三角函数的诱导公式(2课时)
三角函数的诱导公式(2课时).doc
第一课时：1.3 三角函数的诱导公式（一）教学要求：掌握π＋α、－α、π－α三组诱导公式，并能熟练运用进行化简与求值. 教学重点：应用诱导公式.教学难点：理解诱导公式推导.教学过程：一、复习准备：1. 写出2k π＋α的诱导公式.2. 提问：求任意角的三角函数值如何求？二、讲授新课：1. 教学诱导公式：① 讨论：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到0～2π后，又将如何将0～2π间的角转化到0～2π呢？ 方法：设0°≤α≤90°， （写成β的分段函数）则90°～180°间角，可写成180°－α；180°～270°间的角，可写成180°＋α；270°～360°间的角，可写成360°－α.② 推导π＋α的诱导公式：复习单位圆：以原点为圆心，单位长为半径的圆.思考：角α的终边与单位圆交于点P (x , y )，则sin α＝？cos α=？讨论：α与π＋α终边有何关系？设交单位圆于P (x , y )、P ’，则P ’坐标怎样？计算sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)，并与sin α、cos α、tan α比较.提出诱导公式二.③ 仿上面的步骤推导－α、π－α的诱导公式.讨论：如何由π＋α、－α的诱导公式得到π－α的诱导公式？ 变角：π－α＝π＋(－α) 列表比较四组诱导公式，观察符号情况？ 口诀：函数名不变，符号看象限. （“符号”是把任意角α看成锐角时，2()k k Z πα±∈所在象限的三角函数值的符号.）2. 教学例题：① 出示例1：求值：sin225°、 cos43π、sin(－3π)、cos （－76π）、tan （－200°） 分析角的特点→学生口答. 小结：运用诱导公式的格式；注意符号.② 出示例2：化简sin(180)cos(720)cos(180)sin(180)αααα︒+︒+--︒-︒- 师生共练→小结：公式运用③ 练习：已知cos(π＋x )＝0.5，求cos(2π－x )的值；思考：求cos(π－x )的值.④ 讨论：四组诱导公式的作用? （分别化哪个范围的角到哪个范围？）3. 小结：四组诱导公式的推导、记忆、运用.三、巩固练习：1. 求证：tan(2)sin(2)cos(6)cos()sin(5)παπαπααππα-----+＝tan α2. （－1） 4. 作业：教材P31 2、3、4题.第二课时：1.3 三角函数的诱导公式（二）教学要求：掌握2πα、2π＋α两组诱导公式，能熟练运用六组诱导公式进行求值、化简、证明. 教学重点：熟练运用诱导公式.教学难点：诱导公式的推导.教学过程：一、复习准备：1. 默写关于2k π+α、π＋α、－α、π－α的四组诱导公式2. 推导2π－α的诱导公式.二、讲授新课：1. 教学诱导公式推导：① 讨论：2π－α的终边与α的终边有何关系？ （关于直线y =x 对称） ② 讨论：2π－α的诱导公式怎样？ ③ 讨论：如何由前面的诱导公式得到2π＋α的诱导公式？ 比较：两组诱导公式的记忆 ④ 讨论：如何利用诱导公式，将任意角转化为锐角的三角函数？（转化思想）⑤ 比较：六组诱导公式的记忆. （六组诱导公式都可统一为“()2k k Z πα±∈”的形式，记忆的口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 符号看象限是把α看成锐角时原三角函数值的符号）2. 教学例题：① 出示例1：求下列各角的三个三角函数的值.56π、 43π、 74π、 1050°、 －514π （示范－514π的求值；其余学生试练，四人板演；订正；小结：诱导公式的运用） ② 出示例2：求证cos()sin(5)sin(4)sin(7)cot()παπαπαπααπ---+--＝1 （学生分析公式运用→试练→订正→小结：公式运用. ）③ 练习： 列表写出0～2π间所有特殊角的三个三角函数的值.3. 小结：诱导公式的记忆是重中之重；利用诱导公式，将任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数的值，这是学习诱导公式的主要目的；注意公式之间的相互联系和变形使用公式.三、巩固练习：1. 化简：tan(150)cos(210)cos(420)cot(600)sin(1050)-︒-︒-︒-︒-︒ ）2. 已知tan(π＋α)＝4, 则sin(π＋α)cos(π－α)＝ .3. 化简：sin()sin()sin()cos()k k k k πααπαπαπ++-+- （k ∈Z ）4. 求函数y =. 5. 作业：教材P31 5、6、7题.。
1.3三角函数诱导公式(第2课时)精品PPT课件
Sin(2kπ+α)=sin α
cos(2kπ+α)=cosα 2、负角诱导公式
Sin(-α)=- sin α
cos(-α)=cos α 3、四象限诱导公式
Sin(π-α)=sin α cos(π-α)= - cosα
5、三象限诱导公式 Sin(π+α)=sin α cos(π+α)= - cosα
sin
.
