数列章末归纳总结ppt
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章末归纳总结2
4．等比数列{an}共有 2n＋1 项，奇数项之积为 100，偶数
项之积为 120，则 an＋1 等于( )
6
5
A.5
B.6
C．20
D．110
[答案] B
[解析] 由题意知：S 奇＝a1·a3·…·a2n＋1＝100， S 偶＝a2·a4·…·a2n＝120， ∴SS奇偶＝aa3·2a·a5·4…·…·a·a2n2＋n 1·a1＝a1·qn＝an＋1， ∴an＋1＝110200＝56.
二、填空题 6．等差数列{an}前 n 项和 Sn，若 S10＝S20，则 S30＝ __________.
[答案] 0
[解析] ∵S10＝S20，∴10a1＋10×2 9d＝20a1＋20×2 19d，∴ 2a1＝－29d.
∴S30＝30a1＋10×2 29d＝15×(－29d)＋15×29d＝0.
[解析] 购买时付款 300 万元，则欠款 2 000 万元，依题 意分 20 次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{an}，
故 a1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， a3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)， a4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)， …
n≤5， n≥6.
9．已知数列{bn}前 n 项和为 Sn，且 b1＝1，bn＋1＝13Sn. (1)求 b2，b3，b4 的值； (2)求{bn}的通项公式； (3)求 b2＋b4＋b6＋…＋b2n 的值．
2．已知数列{an}的通项公式 an＝3n－50，则前 n 项和 Sn
的最小值为( )
A．－784
数列章末归纳总结
当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋21＝5，不满足上式．
∴an＝52n－1
n＝1 n≥2 .
[方法总结] 已知 Sn 求 an，即已知数列的前 n 项和公式， 求数列的通项公式，其方法是 an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常忽略 了条件 n≥2 而导致错误，因此必须验证 n＝1 时是否成立，若
不成立，则通项公式只能用分段函数 an＝SS1n－Sn－1 来表示．
(2)由(1)得 bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， 即 an＋1－an＝2n－1.
n
n
于是 (ak＋1－ak)＝ (2k－1)，
k＝1
k＝1
所以 an＋1－a1＝n2，即 an＋1＝n2＋a1. 又 a1＝1，所以{an}的通项公式为 an＝n2－2n＋2.
[方法总结] 已知a1＝a，an＋1－an＝f(n)，其中f(n)可以是 关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项
专题研究
数列通项公式的求法
数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数 的解析式．根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型， 研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项 和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一．现根据数列的 结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：
1．知Sn求an [例1] (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n＋1n，求an； (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
②利用aann＋≥1<00，， 则 Sn 为最大值；aann≤ ＋1>00，， 则 Sn 为最小 值．
三、等比数列 1．定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的比 等于同一个常数，则此数列叫做等比数列；这个常数叫做等比 数列的公比，用字母 q 表示． 2．等比中项：若三个数 a，G，b 成等比数列，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项，且 G＝± ab. 3．通项公式：等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1. 4．前 n 项和公式：若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比 为 q，当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.
必修5第二章数列章末复习课件人教新课标
1．裂项求和 3．错位相减
2．分组求和 4．倒序相加
1．裂项求和
把通项公式分成若干个已知数列的和，分别用公
式求这些数列的和，从而求出原数列的和.
例 : 求Sn
22 13
42 35
(2n
(2n)2 1)(2n 1)
an
1
1 (2n 1)(2n
1)
1
1 2
1 2n 1
1 2n
1
Sn
n
1 2
2．利用前n项和与通项的关系求通项公式
an
S1 ( n Sn
1) Sn1
(n
2)
方法一：直接利用an Sn Sn1求出an
方法二：利用an Sn Sn1消去an，得出Sn与Sn1的 递推关系式，求出Sn，再求an
3．利用递推关系，构造新数列。
①an an1 f (n)型
（叠加）
2 22
3 23
n 2n
1 2
Sn
1 22
2 23
n 2n
1
n 2n1
相减得：(1
1 2
)
Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
n 2n1
1 2
Sn
1 2
1
1 2n
1 1
n 2n1
2
Sn
2
1 2n1
n 2n
4．倒序相加求和
仿推导等差数列和的方法，把某些数列首尾 对称的项对应相加，有时也可得到不错的效果.
其实关键还是"理解"...多做题,多总结 规律!...
