ ）A.1B.2C.12D.13【总结提升】1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.*4.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.5.函数单调性的应用（1）比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会）比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． （2）求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))． （3）利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 6.函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )； 若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋kx(k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋k x (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋kx(k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．*(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．热门考点05 函数的奇偶性、周期性与单调性1.判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f (－x )＝－f (x )或偶函数满足f (－x )＝f (x )列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f (0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． *3.函数周期性的判定及应用(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体的性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合考查．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． 【典例15】（2017·全国高考真题（理））函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【典例16】（2018·全国高考真题（理））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ） A.50-B.0C.2D.50【典例17】（2017·山东高考真题（文））已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【典例18】（2013·上海高考真题（理））设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是 .【总结提升】 拓展：1.函数奇偶性的判断(1)复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．(2)抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断． 2．熟记4种常见抽象函数的周期 (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2|a |；(4)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2|a |.3.当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数()f x 是奇函数，又有对称轴x m =时，则函数一定是周期函数，且周期为4T m =；若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；同样若()f x 有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期.巩固提升1.有意义的实数x 的取值范围是（ ）A.{|0x x >或}1x <-B.{|0x x …或}1x -„ C.{}10x x -<<D.{}10x x -剟2．（2019·重庆高一）若()335f x x +=+，则()f x 等于（ ）． A.32x + B.38x + C.31x -D.34x -3.（2017·浙江高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关4.（2019·江苏高一月考）函数()()02f x x =-+ ） A.()2,+∞ B.()1,-+∞ C.()()1,22,-+∞UD.R5.（2014·全国高考真题（文））奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．16.（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）已知函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -上的偶函数，则+a b 的值是（ ） A.1-B.1C.3-D.07.（2019·浙江学军中学高一期中）函数()f x = ）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数8.（2017·全国高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________.9.（2016·四川高考真题（文））若函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f （x ）=，则f （）+f （2）= .10.（2019·上海闵行中学高一期中）已知21(1)()(1)(1)x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则(3)f =________11．（2019·上海市第二中学高二期末）若函数()3f x x a =+为奇函数，则()1f =______．12.（2018·上海上外浦东附中高一月考）函数()21y k x b =++在R 上是增函数，则实数k 的取值范围是_________.13.（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知函数2y x =，[]0,3x ∈，则函数的值域为__________.14.（2015·浙江高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ．15.（2019·上海市高桥中学高一期末）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x -<，则x 的取值范围是_________.16.（2018·上海曹杨二中高一期末）设函数()1f x x =-，若0a b <<且()()f a f b =，则ab 的取值范围是_________；专题3.1函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 求函数的定义域1.(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 2.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 3．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 【典例1】（2019·江苏高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【典例2】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2 B.1[1]3，C.[-15]，D.无法确定【答案】C 【解析】由已知02x ≤≤，1315x ∴-≤-≤，即函数()f x 的定义域是[-15]，， 故选：C ．【典例3】（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知()f x 的定义域为[]3,3-，则()21f x -的定义域为_______________.【答案】[]22-,【解析】由于函数()y f x =的定义域为[]3,3-，对于函数()21y f x =-，有2313x -≤-≤，即224x -≤≤，即24x ≤，解得22x -≤≤.因此，函数()21y f x =-的定义域为[]22-,. 故答案为：[]22-,. 【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．热门考点02 求函数的解析式1. 求函数解析式的四种方法【典例4】（2016·浙江高考真题（文））设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x –b)(x –a)2，x R ∈，则实数a=_____，b=______.【答案】－2，1【解析】()()32323232313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，()()()()2322222x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223{20 3a b a ab a b a a --=+=-=--，解得2{ 1a b =-=． 【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）若()22144f x x x +=+,则()f x 的解析式为__________.【答案】2()1f x x =- 【解析】 令21x t +=，12t x -∴=，代入()22144f x x x +=+， ()22114()4122t t f t t --∴=+⋅=-，故答案为：2()1f x x =-．【典例6】（2018·上海市金山中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的函数，且满足对任意,x y 等式()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，则()f x 的解析式为_____________．【答案】()()31f x x x =+ 【解析】Q ()f x 是定义在R 上的函数，且对任意,x y ，()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，∴令y x =，得()()()22343f x x f x x x x -=-+-+， 即()()()2333f x f x x x =-++，()()3333f x x x ∴=+， ()()31f x x x ∴=+.故答案为：()()31f x x x =+ 【特别提醒】谨防求函数解析式的两种失误：(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围． (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．热门考点03 分段函数及其应用1.(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.2.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 【典例7】（山东省2018年普通高校招生（春季））已知函数，则的值等于__________． 【答案】【解析】 因为，所以.【典例8】（2018·上海市金山中学高一期末）已知()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象错误的是（ ）A.(1)f x -的图象B.()f x -的图象C.(||)f x 的图象D.|()|f x 的图象【答案】D 【解析】作出()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，如下图(1)f x -的图象，由()f x 的图象向右平移一个单位，故A 正确；()f x -的图象，由()f x 的图象y 轴右侧的翻折到左侧，左侧翻折到右侧，故B 正确； (||)f x 的图象，由()f x 的图象右侧的保留不变，且把右边的翻折到左边，故C 正确；|()|f x 的图象，把x 轴下方的翻折到上方，图象与()f x 一样，故D 错误；故选：D【典例9】（上海高考真题（理））设若，则a 的取值范围为_____________.