y
P(x,y)
P(y,x)
α
2
O
x
y=x
2
2
由公式四和公式五得
公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
公式五
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
的正弦 (余2弦)函数值,分别 等于α的余弦(正弦) 函数值,前面加上一 个把α看成锐角时 原函数值的符号.
三角函数
1.3 三角函数的诱导公式（2）
函数名不变，符号看象限
化简：
cos sin
180 180
sin cos
360 180
．
思考：终边与角α的终边关于直线y=x对称 的角与α有什么关系?它们的三角函数之间 有什么关系? 公式五
sin
2
cos ,
cos
2
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
【数学】1.3 三角函数的诱导公式第二课时
公式一：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
cos
右边
3 （2） cos( ) sin 2
证明：左边=
cos ( ) 2
cos( ) 2
sin
右边
例2 : 化简：
sin( 2 ) sin 解：
11 sin(2 - )cos( )cos( )cos( - ) 2 2 9 cos( - )sin(3 - )sin(- - )sin( ) 2
公式四：
公式五：
sin(
公式六：
sin(
2
) cos ) sin
2
) cos
cos(
2
cos( ) sin 2
k 思考5：诱导公式可统一为
2
(k Z)
的三角函数与α的三角函数之间的关系， 你有什么办法记住这些公式？
sin(
2
) cos
cos( ) sin 2
思考2：
2
2
与
2
2
有什么内在联系？
( )
思考3：根据相关诱导公式推导， sin( ) ， cos( ) 分别等于什么？
三角函数诱导公式2名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
3
求 cos(105 ) sin( 105 )的值.
2、已知A、B、C是ABC的三个内角，
求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA
(2)tan
A+B 4
tan
3 +C
4
3、已知tan 1，求值
3
sin3( ) cos(2 ) tan(2 )
诱导公式
第二课时
诱导公式一:
sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα
诱导公式（二）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
Sinα=MP1,cosα=OM
Sin(π/2+α)=NP2;
π/2+α P2
cos(π/2+α)=ON
Rt△OP1M≌Rt△P2ON
∴ NP2=OM， ON=-MP1 Sin(π/2+α)=cosα
NO
cos(π/2+α)= -Sinα
P1 α M
函数名称变，符号看象限
思索：公式
Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα旳证明措施
sin( 2 ) cos( 3 ) tan( ) tan(3 )
2
2
4、已知A、B、C是ABC的三个内角，
求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA
(2)tan
A+B 4
tan
3 +C
三角函数的诱导公式(二)
思路点拨：利用诱导公式对已知式和待求式分别变形，再利用 同角三角函数关系求值．
解：
∵tan32π＋θ＝ 3，∴csoins3322ππ＋＋θθ＝ 3，即－sicnosθ θ＝ 3. 得到csoins22θθ＝3，1－sinsi2nθ2θ＝3，sin2θ＝14. 故 cosθ＋72π＝cos2π＋32π＋θ＝cos32π＋θ＝sin θ＝±12.
【答案】± 3
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自学导引 1．公式五：sinπ2－α＝_co_s__α__，cosπ2－α＝_s_i_n_α__.
2．公式六：sinπ2＋α＝_c_o_s_α__，cosπ2＋α＝－__s_i_n_α_.
3．sin32π－α＝－cos α，cos32π－α＝_－__s_i_n_α__.