要点总结
定义
项、通项
数列基础知识
数列表示法
数
高中数学第二章数列章末归纳整合课件a必修5a高二必修5数学课件
章末归纳(guīnà)整合
12/9/2021
第一页，共三十九页。
12/9/2021
第二页，共三十九页。
整体(zhěngtǐ)思想
整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、运算的 思想，整体思想的灵活运用通常能将问题由多方向简化，使问题变得 明朗(mínglǎng)，简捷．
12/9/2021
第三页，共三十九页。
【例1】 某等差数列的前四项之和为－4，最后(zuìhòu)四项之和 为36，所有项之和为36，则此数列共有______项．
【解析】记该等差数列为{an}，其前 n 项和为 Sn，由题意 可得 a1＋a2＋a3＋a4＝－4，an＋an－1＋an－2＋an－3＝36，两式相 加结合等差数列的性质可得 4(a1＋an)＝32，解得 a1＋an＝8，∴ Sn＝na12＋an＝4n＝36，解得 n＝9.故答案为 9.
log3an－log3an－1＝n－1，
12/9/2021
第十九页，共三十九页。
以上各式相加得 log3an－log3a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝nn2－1， log3an＝nn2－1，当 n＝1 时也成立． ∴Sn＝log3a9nn＝n2－2 5n(n∈N*)． ∴b1＝S1＝－2. 当 n≥2 时，bn＝Sn－Sn－1＝n－3，当 n＝1 时也成立． ∴数列{bn}的通项公式 bn＝n－3(n∈N*)．
12/9/2021
第二十五页，共三十九页。
3．(2017年新课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问
题：“远望(yuǎn wànɡ)巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问
尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下
一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
12/9/2021
第一页，共三十九页。
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第二页，共三十九页。
整体(zhěngtǐ)思想
整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、运算的 思想，整体思想的灵活运用通常能将问题由多方向简化，使问题变得 明朗(mínglǎng)，简捷．
12/9/2021
第三页，共三十九页。
【例1】 某等差数列的前四项之和为－4，最后(zuìhòu)四项之和 为36，所有项之和为36，则此数列共有______项．
【解析】记该等差数列为{an}，其前 n 项和为 Sn，由题意 可得 a1＋a2＋a3＋a4＝－4，an＋an－1＋an－2＋an－3＝36，两式相 加结合等差数列的性质可得 4(a1＋an)＝32，解得 a1＋an＝8，∴ Sn＝na12＋an＝4n＝36，解得 n＝9.故答案为 9.
log3an－log3an－1＝n－1，
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第十九页，共三十九页。
以上各式相加得 log3an－log3a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝nn2－1， log3an＝nn2－1，当 n＝1 时也成立． ∴Sn＝log3a9nn＝n2－2 5n(n∈N*)． ∴b1＝S1＝－2. 当 n≥2 时，bn＝Sn－Sn－1＝n－3，当 n＝1 时也成立． ∴数列{bn}的通项公式 bn＝n－3(n∈N*)．
12/9/2021
第二十五页，共三十九页。
3．(2017年新课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问
题：“远望(yuǎn wànɡ)巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问
尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下
一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
数列复习专题精选完整版ppt课件
数列与函数问题：化归思想，函数与方程思想
恒成立问题： 论证推理
探索性问题--恒成立问题
恒成立问题： 论证推理
探索性问题--存在性问题
注：（1）不等式恒成立与最值问题相关联：确定变量最大或最小（2）数列最值问题关联：单调数列特征，或数列取值正负变化特征，或数列二次函数特征（3）恒成立问题：推理论证（4）存在性问题：寻找，特值法、代入验证法等
二、数列基本方法
1、方程（组）思想、函数思想2、代入法，因式分解降次法3、待定系数法4、分类讨论思想5、化归转换思想★6、不等式放缩应用
数列问题探究-典型例举
数列问题探究-典型例举
数列问题：
2、一般数列通项递推的应用（关于Sn--an）
递推式运用原则：减元原则、降次原则、目标趋近原则
知识拓展与方法应用：
数 列
1.知识
2. 问题
3. 方法
一、数列基础知识
一般数列：
特殊数列：等差数列
特殊数列：等差数列性质 足码和特征、和项特征、奇偶项和特征
特殊数列：等比数列
特殊数列：等比数列性质 足码和特征、和项特征、奇偶项和特征
二、数列基本问题
公式变式\性质应用
题例
基本关系式应用：正用代入--逆用作差
一般数列通项递推的应用
数列求和：数列递推问题：数列与不等式问题：数列与函数：探索性问题：成立与存在性问题预测方向
数列递推问题
数列递推问题
数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型
数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型
小结：（1）高考卷选择填空题型：等差等比比重大，一般数列通项或和，新定义与创新型问题（2）高考数列解答题：通项、前n项和，★递推问题，不等式证明（3）含参数问题：取值或范围，最值问题（4）重点问题：特殊数列、递推问题等
章末总结(数列) (4)
源自（五）累商法例5已知 ，求 .