【答案】(,2]-∞ 【解析】由题意，若2a >，则(2)2f =不合题意，因此2a ≤，此时[,)x a ∈+∞时，2()f x x =，满足(2)4f =.【典例10】（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________． 【答案】.【解析】 由，得或，得或，即得取值范围是，故答案为.【典例11】（2014浙江高考理第15题）设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______【答案】a ≤【解析】由题意()()()202f a f a f a <⎧⎪⎨+≤⎪⎩或()()202f a f a ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得()2f a ≥-，当202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得，0a <或a ≤≤，故a ≤【总结提升】关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．热门考点04 函数的单调性与最值（值域）1.增函数、减函数（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.函数的最值（1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； ②存在0x I ∈，使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.（2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；②存在0x I ∈，使得()0f x m =.那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值.【典例12】函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（ ）A ．-3B ．13 C. 7 D ． 5 【答案】B【解析】由题意知函数()f x 的对称轴224b mx a =-==-，所以8m =-，所以(1)28313f =++=，故选B ．【典例13】（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）若函数2()21f x x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞ B.[1,)+∞ C.[2,)+∞ D.(,2]-∞【答案】D 【解析】由题意，函数2()21f x x mx =-+，开口向上，其对称轴x m =，∵在[2,)+∞上是增函数，∴2m ≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞， 故选D.【典例14】函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的最大值为（ ）A.1B.2C.12D.13【答案】B 【解析】当1x ≥时，函数()1f x x=在()1,+∞单调递减，此时()f x 在1x =处取得最大值，最大值为()11f =； 当1x <时，函数()22f x x =-+在0x =处取得最大值，最大值为()02f =． 综上可得，()f x 的最大值为2．故选：B ． 【总结提升】1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.*4.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.5.函数单调性的应用（1）比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会）比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． （2）求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))． （3）利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 6.函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )； 若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋kx(k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋k x (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋kx(k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决． *(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．热门考点05 函数的奇偶性、周期性与单调性1.判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．(2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f (－x )＝－f (x )或偶函数满足f (－x )＝f (x )列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f (0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． *3.函数周期性的判定及应用(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体的性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合考查．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． 【典例15】（2017·全国高考真题（理））函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]- B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【典例16】（2018·全国高考真题（理））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ） A.50- B.0C.2D.50【答案】C 【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.【典例17】（2017·山东高考真题（文））已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【答案】6 【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=. 【典例18】（2013·上海高考真题（理））设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是 .【答案】87a ≤- 【解析】∵()y f x =是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，2()()97a f x f x x x=--=+-，而229729767a a x x a x x+-≥⋅-=-，当些仅当3x a =时，“=”成立，∴当0x >时，要使()1f x a ≥+恒成立，只需86717a a a -≥+⇒≤-或85a ≥，又∵0x =时，(0)01f a =≥+，∴1a ≤-，综上，故实数a 的取值范围是8(,]7-∞-.【总结提升】 拓展：1.函数奇偶性的判断(1)复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．(2)抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断． 2．熟记4种常见抽象函数的周期 (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2|a |；(4)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2|a |.3.当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数()f x 是奇函数，又有对称轴x m =时，则函数一定是周期函数，且周期为4T m =；若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；同样若()f x 有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期.巩固提升1.有意义的实数x 的取值范围是（ ）A.{|0x x >或}1x <-B.{|0x x …或}1x -„ C.{}10x x -<< D.{}10x x -剟【答案】C 【解析】依题有，2x x ⎧--≥⎪≠，解得10x -<<．故选：C ．2．（2019·重庆高一）若()335f x x +=+，则()f x 等于（ ）． A.32x + B.38x + C.31x - D.34x -【答案】D 【解析】令3x t +=，所以3x t =-，所以()()33534f t t t =-+=-，所以()34f x x =-， 故选：D.3.（2017·浙江高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．4.（2019·江苏高一月考）函数()()02f x x =-+ ） A.()2,+∞ B.()1,-+∞ C.()()1,22,-+∞U D.R【答案】C 【解析】幂函数的零次方底数不为0，即20x -≠ ，2x ≠；偶次方根被开方数大于等于零，分式分母不为零，即10x +>，1x >- 所以()()1,22,x ∈-+∞U . 故选：C5.（2014·全国高考真题（文））奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D 【解析】(2)f x +是偶函数，则()f x 的图象关于直线2x =对称，又()f x 是奇函数，则(0)0f =，且()f x 是周期函数，且周期为4，所以(8)(9)(0)(1)1f f f f +=+=．故选D ．6.（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）已知函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -上的偶函数，则+a b 的值是（ ） A.1- B.1C.3-D.0【答案】B 【解析】∵函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -的偶函数， ∴320a a -+=，解得1a =，由()()f x f x =-得0b =，即1a b +=， 故选：B.7.（2019·浙江学军中学高一期中）函数()249x x f x x+-=-的奇偶性为（ ）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【答案】B 【解析】 函数()249x x f x x +-=-，所以有290->x ，解得33x -<<， 所以()f x 定义域为()3,3- 此时40x -<恒成立， 所以()2224999x x f x x x x +-===---，()()()2299f x f x xx -===---，所以()f x 是偶函数， 故选：B8.（2017·全国高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________. 【答案】12 【解析】函数()f x 是定义在上的奇函数，()()f x f x -=-，则()()f x f x =--，()()()()322222212f f ⎡⎤=--=-⨯-+-=⎣⎦.9.（2016·四川高考真题（文））若函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f （x ）=，则f （）+。
函数的单调性·典型例题精析.