错解：由|cos α|＝sin32π－α得|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限．
错因分析：由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
2．2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，2π±α 与32π±α 的诱导公式 可以统一记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的奇偶是指π2的 奇数倍或偶数倍，π2±α 与32π±α 都是2π的奇数倍，2kπ＋α(k∈Z)，π ＋α，－α，π－α 都是π2的偶数倍，因为 π＋α＝2×π2＋α，－α＝0×π2 －α.奇变是指π2±α 与32π±α 的正弦函数变为角 α 的余弦函数、而2π±α 与32π±α 的余弦函数要变为角 α 的正弦函数，偶不变是指 2kπ＋α(k ∈Z)，π＋α，－α，π－α 的三角函数与角 α 的函数名称相同．符号 看象限是指，前面加上一个把角 α 看成锐角时原函数值的符号．
《诱导公式(二)》教案
1.2.4诱导公式（二）一、学习目标1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+π1)k +2(，α2π+角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 三、教学方法先由学生自己看书，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.+-=-=x x9017)cos(9017)sin17 480︒)+cos(-330︒)5.3.2同角三角比的关系（2）诱导公式【教学目标】1．通过本节课的教学，使学生掌握五组诱导公式的推导方法和记忆方法．2．在理解、记忆五组诱导公式的基础上，会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明．3．加深理解化归思想，培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识．【教学重点】五组诱导公式的记忆、理解、运用。
【教学难点】五组诱导公式的推导教学过程：【情景引入】与6π终边相同角α的集合如何表示？αsin 与6sin π具有怎样的数量关系？与β终边相同角α的集合如何表示？αsin 与βsin 具有怎样的数量关系？βα,其它的五个三角比数量关系又如何呢？【问题探究】诱导公式一：文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等．sin(k·360°＋α)=sinα，cos(k·360°＋α)=cosα， tan(k·360°＋α)=tanα，cot(k·360°＋α)=cotα．(k ∈Z )试求出sin 2016°的值．由公式一：sin 2016°=sin(5×360°×216°)＝sin 216° 问题二：如何求出进一步sin 216°的值诱导公式二：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°＋α角所在象限(第三象限)角的原三角函数值的符号相同． sin(180°＋α)=－sinα， cos(180°＋α)=－cosα，tan(180°＋α)=tanα， cot(180°＋α)=cot α．诱导公式三：①同名函数关系；②符号规律是：右边符号与－α所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同．sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝tanα， cot(－α)＝－cotα．诱导公式四：sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-． t sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。
5.3诱导公式(共2课时)高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)
三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边OP与单位圆
相交于点P(x,y)
y
sin y
P(x，y)
α
O
x2 y2 1
1 x
cos x
y
tan
x 0
x
复习回顾
上节课的学习中，我们得到了公式一，即终边相同
的角的同一三角函数值相等.
( + ∙ ) =
公式一 ( + ∙ ) =
( + ∙ ) = ，其中 ∈ .
？ 思考1
如图，在直角坐标系内，设任意角α的终
边与单位圆交于点P1
作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边
的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函
数值之间有什么关系？
β
角π＋α与角α的终边关于 原点 对称
cos (π＋α)=−
tan (π＋α)=−
复习回顾
诱导公式三
正奇余偶
sin (-α) = -sin α
cos (-α) = cos α
tan (-α) = -tan α
诱导公式四
正补不变，余补相反
sin (π-α)=sin
cos (π-α)=−
tan (π-α)=−
值之间有什么关系？
β
4
角π-α与角α的终边关于 y轴 对称
诱导公式四
(-x,y)
4
(x,y)
sin (π－α)＝ sin ，
−
cos (π－α)＝______
记忆口诀：正补不变，余补相反
精讲
1.诱导公式二、三、四中，三角函数的名称
不变，符号看角的终边所在的象限
2.诱导公式中α的是任意角，可以看成锐角，
1.3 三角函数的诱导公式(二)学案
4、在 中， 且cosA>0,则角A＝＿＿
5、如果A为锐角， ，那么 _________
______
6、在△ABC中, 为内角，下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
7、已 知 ，则 ＿＿＿
1.3三角函数的诱导公式（二）
学习目标：
1理解三角函数诱导公式；
2能灵活运用诱导公式解决问题；
重点难点：能灵活运用诱导公式解决三角函数相关问题
※学法指导※
学生小组一起讨论学习P26-27页
※学习过程※
一、知识链接
回忆上节课的公式二到公式四
（一）自主预习
公式五：
sin（－ ）＝_________，cos（－ ）＝_________
公式六：
sin（ ＋ ）＝__________，cos（＋ ）＝ _________
（二）合作探究
问题-：角 的终边与 有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
问题二:用单位圆与角的终边关系探究
Cos =sin =
Cos( )=
sin( )=
公式五：sin（－ ）＝_________，
cos（－ ）＝_________
公式六：sin（ ＋ ）＝__________，
cos（＋ ）＝ _________
总结：公式特点：________________ ___。
试一试：
证明：（1）Sin（ ）=-Cos
(2)Cos( )=Sin
化简：
（1）
(2已知 ，求
达标测试：1、填表：正弦余弦正切2、若角 是三角 形的一个内角，且 ，则角A＝＿＿＿。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(第2课时)教学课件 新人教A版必修4
【多维探究】 (1)本例条件不变，如何求 cos56π－α的值？
(2)本例条件若变为“已知 sin23π＋α＝12”，其他不变，则 结果又如何？
(3)本例条件若不变，如何求 cos23π＋α的值？ (4)本例条件若不变，如何求 tanπ3－α的值？
解：(1)cos56π－α＝cosπ2＋π3－α＝－sinπ3－α＝－12. (2)cosπ6＋α＝cos23π＋α－π2＝cosπ2－23π＋α ＝sin23π＋α＝12.