（六）构造法
若给出条件直接求 较以,可经通过整理变形等, 从中构造出一个等差数列或等比数列,从而求出通项.
例6已知 ，求 .
例7在数列 中，已知
，求通项 .
专题二 数列求和
数列求和是数列部分的重要内容，求和和问题是很常见的试题，对于等差数、等比数列的求和主要是运用求和公式，而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般可按以下求和方法和技巧去求解.
当通项公式中含有 ，求和时，可通过对 奇偶性的讨论，分情况求和.
例11已知数列
，求其前 项和 .
例12求和:
.
（四）通项化归法（转化法）
对数列的通项进行变形,然后再进行求和的求和方法.
例13求数列 的前 项和 .
例14求数列
的前 项和 .
（五）裂（拆）项法
把通项公式进行合理的分拆，然后再分组或消项，转化为易求和的数列求和问题，常见的有：
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
章末总结
专题一 求通项
数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中解析式一样，有解析式便可以研究其性质等，而有了数列的通项公式，便可求出任何一项及前 项和等，现将求数列的通项公式几种常见类型及方法总结如下：
（一）观察归纳法
（1） （主要用裂项相消求和）
（2） （主要用拆项分组求和）
例15求和
第 页
（一）利用公式
如果可出判断出所求数列是等差、等比数列或者是某些常见数列的求和，则可以直接利用公式.
例8等比数列 的前 项和 ，求
.
例9设 为等差数列， 为数列 的前 项和，已知 为数列 的前 项和，求 .
（六）构造法
若给出条件直接求 较以,可经通过整理变形等, 从中构造出一个等差数列或等比数列,从而求出通项.
例6已知 ，求 .
例7在数列 中，已知
，求通项 .
专题二 数列求和
数列求和是数列部分的重要内容，求和和问题是很常见的试题，对于等差数、等比数列的求和主要是运用求和公式，而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般可按以下求和方法和技巧去求解.
当通项公式中含有 ，求和时，可通过对 奇偶性的讨论，分情况求和.
例11已知数列
，求其前 项和 .
例12求和:
.
（四）通项化归法（转化法）
对数列的通项进行变形,然后再进行求和的求和方法.
例13求数列 的前 项和 .
例14求数列
的前 项和 .
（五）裂（拆）项法
把通项公式进行合理的分拆，然后再分组或消项，转化为易求和的数列求和问题，常见的有：
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
章末总结
专题一 求通项
数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中解析式一样，有解析式便可以研究其性质等，而有了数列的通项公式，便可求出任何一项及前 项和等，现将求数列的通项公式几种常见类型及方法总结如下：
（一）观察归纳法
（1） （主要用裂项相消求和）
（2） （主要用拆项分组求和）
例15求和
第 页
（一）利用公式
如果可出判断出所求数列是等差、等比数列或者是某些常见数列的求和，则可以直接利用公式.
例8等比数列 的前 项和 ，求
.
例9设 为等差数列， 为数列 的前 项和，已知 为数列 的前 项和，求 .
高中数学 第二章 数列章末归纳总结课件 新人教A版必修5
[解析] ∵a2－a1＝3－1＝2， a3－a2＝7－3＝4， a4－a3＝13－7＝6， … an－an－1＝2(n－1)．
以上n－1个等式左右两边分别相加，得
an－a1＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝(n－1)n， ∴an＝n2－n＋1， 且n＝1时，a1＝1适合上式， ∴an＝n2－n＋1. [方法规律总结] 若数列{an}满足an＋1－an＝f(n)(n∈N*)， 其中{f(n)})是易求和的数列，那么可用累加法求an.
(2)由(1)知S1n＝S11＋(n－1)×2＝2n－1， ∴Sn＝2n1－1.