2．3．1函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间(1)y＝|x2＋2x－3|(2)y＝x2-2x 1-|x-1|(3)y＝-x2-2x+3解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示．由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．解当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x．当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2．∴增区间是(－∞，0)和(0，1)减区间是[1，2)和(2，＋∞)(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是上是．而y＝u在u≥0上是增函数．∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．在x∈[－1，1]【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围．若a ＞0时，由 ⎨ 3a - 1 得0＜a ≤1． 解 当 a ＝0 时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．当a ≠0时，对称轴x ＝ 3a - 1 2a， ⎧a ＞0 ⎪ ⎪⎩ 2a ≤1， 若 a ＜0 时，无解．∴a 的取值范围是 0≤a ≤1．【例 3】已知二次函数 y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为 x ＝3 的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与 f(4)(2)f(2)与f( 15)解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是 x ＝3，∴x ≥3 时，f(x)为减函数，又 6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)(2) ∵对称轴x ＝3，∴f(2)＝f(4)，而3＜ 15＜4，函数f(x)在x ≥3时为减函数． ∴f( 15) ＞f(4)，即f( 15) ＞f(2)．【例4】 判断函数f(x)＝ ax(a ≠0)在区间(－1，1)上的单调性． x 2 - 1解 任取两个值 x1、x2∈(－1，1)，且 x1＜x2．∵f(x )－f(x )＝ a(x 1x 2 + 1)(x 2 - x 1 )1 2 (x 2 - 1)(x 2 - 1) 1 2 ∵－1＜x ＜x ＜1，x x ＋1＞0，x －x ＞0，x 2 －1＜0，x 2 －1＜0． 1 2 1 2 2 1 1 1 ∴ (x 1x 2 + 1)(x 2 - x 1 ) ＞0 (x 2 - 1)(x 2 - 1) 1 2当 a ＞0 时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当 a ＜0 时，f(x)在(－1，1)上是增函数．【例 5】利用函数单调性定义证明函数 f(x)＝－x3＋1 在(－∞，＋∞)上是减函数．证 取任意两个值 x1，x2∈(－∞，＋∞)且 x1＜x2．∵f(x ) －f(x ) ＝ (x －x )(x 2 ＋x x ＋x 2 ) 这里有三种证法：2 1 1 2 2 1 2 1 证法 ( 一 ) 当x x ＜0时，x 2 ＋x x ＋x 2 ＝ (x ＋x ) 2 －x x ＞ 01 2 1 1 2 21 2 1 2 当x x ≥ 0时，x 2 ＋x x ＋x 2 ＞01 2 1 1 2 2 又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1) 故 f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．1 ∵f(x ) －f(x ) ＝ (x －x ) ，又x －x ＜ 0，1 3 1 证法 ( 二 ) ∵x2 ＋x x ＋x 2 ＝(x ＋ x ) 2 ＋ x 2 ，这里x ＋ x 1 1 2 2 1 2 2 4 2 2 2 1 与x 不会同时为 0，否则若x ＋ x ＝ 0且x ＝0，则x ＝ 0这与x ＜x 2 1 2 22 1 1 2 矛盾，∴x 2 ＋x x ＋x 2 ＞0． 1 1 2 2得 f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法 ( 三 ) 令t ＝x 2 ＋x x ＋x 2 ，其判别式Δ ＝x 2 － 4x 2 ＝－ 3x 22 1 2 1 1 1 1≤ 0，若Δ ＝ 0时，则x ＝ 0，那么x ≠ 0，∴t ＝x 2 ＞ 0，若Δ ＝－ 3x 2 1 2 2 1 ＜ 0，则t ＞ 0，即x 2 ＋x x ＋x 2 ＞ 0，从而f(x ) ＜f(x ) ，∴f(x)在 ( －∞， 2 1 2 1 2 1 ＋∞)上是减函数．【例6】 讨论函数 f (x)＝x ＋ 1 x的单调性，并画出它的大致图像． 解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值 x1、x2，且 x1＜x2．x x 1 1 2 1 2 1 2 x x 1 2 1 2∴当 0＜x1＜x2≤1 或－1≤x1＜x2＜0 时，有 x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当 1≤x1＜x2 或 x1＜x2≤－1 时，有 x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又 x ＞0 时，f(x)min ＝f(1)＝2，当 x ＜0 时，f(x)max＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出y ＝x ＋ 1的图像如图 2． 3－ 2 ． x说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．2°注意对参数的讨论(如例 4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例 5)4°例 6 是分层讨论，要逐步培养．例题：已知函数f(x)对任意x,y∈R均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x<0时，f(x)<0，求：当-3≤x≤3时，求f(x)的最大值与最小值。
《反函数》典型例题精析
《反函数》典型例题解析【例1】求下列函数的反函数：（1）3521x y x -=+（12x ≠-）； （2）223y x x =-+（(],0x ∈-∞）；（3）211y x =+（0x ≤）； （4）()()1001x y x -≤≤=<≤⎪⎩。
【解析】（1）∵3521x y x -=+()313213132221242x x x +-==-++， 当12x ≠-时，32y ≠； 由3521x y x -=+可得()235y x y -=--，即523y x y --=-； ∴所求反函数为523x y x --=-（32x ≠）。
（2）∵223y x x =-+()212x =-+， ∴函数在(],0-∞上单调递减，其值域为[)3,+∞；又由()212y x =-+（(],0x ∈-∞）可得1x -=1x = 所以反函数为()11fx -=[)3,x ∈+∞） （3）∵211y x =+（0x ≤），其值域为01y <≤， 由211y x =+得x = 所以反函数为()1fx -=01x <≤）。