提示：因为
tanπ2＋α
＝
csoinsπ2π2＋＋αα＝－cossinαα＝－cs1oins
α α
＝
－
1 tan
α，所以
tanπ2＋α＝－tan1
α，即它们互为负倒数．
1．对诱导公式五、六的理解 (1)公式五、六中的角 α 是任意角． (2)公式五、六可以概括如下：π2±α 的正弦(余弦)函数值， 分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α 看成锐角 时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名改变，符号看象 限”．
高中数学 第一章 三角函数 三角 的诱导公式（第 课时）教学课件
教 版必修
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休
睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对
哦~
1．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A．sin 5°
B．cos 5°
C．0
D．2sin 5°
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°
证明：∵左边＝－2sin321π－－2θsin－2 θsin θ－1
＝－2sinπ＋1－π2－2sθin2－θ sin θ－1＝2sinπ2－1－θ2s－ins2inθ θ－1
《诱导公式》PPT教学课件(第2课时诱导公式五、六)
＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
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11
合作探究 提素养
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12
利用诱导公式化简求值
【例 1】 (1)已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是( )
A.1－mm2
B. 1－m2
C．－1－mm2
D．－ 1－m2
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为________．
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即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝1173，③ sin α－cos α＝173，④ (③＋④)÷2得sin α＝1123，(③－④)÷2得cos α＝153.
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1．公式五反映了终边关于直线 y＝x 对称的角的正、余弦函数值之间 的关系，其中角π2－α 的正弦(余弦)函数值，等于角 α 的余弦(正弦)函数值．
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3
自主预习 探新知
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4
1．公式五 (1)角π2－α 与角 α 的终边关于 直线 y＝x 对称，如图所示． (2)公式：sinπ2－α＝ cos α ， cosπ2－α＝ sin α .
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2．公式六 (1)公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－π2－α . (2)公式：sinπ2＋α＝ cos α ， cosπ2＋α＝ －sin α . 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
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16
2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin76π＋α的值． [解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角， 又sinπ3－α＝12，所以π3－α是第二象限角， 所以cosπ3－α＝－ 23， 所以sin76π＋α＝sinπ＋π6＋α＝－sinπ6＋α＝－cosπ3－α＝ 23.
1.3.2三角函数的诱导公式(第二课时)
s in（ 3
2
- ) - cos
sin（3 ) - cos
2
cos（ ) sin cos（3 - ) - sin cos（3 ) sin
2
2
2
tan（ ) cot tan（3 - ) cot tan（3 ) cot
2
2
2
奇变偶不变、符号看象限
2
cos（ ) sin
2
tan（ ) cot
2
你能利用这个公式推导出
+与的三角函数
2
关系吗?