当 n＝1 时，a1＝S1＝1；
当
n≥2
时
，
an
＝
Sn
－
Sn
－
1
＝
2S2n 2Sn－1
＝
2·2n1－12 2·2n1－1－1
＝
2 2n－13－2n.
∴数列的通项公式为
1
n＝1
an＝
2
2n－13－2n
n≥2
.
[方法规律总结] 条件式是递推关系或an与Sn的关系式， 求通项时，一般都是应用an＝Sn－Sn－1变形，构造等差或等比 关系，依据等差数列(或等比数列)求通项的方法求出通项，再
项和 Sn.
求数列 214，418，6116，…，2n＋2n1＋1，…的前 n
[分析] 此数列的通项公式为 an＝2n＋2n1＋1，而数列{2n} 是一个等差数列，数列{2n1＋1}是一个等比数列，故采用分组求 和法．
[解析] Sn＝214＋418＋6116＋…＋(2n＋2n1＋1) ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(212＋213＋214＋…＋2n1＋1) ＝n2n2＋2＋212[11－－1212n] ＝n(n＋1)＋12－2n1＋1. [方法规律总结] 如果一个数列的通项公式能拆成几项的 和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么可用分组求
以上n－1个等式左右两边分别相加，得
an－a1＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝(n－1)n， ∴an＝n2－n＋1， 且n＝1时，a1＝1适合上式， ∴an＝n2－n＋1. [方法规律总结] 若数列{an}满足an＋1－an＝f(n)(n∈N*)， 其中{f(n)})是易求和的数列，那么可用累加法求an.
(2)由(1)知S1n＝S11＋(n－1)×2＝2n－1， ∴Sn＝2n1－1.
当 n＝1 时，a1＝S1＝1；
当
n≥2
时
，
an
＝
Sn
－
Sn
－
1
＝
2S2n 2Sn－1
＝
2·2n1－12 2·2n1－1－1
＝
2 2n－13－2n.
∴数列的通项公式为
1
n＝1
an＝
2
2n－13－2n
n≥2
.
[方法规律总结] 条件式是递推关系或an与Sn的关系式， 求通项时，一般都是应用an＝Sn－Sn－1变形，构造等差或等比 关系，依据等差数列(或等比数列)求通项的方法求出通项，再
项和 Sn.
求数列 214，418，6116，…，2n＋2n1＋1，…的前 n
[分析] 此数列的通项公式为 an＝2n＋2n1＋1，而数列{2n} 是一个等差数列，数列{2n1＋1}是一个等比数列，故采用分组求 和法．
[解析] Sn＝214＋418＋6116＋…＋(2n＋2n1＋1) ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(212＋213＋214＋…＋2n1＋1) ＝n2n2＋2＋212[11－－1212n] ＝n(n＋1)＋12－2n1＋1. [方法规律总结] 如果一个数列的通项公式能拆成几项的 和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么可用分组求
第二章 数列 章末归纳整合 课件
第四页，编辑于星期日：二十点 七分。
(2)善于对比学习．学习等差数列后，再学等比 数列时，可以等差数列为模型，从等差数列研究过 的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相 对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式 、通项形式、中项及性质中，用了一些相类似的语 句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的 区别，原因在于“差”与“比”不同．通过对比学习， 加深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功 倍的效果．
第二十四页，编辑于星期日：二十点 七分。
＝12＋213×11－－122n1－1－n2＋n＋21＝34－2n1＋1－n2＋n＋21， 故 Tn＝32－21n－n2＋n＋11＝32－n2＋n＋13.
方法点评：在第一问中，因为{an}是等比数列， 所以有aa12＝aan＋n 1(n≥2)，注意此思想方法．第二问 则采用了错位相减法求和．
(1)求r的值； (2)当 b＝2 时，记 bn＝n4＋an1(n∈N*)，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn.
第二十二页，编辑于星期日：二十点 七分。
解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时， Sn－1＝bn－1＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b>0且b≠1， 所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列， 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)， aa12＝b，即bbb＋－r1＝b，解得 r＝－1.
第二十页，编辑于星期日：二十点 七分。
(2)2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
(3)
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－
n.
5．倒序相加法 将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相 加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求 得，则这样的数列可用倒序相加法求和，它是等差 数列求和公式的推广．
(2)善于对比学习．学习等差数列后，再学等比 数列时，可以等差数列为模型，从等差数列研究过 的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相 对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式 、通项形式、中项及性质中，用了一些相类似的语 句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的 区别，原因在于“差”与“比”不同．通过对比学习， 加深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功 倍的效果．
第二十四页，编辑于星期日：二十点 七分。
＝12＋213×11－－122n1－1－n2＋n＋21＝34－2n1＋1－n2＋n＋21， 故 Tn＝32－21n－n2＋n＋11＝32－n2＋n＋13.