（4）由y =10x -≤≤）得值域为01y ≤≤，又由y =21x y =-，所以反函数为()121f x x -=-（01x ≤≤）；由y =01x <≤）得值域为10y -≤<，且由y =2x y =，所以反函数为()12f x x -=（10x -≤<）；故所求反函数为()()()212,101,01x x f x x x -⎧-≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩。
注意：分段函数的反函数一定为分段函数（由各段的反函数合并而成）。
【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．（1）1y =； （2）232y x =--（0x ≤）【解析】（1）∵已知函数的定义域是[)1,+∞，且函数1y =在定义域上单调递增， ∴值域为{}1y y ≥；又由1y =可得()211x y =++，所以函数1y =的反函数为()211y x =++（[)1,x ∈+∞）。
高三数学三角函数经典练习题及答案精析
1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度，所得的部分图象如右图所示，则ϕ的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．12πD ．23π 2．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位 3．若113sin cos αα+=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3π的值为（ ）A ．12B 3C ．12-D ．3 5．记cos(80),tan 80k -︒=︒那么= ( ).A 21k -B ．21k -C 21k -D ．21kk -- 6．若sin a = -45，a 是第三象限的角，则sin()4a π+=（ ） （A ）-7210 （B ）210 （C ）2 -10 （D ）2107．若552)4sin(2cos -=+παα，且)2,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ）A ．34-B ．43- C ．43 D ．34 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ）A ．)(x f 的周期为πB ．)(x f 在)0,2(π-上单调递减C ．)(x f 的最大值为2D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ＜2π的图象，那么A.ω=1110，φ=6π B.ω=1011，φ=-6π C.ω=2，φ=6π D.ω=2，φ=-6π 10．要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ）A ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4π个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位 D ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()2g π等于（ ）A ．32B ．32-C ．12D ．12- 13．同时具有性质①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在[,]63ππ-上是增函数的一个函数为（ ）A ．sin()26x y π=+ B ．cos(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=- D ．cos()26x y π=- 14．若[]5sin cos ,0,5θθθπ+=∈,则tan θ＝（ ）A ．12- B.12 C ．－2 D ．215．已知1cos(=-cos 2A π+），那么sin 2A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．12- B.12 C ．32- D.3216．已知tan （α﹣）=，则的值为（ ）A ．B ．2C ．2D ．﹣217．200sin 501sin10+的值等于（ ）A ．12 B ．14 C ．1 D ．218．已知角α的终边上一点的坐标为（sin 23π，cos 23π），则角α值为A.56πB.23πC.53πD.116π19．已知1cos 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos cos 3παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12 B ．12± C 3D ．3±20．已知3sin 1cos =+αα，则1sin cos -αα的值为（ ）A ． 33B ． 33- C ．3 D ．3-21．已知锐角,αβ满足()3cos 5ααβ=-=-，则sin β的值为（ ）A ．B ． CD 22．已知α为锐角，若1sin 2cos 25αα+=-，则tan α=（ ） A ．3 B ．2 C ．12 D ．1323．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+等于（ ） A ．1318 B ．1322 C ．322 D ．1624．若[,]42ππθ∈，sin 28θ=，则sin θ等于（ ）A ．35B ．45C ．4D ．3425．钝角三角形ABC 的面积是1,1,2AB BC ==，则AC =（ ）A ．5B ．C ．2D ．126．在∆ABC 中，记角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，角A 为锐角，设向量(cos ,sin )m A A =u r(cos ,sin )n A A r ，且12m n ⋅=u r r ． （1）求角A 的大小及向量m u r 与n r 的夹角；（2）若a =，求∆ABC 面积的最大值．27．已知函数()2sin cos()32f x x x π=++. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值及最小值.28．已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭r r ，记()f x m n =r r g ． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．29．在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ，若cos cos 2cos b A a B a C +=-．（1）求角C 的大小；（2）若6a b +=，且ABC ∆的面积为c 的长．30．在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-． （1）求角A 的值； （2）若12AB AC ⋅=u u u r u u u r ，求△ABC 的面积．31．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，向量)sin sin ,(C A b a -+=，向量)sin sin ,(B A c n -=，且//.（1）求角B 的大小；（2）设BC 的中点为D ，且3=AD ，求c a 2+的最大值.32（1（2成立的x 的取值集合.33．已知函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ=-+-∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 取得最大值的所有x 组成的集合.参考答案1．A【解析】试题分析：由题意得552sin 2()22()2()()121226k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ-=⇒-=+∈⇒=-∈，因为02πϕ<<，所以0,6k πϕ==，选A.考点：三角函数求角【思路点睛】在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数。