公式八
sin（3 - ) - cos
2
cos（3 - ) - sin
2
tan（3 - ) cot
2 公式九
sin（3 ) - cos
2
cos（3 ) sin
2
1.3.2 三角函数的诱导
公式（第二课时）
庆阳一中 李树信
一、复习回顾
1.关于2kπ+α、π＋α、－α、π－α、2π－α的四组诱导公式
公式一：
公式二：
sin( 2k ) sin
sin( ) sin
cos( 2k ) cos (k Z) cos( ) cos
tan( 2k ) tan
3
3
3
cos[ ( )] cos( )
3
3
sin( 2 ) cos2( 4 )
3
3
sin( ) cos2( )
3
3
3 [1 ( 3 )2 ] 3 2
3
3
3
sin( 2k) sin
sin( ) sin sin( ) sin
cos( 2k) cos (k Z) cos( ) cos cos( ) cos
7.2.4诱导公式(第2课时)教案-2021-2022学年高一下学期数学人教B版(2019)必修三
7.2.4诱导公式第二课时教案1、学生能根据前面学习的前四组诱导公式，并利用三角函数线的对称性推导的诱导公式⑤；2、学生能利用已掌握的诱导公式①~⑤，自选方法推导的诱导公式⑥；3、学生能利用已掌握的诱导公式①~⑥，自主推导的诱导公式⑦⑧；在初中，我们已经知道两个锐角之和为时正弦和余弦之间的关系．例如，那这一关系式对任意角是否也成立呢？本节课我们一起来探究这个问题．问题1、对于任意一个角来说，与的终边有什么关系，你能得出它们的正弦、余弦之间的关系吗？如图所示，设和的终边与单位圆分别交于P和，则，，又由角和角的终边关于角的终边所在的直线（即y=x）对称，因此得到诱导公式⑤．这一结论也可以从和的三角函数线之间的关系得出以下三角函数间的关系式．点评学生的最终结论，与学生一起分析诱导公式⑤．利用GGB软件动态展示诱导公式结论依据，通过GGB动态展示提醒学生，公式中的角可以是任意角，也可以是角的表达式，从而解决情境中的疑问．问题2、你能利用前面研究的诱导公式结果得到角和角的正弦、余弦之间的关系吗？由诱导公式②⑤可得，从而得到诱导公式⑥．实物投影展示学生的推导过程，并与学生一起分析诱导公式③结论依据，提醒学生，公式中的角可以是任意角，也可以是角的表达式．（1）解（1）（2）（3）．问题3、你能利用前面研究的诱导公式结果得到角和角的正弦、余弦之间的关系吗？由诱导公式④⑥可得，从而得到诱导公式⑦．法一：由诱导公式②⑦可得，从而得到诱导公式⑧法二：如图所示，设和的终边与单位圆分别交于P和，则，，又由角和角的终边关于对称，因此与学生一起分析诱导公式⑦⑧结论依据，提醒学生，公式中的角可以是任意角，也可以是角的表达式．联系：若将角看作是锐角，同样分别代表第一、二、三、四象限的角，符合口诀“符号看象限”．例如：．本环节是想留有时间让学生思考、讨论、归纳，引导学生建立各组公式与相应图形的联系，并对各个公式的异同进行比较，以此加深理解公式．前面学生在推导诱导公式时已对诱导公式有了基本的理解，那在理解的基础上再加强记忆．事实上，所有的诱导公式可概括为“的各三角函数值”．当k 为偶数时，得的同名三角函数值；当k为奇数时，得的余名三角函数值，然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可编成一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．计算的值．化简．解：原式=1化简．。
高中数学 5-3 诱导公式 第2课时 诱导公式(二)课件 新人教A版必修第一册
提示：(1)如图，角π2－α 与角 α 的终边关于 y＝x 对称． (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是 P2(b，a)．
练一练：已知 cosπ2－α＝12，则 sin(π＋α)＝_－__12___．
[解析] cosπ2－α＝sin α＝12， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－12.
题型二
三角恒等式的证明
典例2 求证：
2sin1－θ－2s32iπn2c（osπθ＋＋θπ2）－1＝ttaann（（9ππ＋＋θθ））－＋11.
[分析]
[证明] 左边＝
－2sin32π－θ·（－sin 1－2sin2θ
θ）－1＝2sinπ＋1－π2－2sθin2sθin
θ－1
＝－2sin1－π2－2sθins2iθn θ－1
D．－ 1－a2
[解析] sin 25°＝sin（90°－65°）＝cos 65°＝a.