方法点评：在第一问中，因为{an}是等比数列， 所以有aa12＝aan＋n 1(n≥2)，注意此思想方法．第二问 则采用了错位相减法求和．
(1)求r的值； (2)当 b＝2 时，记 bn＝n4＋an1(n∈N*)，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn.
第二十二页，编辑于星期日：二十点 七分。
解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时， Sn－1＝bn－1＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b>0且b≠1， 所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列， 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)， aa12＝b，即bbb＋－r1＝b，解得 r＝－1.
第二十页，编辑于星期日：二十点 七分。
(2)2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
(3)
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－
n.
5．倒序相加法 将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相 加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求 得，则这样的数列可用倒序相加法求和，它是等差 数列求和公式的推广．
高中数学第二章数列章末总结课件a必修5a高二必修5数学课件
(ⅱ)-(ⅰ)得,
Tn=-3×21-2(22+23+24+…+2n)+(2n+1)·2n+1
4 1 2n1
=-6-2×
+(2n+1)·2n+1
1 2
=2+(2n-1)·2n+1.
2021/12/9
第九页，共二十六页。
规律(guīlǜ)总结
(1)由递推公式求数列通项公式时,一是要注意判别类型(lèixíng)与方法.二是要注意an
章末总结(zǒngjié)
2021/12/9
第一页，共二十六页。
网络(wǎngluò)建构
2021/12/9
第二页，共二十六页。
知识(zhī shi)辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
1.数列(shùliè)1,2,3,4,…,2n是无穷数列.( ×)
2.an= nn 1 是数列 1,3,6,10,…的一个通项公式.( √ )
解得公差
d=-
5 3
,所以
20 20
n 1
n
5 3
5 3 0.
0,
解得 12≤n<13.
所以当 n=12 时,Sn 有最大值 S12=130.
纠错:错解1中解an>0是不正确(zhèngquè)的; 事实上应解an≥0,an+1≤0. 错解2中12≤n<13,应指出a13=0,a12>0,故S13=S12.
n 将 n=1 代入得,a2=4a1, 而 a1=1,所以 a2=4. 将 n=2 代入得,a3=3a2, 所以 a3=12. 从而 b1=1,b2=2,b3=4.
人教版数学选择性必修二：第四章数列章末复习课件
2
a202Xa202X－1＝ 2020
－1＜0，故B正确；
T202X是数列{Tn}中的最大值，CD错误.
)
(3)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则
5
log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝ 32 ＝4⇒a3＝2，
✓ 而52 ＝a10＞0，所以an＞0，q＞1.
✓ 由条件得2
✓
+1
+2
+
+1
＝5，即2
1
+ ＝5，解得q＝2.
又由52 ＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，即a1＝q＝2，故an＝2n.
法二
题型一
[例1]
求数列的通项公式
(2)已知数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通项公式．
又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
∴ 32 ＋2a3a5＋ 52 ＝25，而an＞0，
故a3＋a5＝5.
跟踪训练
4． (2)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
根据数列{an}为等比数列，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，
即48，60－48，S3n－60，…成等比数列，
等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求
数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[例2]
等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1) 求数列{an}的通项公式；
a202Xa202X－1＝ 2020
－1＜0，故B正确；
T202X是数列{Tn}中的最大值，CD错误.
)
(3)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则
5
log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝ 32 ＝4⇒a3＝2，
✓ 而52 ＝a10＞0，所以an＞0，q＞1.
✓ 由条件得2
✓
+1
+2
+
+1
＝5，即2
1
+ ＝5，解得q＝2.
又由52 ＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，即a1＝q＝2，故an＝2n.
法二
题型一
[例1]
求数列的通项公式
(2)已知数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通项公式．
又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
∴ 32 ＋2a3a5＋ 52 ＝25，而an＞0，
故a3＋a5＝5.