函数的单调性·典型例题精析
函数的单调性·例题解析1 2．3．】求下列函数的增区间与减区间【例123|2x(1)y＝|x－＋2x2?x＝(2)y|1x?1?|23xx??2(3)y＝?224＋1)．x－＋2x－3＝(x(1)解令f(x)＝轴轴下方的图像翻到x轴及x轴上方部分，把它在x先作出f(x)的图像，保留其在x2 1所示．．3－＋2x－3|的图像，如图2＝就得到y|x 由图像易得：) [1，＋∞，－1]，递增区间是[－31]，[，－1递减区间是(－∞，－3] 分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．(2) ．＝－xy且x≠2，则函数0≥且x－1≠1时，得x≥1解当x－1 ．－2时，则函数y＝x1≠－时，得x＜1且x≠01当x－＜0且x－11) (0，(－∞，0)和∴增区间是)(2，＋∞[1，2)和减区间是2 ．1≤x≤2x＋3≥0，得－(3)解：由－x3－2在x∈[－1，－4．在x∈[3，－1]1]上是＋xu令＝＝g(x)＝－＋－2x3＝－(x1)2＋上是．而y＝u在u≥0上是增函数．∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．22在[－1，＋∞a1)x(3a＝函数2【例】f(x)ax－－＋]上是增函数，求实数a的取值范围．上是增函数．，＋∞)＝0时，f(x)＝x在区间[1解当a1?3a，＝时，对称轴x当a≠0a2?0 ＞a ?．1a≤a＞0时，由得0＜若?1?3a，1≤?a2? 0时，无解．若a＜1．∴a的取值范围是0≤a ≤的抛物线，＝3＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x【例3】已知二次函数y 试比较大小：f(4)(1)f(6)与15)(2)f(2)与f(6时，f(x)为减函数，又＝3，∴x≥3解(1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是xf(4)f(6)＜＞4＞3，∴3在x≥＜15＜4，函数f(x)(2)∵对称轴x＝3，∴f(2)＝f(4)，而3时为减函数．∴f(15)＞f(4)，即f(15)＞f(2)．ax(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性．【例4】判断函数f(x)＝2?1x解任取两个值x、x∈(－1，1)，且x＜x．2121a(xx?1)(x?x)1122＝f(x))∵f(x－2212?1x)x?1)((2122∵－1＜x＜x＜1，xx＋1＞0，x－x＞0，x－1＜0，x－1＜0．11222111(xx?1)(x?x)1212＞0∴22?1)(x)(x?121当a＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当a＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．x【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－证取任意两个值x，x∈(－∞，＋∞)且x＜x．211222＋xx＋x))＝(x－x)(x这里有三种证法：∵f(x)－f(x11122221222＝(x＋x)－x＋时，0x＋xxxx＞0x)证法(一当x＜212122112122＞x0x时，x＋x＋≥当xx0212121又∵x－x＜0，∴f(x)＜f(x) 1122 上是减函数．)－∞，＋∞(在f(x)故．1312222＝(x＋x)＋＋xx，这里x＋x证法(二)∵x＋xx2112122122241与x不会同时为0，否则若x＋x＝0且x＝0，则x＝0这与x＜x2112122222．x0＞矛盾，∴x＋xx＋2112上是减函数．(－∞，＋∞)得f(x)在222223x＝－x－4x＋x，其判别式Δ(三)令t＝x＝＋xx证法1122111223x ＝－，若＝xΔ＞0时，则x＝0，那么x≠0，∴t≤0，若Δ＝0112222＋xx＋x＞0，从而f(x)＜f(x)，∴f(x)在(＜0，则t＞0，即x－∞，121212＋∞)上是减函数．1的单调性，并画出它的大致图像．x＋【例6】讨论函数f(x)＝x解定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x、x，且x＜x．2211xx 121∵f(x)－f(x)＝(x－x)，又x－x＜0，221211xx21∴当0＜x＜x≤1或－1≤x＜x＜0时，有xx－1＜0，xx＞0，f(x)＞f(x) 2211221112∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x＜x或x＜x≤－1时，有xx－1＞0，xx＞0，f(x)＞f(x)，∴f(x)在(－2211112212∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)maxmin＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致1的图像如图2．3＋－2．x画出y＝x说明1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．2°注意对参数的讨论(如例4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)是分层讨论，要逐步培养．6°例4．例题：已知函数f(x)对任意x,y∈R均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x<0时，f(x)<0，求：当-3≤x≤3时，求f(x)的最大值与最小值。
(完整)高一反函数·典型例题精析
反函数·例题解析【例1】求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x y y x x++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x(2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．或解 由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d++ 试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x-+-++-+----121212112212111 解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111 ∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称，∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．。
初中函数习题精选(附答案)