(B )
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析] 因为cos θ<0，sin θ>0，∴θ是第二象限角．
( B)
3．已知 cosπ2＋α＝－35，且 α 是第二象限角，则 sinα－32π的结果是
第五章 三角函数
5.3 诱导公式
第2课时 诱导公式(二)
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基
必备知识 ·探新知
知识点 1 诱导公式五
sinπ2－α＝cos α， cosπ2－α＝sin α 想一想：(1)角π2－α 与角 α 的终边有什么样的位置关系？ (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是什么？
三角函数的诱导公式(二)(附答案)
三角函数的诱导公式（二）[学习目标] 1.掌握诱导公式五、六的推导 ，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．知识点一 诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α. 思考1 根据任意角α与π2－α的终边关于直线y ＝x 对称，推导诱导公式五．思考2 根据π2＋α＝π－(π2－α)这一等式，利用诱导公式四和诱导公式五推导诱导公式六．知识点二 诱导公式的理解、记忆与灵活应用公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变；前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．思考 请你根据上述规律，完成下列等式． sin(32π－α)＝－cos α，cos(32π－α)＝－sin α sin(32π＋α)＝－cos α，cos(32π＋α)＝sin α.题型一 利用诱导公式求值例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35.跟踪训练1 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值． 解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33.题型二 利用诱导公式证明恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．跟踪训练2 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2 (π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1. 证明 左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原等式成立． 题型三 诱导公式的综合应用例3 已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又α是第三象限的角， ∴cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265，∴f (α)＝265. (3)f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos5π3＝－cos π3＝－12. 跟踪训练3 已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．解 ∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°) ＝－1－－132＝－223.∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝223.诱导公式的应用例4 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， －sin α＝－2sin(π2－α)，∴sin α＝2cos α，∴tan α＝2. ∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5cos (π2－α)－3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－15tan α－3＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)7(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α) ＝tan 2α－17(tan 2α＋1) ＝4－17×(4＋1)＝335.1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A ．－233 B.233 C.13 D ．－133．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是 ． 4．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α； (3)tan(5π－α)．5．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值．一、选择题1．已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( )A ．－25B ．－15 C.15 D.252．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12 B.12 C.32 D ．－323．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C ．－223 D.2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m25．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13 D ．－23 二、填空题7．式子cos 2(π4－α)＋cos 2(π4＋α)＝ .8．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝ .9．已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin (π2＋α)cos (－α－π)，化简f (α)＝ .10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin (π2－α)－2cos (π2＋α)－sin (－α)＋cos (π＋α)＝ .三、解答题11．已知角α终边经过点P (－4,3)，求 cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值．12．已知sin(θ－32π)＋cos(32π＋θ)＝35，求sin 3(π2＋θ)－cos 3(3π2－θ)．当堂检测答案1．答案 C解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.2．答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13. 3．答案 1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.4．解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2 α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24.5．解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72， ∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38，∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.课时精练答案一、选择题 1．答案 C解析 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.2．答案 A解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.3．答案 A解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13.4．答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .5．答案 C解析 由cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.6．答案 D解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin [(75°＋α)－90°]＋cos [180°－(75°＋α)] ＝－sin [90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.二、填空题 7．答案 1解析 原式＝sin 2[π2－(π4－α)]＋cos 2(π4＋α)＝sin 2(π4＋α)＋cos 2(π4＋α)＝1.8．答案 －13解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.9．答案 sin α解析 f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin (π2＋α)cos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.10．答案 2解析 ∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2， ∴原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 三、解答题11．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴tan α＝y x ＝－34，11 ∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α ＝－34.12．解 ∵sin(θ－32π)＋cos(32π＋θ)＝－sin(32π－θ)－cos(π2＋θ)＝sin(π2－θ)＋sin θ＝sin θ＋cos θ＝35.∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12(925－1)＝－825.∴sin 3(π2＋θ)－cos 3(3π2－θ)＝cos 3θ＋cos 3(π2－θ)＝cos 3θ＋sin 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝35×[1－(－825)]＝99125.。
1.3三角函数的诱导公式(二)知识点归纳与练习(含详细答案)