跟踪训练
4． (2)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
根据数列{an}为等比数列，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，
即48，60－48，S3n－60，…成等比数列，
等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求
数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[例2]
等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1) 求数列{an}的通项公式；
数列末复习与总结ppt
数列极限的应用
求极限
通过求极限可以求解数列中各 项的值，特别是当数列中某些 项难以直接计算时，可以利用
极限的性质进行求解。
判断收敛性
通过判断数列的极限是否存在， 可以判断该数列是否收敛。
近似计算
在某些实际应用场景中，可以利用 极限的近似计算方法来近似求解某 些难以精确计算的数值。
05
数列复习题及解析
数列的导数和积分
了解数列的导数和积分概念及计算方法， 理解其在数列中的应用。
数列学习的展望
递归数列
了解递归数列的概念和类型，探索 其通项公式的求解方法和应用。
傅里叶级数
掌握傅里叶级数的概念和展开方法 ，理解其在三角函数和周期函数中 的应用。
数列的插值和拟合
了解数列的插值和拟合方法，掌握 其在实际问题中的应用。
THANKS
感谢观看
差。
非等差或等比数列
02
对于非等差或等比数列，一般需要采用其他方法进行求和，如
分组求和法、倒序相加法等。
复杂数列的分解
03
对于一些复杂的数列，需要先进行分解或变形，再采用合适的
求和方法进行计算。
04
数列的极限
数列极限的定义
定义
如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，数列{an}中所 有项满足不等式|an-A|<ε，则称数列{an}收敛于A，A称为数列{an}的极限。
基础题目及解析
题目
数列1，3，5，7，9，...的第n项是什么？
解析
这是一个等差数列，公差为2，首项为1。第n项为1+(n-1)×2 = 2n-1。
进阶题目及解析
题目
数列1，4，9，16，25，...的第n项是什么？
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第一章 章末归纳总结
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(4)若数列{an}满足 Sn＝an2＋bn＋c(c≠0)，则{an}从第 2 项 起成等差数列；
(5)等差数列和的最大值、最小值． 1° 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn 有最大值；若 a1<0，d>0，则 Sn 有最小值． 2° 求 Sn 的最值的方法： ①因为 Sn＝d2n2＋a1－d2n，所以可转化为二次函数求最值， 但应注意 n∈N＋； ②利用aann＋≥1<00，， 则 Sn 为最大值；aann≤ ＋1>00，， 则 Sn 为最小 值．
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二、等差数列 1．定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的差 等于同一个常数，则这个数列就叫等差数列，其中的常数叫等 差数列的公差，它常用字母 d 表示．即定义的表达式为 an＋1－ an＝d(n∈N＋)或 an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋)．
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②对各项同号的数列，可用作商比较法． n∈N＋，an>0(<0)，aan＋n 1>1(<1)⇔{an}为递增数列； n∈N＋，an>0(<0)，aan＋n 1＝1⇔{an}为常数列； n∈N＋，an>0(<0)，aan＋n 1<1(>1)⇔{an}为递减数列．
5．等差数列的性质： (1)已知等差数列{an}的公差为 d，且(n－m)d； (2)在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，(m、n、p、q∈N＋) 则 am＋an＝ap＋aq； (3)若数列{an}满足 Sn＝an2＋bn，则{an}为等差数列，且 a1 ＝a＋b，d＝2a；
第一章 章末归纳总结
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4．数列的分类 (1)根据数列的项数可以对数列进行分类：项数有限的数列 叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列． (2)按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为 以下几类： ①一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于 它前面的一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列． ②一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它前面的 一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作递减数列．
2．通项公式：若数列{an}为等差数列，则 an＝a1＋(n－1)D．
3．前 n 项和公式：若数列{an}为等差数列，则前 n 项和 Sn
＝na12＋an＝na1＋nn2－1D．
第一章 章末归纳总结
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4．等差中项：若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，并且 A＝a＋2 b.
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知识整合
第一章 章末归纳总结
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一、数列的概念与函数特征 1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列 还可以看作一个定义域为 N＋(或它的有限子集{1,2，…，n})的 函数的一列函数值． 2．通项公式：如果数列{an}的第 n 项与 n 之间的函数关系 可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式． 3．an 与 Sn 之间的关系： 如果 Sn 是数列{an}的前 n 项和，则 Sn＝a1＋a2＋…＋an. 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn 与 an 之 间 的 关 系 是 an ＝ S1，n＝1 Sn－Sn－1，n≥2 .