第四讲 函数【例题精讲】 一、选择题1．下列函数中，不是二次函数的是（ ）． （A ）)32(2-=x x y （B ）21)21(22--=x y（C ）)1)(1(21+-=x x y （D ）22)2(x x y --= 2．若y 与x 1成反比例，x 与z1成正比例，则y 是x 的（ ）（A ）正比例函数 （B ）反比例函数 （C ）一次函数 （D ）二次函数 3．若点),(),,(),,(332211y x y x y x 都在反比例函数xy 1-=的图象上， 并且3210x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ）（A ）321y y y << （B ）132y y y << （C ）123y y y << （D ）231y y y << 4．直线b kx y +=经过点)1,(m A 和),1(m B -，其中1>m ，则（ ）（A ）0,0<>b k （B ）0,0>>b k （C ）0,0<<b k （D ）0,0><b k 5．给出4个函数：)0(20),0(12,150,102>+-=>=-=-=x x y x xy x y x y ，其中y 随x 的增大而减小的函数有（ ）（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个 二、填空题5．抛物线1322+-=x x y 的顶点坐标是__________.6．已知函数c bx ax y ++=2的图象是以点（2，3）为顶点，并且经过点（3，1），求这个函数的解析式_________________.7．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与32--=x y 的图象形状相同，开口方向也相同，又经过（－1，0），（0，6）两点，求这个二次函数的解析式_________________.8．已知正比例函数x m y )12(-=的图象上两点),(),,(2211y x B y x A ，当21x x <，有21y y >，那么m 的取值范围是______________.9．若k 、b 是一元二次方程02=-+q px x 的两个实数根)0(≠kb ，在一次函数b kx y +=中，y 随x 的增大而减小，则一次函数的图象一定经过第______________象限.10．二次函数b ax x y ++=22的图象经过（2，3）点，并且其顶点在直线23-=x y 上，则_____________,==b a ．11．已知一个二次函数的图象经过（0，0），（1，－2），（2，3）三点，求这个函数的解析式．并用配方法求函数图象的顶点坐标．12．已知关于x 的二次函数34)2(2---=nx x m y 的图象的对称轴是2=x ，且顶点在反比例函数xy 2=的图象上，求此二次函数的解析式．13．已知抛物线1)(2+--=m x y 与x 轴相交于A 、B （B 在A 的右边），与y 轴的交点为C ．当点B 原点的右边，点C 在原点的下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．14．如图，一次函数42+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点C 在经过A 、B 的二次函数c bx ax y ++=2的图象上，CD ⊥x 轴,垂足为D , 且△ABC ∽△OBA ． 求：二次函数的解析式.15．已知二次函数()m x m x y +--=22的图象经过()15,1-.（1）求m 的值；（2）设此二次函数的图象与x 轴的交点是A 、B ，图象上的点C 使△ABC 的面积等于1，求点C 的坐标.一、选择题1、在下列函数中，y 随x 的增大而增大的是（ ）（A ）x y 31-= （B ）xy 3-= （C ）3-=x y （D ）32+=x y 2、若1-<m ，则下列函数①)0(>=x xmy ；②1+-=mx y ；③mx y =；④xm y )1(+=中，y 随x 的增大而增大的是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）③④ 3、已知21y y y +=，其中1y 与x1成反比例且比例系数是1k ，而2y 与2x 成正比例且比例系数是.2k 若1-=x 时，0=y ，则21,k k 的关系是（ ）（A ）021=+k k （B ）121=k k （C ）021=-k k （D ）121-=k k 4、已知反比例函数xmy 21-=的图象上两点),(),(2211y x B y x A 、，当210x x <<时，有21y y <，则m 的取值范围是（ ）（A ）0<m （B ）0>m （C ）21<m （D ）21>m 5、关于二次函数c bx ax y ++=2的图象有下列命题：①当0=c 时，函数的图象经过原点；②当0>c 且函数图象开口向下时，方程02=++c bx ax 必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当0=b 时，函数的图象关于y 轴对称其中正确命题的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 二、填空题 6、抛物线1)2(212-+=x y 可由抛物线221x y =向_______平移2个单位，再向____平移______个单位得到.7、函数4+=x y 中，自变量x 的取值范围是13-<<-x ，则函数值y 的取值范围是_____.8、已知函数x k y 43-=在每一象限内，y 随x 的减小而减小，那么k 的取值范围是______. 9、二次函数216212+-=x x y 的图象顶点是__________.10、函数1062+-=x x y 绕顶点旋转180°后的解析式是_____________________. 11、已知反比例函数xky =的图象与直线x y 2=和1+=x y 过同一点，则当0>x 时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而__________（填增大或减小）. 12、若抛物线c x x y +-=62的顶点在x 轴上，则c 的值是__________.13、已知抛物线过)0,1(-A 和)0,3(B 点，与y 轴交于点C ，且23=BC ，则这条抛物线的解析式为_________________.14、已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线xy 21=上，点N 在直线3+=x y 上，设点M 坐标为),(b a ，则抛物线x b a abx y )(2++-=的顶点坐标为___________. 15、已知一次函数b kx y +=的图象经过抛物线222--=x x y 与y 轴的交点和抛物线的顶点，求这个一次函数的解析式__________________. 三、解答题16、已知：二次函数32)1(222--+--=m m x m x y ，其中m 为实数求证：不论m 取何实数，这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点．17、二次函数n mx x y ++=22的图象过点（2，3），且顶点在直线23-=x y 上，求此函数的解析式．18、已知一次函数k x y 23-=的图象与反比例函数xk y 3-=的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6，求一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点坐标．20、已知反比例函数xy 6=与一次函数3+=kx y 的图象交于点),(),,(2211y x B y x A ，且52221=+x x ，求k 的值以及点B A 、的坐标．21、已知：抛物线b bx ax y 31421-++=与b a ax bx y 2322-++=经过纵坐标相同的两点A 、B ，分别交y 轴于C 、D 两点，点C 、D 在原点同侧，又知4:1:=OD OC ，且.0<ab ①求抛物线1y 和2y 的解析式；②求经过点C 和抛物线2y 的顶点E 的直线的解析式．22、如图5－13，一次函数图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数的图象交于C 、D 两点．如果A 点的坐标为（2，0），点C 、D 分别在第一、三象限，且.BD AC OB OA ===试求一次函数和反比例函数的解析式．23、在平面直角坐标系XOY 中，P 是第三象限角平分线上的点，2=OP ，二次函数1)2(2)1(22+---=x k x k y 的图象经过点P ．①求这个二次函数的解析式；②问是否存在与抛物线只交于一点P 的直线，若存在，求出符合条件的直线解析式；若不存在，请说明理由．。
三角函数典型例题分析