第一章 三角函数§1.3 三角函数的诱导公式(二) 课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________. 2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的____________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．知识点归纳总结：1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式统一成“k ·π2±α(k ∈Z )”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．一、选择题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－323．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C.－223 D.2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A.13 B.23 C ．－13 D ．－23二、填空题7．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. 8．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是______．9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.三、解答题11．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.12．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．能力提升13．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．14．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立． 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．§1.3 三角函数的诱导公式(二)答案知识梳理1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α2．异名 符号作业设计1．A [f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.] 2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12. ∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12.] 3．A [cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13.] 4．C [∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .] 5．C [由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32， 又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.] 6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23.] 7．－13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 8．1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A )＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 9.892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 10．2解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 11．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．12．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169. ① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713， ③ sin α－cos α＝713， ④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 13．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.14．解 由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋sin 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
三角函数的诱导公式第二课时学案
1．3诱导公式（一）教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力．（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．一、复习：诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k 诱导公式（二）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒ 诱导公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（四）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒ 对于五组诱导公式的理解 ：①可以是任意角；公式中的α②这四组诱导公式可以概括为：符号。
看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k总结为一句话：函数名不变，符号看象限练习1：P27作业1、2、3、4。
2：P25的例2：化简 二、新课讲授： 1、诱导公式（五） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=- 2、诱导公式（六） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+ 总结为一句话：例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan )1(πππ-︒例2．证明：（1）ααπcos )23sin(-=-（2）ααπsin )23cos(-=-例3．化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++-的值。
课时作业12：§1.3 三角函数的诱导公式(二)
§1.3 三角函数的诱导公式(二)一、选择题1.已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( )A.－25B.－15C.15D.252.已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( )A.45 B.－45C.±45D.353.若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A.cos(A ＋B )＝cos C B.sin(A ＋B )＝－sin C C.cos A ＋C 2＝sin BD.sin B ＋C 2＝cos A 24.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于( ) A.2 B.－2 C.2－π2D.π2－2 5.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A.－12B.12C.－32D.326.若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m3B.2m 3C.－3m 2D.3m 2二、填空题7.若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝________. 8.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 9.已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.10.在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝________. 三、解答题11.已知角α的终边经过点P (－4,3)，求 cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值.12.已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值.13.已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2；(2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α；(3)tan(5π－α).四、探究与拓展14.已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α－sin (－α)＝________.15.已知α是第四象限角，且 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f (α)的值.答案精析1.C2.B3.D4.C5.A6.C7.265 8.892 9.2 10.π211.解 ∵角α的终边经过点P (－4,3)， ∴tan α＝y x ＝－34，∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin αsin α－sin αcos α＝tan α＝－34.12.解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α ＝－sin α， ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.13.解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α， cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89.∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时， sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时， sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24， ∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24. 14.－34解析 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)， ∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)， ∴sin α＝－2cos α且cos α≠0， ∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.15.解 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α. (1)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＋2π＝15， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝15， ∴sin α＝－15，∴f (α)＝1sin α＝－5.(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60°＝－233.。
《三角函数的诱导公式第2课时》人教版数学高一下册PPT课件
第一章 三角函数
[错因分析] 对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不好，在 sin[32π－(π4－α)] 中，要把“π4－α”看成锐角来确定三角函数值符号．
[思路分析] 诱导公式共有六组公式，公式较多，易错记错用(如本题错解)， 特别是诱导公式右边的符号要记准．
第一章 三角函数
[正解] ∵0<α<π2，∴－π4<π4－α<π4，∴cos(π4－α)>0， ∴cos(π4－α)＝ 1－sin2 π4－α ＝ 1－a2， sin(54π＋α)＝sin[π＋(π4＋α)] ＝－sin(π4＋α)＝－cos[π2－(π4－α)] ＝－cos(π4－α)＝－ 1－a2. [误区警示] 在公式“奇变偶不变，符号看象限”中角可以单角，也可以是一个复角．
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前面加上一
个把 α 看成___锐_角____时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式
第一章 三角函数
[知识点拨]1.对诱导公式五、六的两点说明 (1)诱导公式五、六反映的是角π2±α 与 α 的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函 数名改变，符号看象限”来记忆． (2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角， 应用时要注意整体把握，灵活变通． 2．对诱导公式一～六的两点说明 (1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．
sinα－cosα
＝
＝
－sinα－2cosα －
3－ 10 3－
1 10 2
＝－25.
10 10
∴选 A．
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第一课时：1.3 三角函数的诱导公式（一）
教学要求：掌握π＋α、－α、π－α三组诱导公式，并能熟练运用进行化简与求值. 教学重点：应用诱导公式.
教学难点：理解诱导公式推导.
教学过程：
一、复习准备：
1. 写出2k π＋α的诱导公式.