1 知识结构 2 知识整合 3 专题研究
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知识结构
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成才之路 ·数学
北师大版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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数列 第一章
第一章 解三角形
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章末归纳总结 第一章
第一章 解三角形
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5．根据数列的通项公式判定数列的单调性 (1)已知 an＝f(n)，若 f(x)的单调性可以确定，则{an}的单调 性可以确定． (2)比较法 ①作差比较法 n∈N＋，an＋1－an>0⇒{an}为递增数列； n∈N＋，an＋1－an＝0⇒{an}为常数列； n∈N＋，an＋1－an<0⇒{an}为递减数列．
第一章 章末归纳总结
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③一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列．
④一个数列{an}，如果它的每一项都相等，那么这个数列 叫作常数列．
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三、等比数列 1．定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的比 等于同一个常数，则此数列叫做等比数列；这个常数叫做等比 数列的公比，用字母 q 表示． 2．等比中项：若三个数 a，G，b 成等比数列，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项，且 G＝± ab. 3．通项公式：等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1. 4．前 n 项和公式：若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比 为 q，当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.
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(4)若数列{an}满足 Sn＝an2＋bn＋c(c≠0)，则{an}从第 2 项 起成等差数列；
(5)等差数列和的最大值、最小值． 1° 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn 有最大值；若 a1<0，d>0，则 Sn 有最小值． 2° 求 Sn 的最值的方法： ①因为 Sn＝d2n2＋a1－d2n，所以可转化为二次函数求最值， 但应注意 n∈N＋； ②利用aann＋≥1<00，， 则 Sn 为最大值；aann≤ ＋1>00，， 则 Sn 为最小 值．
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二、等差数列 1．定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的差 等于同一个常数，则这个数列就叫等差数列，其中的常数叫等 差数列的公差，它常用字母 d 表示．即定义的表达式为 an＋1－ an＝d(n∈N＋)或 an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋)．
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②对各项同号的数列，可用作商比较法． n∈N＋，an>0(<0)，aan＋n 1>1(<1)⇔{an}为递增数列； n∈N＋，an>0(<0)，aan＋n 1＝1⇔{an}为常数列； n∈N＋，an>0(<0)，aan＋n 1<1(>1)⇔{an}为递减数列．
5．等差数列的性质： (1)已知等差数列{an}的公差为 d，且(n－m)d； (2)在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，(m、n、p、q∈N＋) 则 am＋an＝ap＋aq； (3)若数列{an}满足 Sn＝an2＋bn，则{an}为等差数列，且 a1 ＝a＋b，d＝2a；
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4．数列的分类 (1)根据数列的项数可以对数列进行分类：项数有限的数列 叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列． (2)按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为 以下几类： ①一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于 它前面的一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列． ②一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它前面的 一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作递减数列．
2．通项公式：若数列{an}为等差数列，则 an＝a1＋(n－1)D．
3．前 n 项和公式：若数列{an}为等差数列，则前 n 项和 Sn
＝na12＋an＝na1＋nn2－1D．
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4．等差中项：若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，并且 A＝a＋2 b.
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一、数列的概念与函数特征 1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列 还可以看作一个定义域为 N＋(或它的有限子集{1,2，…，n})的 函数的一列函数值． 2．通项公式：如果数列{an}的第 n 项与 n 之间的函数关系 可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式． 3．an 与 Sn 之间的关系： 如果 Sn 是数列{an}的前 n 项和，则 Sn＝a1＋a2＋…＋an. 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn 与 an 之 间 的 关 系 是 an ＝ S1，n＝1 Sn－Sn－1，n≥2 .
1 知识结构 2 知识整合 3 专题研究
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数列 第一章
第一章 解三角形
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章末归纳总结 第一章
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5．根据数列的通项公式判定数列的单调性 (1)已知 an＝f(n)，若 f(x)的单调性可以确定，则{an}的单调 性可以确定． (2)比较法 ①作差比较法 n∈N＋，an＋1－an>0⇒{an}为递增数列； n∈N＋，an＋1－an＝0⇒{an}为常数列； n∈N＋，an＋1－an<0⇒{an}为递减数列．
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③一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列．
④一个数列{an}，如果它的每一项都相等，那么这个数列 叫作常数列．
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三、等比数列 1．定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的比 等于同一个常数，则此数列叫做等比数列；这个常数叫做等比 数列的公比，用字母 q 表示． 2．等比中项：若三个数 a，G，b 成等比数列，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项，且 G＝± ab. 3．通项公式：等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1. 4．前 n 项和公式：若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比 为 q，当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.