三角函数典型例题分析目录0°～360°间的三角函数.典型例题分析 (3)弧度制.典型例题分析 (3)任意角的三角函数.典型例题分析一 (5)任意角的三角函数.典型例题精析二 (7)同角三角函数的基本关系式.典型例题分析 ............................. 诱导公式.典型例题分析............................................. 用单位圆中的线段表示三角函数值.典型例题分析 ....................... 三角公式总表....................................................... 正弦函数、余弦函数的图象和性质.典型例题分析 (28)函数y=Asin(wx+j)的图象·典型例题分析............................... 正切函数、余切函数的图象和性质·典型例题分析 ....................... 已知三角函数值求角·典型例题分析 ................................... 全章小结........................................................... 高考真题选讲.......................................................0°～360°间的三角函数·典型例题分析例1已知角α的终边经过点P(3a，-4a)(a＜0，0°≤α≤360°)，求解α的四个三角函数．解如图2-2：∵x=3a，y=-4a，a＜0例2求315°的四个三角函数．解如图2-3，在315°角的终边上取一点P(x，y)设OP=r，作PM垂直于x轴，垂足是M，可见∠POM=45°注：对于确定的角α，三角函数值的大小与P点在角α的终边上的位置无关，如在315°的角的终边上取点Q(1，-1)，计算出的结果是一样的．弧度制·典型例题分析角度与弧度的换算要熟练掌握，见下表．例2将下列各角化成2kπ+α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式，并确定其所在的象限。
反函数典型例题精析
2．4 反函數·例題解析【例1】求下列函數的反函數：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域為y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x y y x x++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函數的反函數，並畫出原函數和其反函數的圖像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函數的定義域是x ≥1，∴值域為y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它們的圖像如圖2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函數；(2)求使f -1(x)＝f(x)的實數a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．或解 由f(x)＝f -1(x)，那麼函數f(x)與f -1(x)的定義域和值域相同，定義域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d++ 試求a 、b 、c 、d 滿足什麼條件時，它的反函數仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事實上，當a ＋d ＝0時，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的條件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】設點M(1，2)既在函數f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的圖像上，又在它的反函數圖像上，(1)求f -1(x)，(2)證明f -1(x)在其定義域內是減函數．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x-+-++-+----121212112212111解法(二) 由函數y ＝f(x)與其反函數y ＝f -1(x)之間的一一對應關 系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12 【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111 ∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因為原函數的圖像與其反函數的圖像關於直線y ＝x 對稱， ∴函數y ＝f(x)的圖像關於直線y ＝x 對稱．。
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2．2 函数²例题解析【例1】判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？ (1)x 2＋y ＝1 (2)x ＋y 2＝1(3)y ＝11--xx 解 (1)由x 2＋y ＝1得y ＝1－x 2，它能确定y 是x 的函数．(2)x y 1y y x 2由＋＝得＝±．它不能确定是的函数，因为对1-x于任意的x ∈{x|x ≤1}，其函数值不是唯一的．(3)y y x ＝的定义域是，所以它不能确定是的函数．11--∅xx 【例2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么？(1)f(x)|x|(t)(2)f(x)g(x)(x)2＝，＝＝，＝∅t x 22(3)f(x)g(x)(4)f(x)g(x)＝²，＝＝²，＝x x x x x x+--+--11111122解 (1)中两式的定义域部是R ，对应法则相同，故两式为相同函数． (2)、(3)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数．(4)中两式的定义域都是－1≤x ≤1，对应法则也相同，故两式子是相同函数．【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)2(2)f(x)(3)f(x)＝＋＋＝＝x x x x x x x --+----14532102152||(4)f(x)(4x 5)(1)x 10 4x 01x 4{x|1x 4}(2)3x 20x {x|x }＝＋－由－≥－≥得≤≤．∴定义域是≤≤由－＞，得＞，∴定义域是＞812323||x -⎧⎨⎩解(3)10x x 210|x|503x 7x 5{x|3x 7x 5}2由－－≥－≠得≤≤且≠，∴定义域是≤≤，且≠⎧⎨⎩(4)10 |x|0 4x 508x 00x x 8[80)(0)()由－≥≠－≠解得－≤＜或＜＜或＜≤∴定义域是－，∪，∪，8545454548||x ⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ 【例4】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数的定义域：(1)y f (2)y f(2x)f (3)y f ＝＝＋＝()()()1232xx xa+解(1)01x 1x 1f(){x|x 1x 1}由＜≤，得≤－或≥，∴的定义域是≤－或≥1122xx(2)02x 10x 10x f(2x)f(x ){x|0x }(3)01由≤≤≤＋≤得≤≤∴＋＋的定义域是≤≤≤≤23132313⎧⎨⎪⎩⎪x a当＞时，得≤≤，定义域为，当＜时，得≤≤，的定义域为，若函数＝的定义域是一切实数．a 00x a f(xa )[0a]a 0a x 0f(xa)[a 0]y 【例5】ax ax a21-+求实数a 的取值范围．解 x ax ax 0a 0 a 400a 222∵∈，－＋≥∴＞Δ＝－≤＜≤．