2. 提问：求任意角的三角函数值如何求？
二、讲授新课：
1. 教学诱导公式：
① 讨论：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到0～2π后，又将如何将0～2π间的角转化到0～2π
呢？
方法：设0°≤α≤90°， （写成β的分段函数）
则90°～180°间角，可写成180°－α；
180°～270°间的角，可写成180°＋α；
270°～360°间的角，可写成360°－α.
② 推导π＋α的诱导公式：
复习单位圆：以原点为圆心，单位长为半径的圆.
思考：角α的终边与单位圆交于点P (x , y )，则sin α＝？cos α=？
讨论：α与π＋α终边有何关系？设交单位圆于P (x , y )、P ’，则P ’坐标怎样？
计算sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)，并与sin α、cos α、tan α比较.
提出诱导公式二.
③ 仿上面的步骤推导－α、π－α的诱导公式.
讨论：如何由π＋α、－α的诱导公式得到π－α的诱导公式？ 变角：π－α＝π＋(－α) 列表比较四组诱导公式，观察符号情况？ 口诀：函数名不变，符号看象限. （“符号”是把任意角α看成锐角时，2()k k Z πα±∈所在象限的三角函数值的符号.）
2. 教学例题：
① 出示例1：求值：sin225°、 cos 43π、sin(－3
π)、cos （－76π）、tan （－200°） 分析角的特点→学生口答. 小结：运用诱导公式的格式；注意符号.
② 出示例2：化简sin(180)cos(720)cos(180)sin(180)
αααα︒+︒+--︒-︒- 师生共练→小结：公式运用
③ 练习：已知cos(π＋x )＝0.5，求cos(2π－x )的值；思考：求cos(π－x )的值.
④ 讨论：四组诱导公式的作用? （分别化哪个范围的角到哪个范围？）
3. 小结：四组诱导公式的推导、记忆、运用.
三、巩固练习：
1. 求证：tan(2)sin(2)cos(6)cos()sin(5)
παπαπααππα-----+＝tan α
2. （－1） 4. 作业：教材P31 2、3、4题.
第二课时：1.3 三角函数的诱导公式（二）
教学要求：掌握2π
α、2π
＋α两组诱导公式，能熟练运用六组诱导公式进行求值、化简、证明.
教学重点：熟练运用诱导公式.
教学难点：诱导公式的推导.
教学过程：
一、复习准备：
1. 默写关于2k π+α、π＋α、－α、π－α的四组诱导公式
2. 推导2π－α的诱导公式.
二、讲授新课：
1. 教学诱导公式推导：
① 讨论：
2π－α的终边与α的终边有何关系？ （关于直线y =x 对称） ② 讨论：2
π
－α的诱导公式怎样？ ③ 讨论：如何由前面的诱导公式得到2π
＋α的诱导公式？ 比较：两组诱导公式的记忆
④ 讨论：如何利用诱导公式，将任意角转化为锐角的三角函数？（转化思想）
⑤ 比较：六组诱导公式的记忆. （六组诱导公式都可统一为“()2
k k Z πα±∈”的形式，记忆的口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 符号看象限是把α看成锐角时原三角函数值的符号）
2. 教学例题：
① 出示例1：求下列各角的三个三角函数的值.
56π、 43π、 74π、 1050°、 －514
π （示范－514
π的求值；其余学生试练，四人板演；订正；小结：诱导公式的运用） ② 出示例2：求证cos()sin(5)sin(4)sin(7)cot()
παπαπαπααπ---+--＝1 （学生分析公式运用→试练→订正→小结：公式运用. ）
③ 练习： 列表写出0～2π间所有特殊角的三个三角函数的值.
3. 小结：诱导公式的记忆是重中之重；利用诱导公式，将任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数的值，这是学习诱导公式的主要目的；注意公式之间的相互联系和变形使用公式.
三、巩固练习：
1. 化简：
tan(150)cos(210)cos(420)cot(600)sin(1050)
-︒-︒-︒-︒-︒ ） 2. 已知tan(π＋α)＝4, 则sin(π＋α)cos(π－α)＝ .
3. 化简：sin()sin()sin()cos()k k k k πααπαπαπ++-+- （k ∈Z ）
4. 求函数
y =的值域. 5. 作业：教材P31 5、6、7题.。