R 1a⎧⎨⎩⇔为所求a 的取值范围．【例6】求下列函数的值域： (1)y ＝－5x 2＋1(2)y 3＝＋x +4(3)y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[－1，1) (4)y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[－1，3](5)y (6)y ＝＝25131222xx x x +-+(7)y(8)y 2x 3＝＝－＋41253241322x x x x x -+-+-(9)y ＝|x －2|－|x ＋1|解 (1)∵x ∈R ，∴－5x 2＋1≤1，值域y ≤1．(2)x 433y 3(3)y x 5x 62∵≥－，∴＋≥，∴值域≥∵＝－＋＝－x x +-452142() ∵－，，在区间－，上为减函数，如图．－．∴值域∈，．＝－，5252142∉-[[()11)y 11)221y (212)(4)y x ∵－，，如图－，当＝时，＝－．当＝－时，＝．∴值域∈－，52521414∈[13] 2.22x y x 1y 12y [12]min max(5)y 5(x +)y y {y|y y }＝＝＝－∴≠．故值域∈∈且≠25121515152525512525x x x x ++-+()()R(6)定义域为R∵≠，∴由＝，解得＝，又∵≥，∴≥解得－≤＜，值域∈－，y 3y x x 00y 3y [3)22312123123121222x x yy yy -+------(7)解：定义域x ≠1且x ≠2由去分母整理得：41253222x x x x -+-+(y －4)x 2－3(y －4)x ＋(2y －5)＝0 ① 当y －4≠0时，∵方程①有实根，∴Δ≥0， 即9(y －4)2－4(y －4)(2y －5)≥0 化简得y 2－20y ＋64≥0，得 y ＜4或y ≥16当y ＝4时，①式不成立． 故值域为y ＜4或y ≥16．(8)()4x 130x t t 0解法一由－＞，得≥，设＝，则≥．134413x - ∴＝．那么＝³－＋＝＋＋≥x y 23t (t 1)3(t 0)2t t 2213413412++函数y 在t ≥0时为增函数(见图2．2－3)．∴＋＋≥．故所求函数值域为≥．解法二∵＝－＋．127272413(t 1)3y ()y 2x 32x -∴＝－＋＝＋＋∴＝＋＋≥，即≥2y 4x 624x 13(4x 131)26y (4x 131)3y 2---127272 (9)解：去掉绝对值符号，f(x)3(x 2) 2x 1(1x 2) 3(x 1)＝－＞－＋－≤≤＜－⎧⎨⎪⎩⎪ 其图像如图2．2－4所示．由图2．2－4可得值域y ∈[－3，3]． 说明 求函数值域的方法：1°观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等．(如例1，2) 2°求二次函数在指定区间的值域(最值)问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理．假如求函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，在给定区间[m ，n]的值域(或最值)，分三种情况考虑：(i)x n 225()f(x)f(m)f(x)f(n)(ii)x [m n]225()f(x)f()max min min 当对称轴＝－＞时，如图．－甲，＝，＝．当对称轴＝－∈，时，如图．－乙，＝－，bab a b a222f(x)f(m)f(n)(iii)x m 225()f(x)f(n)f(x)f(m)max max min 是，两值较大者．当对称轴＝－＜时，如图．－丙，＝，＝ba23y (c 0)y °分离常数法：型如＝既约分式，≠的值域为≠，ax b cx d ac++(如例5)可做公式用．4y (a a )y x 12°判别式法：型如＝、不同为零，不能约为型如＝．可将函数解析式转化为关于的二次方程，用判别式a xb xc a x b x c ax bcx d1211222++++++法求y 的范围(如例6－7)．5y ax b °型如＝＋±，可利用换元法或配方法将原函数化cx d +为二次函数求值域．但要注意中间量t 的范围(如例6－8)．6°分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来．利用有界变量的范围，求函数y 的值域(如例6－6)．7°图像法(如例6－9)：由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解．【例7】(1)f(x 1)2x 4x f(1)(2)f(x)10(x 0) 10x(x 0)f[f(7)]2已知＋＝－，求－已知＝＜≥求－．2⎧⎨⎩解(1)x 11x f(1)2()4()442由＋＝－得＝－，∴－＝－－－＝＋．222222解 (2)∵f(－7)＝10，∴f[f(－7)]＝f(10)＝100．说明 本例较简单，但主要用意是深刻理解函数符号f(x)的意义．求分段函数值时，要注意在定义域内进行．【例8】根据已知条件，求函数表达式．(1)已知f(x)＝3x 2－1，求①f(x －1)，②f(x 2)． (2)已知f(x)＝3x 2＋1，g(x)＝2x －1，求f[g(x)]．(3)f(x 1)x 6x 7已知－＝－－．求f(x)．(4)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x ＋1)－f(x)＝x －1，求f(x)．(5)设周长为a(a ＞0)的等腰三角形，其腰长为x ，底边长为y ，试将y 表示为x 的函数，并求它的定义域和值域．(1)分析：本题相当于x ＝x －1时的函数值，用代入法可求得函数表达式．解 ∵f(x)＝3x 2－1∴f(x －1)＝3(x －1)2－1＝3x 2－6x ＋2 f(x 2)＝3(x 2)2－1＝3x 4－1(2)分析：函数f[g(x)]表示将函数f(x)中的x 用g(x)来代替而得到的解析式，∴仍用代入法求解．解 由已知得f[g(x)]＝3(2x －1)2＋1＝12x 2－12x ＋4(3)f(x 1)x 6x 7x 1x x 1f(x)分析：∵已知－＝－－，可将右端化为关于－的表达式，然后用代替－，就可求得表达式．这种方法叫凑配法(或观察法)．解法一() f(x 1)x 6x 7(x 1)4(x 1)12(x 11)f(x)x 4x 12(x 1)22－＝－－＝－－－－－≥－∴＝－－≥－解法二() t x 1t 1令＝－，则≥－，∴x ＝(t ＋1)2代入原式有f(t)＝(t ＋1)2－6(t ＋1)－7 ＝t 2－4t －12 (t ≥－1) 即f(x)＝x 2－4x －12 (x ≥－1)说明 解法二是用的换元法．注意两种方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要熟练掌握换元法．(4)分析：本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解．解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)由f(0)＝2，得c ＝2．由f(x ＋1)－f(x)＝x －1，得恒等式2ax ＋(a b)x 1x a b f(x)x x 22＋＝－，比较等式两边的同次幂的系数得＝，＝－，故所求函数＝－＋12321232说明 待定系数是重要的数学方法，应熟练掌握．(5)解：∵2x ＋y ＝a ，∴y ＝a －2x 为所求函数式． ∵三角形任意两边之和大于第三边， ∴得2x ＋2x ＞a ，又∵y ＞0，∴－＞，由＞－＞＜＜得函数的定义域为∈，a 2x 04x a a 2x 0x x (a 4)⎧⎨⎩⇒a aa422由＜＜，得＜－＜，即得函数的值域为∈，．a a a a4222x 0a 2x y (0)说明 求实际问题函数表达式，重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式，其定义域与值域，要考虑实际问题的意义．。